量子力学(第二章)
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学_第二章_粒子流密度
(9)
2 0
sin n xdx
=
cos n xdx
( n 1)!! n!! 2
n为正偶数 n为正奇数
2 0
(10)
(n 1)!! n!! a0 2 sin ax 0 x dx a0 2
量子力学常用积分公式
(11)
0
e ax x n dx
(4)
x sin axdx
1 1 sin ax x cos ax a a2
2x 2 x sin ax ( 2 ) cos ax a a2 a
2
(5)
x
2
sin axdx
量子力学常用积分公式 (6)
x cos axdx
2
1 x cos ax sin ax a a2
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
量子力学的质量 J 0 守恒定律 t | ( r , t ) |2 i e Je 0 J J ( ) t 2
在空间闭区域τ 中将上式积分，则有：
2 i （ ）d [ ]d t 2 i （ ）d [ ]d t 2
t
闭区域τ 上找到粒 子的总几 率在单位 时间内的 增量 其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
表明电荷总量 不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢 量
e e e | (r , t ) | 2 i J e eJ e ( ) 2
电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
周世勋量子力学课件第二章
单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。
第二章量子力学
原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学导论第2章答案
第二章 波函数与Schrödinger 方程2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V中运动。
（a ）证明粒子的能量平均值为 ω⋅=⎰r d E 3，ψψψψωV m**22+∇=（能量密度）（b ）证明能量守恒公式 0=⋅∇+∂∂s tw⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇∂∂+∇∂∂-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）V T r d V mE +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∇-=⎰322*2ψψ （1） ⎰=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）()()()[]⎰⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=ψψψψψψ**3222*32)(2动能平均值r d mm r d T其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。
因此ψψ∇⋅∇=⎰*322r d mT（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψωV m+∇⋅∇=（4）且能量平均值 ⎰⋅=ωr dE 3。
（b ）由（4）式，得...2**.....2*22**..2222*2222V Vt m t t t tV V m t t t t t t s V V t mt m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ⎡⎤∂∂*∂∂*∂⎢⎥=∇⋅∇+∇⋅∇++∂⎢∂∂⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂*∂∂*∂∂*∂⎢⎥ ⎪ ⎪=∇⋅∇+∇-∇+∇++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂*∂=-∇⋅+-∇++-∇+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-∇⋅+..*t t ψψψψ⎛⎫∂*∂ ⎪+ ⎪∂∂⎝⎭ρt E s ∂∂+⋅-∇=（ρ ：几率密度）s⋅-∇= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂s tw。
2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程()()()()[]()t r r iV r V t r mt r t i ,,2,2122ψψψ++∇-=∂∂（1） 1V 与2V 为实函数。
曾谨言量子力学第2章
ψ1 (15) ψ2 (14)
即 积分得
ψ2ψ1 0 ψ1ψ2
ψ2ψ1) 0 (ψ1ψ2 ψ2ψ1 C ψ1ψ2
--------证毕
束缚态：粒子局限在有限空间中，在无穷远处找到粒子的概率 为零。即
x , ψ ( x) 0
(2)代(1)可得 粒子能量的本征方程
2 d2 V ( x )ψ ( x ) Eψ ( x ) 2 2 m dx
(2)
( 3)
若不作特别说明，有
V ( x) V ( x)
(4)
定理1 设Ψ(x)是方程（3）的解，对应的能量本征值为E，则 Ψ*(x)也是方程(3)的解，对应的本征能量也是E。
相邻能级的宽度与势阱的宽度有关，势阱的宽度越小能级量子化 越明显。 (2)波函数的节点：除端点外，基态(能量最低的态，n=1)无节 点， 第一激发态(n=2)有一个节点, 第n个激发态有n-1个节点。
各能级波函数的节点数位n-1 (3) 波函数在整个空间中连续，但其微商在x=0和x=a点不连续
(4)基态动量波函数问题 Pauli求解
lim V ( x) V , 且V
x
V
确定在一下情况下能量为E的波函数ψ(x)是否为束缚态
(1) E V ; (2) V E V ; (3) V E
2. 证明一维问题的束缚态的能级总是非简并的。 3. 证明在一维定态问题中，当势能V(x)存在有限间断点时， 波函数的一阶导数仍然是连续的。
Pψ ( x ) ψ ( x ) Cψ ( x )
P2ψ ( x ) CPψ ( x ) C 2ψ ( x ) ψ ( x )
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
量子力学_第二章_薛定谔方程
（2）量子力学情况 1．t = t0 时刻，已知初态ψ ( r,t0) 且只知道这样一个初 条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数
2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和 ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次 项，不能含它们的平方或开方项
得到了圆满解决。
（二）引进方程的基本考虑 先回顾经典粒子运动方程 （1）经典情况
dr t t 0时刻，已知初态：0 , p0 m r dt
t t 0
2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程
满足上述构造方程 的三个条件
所以
2 2 i t 2
由引出自由粒子波动方程知 若能量关系式 E = p2/2μ
E p 2 p
（3 ）
讨论：
写成如下方程形式：
i t
p2 (E ) 0 2
做算符替换（4）即得自由 粒子满足的方程（3）
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 U i (ห้องสมุดไป่ตู้ri ) ri
假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
（三）
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学第二章波函数和方程.
