(导学)10质点运动微分方程
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
(11.6)
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律,即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度,求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程,则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度,代 入适当形式的质点运动微分方程,得到一个代数方程组, 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上,1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的,通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态, 动的状态,直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性, 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动,因此第一定律又称 惯性运动, 惯性运动 惯性定律。此定律表明:质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时,也就是受到外力的作用时,才会改变其运动状态, 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m,忽略摩擦及连 杆AB的质量,试求当 t 0 和 时,连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解:
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象,当φ=ωt 时,受力 如图。连杆应受平衡力系作用,由于不计连 杆质量,AB 为二力杆,它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解: 以弹簧未变形处为坐标原点O,物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ,弹簧 力大小为 F k x ,并指向点O,如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连,如图所示。物块
质量为 m ,弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时, 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题:已知质点的运动,求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程,通过其对时间微分两次得到质 点的加速度,代入质点运动微分方程,就可得到作用在质点 上的力。
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律,质点的加速度与作用在质点上的合力成正比,与质点的质量成反比。
因此,可以得到质点的运动微分方程为 F = ma,即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t),其中 F表示作用在质点上的合力,m表示质点的质量,v(t)表示质点的速度,x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式,从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用,例如在运动学、力学、电学、热学等方面,都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解:
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动: 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x (特征根法) 0 m 1 0 2 m
§1.5 质点运动微分方程
§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧)已知力求运动规律()已知运动规律求力(21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x(※) (※)是二阶微分方程组,给出所有可能的运动,经两次积分,存在六个积分常数,满足(※)式的解有若干个;任何质点的实际运动,在任意时刻都有确定的位置和速度,通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数,定出唯一解(满足初始条件),给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程(1)约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ,如0),,,(=t z y x f ;质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度;约束的数学意义是几何曲线或曲面,物理意义为约束反作用力;约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量,不完全由约束而定,与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f (约束方程) 两个自由度 四个方程(2)内禀方程约束力处于法向平面内(,29p 图1.5.1),这时0=b a ,()n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意:在理想约束情况下,运动规律和约束反作用力可以分开求!由(1)式求出运动规律 (),,,z y x v ⇒将v 代入(2)式,利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒;由(3)b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出! 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束,即有摩擦存在时,切向方程中增加R f μ=一项,这时运动规律和约束反作用力不能分开求了! 3、运动微分方程的解理论力学中,常见变力,)t ,r,r (F形式复杂;求解二阶微分方程组,则 (1)隔离物体,具体分析(受力,已知,未知);(2)选取坐标系,建立微分方程组(力学问题⇒数学问题); (3)根据初始条件求解方程组; (4)分析结果,阐明物理意义。
10 质点运动学的基本方程
<1>
ma n = ∑ Fn
15
例题
质点动力学
例 题 2
⑤求解未知量
v2 由< 2 > 式得 T = G (cosϕ + ) , gl 其中 ϕ ,v为变量 . 由 < 1 > 式知 重物作减速运动 ,
因此 ϕ = 0时 , T = Tmax
T max
2 v0 = G (1 + ) gl
[注]①减小绳子拉力途径:减小跑车速度或者增加绳子长度。 注 ①减小绳子拉力途径:减小跑车速度或者增加绳子长度。 拉力T 由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 ②拉力 max由两部分组成 一部分等于物体重量 称为静拉力 一部分由加速度引起,称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。 一部分由加速度引起,称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
牛顿定律成立的条件为惯性参考系
惯性参考系: 惯性参考系:固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速 直线平移的坐标系。 直线平移的坐标系。 一般将固定于地面的坐标系作为惯性参考系。 一般将固定于地面的坐标系作为惯性参考系。
7
§10-2 质点运动微分方程的形式 10表示为微分形式的方程, 将动力学基本方程 (ma = F ) 表示为微分形式的方程,称为 质点的运动微分方程。 质点的运动微分方程。 一、质点的运动微分方程 1.矢量形式 矢量形式 n d 2r m 2 = ∑ Fi ( 式中 r = r (t ) 为质点矢径形式的运动 方程 ) dt i =1 2.直角坐标形式 直角坐标形式
n d 2x m 2 = ∑ Fxi i =1 dt n d2y m 2 = ∑ Fyi i =1 dt n d2y m 2 = ∑ Fzi dt i =1
第4章理论力学习题解
4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动,质点的质量为m ,比例系数为k ,如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动,求其到达O 点所需的时间。
解:质点受引力为:xk F -=,其运动微分方程为:xk tm-=d d v (1)即: x k xm -=d d v v分离变量积分:⎰⎰-=x axx k m d d 0v v vxa k m ln212=v)ln(2d d xa mk tx -==v (2)(v 与x 反向,取负值) )ln00ln ),0((∞→→>∴∈xa x xa a x令:y ayex aex xa y yyd 2d )ln(22---===,代入(2)式得;mk ty aey2d d 22-=-分离变量积分:)0:0:(∞→→y a x⎰⎰=-∞t yt mk y ea 0d 2d 22t mk a22π2=故到达O 点所需的时间为: km a t 2π=4.2一质点受力3K xa x F +-=作用,求势能)(x V 与运动微分方程的解。
