人教A版数学选修33 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用
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富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
猜想：V+F-E=2
三、合作探究，研究问题
（二）研究更多非常见实例，进一步验证猜想
猜想成立！
三、合作探究，研究问题
（三）大胆质疑，找找反例
V+F-E=0 猜想不成立！
三、合作探究，研究问题
（四）完成猜想，形成结论 简单多面体：
非单多面体：
V+F-E=2
三、合作探究，应用问题
（一）探究正多面体的种数
仅有上面1～3的信息，能不 能求出足球共有多少个面？
三、分组讨论，提出问题
多面体的顶点数，面数，棱 数之间有没有特定的联系？
三、合作探究，研究问题
（一）从实例出发，观察已知何体，进行猜想
几何体 四方尖塔 正五棱锥 正六棱柱 八角鼓
顶点数V 9 6 12 24
面数 F 9 6 8 18
棱数 E 16 10 18 40
足球表面有正五边形12个，正六边形20个！
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
每个面的 边数（n ）
3
每个顶点连 有的棱数
（m ）
3
多面体的 棱数（E ）
6
多面体的顶 点（ V）
4
4
3百度文库
12
8
3
4
12
6
5
3
30
20
3
5
30
12
多面体的面 正多面体的
数（ F）
名称
4
正四面体
6
正六面体
8
正八面体
12
正十二面体
20
正二十面体
三、合作探究，应用问题
（二）探究足球表面有多少个正五边形 1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正五边形、二个正六边形。
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
猜想：V+F-E=2
三、合作探究，研究问题
（二）研究更多非常见实例，进一步验证猜想
猜想成立！
三、合作探究，研究问题
（三）大胆质疑，找找反例
V+F-E=0 猜想不成立！
三、合作探究，研究问题
（四）完成猜想，形成结论 简单多面体：
非单多面体：
V+F-E=2
三、合作探究，应用问题
（一）探究正多面体的种数
仅有上面1～3的信息，能不 能求出足球共有多少个面？
三、分组讨论，提出问题
多面体的顶点数，面数，棱 数之间有没有特定的联系？
三、合作探究，研究问题
（一）从实例出发，观察已知何体，进行猜想
几何体 四方尖塔 正五棱锥 正六棱柱 八角鼓
顶点数V 9 6 12 24
面数 F 9 6 8 18
棱数 E 16 10 18 40
足球表面有正五边形12个，正六边形20个！
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
每个面的 边数（n ）
3
每个顶点连 有的棱数
（m ）
3
多面体的 棱数（E ）
6
多面体的顶 点（ V）
4
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3百度文库
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8
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5
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多面体的面 正多面体的
数（ F）
名称
4
正四面体
6
正六面体
8
正八面体
12
正十二面体
20
正二十面体
三、合作探究，应用问题
（二）探究足球表面有多少个正五边形 1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正五边形、二个正六边形。
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。