初一数学培优辅导课程
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初中数学线上培优班教案
教案名称：初中数学线上培优班教案课时安排：2课时（90分钟）教学目标：1. 使学生掌握有理数的乘法运算法则，提高运算能力。
2. 通过线上教学平台，培养学生的自主学习能力与合作精神。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新思维。
教学内容：1. 有理数的乘法运算。
2. 运用线上教学平台进行数学探究活动。
教学过程：第一课时：一、导入（10分钟）1. 教师通过线上教学平台与学生互动，询问学生对有理数乘法运算的掌握情况。
2. 引导学生回顾有理数乘法的基本运算法则。
二、自主学习（15分钟）1. 学生根据教师提供的线上学习资源，自主学习有理数乘法运算的法则。
2. 学生通过线上平台完成相关练习题，巩固所学知识。
三、课堂讲解（20分钟）1. 教师根据学生的自主学习情况，讲解有理数乘法运算的重点和难点。
2. 运用线上教学平台的互动功能，引导学生积极参与课堂讨论，解答疑问。
四、线上互动游戏（10分钟）1. 教师设计有关有理数乘法的互动游戏，让学生在游戏中巩固知识。
2. 学生通过线上平台参与游戏，提高学习的趣味性。
第二课时：一、复习导入（10分钟）1. 教师通过线上教学平台与学生互动，回顾上节课所学的有理数乘法运算。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
二、线上探究活动（20分钟）1. 教师提出探究任务，引导学生运用线上教学资源进行合作探究。
2. 学生分组讨论，通过线上平台交流探究成果。
三、解决问题（15分钟）1. 教师提出实际问题，引导学生运用所学的有理数乘法运算知识解决问题。
2. 学生通过线上平台提交解题过程和答案。
四、总结与评价（10分钟）1. 教师对学生的线上学习情况进行总结，给予评价和反馈。
2. 学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。
教学评价：1. 通过线上教学平台收集学生的学习数据，评估学生对有理数乘法运算的掌握程度。
2. 关注学生在线上探究活动和解决问题中的表现，评价其自主学习能力与合作精神。
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
七年级数学培优教辅
七年级数学培优教辅一、教材知识巩固板块。
1. 有理数。
- 知识点梳理。
- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
例如，2是正整数， - 3是负整数，0.5是有限小数属于分数，(1)/(3)是无限循环小数也属于分数。
- 有理数的分类：- 按定义分类：有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数- 典型例题。
- 例1：将下列数分类： - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，π，3.14159，-(22)/(7)。
- 解：有理数有 - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，3.14159，- (22)/(7)；π是无理数（不属于有理数范畴）。
2. 整式的加减。
- 知识点梳理。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，3x是单项式， - 5也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如3x的系数是3，次数是1；-5的系数是 - 5，次数是0。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如，2x^2+3x - 1，它有三项，分别是2x^2、3x、 - 1，其中 - 1是常数项，这个多项式的次数是2。
- 整式：单项式与多项式统称为整式。
- 整式的加减：实质就是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
- 典型例题。
- 例2：化简3a + 2b - 5a - b。
- 解：3a+2b - 5a - b=(3a - 5a)+(2b - b)= - 2a + b。
华师版七上数学培优班课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
A.10 B.21 C.28 D.26
思想措施三
用转化旳思想解题
例：计算13+23+33+43+、、、、+1003旳值。
解：13=1,13+23=9=32=(1+2)2，13+23+33=36=62=(1+2+3)2,
13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2,......
由此可知13+23+33+43+、、、、+993+1003=(1+2+3+4+、、、
+99+100)2
=﹝(1+100)×100÷2﹞2
=50502
思绪总结：本题中把“立方”运算化为“平方”运算，把
=25502500 “求和”运算转化为“乘方”旳运算。
思想措施二 用分类讨论旳思想解题
例：比较2a与-2a旳大小
解：
当a﹥0时，2a﹥-2a； 当a﹤0时，2a﹤-2a； 当a=0时，2a=-2a.
