消费者理论：对偶与显示偏好

应用：从v到u
由直接效用函数的求解，
p i
u / xi x ju / x j
j
21
反需求函数 pi pi (x)
Hotelling’s Lemma：
x
n
p
0有
v(p,px)u(x)
如果 p 0 v(p,px)u(x)
u(x)m in v(p,px) p0
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从间接效用函数到直接效用函 数
将收入标准化为1，则： 从而，直接效用函数为：
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定理
u ( x )在
n 上拟凹而且可微，一阶偏导严格
为正，那么间接效用函数 v(p,p x)在
严格递增。 m(p,x)是效用函数的正单调变换。
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应用：货币测度的效用函数
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数 例1：已知两商品经济下的支出函数为
e(p1,p2,u) = Kp1ap21-au 求相应的间接效用函数、直接效用函数、货币测度的效用函数、
需求函数 m = e(p, u)；v(p,m)=u，则有：
m(p,x) ≡ e(p, u(x))
称上述m(p,x)为货币测度的直接效用函数
Min z0 p•z
s.t. u(z) u(x)
z
x
8
货币测度的间接效用函数
给定p，对于(q,m)，至少需要多少货币才能 达到(q,m)下所能达到的效用水平？
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m))
称上述u(p;q,m)为货币测度的间接效用函数
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数
例2：已知两商品经济下的效用函数为
u(x1,x2) = (x1a+x2a)1/a 求相应的需求函数、货币测度的直接和间接效用函数
由支出最小化，可得e(p,u)= (p1b+p2b)1/b u 从而， 替换v(p,m)=u，则有：
v(p,m) = m (p1b+p2b)-1/b 又由Roy恒等式，可得x1(p,m), x2(p,m) 再由货币测度的直接效用函数的定义，有：
Roy恒等式
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等 式
恒等 式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
h (p, u )
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定理
u(x)在
n
上拟凹而且可微，一阶偏导严格为
正，那么间接效用函数 v(p,px)在
n
上取得
最小值，并且有：
u(x)min v(p,px) p0
微观经济学:对偶与显示偏好
（Consumer’s Theory ）
What have we learned?
马歇尔需求函数与间接效用函数 希克斯需求函数与支出函数 几个重要的恒等式 需求函数的性质与禀赋
2
补充：Hicks补偿与Slutsky补 两种补偿概念： 偿
Hicks补偿：在新价格水平下，保持原来的效用 水平，收入必须发生的变化
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等Biblioteka Baidu
式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
恒等 h ( p , u ) 式
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间接效用函数与偏好
UM P
v(p, y)
偏好
EMP
e(p, u )
从间接效用函数能够恢复其偏好关系
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小结
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
n
上取得最小值，并且有：
u(x) min v(p) p0
s.t.px 1
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对偶应用：v到u
一个例子：
已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2， 求u(x1,x2)
Min p : v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2 st.:p1x1+p2x2=m
20
4
x0 xh
x0=x(p0,y) x1=x(p1,y)
xh=h(p1,u0)
x1
=x(p1,y+y)
u1 u0
x1
x1(p1,p20 ,y)
x1h (p1,p20,u1)
x1
对偶与显示偏好
Duality and Revealed Preferences
5
Questions
❖如何从间接效用函数得到直接效用函数？
△m=e(p+△p, u)-e(p, u) x(p+△p, m+△m)=x(p+△p, e(p+△p, u))
Slutsky补偿：在新价格水平下，保持原来的购 买力，收入必须发生的变化
△m= △p.x(p, m)
等价性
3
Hicks补偿
x2 y/p2
p1
x1h (p1,p20,u0)
p
0 1
p
0 2
如果函数v(p, m) 满足间接效用函数的性质 ，那么该函数就是一个间接效用函数，而 且根据上式所构造的函数就是产生该间接 效用函数的直接效用函数。
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直接效用函数的构造: v u
v ( p , y ) m a xu (x ) s .t.p x y
v ( p ,y ) u ( x ) ifp x y
Min z0 p•z
s.t. u(z) v(q,m)
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货币度量的效用函数
含义：在价格p下，消费者需要多少货币才能 与其消费商品束x的境况一样好？
❖m(p,x)类似于支出函数(对p单调、齐次、凹 )
❖m(p,x)还是一个效用函数(当p固定时，对x)
P固定，e(p,u)对u递增。 若偏好满足连续性、严格单调性， e(p,u)对u
v(p,m) = m/(Kp1ap21-a) 又由货币测度的间接效用函数的定义，有：
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = p1ap21-a m/(q1aq21-a)
直接效用函数？
m(p, x) ≡ e(p,u(x))=Kp1ap21-ax1ax21-a
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应用：货币测度的效用函数
m(p,x) ≡ e(p,u(x)) = (p1b+p2b)1/b (x1a+x2a)1/a 以及货币测度的间接效用函数的定义，有：
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u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = (p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bm
小结：e u
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
Roy恒等式
消费者行为理论中的对偶性
❖理性偏好假设是必须的吗？
显示偏好
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货币测度的效用函数
若偏好满足严格单调性，则e(p,u) 对u严格递 增
u(·)对正单调变换具有不变性
用e(p,u)代表效用、偏好
——货币测度的效用函数 (Chap. 7.5)
7
货币测度的直接效用函数
给定p，对于消费束x，为购买与x同样好的 消费束所需要的最小支出？