机器人学导论第五章

ω
写出例5.3中的雅克比矩阵 由例5.3的结果 式（5-55）可写出坐标系{3} 的雅克比表达式
3
l1s2 J θ l1c2 l2
0 l2
（5-66）
式（5-57）可写出坐标系{0}的雅克比表达式
3
- l1s1 l2 s12 J θ l1c1 l2c12
雅克比矩阵的定义为
建立连杆坐标系，图5-11为施加在连杆i 上的静力和静力矩（重力除外）。将这 些力相加并令其和为0，有
图5-11单连杆的静力和静力矩的平衡关系
将绕坐标系{i}原点的力矩相加，有 如果我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从 末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一 个连杆上的力和力矩。将以上两式重新整理，以便 从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如 下
例5.3 图5-8所示是具有两个转动关节的操作 臂.计算出操作臂末端的速度，将它表达成操作 臂末端的函数。给出两种形式的解答，一种是 用坐标系{3}表示，一种是用坐标系{0}表示。
图5-8两连杆操作臂
图5-9两连杆操作臂的坐标系布局
首先将坐标系固连在连杆上，计算连杆变换如 下
c1 s 1 0 T 1 0 0 s1 0 0 c1 0 0 0 1 0 0 0 1
机器人学导论
第五章 静力和速度
——新疆大学机械工程学院
第五章 速度和静力
概述 在本章中，我们将机器人操作臂的讨论扩展到静 态位置问题以外。我们研究刚体线速度和角速 度的表示方法并且运用这些概念去分析操作臂 的运动。我们将讨论作用在刚体上的力，然后 应用这些概念去研究操作臂静力学应用的问题。 关于速度和静力的研究将得出一个称为操作臂雅 克比的实矩阵。
例5.7
在例5.3的两连杆操作臂，在末端执行器施加 作用力矢量 3 F （可以认为该力是作用在坐标 系{3}的原点上）。按照位形和作用力的函数 给出所需的关节力（见图5-12）。
应用式（5-80）到式（5-82），从 末端连杆开始向机器人的基座计算：
图5-12
于是有
可将这个关系写成矩阵算子：来自 5.10 力域中的雅可比A
B
图 5-2
在参考坐标系非常简单可用一种简化的表示方法 C为坐标系{C}相对于某个已知坐 C U C 这里， 标系{U}的角速度。例如 A C就是坐标系{C}的角 速度在坐标系{A}中的描述，尽管这个角速度是 相对于坐标系{U}的。
5.3刚体的线速度和角速度
线速度 把坐标系固连在一刚体上，要求描述相对于坐标系{A} 的运动 B Q ,如图5-3所示。这里已经认为坐标系{A}是 固定的。此时我们假定 A B R 不随时间变化。则Q点 相对于坐标系{A} 的运动是由于A PBORG 或 B Q 随时间的变化 引起的。
角速度 我们讨论两坐标系的原点重合，相对线速度为0 的情况。 (1) B VQ 0 时 A VQ A B A Q （5-10） (2) B V 0 时
Q
A
VQ
A B

VQ A B A Q

（5-11）
线速度和角速度同时存在的情况 （5-13） 这是把原点的线速度加到式（5-12）中， 得到了从坐标系{A}观测坐标系{B}的普 遍公式。
0
v 0J θ θ
(5-64)
式中θ是操作臂关节角矢量，v是笛卡尔速度矢量。在式中 我们给雅克比表达式附加了左上标，以此来表示笛卡尔速 度所参考的坐标系。 是 对于通常的6关节机器人，雅克比矩阵是6×6阶矩阵，θ
0 6×1维的， v 也是6×1维的。这个6×1笛卡尔速度矢量是 由一个3×1的线速度矢量和一个3×1的角速度矢量组合起 来的： 0 0 (5-65) 0
c2 s 2 1 T 2 0 0
s2 0 l1 c2 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 2 3T 0 0
0 0 l2 1 0 0 0 1 0 0 0 1
运用式（5-45）和式（5-47）从基坐标{0}依次计算出 每个坐标系原点的速度，其中基坐标系的速度为0。
（5-46）
两边同时左乘 i 1 iR 得
i 1 i i i vi 1 i 1 R v ω i i i pi 1