例：若 a = 5, b = 3, 求a+b旳值。
解：因为 a =5, b =3, 所以 a=5或-5，b=3或-3
当a=5，b=3时，a+b=8 当a=5,b=-3时，a+b=2 当a=-5,b=3时，a+b=-2 当a=-5,b=-3时，a+b=-8
D.-8或2
思想措施二 用分类讨论旳思想解题
初一上数学-整式的加减-培优讲义
初一数学（上册）讲义整式的加减培优能力提高 1 ：用字母表示数能力提高 2 ：图形关系的代数表示有些数目关系表现为图形中的数目关系，假如能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相联合，抽象与直观相联合，对培育数学能力是特别重要的。
能力提高 3 ：由代数式睁开的推理能力提高 4 ：求代数式的值用详细的数取代代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特别的过程．详细求解代数式值的问题时，关于较简单的问题，代入直接计算其实不困难，但关于较复杂的代数式，常常是先化简，而后再求值．下边联合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．【例 1】求以下代数式的值：（1）5ab 4 1 a3b2 2 1ab1a3b2 23ab a2b 5 ，此中 a 1,b2 ；2 4 2 4（2）3x2y { xyz (2 xyz x2 z) 4x2 z [3 x2 y (4 xyz 5x2 z 3xyz)]} ，此中 x 1, y 2, z 3 .剖析上边两题均可直接代入求值，但会很麻烦，简单犯错．我们能够利用已经学过的相关观点、法例，如归并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，而后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的正确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4× 13× (- 2)2- 12 × (-2)-5 =-16+2-5=-19 ．(2) 原式 =3x 2y-xyz+(2xyz-x 2 z)+4x 2z[3x2y-(xyz-5x 2z)]=3x 2y-xyz+2xyz-x 2 z+4x 2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x 2z+4x 2z-5x2z) =2xyz-2x 2z=2× (-1) × 2× (-3)-2× (-1)2 ×(-3) =12+6=18 ．说明 本例中 (1)的化简是添括号，将同类项归并后，再代入求值； (2)是先去括号，而后再添括号，归并化简后，再代入求值．去、添括号时，必定要注意各项符号的变化．【例 2】已知 ab 1 ，求 a 33ab b 3 的值．剖析 由已知条件 a-b=-1，我们没法求出 a ， b 确实定值，所以本题不可以像例 1 那样，代入 a ， b 的值求代数式的值．下边给出本题的五种解法．解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a 3+3ab-b 3=(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b 3-3b 2+3b-1+3b 2-3b-b 3=-1 ．说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的．解法 2 由于 a-b=-1，所以原式 =(a 3-b 3)+3ab=(a-b)(a 2+ab+b 2)+3ab=-1× (a 2+ab+b2)+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab =-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b) 2 =-(-1)2=-1 ．说明 这类解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法 3 由于 a-b=-1，所以原式 =a 3-3ab(-1)-b 3=a 3-3ab(a-b)-b 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=(a-b) 3=(-1) 3=-1 ．说明 这类解法奇妙地利用了-1=a-b ，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b) ，进而凑成了(a-b)3．解法 4 由于 a-b=-1，所以 (a-b) 3=(-1) 3 =1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3 -3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1 ，即 a3-b3+3ab=-1 ．说明这类解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b 3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 ．说明这类解法是添项，凑出(a-b)3，而后化简求值．经过这个例题能够看出，求代数式的值的方法是很灵巧的，需要仔细思虑，才能找到简易的算法．在本例的各样解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结以下：(a+b) 2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2)．【例 3】已知xy 2 ，求代数式3x5xy3y的值 .x y x 3xy y解由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代数式中，消去xy，而后化简．所以【例 4】已知a3b, c 5a ，求a b c的值.a b c解由于 a=3b，所以 c=5a=5× (3b)=15b ．将 a， c 代入所求代数式，化简得【例 5】已知m, x, y知足条件：（ 1）2 ( x 5)2 5| m | 0；（2）2a2b y 1与 3a2b3是同类项.37 1 3求代数式{ x2 y [ xy2 ( x2 y 3.475xy2 )] 6.2752 } 的值.16 4 16解由于 (x-5)2 ，｜ m｜都是非负数，所以由(1)有由 (2)得 y+1=3 ，所以 y=2 ．