完全非弹性碰撞模型及其应用

完全非弹性碰撞模型及其应用Prepared on 22 November 2020作者E-mail:Tel ：“完全非弹性碰撞”模型及其应用湖北省沙市中学刘军434000在高中物理学习中，面对浩如烟海的习题，学生只有做好题后总结，把握某一类型问题的共同特征和遵循的共同规律，才能做到事半功倍，以一挡十．在习题教学中，教师则不仅要引导学生善于从具体问题的分析中抽象出其所适用的一般模型和遵循的基本规律，而且要引导学生善于结合具体问题的特殊条件，灵活地运用模型和规律．下面以“完全非弹性碰撞模型”为例，在分析不同情景问题时，联想模型，通过类比和等效的方法，从而抓住问题的物理本质，使问题迅速得到解决．一、“完全非弹性碰撞”模型如图１，质量为1m 、2m 的两大小相同的球分别以速度1v 、2v 在光滑的水平面上沿一直线运动，其中12>v v ，两球碰撞后粘合在一起以速度v 一起运动．系统碰撞前后动量守恒有：v m m v m v m )+(=+212211． 碰撞后系统动能损失：221222211)(21-2121v m m v m v m E k ++=∆． 上面就是典型的“完全非弹性碰撞”模型，在一些力学综合问题中，有很多两物体间的相互作用过程就与上面两球的碰撞过程类似，具有以下共同特点：①相互作用后两物体具有共同速度；②作用前后系统动量守恒（或在某一方向守恒）；③作用后系统有动能损失，损失的动能转化为其它形式的能． 图１m二、“类完全非弹性碰撞”实例分析1．物块未滑落木板例1 如图２所示，质量为M 的平板小车放在光滑水平面上，平板右端上放有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ，现使平板小车和木块分别向右和向左运动，初速度大小均为0v ，设平板足够长，且M >m ，求木块相对平板右端滑行的距离。

解析：木块在小车上的运动分两阶段：首先，木块和小车都做匀减速运动，木块速度先减为零，木块速度减为零时，小车仍有向右速度；之后，木块开始向右做匀加速运动，小车继续向右做匀减速运动，木块相对小车仍在远离其右端，直至木块与小车速度相等后，二者一起向右匀速运动．设木块与小车的最终速度为v ，以向右为正，由动量守恒定律有：v m M mv Mv )(00+=-① 设物块相对小车右端滑行距离为△S ，因木块相对小车无往复运动，则由功能关系有：22020)(212121v m M Mv mv s mg +-+=∆μ② 联立①、②解得：20)(2v g M m M s +=∆μ． 简评：此题中两物体间通过摩檫力发生相互作用，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．2．子弹未打穿木块例2 质量为M 的木块被固定在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹以初速0v 水平飞来穿透木块后的速度变为20v ，现使木块不固定，可以在光滑水平面图２上滑动，同样的子弹仍以初速0v 水平飞来射中木块，如果m M 3<，那么子弹（）Ａ．能够穿透木块B ．不能穿透木块，留在木块中共同运动Ｃ．刚好穿透木块，但留在木块边缘共同运动Ｄ．条件不足，无法判断解析：设木快长为l ，子弹对木块的平均打击力为f ，当木块固定时，对子弹，由动能定理有：202021)2(21mv v m fl -=-， 解得：2083mv fl = ① 当木块不固定时，假设子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，且设子弹进入木块的深度为l ∆，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒和能量守恒有：⎪⎩⎪⎨⎧+-=∆+=2200)(2121)(v M m mv l f v M m mv 解得：2020)1(21)(2mv Mm v M m mM l f +=+=∆ 因m M 3<，则易得2083mv l f <∆，与①式比较可得：l l <∆． 说明假设成立，既子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，故正确答案为Ｂ．简评：此题中子弹与木块间通过“撞击力”发生相互作用，因子弹未穿出木块，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．３．物块压缩弹簧至最短时例3 如图3，Ａ、Ｂ两个物块用弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，Ａ和Ｂ的质量分别为m 99和m 100，一颗质量为m 的子弹以速度0v 水平射入木块Ａ内没有穿出，求在后来过程中弹簧的最大弹性势能为多大解析：子弹打入木块Ａ的极短时间内，弹簧未发生形变（实际上是形变很小，忽略不计），设子弹和木块Ａ获得一共同速度v ，由动量守恒定律有：v m m mv )99+(=0①之后木块Ａ（含子弹）开始压缩弹簧推动B 前进，当Ａ、Ｂ速度相等时弹簧压缩量最大，设此时弹簧的最大弹性势能为p E ，Ａ、Ｂ共同速度为1v ，则对Ａ（含子弹）、Ｂ组成的系统，由动量守恒定律有：()()1100+99+=99+v m m m v m m ②由机械能守恒定律有()()P E v m m m v m m +100+99+21=99+21212 ③ 联立①②③式解得204001mv E P 简评：此题包含两个过程：一是子弹打入木块Ａ的“短暂作用过程”，在此过程中子弹与木块获得共同速度，此过程与木块Ｂ无关，此过程中动能损失转化为子弹与木块的内能；、二是木块Ａ（含子弹）压缩弹簧至最短的“持续作用过程”，压缩弹簧至最短时系统具有共同速度，此过程中动能损失转化为弹性势能．