（三） 自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
第二章 波函数 和 Schrodinger 方
程
§2.1 波函数的统计解释
子弹
光波
波：I≠I1+I2
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点
的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍
射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
量子力学第2章
第二章：函数与波动方程P69 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([2222=-+ψψx V E m dxd将方程式左边加减相等的量ψC 得:0]})([]{[2222=+-++ψψC x V C E m dxd这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。
设粒子势能的极小值是V min 证明>E n Vmin(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量Ex d r V mE 322*)](2[⎰⎰⎰+∇-=υψψ其中动能平均值一定为正:x d mT 322*)2(⎰⎰⎰∇-=ψψ=⎰⎰⎰∇∇-∇∇-τψψψψd m }][{2**2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇∇+∇⋅∇-τψψτψψd md m*2*22)(2用高斯定理:τψψψψd ms d mT B∇∇+⋅∇-=⎰⎰⎰⎰⎰*2*22)(2=⎰⎰⎰∇⋅∇ττψψd m*22中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0>T 因此 V V T E >+=,能让能量平均值 VV min>因此VE min>令ψψn=(本征态)则EnE =而VE n min>得证2.1设一维自由粒子的初态()/00,x ip ex =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t m p x p i et x ψ2.2对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d e p t x i E px ip )()(21),(-∞-∞=⎰=φπψ （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e p x pxip⎰∞-∞==)(21)0,(φπψ （2）但按题意，此式等于)(x δ。
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
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德布罗意
de Broglie
(1892—1987) 因发现电子的波动性 荣获1929年 诺贝尔物理学奖
5
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波 （物质波）的频率及波长为
E h
p
h p
2ห้องสมุดไป่ตู้
例：
自由粒子 则波长
E
h p
2m
h 2mE
k
其中：
i
i
yi
j
zi
一般方法：根据非相对论能量动量关系式（体 系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替 能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量 子体系所满足的薛定谔方程。
31
注： （1）方程不是由更基本的假定从数学上严格推 导出来的。它是量子力学的一个基本假定。 （2）方程为什么不是时间t 的二阶导数？
1 2 π
e
px Et
C
1 p,t 2 π
3 2
x , t
* p
( x )d x
26
注：（1）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线 性叠加，而不是概率的叠加。
（2）同一量子态可用不同形式的波函数表示。
2
9
又因洛伦兹力
q c vB
q F v B ，使粒子做圆周运动. c
mv r
2
v
q Br mc
与玻尔量子化条件联立,得
r
2
1 2c n 2 q B
所以,粒子能量可能值为
En 1 2 mv
2
(n
1 2
q B ) mc
( n 0 , 1, 2 , )
P 点电子流的强度
πd I 4 I 0 cos ( sin ) q
2
当 sin q
nd
此结果为实验所证实. 实验证明：电子、质子、原子、分子等都具有波 动性；波动性是物质粒子普遍具有的。 戴维孙、汤姆孙 因电子衍射实验 获1937年诺贝尔 物理学奖
( n 0,1, 2,
)
时,电子强度为极大,
22
[例题] 将波函数 f x exp a 2 x 2 2 归一化
解： 设归一化因子为C，则归一化的波函数为
( x ) C exp( a x
2 2
2)
由
(x)
C
2
d x 1
计算积分得
2
a
π
,所以，C
a
π
e
iδ
取 d＝0，则归一化的波函数为
(x)
19
设波函数 x, y, z, t