下边先化简所求代数式，而后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52× 2+0+10× 5× 22=250【例 6】假如4a 3b 7 ，而且 3a 2b 19 ，求 14a 2b 的值．剖析本题能够用方程组求出a， b 的值，再分别代入14a-2b 求值．下边介绍一种不用求出a，b 的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52 ．【例 7】当x 2 17时，求代数式｜ x｜ +｜x-1｜ +｜ x-2 ｜+｜ x-3｜ +｜x-4 ｜ +｜ x-5｜的值．310， 1， 2，剖析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x 和 3 个 -x，这样将抵消掉x，使求值变得简单．原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 ．说明实质上，本题只需x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x 详细的取值没关．【例 8】若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？剖析x:y:z=3:4:7 能够写成的形式，关于等比，我们往常能够设它们的比值为常数k，这样能够给问题的解决带来便利．x=3k ，y=4k ， z=7k ．由于 2x-y+z=18 ，所以2×3k-4k+7k=18，所以 k=2，所以 x=6 ， y=8， z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8 ．【例 9】已知 x=y=11 ，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．剖析本题是可直接代入求值的．下边采纳换元法，先将式子改写得较简短，而后再求值．解设 x+y=m ， xy=n ．原式 =(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11 × 11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000 ．说明换元法是办理较复杂的代数式的常用手法，经过换元，能够使代数式的特点更为突出，进而简化了题目的表述形式．。
初一下数学期末培优(6份)
初一下数学期末培优（一）——实数培优11．设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
2.已知5+11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，求：（1）a +b 的值；（2）a －b 的值.3、若35,b a b ++的小数部分是a ，3-5的小数部分是则的值为（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23. 若102.0110.1=，则0.010201-= ．4．已知4495.26=，7460.760=。
直接写出下列各式的值： (1) =6.0 (2) =600 (3) =06.0 (4) =60005．已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值6．已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.7.一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+28.m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（）29.如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m10.．若,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-=+-+---适合于关系式试求的算术平方根。
11.、28、已知052522=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
12.若x 、y 都是实数，且y =3-x +x -3+8，求x +3y 的立方根.13.已知,,32220022002,x y z x y z x y z x y x y +--++-=+-+--适合关系式试求x,y,z 的值。
14.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足()0212=-+-b a ，求c 的取值范围。
15.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边， 则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ）A.3a +b －cB.－a －3b +3cC. a +3b －3cD. 2a初一下数学期末培优（二）——实数培优216. 对于每个非零有理数c b a ,,式子abcabc c c b b a a +++的所有可能的值有?17.实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜例1 已知y x ,满足,04232=--+-+y x y x 532--y x 求的值.例2 已知在实数范围内x 23-有意义，化简7296-+-x x .例3 在实数范围内解方程28.6322=-+-+-y x x ππ.例4 已知()02352,,2=-+-+-c b a c b a 满足（1）求c b a ,,的值； （2）试问以c b a ,,为边能否构成三角形？如果能构成三角形，求它的周长；如果不能构成三角形，请说明理由.例5 已知()333423,0312,4z y x x x y z ++=-++-=求且的值。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
人教版七年级上册数学同步培优课件第3章 第2课时 等式的性质
数学
(2)－3x＝15. 解：方程的两边同时除以－3 ，得 －3x÷(－3)＝15÷(－3)． 于是，x＝ －5 . 反思：这道题应用了等式的性质 2 来解决．
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数学
(3)3－13x＝9(并检验)． 解：方程的两边同时减去 3 ，得
3－13x－3＝9－3
.
化简，得 －13x＝6 .
方程的两边同时乘 －3 ，得x＝ －18 .