（5-47）
从一个连杆到下一个连杆依次应用这些公式，可以计算出最 后一个连杆的角速度 N N 和线速度 N v N ，注意，这两个公 式是按照坐标系{N}表达的，如果用基坐标系来表达角速度 0 R去左乘速度，向基坐标系进行 和线速度的话，就可以用 N 旋转变换。
（5-57）
5.7 雅克比
雅克比矩阵是多元形式的导数。例如假设有6 个函数，每个函数有6个独立变量：
由多元函数求导法则得
在任一瞬时，x都有一个确定的值，J(X)是一个线性变换。在 每个新时刻，如果X改变，线性变换也随之而变。所以雅克比 是时变的线性变换。
在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与 操作臂末端的笛卡尔速度联系起来，比如
用旋转矩阵进行变换得到最重要的连杆之间的静力“传递” 表达式：
除了绕关节轴的力矩外，力和力矩矢量的 所有分量都可由操作臂机构本身来平衡。 因此，为了求出系统静平衡所需的关节 力矩，应计算关节轴矢量和施加在连杆 上的力矩矢量的点积： 对于关节是移动关节的情况，可以计算出 关节驱动力为
式（5-80）到式（5-83）给出一种方法，可以计算静态 作用下操作臂末端执行器施加力和力矩所需的关节力。
与式（5-24）联立可得
A
VP A B A P
5.5 机器人连杆的运动
连杆间的速度传递 操作臂是一个链式结构，每一个连杆的 运动都与它的相邻连杆有关。连杆i+1的 速度就是连杆i的速度加上那些附加到关 节i+1上的新的速度分量。
如图5-6所示，连杆i+1的角速度就等于连杆i的角速度加上 一个由于关节i+1的角速度引起的分量。参照坐标系{i}， 上述关系可写成
i i ˆ i 1 i 1 i i i 1 Ri 1 i 1 Z
其中
0 0 i 1 Z ˆ i 1 i 1 i 1
图5-6
在方程式5-43两边同时左乘 i 1 i R 可以得到连杆i+1的角速度 相对于坐标系{i+1}的表达式：
U
角速度矢量
角速度矢量用符号 表示。线速度描述了点的一种属性， 角速度描述了刚体的一种属性。坐标系总是固连在刚体上， 所以可以用角速度描述坐标系的旋转运动。
A B 描述了坐标系{B} 在图5-2中， 相对于坐标系{A}的旋转。实际上 A B 的方向就是{B}相对于{A}的
瞬时旋转轴 ， A B 的大小表示旋 转速度。角速度矢量同样可以在任 C A 意坐标中描述，例如， B 就是 坐标系{B}相对于{A}的角速度在坐 标系{C}中的描述。
- l2 s12 l2c12
（5-67）
雅克比矩阵参考坐标系的变换
已知坐标系{B}中的雅克比矩阵，即
我们关心的是给出雅克比矩阵在另一个坐标系{A}中的表达 式。由于
因此可以得到
显然利用下列关系可以完成雅克比矩阵 参考坐标系的变换：
5.9 作用在操作臂上的静力
操作臂的链式结构自然让我们想到力和力矩是 如何从一个连杆向下一个连杆传递的。我们要 做的是求出保持系统静态平衡的关节扭矩。 我们为相邻杆件所施加的力和力矩定义一下特 殊符号： f i =连杆i-1施加在连杆i上的力 n i=连杆i-1施加在连杆i上的力矩。
0 0 0 2 0 1 1 （ 5-50 ） ω v1 0 （5-51） 2 1 0 （5-52） θ θ 0 1 2 1
c2 2 v 2 s2 0
5.4 对角速度的进一步研究
前一节用几何方法证明了式(5-10)的有效 性，这里将引入数学方法 正交矩阵导数的性质 我们可以推出正交矩阵和某一反对称矩 阵的一种特殊关系。对于任何n×n正交 T RR I n （5-14） 矩阵R，有 当n=3，R为特征正交矩阵R，即旋转矩 阵，对式（5-14）求导得
功具有能量的单位，所以它在任何广义坐标系 下的测量值都相同。特别是在笛卡尔空间做的 功应当等于关节空作的功
式中F是一个作用在末端执行器上的6×1维笛卡尔力-力矩质 量，δχ是一个作用在末端执行器的6×1维无穷小笛卡尔位移 矢量，τ是6×1维关节力矩矢量，δθ是6×1维无穷小的关节 位移矢量。式(5-91)也可写成
反对称阵和矢量积
如果反对称阵S的各元素如下：
0 S Ωx - Ω y - Ωx 0 Ωx Ωy - Ωx 0
(5-25)
定义3×1的列矢量 容易证明 SP Ω P
Ωx Ω Ω y (5-26) Ωz
(5-27)
式（5-55）即为答案。为了得到这些速度相对 于基坐标的表达，用旋转矩阵 0 3 R 对它们作旋 转变换，即
c12 0 0 1 2 s R R R R 3 1 2 3 12 0 s12 0 c12 0 0 1
（5-56）
通过这个变换可以得到 l s θ - l1s1θ 1 2 12 1 θ2 0 l c θ θ v3 l1c1θ 1 2 12 1 2 0

B
VQ

B
dt
Q
给出速度表达式
A B

B VQ A R VQ B

经常讨论的是一个坐标系元旦相对于某个常见的世界参考坐 标系的速度，而不考虑任意坐标系中一般点的速度。对于这 种情况定义一个缩写符号
vC VCORG
那么 AvC 是坐标系{C}的原点在坐标系A中表示的速度，尽管 微分是相对于坐标系{U}进行的