解:C x a x x xa x x F x V ++=+--=-=⎰⎰2232K 21d )K (d )(适当选取势能零点,使0=C ,则222K 21)(xa x x V +=机械能 =++=2222K 2121xa x xm E 常量 (1)将(1)改写成2222K 242xa x E xm --= (2)质点运动微分方程:32K xa x xm +-= 22K 22xa x xmx +-=⇒ (3)(3)+(2)得22K 44)(2x E xx x m -=+ 即0)K(K 4d d 2222=-+E x mtx (4)(4)式通解:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=02 K2cos K θt m A Ex当0=x时,222K 21xa x E += 解得KK K)(2max 2a EE x -+=,KK 2aEA -=所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=022K2cos KK Kθt m aE E x4.3若质点受有心力作用而在圆θcos 2a r =上运动时,则5228rh ma F -=,式中m 为质量,h 为速度矩。
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2,于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
(3)列运动方程求解,由于火箭作直线运动,
火箭的直线运动微分方程式为:m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次,定律还指出,若质点的运动状态发生改 变,必定是受到其他物体的作用,这种机械作用就 是力。
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的 力的大小,加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m,所受的力为F,由于力F的
作用所产生的加速度为a,如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题,由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下:
(1) 取研究对象并视为质点; (2)分析质点在任一瞬时的受力,并画出受力图; (3) 分析质点的运动,求质点的加速度; (4) 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭,如图10-6所示。若不计空气阻力,火箭所
解:取质量块为研究对象,并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动,弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧,图10-8(b)是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ,任意位置时弹
a
在静力学中,我们研究了力系的简化和平衡问题, 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中,我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征,并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此,静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10-3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a,圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象,受力图如图所示,物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力,加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10-1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义:
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生,同瞬时 消失;力变化时,加速度随着变化; 若合力为零,质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10-3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量,ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大,或质量分布离转轴愈 远,则转动惯量就愈大;反之,则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影,Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10-2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题:
(1) 已知运 动求力; (2) 已知力 求运动。
ma F
此外,尚有虚位移原理(分析力学一部分)——用动力学方法求解静力学 问题。
6
(动)力学原理分类:
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式(如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程) 变分形式(如虚位移(功)原理、动力 学普遍方程) 非变分形式(如普遍定理、能量守恒原理) 变分形式(如哈密顿原理)
8
三、质点运动微分方程(动力学基本方程)(指惯性参考系下)
即牛二定律的微分形式: ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业:11-3, 11-4
10
如此诸多名称,你一下子记不住,可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础(相当于静力学的公理)
复习或简介以下内容:
一、牛顿三大定律: 请同学叙述,请其他同学回答叙述是否正确。
问题:牛顿定律对刚体是否成立?
二、(运动)参考系:
提问:①什么是惯性参考系和非惯性参考系?一般如何确定惯性参考系?
4
哲 学 家 云: 静止是相对的,运动是绝对的 物理学家云:静止是相对的,运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
(动)点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F,N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下,这时FN =0,于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比:F=cv,c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平
匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁球应在θ=θ0 时(如图)才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动, 当铁球到达某一高度时,会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq,将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围: 惯性坐标系; 速度远远小于光速; 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
精品课件-理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律(力与加速度关系定律):
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比,与物体的质量成反比,方向与力的方向相同。 在外力作用下,物体所获得的加速度不仅与外力有关, 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不, 变 a , m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不, 变 a, m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点:质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系:系统内包含有限或无限个质点,这些质点都具有惯性, 并占据一定的空间;质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二: mx Fx kx
my Fy ky
(1) m x kx
(导学)10质点运动微分方程
g e
。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
20
8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN,其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比,为 FR=kv2,单位为N,阻力方向与速度方向相反,其中,k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞,采用弹射器以减少飞机的滑行路 程,假定弹射器的附加推力等于F2=4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少?
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
(自然法)
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案
Fmax=102kN,F=99kN。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
17
5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动, OA=AB=l,石料与筛盘间的摩擦因数为fs,为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大?
