(导学)10质点运动微分方程

动力学基本定律 质点运动微分方程
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6 质量为m的球A，用两根各长为l的杆支承。支承架以匀 角速度绕铅直轴BC转动。已知BC=2b；杆AB与AC的两端均铰 接，杆重忽略不计。试求杆所受的力。
答案
FAB
ml 2 ( b g ) 2b
;
FAC
ml 2 ( b g ) 2b
。
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2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
y
A r
j
F
v0
O
x A0(b,0)
首先确定质 点A作平面曲线运 动，才能选择平 面直角坐标系。
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将通解求导： x c1 sin t c2 cos t 将初始条件：t=0，x=b，y=0，x 0
y c3 sin t c4 cos t
M at
d2 x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy dt d2 z m 2 Fy dt
d2 s m 2 Ft dt
空间曲线
Ft
m
v2
0 Fb

Fn
运动轨 迹已知的空 间曲线
极坐标
aθ Fθ
O
ar
M r
q
A
m 2 r 2 Fq dt dt dt
2. 基本要求 1) 通过对质点进行受力和运动分析，建立质点的运动微分 方程。 2) 掌握质点动力学两类基本问题的求解方法。
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3. 典型例题
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例1：质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初速地落 下，试计算图示时刻球面对小球的法向力。 M0 M 解：根据小球的运动轨迹已知，首先求出小 球在切线方向的加速度，积分求得速度，然 θ 后再在法线方向上求法向力。 r
切线方向：
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分（注意分离变量）：
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
M0
FN
M
q dq
g sin q dq r
r 解得法向力：
θ
an
mg
at
q 2 2 g 1 cos q / r
2 法线方向： mq r mg cos q FN
FNB
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aB a A aBAt aBAn （5）
释放瞬时，杆AB的角速度为0，因此 aBAn 0
将式（5）沿杆AB方向投影：
aA
A
aBAt
aB aA B
a B cos q a A sin q
（6）
联立式（3）（4）（6）解得：
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4 重力P=100N的重物用钢绳悬挂于跑车之下，随同跑车以 v=1m/s的速度沿桥式吊车的水平架移动。重物之重心到悬挂点的 距离为l=5m。当跑车突然停止时，重物因惯性而继续运动，此后 即绕悬挂点摆动。试求钢绳的最大张力。设摆到最高位置的偏角 为8°，试求此时的张力。
。
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11如图所示，半径为R的半球形槽以匀角加速度a沿水平面 作直线平动。质点M相对于该槽自M0处由静止开始运动。质点 与槽间的摩擦因数为fs。试建立质点M对弧坐标s的运动微分方 程。
答案
s
fs 2 s s (a gf s ) cos (a gf s ) sin s R R R
答案
（1） j =0°，F=-2.417kN；（2） j =90°，F=0。
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2 一重力P=20N的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台 上如图示，r=1m，圆台无初速开始以a0=0.5rad/s2的匀角加速 度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为fs=0.25，试问经过多 少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当t=2s时，方块与台 面间的摩擦力多大？
FN mg 3cos q 2
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例2：质点A的质量为m，受指向原点O的引力 F kr 的作用， r 是质点A对点O的矢径，k为比例常数，如图所示。初瞬时的 质点A0的坐标为x=b，y=0，而初速度的分量vx=0，vy=v0。试求 质点A的运动规律和轨迹。 解: 本题属于已知力求运动。取质点A为研究 对象。由于质点A所受的力F与其初速度共面。 故质点在Oxy平面作平面曲线运动。将质点A放 在任意位置，进行受力分析和运动分析。根据 直角坐标形式的质点运动微分方程：
mx F cos j kr cos j kx my F sin j kr sin j ky 2 2 x x0 k m 令： 2 y y0 x c1 cos t c2 sin t 其通解为： y c3 cos t c4 sin t
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动力学
叙言
动力学基本定律 质点运动微分方程 目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2. 基本要求… … … … … … … … … … … … … 5 3. 典型例题… … … … … … … … … … … … … 6
1) 动力学的基本定律 第一定律 惯性定律：任何物体，若不受外力作用，将永 远保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 力与加速度关系定律 ：质点的加速度大小与 所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度方向与 力的方向一致。 适用于惯性参考系 F ma 第三定律 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是 大小相等，方向相反，沿同一作用线，且同时分别作用于两个 物体上 。
FAB 3 mg sin q mg 2
FAB为正值，表明图中假设指向与实际一致，杆AB受压。
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4. 补充习题
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1 在曲柄滑道连杆机构中，活塞和活塞杆共重为500N。曲 柄长OA=30cm，绕轴O作匀速转动，其转速为n=120r/min。试 求当j =0°及j =90°时，作用在活塞上的水平力。
答案
缩短37.5m。
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9 伞兵带降落伞从高空无初速落下。伞兵体重P=650 N，所受空气阻力F=cAv2/2，其中，c为无因次的阻力系数，A 为垂直运动方向的最大截面积，为空气密度。已知对完全张开 的球面降落伞而言，c=0.98，A=50m2；在标准状态下=1.25 N· s2/m4。试求伞兵下降的极限速度和速度达到95%的极限速度 时所需的时间。
2 d2 r d q m 2 r Fr dt dt d r dq d2 q
平面曲线
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3) 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动 （包括质点的加速度、速度和运动规律等）。
答案
=12rad/s。
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14 图示水平圆盘以匀角速度绕轴O转动。在圆盘上沿某 直径有滑槽，一质量为m的质点M在光滑槽内运动。如质点在开 始时离轴心的距离为a，且无初速度。试求质点的相对运动规律 和槽的水平约束力。
g e
。
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8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN，其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比，为 FR=kv2，单位为N，阻力方向与速度方向相反，其中，k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞，采用弹射器以减少飞机的滑行路 程，假定弹射器的附加推力等于F2＝4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少？
maB mg FNB FAB
A B
（2）
FNA
q
将式（1）向铅垂方向投影，式（2） 向水平方向投影： ma A mg FAB sin q （3） （4） cos q maB FAB
mg A
aA
FAB
FAB
mg Ba B
式（3）和式（4）式共有三个未知量，还需要通 过加速度关系补充方程。
4. 补充习题… … … … … … … … … … … … …12
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叙言:1.动力学的研究对象:1)质点；2)质点系； 3)刚体 2. 动力学研究的任务:研究作用于物体的力与物体运 动变化之间的关系，即建立力和运动之间的关系。 1.内容提要
答案
（1） vm=4.66m/s；（2） t=0.869s。
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10 单摆长l，摆锤重P，支点B具有水平的匀加速度a，如图 所示。如将摆在q＝0处释放，试将摆绳的张力F表示为q的函数 。
答案
a a FN P(3 sin q 3 cos q 2 ) g g
y v0 代入得积分常数：
c1 b, c2 c3 0, c4 v0
最后得质点A的运动规律：
x b cos k t, m y v0 m k sin t k m
消去时间t可得轨迹方程：
x百度文库 k y 2 1 2 2 b m v0
质点A的轨迹为椭圆。
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答案 t=3.10s，F=2.28N。
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3 小球重力为P，以两绳悬挂。若将绳AB突然剪断，试求 小球开始运动瞬时绳AC中的拉力；另求小球A运动到铅垂位置 时，绳中的拉力为多少？
答案 （1） FT=Pcosa；（2） FT=P（3-2cosa）。
答案
Fmax=102kN，F=99kN。
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5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动， OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为fs，为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大？
答案