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数学
(3)在等式－x3＝4的两边都 乘－3 ， 得x＝－12，根据是 等式的性质2 ； (4)如果－4x＝－8，那么x＝ 2 ，是等式两边都 除以－4 得 到的，根据是 等式的性质2 .
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数学
知识点二：运用等式的性质解方程 利用等式的性质解方程的目的是将方程一步一步地变形为x＝ a(常数)的形式，步骤如下： (1)方程两边加(或减)同一个数(或式子)，使一元一次方程左边 是含 未知数 的项，右边是 常数 项；
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数学
(2)等式的性质2：等式两边乘 同一个数 ，或除以同一个不为
0的数，结果仍相等；
即：如果a＝b，那么ac＝ bc ；
如果a＝b，c≠0，那么ac＝
b c
.
在运用等式的性质2时，应注意：等式的两边除以的这个数不
为0.
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数学
对点训练 1.填空： (1)在等式x＋5＝7的两边都 减5 ， 得x＝2，根据是 等式的性质1 ； (2)在等式x－3＝8的两边都 加3 ， 得x＝11，根据是 等式的性质1 ；
y＝－1 .
小结：等式的变形先要联想到等式的性质，再仔细观察、分 析前后两个等式的结构有何变化，从而确定是应用哪条性质.
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数学
8.填空： (1)已知等式5m－3＝6， 根据等式的性质 1 ， 两边同时加3 ， 可以得到5m＝9； (2)若－3x＝4.5，则x＝－1.5， 这是根据等式的性质 2 ， 在等式两边同时 除以－3 ；
小桔灯培优七年级暑假数学
小桔灯培优七年级暑假数学摘要：一、引言1.介绍小桔灯培优七年级暑假数学课程2.阐述课程目标与适合的学生群体二、课程内容1.课程覆盖的知识点2.课程的教学方法与特点三、师资力量1.教师团队的专业背景2.教师的教学经验和成果四、课程优势1.与学校课程的衔接2.对学生成绩提升的效果五、学生评价与反馈1.学生对课程的满意度2.学生成绩的提高实例六、结语1.总结小桔灯培优七年级暑假数学课程的特点2.鼓励学生积极参与课程，提高数学水平正文：一、引言小桔灯培优七年级暑假数学课程是针对初中生推出的一款数学培训课程。
该课程旨在帮助学生在暑假期间巩固数学基础，提前预习新学期课程，并提高学生的数学思维能力。
本文将详细介绍小桔灯培优七年级暑假数学课程的相关内容，以帮助学生和家长们更好地了解该课程。
二、课程内容小桔灯培优七年级暑假数学课程根据七年级数学课程标准编写，涵盖了新学期所要学习的所有知识点。
课程内容紧密结合教材，帮助学生巩固学校课程所学，同时适当拓展，让学生提前接触新学期知识，为正式学习打下基础。
此外，课程还注重培养学生的数学思维能力，通过启发式教学、案例分析等方式，让学生学会运用数学知识解决实际问题。
三、师资力量小桔灯培优拥有一支专业的教师团队，所有教师均具备丰富的教学经验和教育教学背景。
他们熟悉初中数学教学大纲，了解学生学习心理，善于激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
在教学过程中，教师们注重培养学生的独立思考能力，使学生在轻松愉快的氛围中提高数学水平。
四、课程优势小桔灯培优七年级暑假数学课程具有以下优势：1.与学校课程紧密衔接：课程内容与学校教学大纲相符，帮助学生巩固知识，为新学期学习做好充分准备。
2.提高学生成绩：通过系统的培训，学生可以更好地掌握数学知识，形成良好的学习习惯，提高学习效率，从而在考试中取得好成绩。
五、学生评价与反馈小桔灯培优七年级暑假数学课程受到了广大学生的欢迎。
学生们纷纷表示，课程内容丰富、有趣，老师的教学方法生动、易懂。
初一(上)数学培优辅导课程11.16
初一（上）数学培优辅导课程课堂反馈】1.猜想并写出：；直接写出下列各式的计算结果：；探究并计算：；．2.已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，的绝对值是2，求：的值．3.已知：a，b分别是数轴上两个不同点A、B所表示的有理数，且，，A、B两点在数轴上的位置如图所示：试确定数a，b；、B两点相距多少个单位长度？若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数；点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度,依次操作2 019次后，求P点表示的数．4.计算与化简求值：，其中，5.如图，已知，，是的3倍，求的度数．6.如图，是平角，，，OM、ON分别是、的平分线，求：的度数；求的度数．7.如图，点A、O、B在同一直线上,OC平分，若求的度数．若OE平分，求的度数．8.如图已知，，OE平分，OF平分，求和的度数．9.如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分即：AB：BC：：5：，M 为AD的中点判断AB与CM的大小关系，说明理由．若，求AD的长．初一（上）数学培优辅导课程当堂检测】1.如图，已知线段，，点M是线段AC的中点．求线段AC的长度；在线段CB上取一点N，使得,求线段MN的长．2.如图，点C、D在线段AB上，，D是BC的中点，求线段AB的长．3.如图点C、D在线段AB上,D是线段AB的中点,,,求线段AB的长．4.如图线段，C是线段AB上一点，，M为AB的中点，N是AC的中点，求线段MN的长．5.已知线段AB ，延长AB 到C ，使 ，D 为AC 的中点,若 ， 求AB 的长。