答案
gf s 2l
。
工程力学导学 动力学
切线方向:
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分(注意分离变量):
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
10 质点的运动微分方程
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式(2),有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时, y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得:
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt (4) 2 式(3)、(4)为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10- 3质点动力学两类基本问题 10-
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题,解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律,求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算,故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力,求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分,故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外,还 须给运动的初始条件,这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1.选择题 (1)如图所示,质量为m的质点受力F作用,沿平面曲线运 动,速度为v。试问下列各式是否正确?
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A.a、b都正确。 B.a、b都不正确。 C.a正确,b不正确。 D.a不正确,b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将(3)式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上:
关于质点系运动微分方程的应用
应用质点系运动微分方程的研究技术一、质点系运动微分方程的定义质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程。
它是一种描述物体运动的微分方程,可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
它是一种描述物体运动轨迹的一般微分方程,可以用来解决质点系的运动问题,它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
质点系运动微分方程的定义是:当物体处于一定的空间中,它的运动轨迹可以用一个特殊的微分方程来描述,这个微分方程就是质点系运动微分方程。
它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成,这些函数可以是时间函数、位置函数或速度函数等,只要它们满足物体运动的物理规律。
例如,用质点系运动微分方程来描述一个抛物运动的物体,可以得到一个如下的微分方程:\frac{d^2x}{dt^2}=-g,其中,g表示重力加速度。
又如,用质点系运动微分方程来描述一个摆动运动的物体,可以得到一个如下的微分方程:\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(x),其中,g表示重力加速度,l表示摆的长度。
总之,质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程,它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成,它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
二、质点系运动微分方程的常见形式质点系运动微分方程是一组常见的微分方程,它们描述了质点系的运动。
它们的形式是一般的欧拉方程,也就是一阶微分方程组,其中有n个未知函数,每个函数有m个变量。
它们的具体形式是:$$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$其中,$\mathbf{x}$ 是质点系的状态变量,$\mathbf{f}$ 是质点系的动力学方程,描述了质点系的运动规律。
质点系运动微分方程有许多不同的形式,比如牛顿运动方程,描述了质点受到外力时的运动规律:$$m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$$这里,$m$ 是质量,$\mathbf{F}$ 是外力。
质点运动微分方程
式中:m——质点的质量; F——作用于质点上的所有力的合力; a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据,称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程,当质点不受力的作用(合力为零)时,其
加速度必为零,此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时,质量大的加速度小,说明其运动状态不容易改变,即它的 惯性大;质量小的加速度大,说明其运动状态容易改变,即它的 惯性小。因此,质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时,e-kt→0,由v=v0e-kt 可知,活塞的速度趋于零;由上 式可知,此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点,作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示,取活塞初 始位置为坐标原点,建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
,则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心,这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 (如图)的活塞在获得初速度v0后,在液压
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M at
d2 x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy dt d2 z m 2 Fy dt
d2 s m 2 Ft dt
空间曲线
Ft
m
v2
0 Fb
Fn
运动轨 迹已知的空 间曲线
极坐标
aθ Fθ
O
ar
M r
q
A
m 2 r 2 Fq dt dt dt
y v0 代入得积分常数:
c1 b, c2 c3 0, c4 v0
最后得质点A的运动规律:
x b cos k t, m y v0 m k sin t k m
消去时间t可得轨迹方程:
x2 k y 2 1 2 2 b m v0
质点A的轨迹为椭圆。
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工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
16
4 重力P=100N的重物用钢绳悬挂于跑车之下,随同跑车以 v=1m/s的速度沿桥式吊车的水平架移动。重物之重心到悬挂点的 距离为l=5m。当跑车突然停止时,重物因惯性而继续运动,此后 即绕悬挂点摆动。试求钢绳的最大张力。设摆到最高位置的偏角 为8°,试求此时的张力。
4. 补充习题… … … … … … … … … … … … …12
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3
动力学
叙言:1.动力学的研究对象:1)质点;2)质点系; 3)刚体 2. 动力学研究的任务:研究作用于物体的力与物体运 动变化之间的关系,即建立力和运动之间的关系。 1.内容提要
动力学基本定律 质点运动微分方程
18
6 质量为m的球A,用两根各长为l的杆支承。支承架以匀 角速度绕铅直轴BC转动。已知BC=2b;杆AB与AC的两端均铰 接,杆重忽略不计。试求杆所受的力。
答案
FAB
ml 2 ( b g ) 2b
;
FAC
ml 2 ( b g ) 2b
。
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FN mg 3cos q 2
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8
例2:质点A的质量为m,受指向原点O的引力 F kr 的作用, r 是质点A对点O的矢径,k为比例常数,如图所示。初瞬时的 质点A0的坐标为x=b,y=0,而初速度的分量vx=0,vy=v0。试求 质点A的运动规律和轨迹。 解: 本题属于已知力求运动。取质点A为研究 对象。由于质点A所受的力F与其初速度共面。 故质点在Oxy平面作平面曲线运动。将质点A放 在任意位置,进行受力分析和运动分析。根据 直角坐标形式的质点运动微分方程:
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动力学基本定律 质点运动微分方程
2
动力学
叙言
动力学基本定律 质点运动微分方程 目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2. 基本要求… … … … … … … … … … … … … 5 3. 典型例题… … … … … … … … … … … … … 6
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动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
(自然法)
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案 t=3.10s,F=2.28N。
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动力学基本定律 质点运动微分方程
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3 小球重力为P,以两绳悬挂。若将绳AB突然剪断,试求 小球开始运动瞬时绳AC中的拉力;另求小球A运动到铅垂位置 时,绳中的拉力为多少?