gf s 2l
。
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7 如图所示，半径为R的偏心轮绕轴O以匀角速度转动， 推动导板沿铅直轨道运动。导板顶部放有一质量为m的物块A， 设偏心距OC=e，开始时OC沿水平线。试求：（1） 物块对导板 的最大压力；（2） 使物块不离开导板的最大值。
答案
2 （1）FN max m( g e ) ；（2） max
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例3：小物块A和B的质量均为m，以细杆AB光滑铰接，置于光滑的 水平和铅垂面上，如图所示。如果不计细杆的质量，在q=600时静 止自由释放，求此瞬时杆AB所受的力。 解: 为了求杆AB所受的力，可分别取小物块A和 B为研究对象，由于不计杆的质量，杆AB是二力 杆，物块A和B的动力学方程为： ma A mg FNA FAB （1）
。
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12 铁轨沿经线铺设，质量m=2×106kg的列车，以v= 15m/s的速率自南向北行驶，某瞬时经过北纬60°。试求该瞬 时列车对铁轨之侧向压力。
答案 F=3.86kN。
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13 图示离心调速器，表示小球位置的角度坐标q取决于 调速器的角速度及作用于轴承A的力F。若小球质量m=10kg， F=150N，各杆长20cm（不计杆重），试求q=30°时调速器的 角速度。