6.如图，B 、C 两点把线段AD 分成2：5：3的三部分,M 为AD 的中点， ，求CM 和AD 的长．7.如图，线段 ，线段 ，点M 是AC 的中点，在CB 上取一点N ，使得 ．求CN 的长？ 求MN 的长？8.如图，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为 BOD 的平分线， BOE=17°18′， 求 AOC 的度数.9.如图，平面上有三点A 、B 、C.（1）按下列要求画出图形： .画直线AB ； .画射线AC ；③连接BC（2）写出图中有哪几条线段.（3）指出图中有几条射线，并写出其中能用字母表示的射线(不再添加字母)。
部编人教版初一数学培优讲义(无答案)-第10讲 直线、射线、线段
第10讲直线、射线、线段考点·方法·破译1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题．2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离．经典·考题·赏析【例1】指出图中的直线、射线和线段．【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段．解：直线有一条是直线AD，射线有六条，分别是射线BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段BC、BE、CE．【变式题组】01．（兰州）下列语句表述正确的是（）A．延长射线OC B．射线BA与射线AB是同一条射线C．作直线AB＝BC D．已知线段AB，作线段CD＝AB 02．（南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（）ABCA．4条B．6条C．5条D．1条03．（秦皇岛）如图，直线l、线段a及射线DA，能相交的图形是（）①②③④⑤⑥lDAA DllA．①③④B．①④⑥C．①④⑤D．②③⑥【例2】（云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．【解法指导】因为3点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有3种情况，所以共可作直线的条数为3条．【变式题组】 01．（丹东）根据语句“点M 在直线a 外，过M 有一直线b 交直线a 于点N ，直线b 上另一点Q 位于M 、N 之间”画图，正确的是（ ）baaa02．（北京）根据下列语句画出图形⑴直线AB 经过点C ；⑵经过点M 、N 的射线NM ； ⑶经过点O 的两条直线m 、n ；⑷经过三点E 、F 、G 中的每两点画直线． 03．（温州）如图A 、B 、C 表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．【例3】已知：线段AB ＝10cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝1.5cm ，求AP 的长．【解法指导】题中已说明P 在AB 所在直线上，即说明P 点可能在线段AB 上，也可能在AB 的延长线上（不可能在BA 的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P 在线段AB 上时，点N 在点M 的左侧，则AP ＝2AN ＝2（AM －MN ）＝2（12AB －MN ）＝2×（5－1.5）＝7（cm ）；①P A⑵当点P 在线段AB 的延长线上时，N 点在M 点的右侧如图②，则AP ＝2AN ＝2（AM ＋MN ）＝2（12AB ＋MN ）＝2×（5＋1.5）＝13（cm ）；②A N M所以AP 的长为7cm 或13cm 【变式题组】 01．（昆明）已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ） A ．8cm B ．9cm C ．10cm D ．8cm 或10cm 02．（十堰）如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 03．（青海）已知线段AB ，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，下面等式不正确的是（ ）A ．CD ＝AB －BDB ．CD ＝AD －BCC ．CD ＝12AB －BDD ．CD ＝13AB【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问： ⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．BA解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．【变式题组】 01．（河南）如图从A 到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A 到B 有2条水路、2条陆路；从B 地到C 地有3条陆路可供选择；走空中从A 不经B 地直接到达C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）A ．20种B ．8种C ．5种D ．13种02．（海南）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与FH 交于点O ，则图中的菱形共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 3．