二次函数与一元二次方程ppt

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《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件

情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，

《二次函数与一元二次方程的关系》PPT赏析

有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
深入理解
1.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t=0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7 （2）∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地意味着h=0, 即－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0（舍去），t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何 ?
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程.
2. 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的取值范围.
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7） =49＋28k＞0，得k＞－ 9 ． 4
正确解法：
此函数为二次函数，
二次函数与一元二次方程的关系
情境导入
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.

九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件

2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2．（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如能，需要多少飞行时间？
归纳一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知：（1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0，因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根．（2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？

沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程课件(共24张PPT)

第21章二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系：一般地，关于x的一元二次方程的根，就是二次函数的值为0时自变量x的值，也就是函数的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思考：如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.

人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件

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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第3课时
学习目标典例精讲课堂小结随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)

当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两个公共点，最少没有公共点.
O

二次函数与一元二次方程、不等式_课件

对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
拓展练习变式训练2：解下列不等式：
∴原不等式的解集为
拓展练习变式训练2：解下列不等式：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上，故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集为
知识拓展
简单高次不等式的解法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程

《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件

有两个不相等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点有两个相等的实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.

《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件

虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个

交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)

课件《二次函数与一元二次方程》优秀课件完美版_人教版1

（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
新知讲解
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程（1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
x －6x＋9=0有两个相等的实数根3. 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
与一元二次方程小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.
x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示
，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（（2）正确作出点M，N；
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根. （3）球的飞行高度能否达到20.
)
（3）写出方程的根为-0. t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 解：（1）当h=15m时，
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
(1)y＝x2＋x－2；

《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT课件高中数学人教版

恒成立问题：
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0，即aa<－0，22－4a－2≤0，整理得aa<＋0，22≤0，解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【新教材】人教A 版（20 19）高中数学必修第一册课件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【新教材】人教A 版（20 19）高中数学必修第一册课件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【新教材】人教A 版（20 19）高中数学必修第一册课件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0，解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】

(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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(用)二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件-新版.ppt

2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（2，0）；与 y 轴的交点为（0，6）。（2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说（1）与（2）之间的联系吗？
6
o2 x
方法与规律：一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0）， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？