完全非弹性碰撞模型及其应用

完全非弹性碰撞模型及其

应用

Prepared on 22 November 2020

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“完全非弹性碰撞”模型及其应用

湖北省沙市中学刘军434000

在高中物理学习中，面对浩如烟海的习题，学生只有做好题后总结，把握某一类型问题的共同特征和遵循的共同规律，才能做到事半功倍，以一挡十．在习题教学中，教师则不仅要引导学生善于从具体问题的分析中抽象出其所适用的一般模型和遵循的基本规律，而且要引导学生善于结合具体问题的特殊条件，灵活地运用模型和规律．下面以“完全非弹性碰撞模型”为例，在分析不同情景问题时，联想模型，通过类比和等效的方法，从而抓住问题的物理本质，使问题迅速得到解决．

一、“完全非弹性碰撞”模型

如图１，质量为1m 、2m 的两大小相同的球分别以速度1v 、2v 在光滑的水平面上沿一直线运动，其中12>v v ，两球碰撞后粘合在一起以速度v 一起运动．

系统碰撞前后动量守恒有：

v m m v m v m )+(=+212211． 碰撞后系统动能损失：221222211)(2

1-2121v m m v m v m E k ++=∆． 上面就是典型的“完全非弹性碰撞”模型，在一些力学综合问题中，有很多两物体间的相互作用过程就与上面两球的碰撞过程类似，具有以下共同特点：①相互作用后两物体具有共同速度；②作用前后系统动量守恒（或在某一方向守恒）；③作用后系统有动能损失，损失的动能转化为其它形式的能． 图１

m

二、“类完全非弹性碰撞”实例分析

1．物块未滑落木板

例1 如图２所示，质量为M 的平板小车放在光滑水平面上，平板右端上放有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ，

现使平板小车和木块分别向右和向左运动，初速度大

小均为0v ，设平板足够长，且M >m ，求木块相对平

板右端滑行的距离。

解析：木块在小车上的运动分两阶段：首先，木块和小车都做匀减速运动，木块速度先减为零，木块速度减为零时，小车仍有向右速度；之后，木块开始向右做匀加速运动，小车继续向右做匀减速运动，木块相对小车仍在远离其右端，直至木块与小车速度相等后，二者一起向右匀速运动．

设木块与小车的最终速度为v ，以向右为正，由动量守恒定律有：

v m M mv Mv )(00+=-① 设物块相对小车右端滑行距离为△S ，因木块相对小车无往复运动，则由功能关系有：

22020)(2

12121v m M Mv mv s mg +-+=∆μ② 联立①、②解得：20)(2v g M m M s +=∆μ． 简评：此题中两物体间通过摩檫力发生相互作用，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．

2．子弹未打穿木块

例2 质量为M 的木块被固定在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹以初速0v 水平飞来穿透木块后的速度变为2

0v ，现使木块不固定，可以在光滑水平面图２

上滑动，同样的子弹仍以初速0v 水平飞来射中木块，如果m M 3<，那么子弹（）

Ａ．能够穿透木块

B ．不能穿透木块，留在木块中共同运动

Ｃ．刚好穿透木块，但留在木块边缘共同运动

Ｄ．条件不足，无法判断

解析：设木快长为l ，子弹对木块的平均打击力为f ，当木块固定时，对子弹，由动能定理有：20202

1)2(21mv v m fl -=-， 解得：208

3mv fl = ① 当木块不固定时，假设子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，且设子弹进入木块的深度为l ∆，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒和能量守恒有：

⎪⎩⎪⎨⎧+-=∆+=2200)(2121)(v M m mv l f v M m mv 解得：2020)1(21)(2mv M

m v M m mM l f +=+=∆ 因m M 3<，则易得208

3mv l f <∆，与①式比较可得：l l <∆． 说明假设成立，既子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，故正确答案为Ｂ．

简评：此题中子弹与木块间通过“撞击力”发生相互作用，因子弹未穿出木块，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．

３．物块压缩弹簧至最短时

例3 如图3，Ａ、Ｂ两个物块用弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，Ａ和Ｂ的质量分别为m 99和m 100，一颗质量为m 的

子弹以速度0v 水平射入木块Ａ内没有穿出，求在后来过程中弹簧的最大弹性势能为多大

解析：子弹打入木块Ａ的极短时间内，弹簧未发生形变（实际上是形变很小，忽略不计），设子弹和木块Ａ获得一共同速度v ，由动量守恒定律有：

v m m mv )99+(=0①

之后木块Ａ（含子弹）开始压缩弹簧推动B 前进，当Ａ、Ｂ速度相等时弹簧压缩量最大，设此时弹簧的最大弹性势能为p E ，Ａ、Ｂ共同速度为1v ，则对Ａ（含子弹）、Ｂ组成的系统，由动量守恒定律有：

()()1100+99+=99+v m m m v m m ②

由机械能守恒定律有

()()P E v m m m v m m +100+99+2

1=99+21212 ③ 联立①②③式解得20400

1mv E P 简评：此题包含两个过程：一是子弹打入木块Ａ的“短暂作用过程”，在此过程中子弹与木块获得共同速度，此过程与木块Ｂ无关，此过程中动能损失转化为子弹与木块的内能；、二是木块Ａ（含子弹）压缩弹簧至最短的“持续作用过程”，压缩弹簧至最短时系统具有共同速度，此过程中动能损失转化为弹性势能．

４．两端拴有物体的细绳绷紧时

例４ 在光滑水平面上，有一质量Kg m 20=1的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量Kg m 25=2的拖车相连接，一质量

Kg m 15=3的物体放在拖车的平板上，物体间动摩擦因数2.0=μ，开始时，拖车静止，绳未被拉紧，如图４，小车以

s m v /3=0的速度前进，求：