（佛山实验区）A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【例5】如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC 的长．DBA【解法指导】由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，可设AB ＝2x ，CD ＝3x ，CD ＝4x ，由CD ＝4x ＝8，而求得x 的值，进而求出MC 的长．解：设AB ＝2x ，由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，得CD ＝4x ，CD ＝3x ，AD ＝（2＋3＋4）x ＝9x ，∵CD ＝8，∴x ＝2，∴AD ＝9x ＝18，∵M 是AD 的中点，∴MC ＝MD －CD ＝12AD －B DCD ＝12×18－8＝1【变式题组】 01．（河北）如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分MC ∶CB ＝1∶2，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm02．（随州）已知线段AB ＝16cm ，点C 在线段AB 上，且BC ＝13AC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为________. 03．（黄冈）已知线段AB ＝12cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝6cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．图（2）图（1）【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短． 解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB 即为最短路线． 【变式题组】 01．（天津）下列直线的说法错误的是（ ）A ．经过一点可以画无数条直线B ．经过两点可以画一条直线C ．一条直线上只有两个点D ．两条直线至多只有一个公共点 02．（湘潭）如图所示，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（ ） A ．两点之间线段最短 B ．两直线相交只有一个交点 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB ＝12DE ＝200，∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600．答：A 、B 两市相距600千米． 【变式题组】 01．（哈尔滨）已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为____cm ． 02．（银川）AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由． 03．（河南）如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．演练巩固 反馈提高01．当AB ＝5cm ，BC ＝3cm 时，A 、C 两点间的距离是（ ）A ．无法确定B ．2cmC ．8cmD ．7cm 02．下列说法正确的是（ ）A ．延长直线AB B ．延长线段ABC ． 延长射线ABD ．延长线段AB 03．若P A ＋PB ＝AB ，则（ ）A ．P 点一定在线段AB 上 B ．P 点一定在线段AB 外C ．P 点一定在AB 的延长线上D ．P 点一定在线段BA 的延长线上 04．（内江）已知点C 是线段AB 上的一点，下列说法中不能说明点C 是线段AB 的中点是（ ）A ．AC ＝BCB ．AC ＝12ABC ．AC ＋BC ＝ABD ．2AC ＝AB05．如图，已知线段AD ＞BC ，则线段AC 与BD 的关系是（ ）A ．AC ＞BDB ．AC ＝BD C ．AC ＜BD D ．不能确定 06．（黄冈）某公司员工分别在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A 、B 两区之间 07．（广州）线段AB ＝4cm ，在直线AB 上截取BC ＝1cm ，则AC ＝________.08．（云南）延长线段AB 到点C ，使BC ＝13AB ，D 为AC 的中点，且DC ＝6cm ，则AB 的长是________cm ．09．在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16cm ，再截取AC ＝40cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN ＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．如图B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC的长．13．指出图中的射线（以O 为端点）和线段．ABO14．判断下列语句是否正确：⑴直线l 有两个端点A 、B ； ⑵延长射线OA 到C ；⑶已知A 、B 两点，经过A 、B 两点只有一条线段．15．已知A 、B 、C 三点：⑴AB ＝10cm ，AC ＝15cm ，BC ＝5cm ；⑵AB ＝5.2cm ，AC ＝9cm ，BC ＝3.8cm ；⑴AB ＝3.2cm ，AC ＝1.5cm ，BC ＝4.5cm ．A 、B 、C 三点是否在一条直线上？