t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内 的概率
dW
x, y, x,t
C
x, y, z,t
2
dxdydz
概率密度：
w x, y, z, t dW dV C
x, y, z,t
2
3.波函数的性质
17
2. 概率波 德布罗意：“物质波”不是经典波所代表的某种物 理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波， 把粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一了起来。 电子衍射实验：
电子枪
电子束
金箔 屏
18
因为x处的强度 ∝ x处感光点子数 ∝ x处电子数
∝ 电子出现 x 处的几率 又因为强度 ∝ 波幅平方 所以，电子在t 时刻，x处的概率∝电子波函数的模方 玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出 现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间 出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
体系的能量 作代换 薛定谔方程：
i t
n
n
E
i 1
2 pi 2mi
t
U
x1 , x 2 , , x n
E i
p i i
i
i 1
2
2mi
xi
i U
2
x1 , x 2 , , x n
RETURN
Clinton Davisson 1881—1958
15
二、 波函数
量子力学基本假说之一 ： 一切微观粒子的状态可用相应的波函数 来描写. 自由粒子：
E, p
是常量 v , k
对应
是常量
平面波
自由粒子平面波函数
p r E t (r , t) A e
第二章 一、波粒二象性
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
1. 光的波粒二象性
光子的能量和动量
E h
h h p n n k c
(
2π k n 其中
，
h 2π
1 .0 5 4 5 1 0
34
J s
)
4
2.微观粒子的波粒二象性
l
1 q p d l mv A dl n h l c 2
于是，
A dl
l
S
2 A dS= B dS= πr B
S
1 m v 2πr πr B n h c 2 q
i
如：平面波函数 A e
p r E t
* p
r , t
p
p p x 2 dx r , t dx A e
i
21
1 2 A 2 π 2π
i
e
p
p x
RETURN
a
π
exp( a x
2
2
2)
23
§2.2 态叠加原理
一、量子态
二、态叠加原理——量子力学假设之二
RETURN
24
§2.2 态叠加原理
一、量子态： 波函数描写体系的量子状态。
二、态叠加原理——量子力学假设之二
量子力学叠加原理： 如果 1 和 2 是体系的可能态，则它们的 线性叠加 c 1 1 c 2 2 也是体系的可能态。 设 1 态中测力学量A值为 a1， 2 态中测力学量 A值为a2 ,则 c 1 1 c 2 2 态中测A 结果既可能 是 a 1，也可能是 a2 。或：体系处于态时，体系既 处在态 1 ,又处在态 2 。
1
第二章
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
§2.2 态叠加原理 §2.3 含时薛定谔方程 §2.4 定态薛定谔方程 §2.5 薛定谔方程的简单应用
§2.6 势垒贯穿 §2.7 例 题
RETURN
2
§2.1 波函数及其统计解释 一、波粒二象性
二、波函数
三、波函数的统计解释
RETURN
3
x,t C p,t
x,t 与 C
C
——坐标表象
——动量表象
p , t 是互为付氏变换式。
i p x x 3
p,t
C
的归一性：
p
2
dp
d p d x d x
2
a
E
π 2ma
2
2 2
n
2
2m
——能量不连续
7
[例题] 氢原子的角动量。 解： 驻波条件：轨道圆周长= n倍周长
2p r n ( n 1, 2 … )
德布罗意关系：
h p hmv
所以，角动量为 驻波
L rp nh 2π n
角动量是量子化的 [问题] 物质粒子既然具有波动性，为什么 过去长期把它们看成经典粒子？ 8
电子在电场中 则波长
E eU
h 2em U 1 2 .2 6 U V
6
nm
定态 驻波
[例题] 粒子在无限深势阱中运动。
解：n =0，a，为节点
驻波条件： n 所以
2 a n 1, 2 , 3,
n
p h
2
2a
n nh
p
o
2 2
2a
n h 8m a
一、方程的建立
量子力学基本假设之三： 量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程. 1.含时薛定谔方程
（1） 单粒子体系的薛定谔方程
i t
2
U
2
2m
x
r [建立] 设粒子在势场 U x 中运动，则粒子能量
E 2 p 2m U
x
29
由
作代换
x 2 d A 2 πδ p p
取 A
2ph
1
12
所以
1 (2 π)
1 2 i
p (r , t)
e
p r E t
③ 箱归一化——加上周期性边界条件限制
(x) (x L)
id
L ——周期
4.存在不确定的相因子 e （其既不影响空间各 点粒子的概率，也不影响到归一性）