答案 (1) FT=Pcosa;(2) FT=P(3-2cosa)。
切线方向:
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分(注意分离变量):
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
M0
FN
M
q dq
g sin q dq r
r 解得法向力:
θ
an
mg
at
q 2 2 g 1 cos q / r
2 法线方向: mq r mg cos q FN
答案
(1) vm=4.66m/s;(2) t=0.869s。
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10 单摆长l,摆锤重P,支点B具有水平的匀加速度a,如图 所示。如将摆在q=0处释放,试将摆绳的张力F表示为q的函数 。
答案
a a FN P(3 sin q 3 cos q 2 ) g g
2. 基本要求 1) 通过对质点进行受力和运动分析,建立质点的运动微分 方程。 2) 掌握质点动力学两类基本问题的求解方法。
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3. 典型例题
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例1:质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初速地落 下,试计算图示时刻球面对小球的法向力。 M0 M 解:根据小球的运动轨迹已知,首先求出小 球在切线方向的加速度,积分求得速度,然 θ 后再在法线方向上求法向力。 r
maB mg FNB FAB
A B
(2)
FNA
q
将式(1)向铅垂方向投影,式(2) 向水平方向投影: ma A mg FAB sin q (3) (4) cos q maB FAB
mg A
aA
FAB
FAB
mg Ba B
式(3)和式(4)式共有三个未知量,还需要通 过加速度关系补充方程。
y
A r
j
F
v0
O
x A0(b,0)
首先确定质 点A作平面曲线运 动,才能选择平 面直角坐标系。
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动力学基本定律 质点运动微分方程
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将通解求导: x c1 sin t c2 cos t 将初始条件:t=0,x=b,y=0,x 0
y c3 sin t c4 cos t
mx F cos j kr cos j kx my F sin j kr sin j ky 2 2 x x0 k m 令: 2 y y0 x c1 cos t c2 sin t 其通解为: y c3 cos t c4 sin t
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例3:小物块A和B的质量均为m,以细杆AB光滑铰接,置于光滑的 水平和铅垂面上,如图所示。如果不计细杆的质量,在q=600时静 止自由释放,求此瞬时杆AB所受的力。 解: 为了求杆AB所受的力,可分别取小物块A和 B为研究对象,由于不计杆的质量,杆AB是二力 杆,物块A和B的动力学方程为: ma A mg FNA FAB (1)
。
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12 铁轨沿经线铺设,质量m=2×106kg的列车,以v= 15m/s的速率自南向北行驶,某瞬时经过北纬60°。试求该瞬 时列车对铁轨之侧向压力。
答案 F=3.86kN。
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动力,表示小球位置的角度坐标q取决于 调速器的角速度及作用于轴承A的力F。若小球质量m=10kg, F=150N,各杆长20cm(不计杆重),试求q=30°时调速器的 角速度。
g e
。
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8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN,其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比,为 FR=kv2,单位为N,阻力方向与速度方向相反,其中,k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞,采用弹射器以减少飞机的滑行路 程,假定弹射器的附加推力等于F2=4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少?
答案
Fmax=102kN,F=99kN。
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5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动, OA=AB=l,石料与筛盘间的摩擦因数为fs,为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大?
答案
gf s 2l
。
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FNB
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aB a A aBAt aBAn (5)
释放瞬时,杆AB的角速度为0,因此 aBAn 0
将式(5)沿杆AB方向投影:
aA
A
aBAt
aB aA B
a B cos q a A sin q
(6)
联立式(3)(4)(6)解得:
1) 动力学的基本定律 第一定律 惯性定律:任何物体,若不受外力作用,将永 远保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 力与加速度关系定律 :质点的加速度大小与 所受力的大小成正比,而与质点的质量成反比,加速度方向与 力的方向一致。 适用于惯性参考系 F ma 第三定律 作用与反作用定律:两物体间相互作用的力总是 大小相等,方向相反,沿同一作用线,且同时分别作用于两个 物体上 。