培优升级奥赛检测01．（全国初中数学联赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D的距离之和最小小的点（）A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点CC．只是线段AD的中点D．有无穷多个02．（“五羊杯”邀请赛）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．403．（海南省竞赛题）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（）lA．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 04．（第18届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB与BC的大小关系是（）05．（江苏省竞赛题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知AC＝p，且p、q、r为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为27，则线段AB的长是（）A．8 B．7 C．6 D．非上述答案06．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（）A．6条B．1条或3条或6条C．1条或4条D．1条或4条或6条08．（第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）A．A处B．C处C．G处D．E处09．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN ＝a，BC＝b，则AD＝（）N M DA B C A ．a ＋b B ．a ＋2b C ．2b －aD ．2a －b10．如图AC ＝13AB ，BD ＝14AB ，且AE ＝CD ，则CE 为AB 长的（ ）A ．16B ．18C ．112D ．11611．（“希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个． 12．把线段AB 延长到D 使BD ＝32AB ，再延长BA 到C ，使CA ＝AB ，则BC 是CD 的___倍.13．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，若线段AB ＝60，其中点为M ，线段BC ＝20，其中点为N ，求MN 的长．。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
初一数学上册苏科版培优03绝对值化简(一)课件
，-|x-1|可以取最
值，且最
值为_______
值，且最
值为_______
6Hale Waihona Puke ，6-|x-1|可以取最总结
运用绝对值非负性计算
例题P19
引入
讲授
例题
练习
总结
运用绝对值非负性计算
有理数的相关概念与实际应用
引入
讲授
练习
例题
绝对值非负性应用P19
模型“0+0=0”，比如 若|x|+|y|=0，则x=y=0
若a|x|+b|y|=0，a＞0，b＞0，则x=
,y=
.
总结
有理数的相关概念与实际应用
绝对值非负性应用P19
引入
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例题
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总结
有理数的相关概念与实际应用
绝对值非负性应用P19
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讲授
例题
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总结
目录
1
专题一、运用绝对值非负性计算
2
专题二、运用代数意义化简绝对值
3
专题三、运用几何意义化简绝对值
绝对值的化简
目录
1
专题一、运用绝对值非负性计算
2
专题二、运用代数意义化简绝对值
3
专题三、运用几何意义化简绝对值
目录
1
专题一、运用绝对值非负性计算
2
专题二、运用代数意义化简绝对值
3
专题三、运用几何意义化简绝对值
运用绝对值非负性计算
引入
讲授
例题
练习
绝对值的定义
一个数在数轴上对应的点到原点的
【注意】由于绝对值表示距离，所以绝对值不能为
所以绝对值具有
对于任意数a，则|a|
七年级秋季培训班初一数学课程介绍
七年级秋季培训班初一数学课程介绍
七年级秋季培训班初一数学课程介绍如下：
课程将重点介绍数轴、相反数与绝对值、有理数的加减乘除、科学计数法、整式和整式加减、从算式到方程、一元一次方程的解法、一元一次方程的实际应用等知识点。
数轴部分将重点讲解数轴的理解、画法、应用，以及利用数轴比较有理数大小问题，掌握数轴上点的移动问题。
在相反数与绝对值部分，将重点讲解相反数与绝对值的概念理解、表示方法，以及相反数的性质及综合应用，绝对值的性质，利用绝对值比较数的大小，利用绝对值的代数意义化简求值。
在有理数的加减乘除部分，将重点讲解有理数的加法运算律、乘法运算律。
科学计数法部分将重点讲解科学计数法的概念，以及把科学计数法形式的数转化为原数，近似数和有效数字的理解。
整式和整式加减部分将重点讲解单项式、多项式的概念，同类项的概念、合并同类项。
从算式到方程部分将重点讲解等式、方程的概念，等式的性质。
一元一次方程的解法部分将重点讲解合并同类项与移项，去括号去分母。
一元一次方程的实际应用部分将重点讲解营销问题、工程问题、行程问题等实际应用。