４．两端拴有物体的细绳绷紧时例４ 在光滑水平面上，有一质量Kg m 20=1的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量Kg m 25=2的拖车相连接，一质量Kg m 15=3的物体放在拖车的平板上，物体间动摩擦因数2.0=μ，开始时，拖车静止，绳未被拉紧，如图４，小车以s m v /3=0的速度前进，求：（1）当1m 、2m 、3m 以同一速度前进时，其速度的大小；（2）物体在拖车平板上移动的距离（设平板足够长）．解析：对1m 和2m 组成的系统，绳绷紧的很短时间内，1m 和2m 获得一共同速度1v ，由动量守恒定律有：12101)+(=v m m v m ①设最终1m 、2m 、3m 的共同速度为2v ，对1m 、2m 、3m 组成的系统，由动量守恒定律有：2321121)++(=)+(v m m m v m m ②设3m 在2m 上滑动距离为△S ，由功能关系有：2232121213)++(21-)+(21=Δμv m m m v m m s g m ③ 联立①、②、③解得：s m v /1=2，m s 33.0=Δ．简评：此题包含两个过程：一是绳被拉紧的“短暂作用过程”，在此过程中车与拖车获得一共同速度，此过程与物块无关，此过程中动能损失转化为内能；、、二是物块在拖车上发生相对滑动直至两者达共同速度的“持续作用过程”，此过程中动能损失转化为内能．５．物块冲上圆弧形小车最高点时例５ 在光滑水平面上放有一质量为M 带光滑弧形槽的小车，一质量为m 的小球以速度0v 沿水平槽口滑上小车，如图５，求：（１）小球能滑至弧形槽内的最大高度．（设小球不会从小车右端滑出） （２）求小车的最大速度．（３）当小球从小车左端脱离后将做什么运动解析：（１）当小球滑至弧形槽内的最大高度时，设小球和小车具有共同速度v ，对小球和小车组成的系统，由水平方向动量守恒有：v M m mv )+(=0 ①设小球能滑至弧形槽内的最大高度为h ，由系统机械能守恒有：mgh v M m mv +)+(21=21220 ② 由①②解得：gM m Mv h )+(2=20． （２）当小球滑至弧形槽内的最大高度后，又会从弧形槽内滑下，小球刚滑离小车时小车速度最大，设此时小球速度为1v ，小车具有向右的速度为2v ，以向右为速度正方向，由水平方向动量守恒有：210+=Mv mv mv ③由系统机械能守恒有：22212021+21=21Mv mv mv ④ 由③④解得：01+-=v M m M m v ，02+2=v M m m v ． （３）由上面解得01+-=v M m M m v 知： 当M m =时，0=1v ，小球从小车左端脱离后做自由落体运动；当M m >时，0>1v ，小球从小车左端脱离后向右做平抛运动；当M m <时，0<1v ，即小球脱离小车时速度向左，则小球从小车上脱离后向左做平抛运动．简评：此题中两物体间通过弹力发生相互作用，系统只在水平方向动量守恒．当小球滑至弧形槽内的最大高度时两物体具有共同速度，此时类似“完全非弹性碰撞”，系统损失的动能转化为小球增加的势能．对小球从冲上小车又滑离小车的全过程，类似“弹性碰撞”，全过程系统机械能守恒．６．物块在挡板车上多次来回碰撞后一起运动 例６ 如图６，在光滑水平面上有一质量为M 带挡板的小车，车长为L ，车中央有一质量为m 的小物块，m 与M 间动摩擦因数为μ．开始时M 静止，m 以初速0v 水平向右运动，设物块与小车上挡板每次碰撞时无机械能损失，求m 与M 间能发生多少次碰撞．解析：设物块在挡板车上多次来回滑动和碰撞后，最终两者的共同速度为v ，由动量守恒有：v M m mv )+(=0 ①设物块从开始运动到最终两者有共同速度，物块相对小车滑动的总路程为S ，由功能关系有：220)+(21-21=μv M m mv mgS ② 由①②解得gM m Mv S )+(μ2=20． 因从运动开始物块相对小车滑动2L 时发生第一次碰撞，以后物块每相对小车滑动L 时发生一次碰撞，则碰撞的次数为：)()(2)(12-20N n gLM m gL M m Mv L L S n ∈+μ+μ+=+=． 简评：此题中两物体间通过多次来回滑动和碰撞后最终具有共同速度，系统动能损失转化为系统内能．７、双金属杆在磁场中以恒定速度收尾例4 如图７，平行光滑导轨相距L ，电阻可忽略，其水平部分足够长，置于磁感强度为B 的竖直向上的匀强磁场中，金属棒M m 0v 图６a 、b 质量分别为m 和2m ，金属棒b 放在水平轨上，金属棒a 从斜轨上高h 处自由滑下，如果棒a 在轨道上与棒b 始终未相撞，求金属棒a 的最终速度．解析：棒a 从斜轨滑下进入水平轨道后，切割磁感线，回路中产生感应电流，棒a 受水平向左培力做减速运动，棒b 受水平向右安培力做加速运动，随着时间推移，当两棒最终速度相等时，回路中感应电流变为零，之后棒a 、b 以共同速度匀速运动．设棒a 刚进入水平轨道时速度为0v ，则有：2021=mv mgh ① 之后对棒a 、b 组成的系统，水平方向合力为零，动量守恒，设棒a 、b 的最终共同速度为v ，则有：v m m mv )2+(=0 ② 联立①②解得：gh v 232=． 简评：此题中两金属杆在各自受到的安培力作用下最终具有共同速度，因两杆受到的安培力大小相等、方向相反，则系统所受合外力为零，系统动量守恒，从开始运动到达共同速度，系统动能损失转化为电热能．以上各例中物体间相互作用过程虽情景各异，但相互作用的过程中均遵守相同的规律：动量守恒定律；相互作用后具有共同特征：以共同速度匀速运动．可见，通过对“完全非弹性碰撞”模型的拓展，其可作为培养学生一题多解、多题一解，从而融会贯通的很好实例．。