此外，课程还包括有理数部分知识点总结和复习，图形认识知识点总结等内容。
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初中数学个性化辅导课程
第1页，共4页 初一（下）数学
【知识梳理】
1、单项式和多项式统称为整式。
单项式有三种：单独的字母（a,-w 等）；单独的数字（125，73-
，3.25，-14562等）； 数字与字母乘积的一般形式（-2s, a 32-,π
x 5等）。
2、 单项式的系数是指数字部分，如abc π23-的系数是π23- (注意系数部分应包含
π，因为π是常数）；单项式的次数是它所有字母的指数和，如：53256y x π次数是8。
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
如
12312-+y y x 是三次三项式。
4、整式乘法
（1）n m n m a a a +=⋅ (m,n 都是正整数）如523b b b -=⋅-。
拓展运用n m n m a a a ⋅=+ 如已知m a =2, n a =8,求n m a +。
解：n m n m a a a ⋅=+=2×8=16.
（2）mn n m a
a =)( (m,n 都是正整数） 如12436243622)()(2a a a a a =-=-⨯⨯ 拓展应用m n n m mn a a a )()(==。
若2=n a ，则42)(222===n n a a 。
（3）n n n b a ab =)((n 是正整数) ；拓展运用n n n ab b a )(=。
（4）n m n m a a a -=÷(a 不为0，m,n 都为正整数，且m 大于n)。
拓展应用n m n m a a a ÷=- 如：若9=m a ，3=n a ，则339=÷=÷=-n m n m a a a 。
（5）)0(10≠=a a ；0(1≠=-a a
a p p ，是正整数)。
如：81)2(1)2(33-=-=-- （6）平方差公式22))((
b a b a b a -=-+ 如：
22224)2()2)(2(n m n m n m n m -=--=--+-
（7）完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-
逆用：222222
2(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-
（8）应用式：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+
ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-
【典型考题】
1.已知是一个完全平方式，则m的值是
A. B. 1 C. 或1 D. 7或
2.已知，则的值是
A. 6
B.
C.
D. 8
3.计算的结果是
A. B. C. D.
4.若中不含x的一次项，则m的值为
A. 8
B.
C. 0
D. 8或
5.如果是完全平方式，那么k的值是
A. B. 6 C. D.
6.已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系不成立的是
A. B. C. D.
7.当n是正整数时，两个连续奇数的平方差能被整除．
A. 6
B. 8
C. 12．
D. 15
8.使的乘积不含和，则p、q的值为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9.若，，则的值为__ ____．
10.已知，则的值是___ ___．
11.，则_____ _ ．
12.已知，，求：
的值．
13.计算：；．
14.已知：，，求下列各式的值
．
初中数学个性化辅导课程
第3页，共4页
15. 观察下列各式
根据以上规律，则 ______．
你能否由此归纳出一般性规律： ______． 根据 求出： 的结果．
16. 已知 ， ，求 的值．
求证：无论x 、y 为何值，代数式 的值不小于0．
17. 已知 ，求 的值．
18. 如图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长
方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
图2的阴影部分的正方形的边长是______．
用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】 阴影 ______；
【方法2】 阴影 ______；
观察如图2，写出 ， ，ab 这三个代数式之间的等量关
系．
根据 题中的等量关系，解决问题：
若 ， ，求 的值．
19.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，
然后按图2的形状拼成一个正方形．
请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积直接用含m，n的代数式表示方法1：______
方法2：______
根据中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：，，mn______
根据题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值．
20.从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形如图，然后将剩余部分拼成一
个长方形如图．
上述操作能验证的等式是______请选择正确的一个
A.
B.
C.
若，，求的值；
计算：。