空间点线面的位置关系教案
教学设计2：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中点与直线有两种关系：点在线上，点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外.点与平面位置关系有两种：点在面上，点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’C’C’上.2.空间中直线与直线的位置关系不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线平行直线（无交点）.共面直线：相交直线（一个交点）；异面直线（无交点）.3.异面直线的画法：4.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角.5.练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？解：是，因为两条直线既不相交也不平行.练习二、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中.（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？6.空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内（无数个公共点）；直线与平面相交（一个公共点）；直线与平面平行（没有公共点）.7.空间中平面与平面的位置关系：两个平面平行（没有公共点）；两个平面相交（有一条公共直线）.8.探究：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系.平面ABCD//平面A'B'C'D'，平面AA'DD'//平面BB'CC'，AA '//平面BB'CC'，A'B//平面CC'DD'等.9.例一：如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系.解：在(1)中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B在（2）α∩β=l,.a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P10.例二：如图，AB∩α=B,A∉α，a⊂α，B∉a.直线AB 与a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线.理由如下：若直线AB 与a不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为β，则B∈β，αβ⊂由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面平面α与β重合，从而ABα⊂, 进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.补充说明：例二告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.11.例3：已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样学生思考例三学生独立思考例5并回答段炼学生立体感段炼学生独立解决问题能力的位置关系？并画图说明．解：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．总结：判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l是异面直线(如图)．12.例4：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交．(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．(4)平面AMD1与平面BNC相交.12.例5：在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．证明：∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．1.空间中直线与直线位置关系.。
空间中点线面之间的位置关系导学案
空间中点线面之间的位置关系导学案第二章点、直线与平面的位置关系§2.1.1 平面【学习目标】（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
【课前导学】阅读教材40―43页，完成新知学习：1.试描述平面及画法2.三个公理：公理1：文字语言： ___________________________ 符号语言：____________________________ 图形语言：公理2：文字语言： ____________________________ 符号语言：___________________________ 图形语言：公理3：文字语言： ____________________________ 符号语言：____________________________ 图形语言：【课中导学】（一）实物引入、揭示课题生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？（二）研探新知 1、平面含义以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示在平面几何中，怎样画直线？类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）D CA B平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画ββ・B课本P41 图 2.1-4 说明・A 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：B ?α2.1-4 3、平面的基本性质把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，即A∈LAB∈α LA∈αB∈α・B公理1作用：判断直线是否在平面内生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
空间点、直线、平面之间的位置关系教案
空间点、直线、平面之间的位置关系【第一课时】【教学目标】1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用【教学重难点】1．平面的概念2．点、线、面的位置关系3．三个基本事实及推论【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．教材中是如何定义平面的？2．平面的表示方法有哪些？3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？二、基础知识1．平面（1）平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．（2）平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．（3）平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．名师点拨：（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质基本文字语言图形语言符号语言事实基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l名师点拨在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．三、合作探究图形、文字、符号语言的相互转化例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD 与平面BDC 交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC .（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC ＝AC.用图形表示如图①所示．（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．[规律方法]三种语言的转换方法（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．点、线共面问题例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：（纳入平面法）因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：（辅助平面法）因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A ∈l 2，l 2⊂α，所以A ∈α.因为A ∈l 2，l 2⊂β，所以A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.所以不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．[规律方法]证明点、线共面的常用方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．三点共线、三线共点问题例3：如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【证明】连接EF ，D 1C ，A 1B ，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF ═∥12A 1B .又因为A 1B ═∥D 1C ，所以EF ═∥12D 1C ，所以E ，F ，D 1，C 四点共面，可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，所以据基本事实3可得P ∈DA ，即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．[变条件、变问法]若将本例条件中的“E ，F 分别为AB ，AA 1的中点”改成“E ，F 分别为AB ，AA 1上的点，且D 1F ∩CE ＝M ”，求证：点D 、A 、M 三点共线．证明：因为D 1F ∩CE ＝M ，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．[规律方法]【课堂检测】1．能确定一个平面的条件是（）A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．经过同一条直线上的3个点的平面（）A．有且只有一个B．有且只有3个C．有无数个D．不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（）A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（）A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．解：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．【第二课时】【教学目标】1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示【教学重难点】1．空间两直线的位置关系2．直线与平面的位置关系3．平面与平面的位置关系【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．空间两直线有哪几种位置关系？2．直线与平面的位置关系有哪几种？3．平面与平面的位置关系有哪几种？4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？二、基础知识1．空间中直线与直线的位置关系（1）异面直线①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；②画法：（通常用平面衬托）（2）空间两条直线的位置关系.名师点拨（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a ⊂α，b ⊂β，即a ，b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．2．空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a 在平面α内直线a 在平面α外直线a 与平面α相交直线a 与平面α平行公共点无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a ⊂αa ∩α＝Aa ∥α图形表示名师点拨一般地，直线a 在平面α内时，应把直线a 画在表示平面α的平行四边形内；直线a 与平面α相交时，应画成直线a 与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a 与平面α平行时，应画成直线a 与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．3．空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示α∥βα∩β＝l图形表示名师点拨（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．三、合作探究空间两直线位置关系的判定例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面[规律方法]（1）判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．（2）判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．直线与平面的位置关系例2：下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．综上，真命题的个数为1.【答案】A[归纳反思]判断直线与平面的位置关系应注意的问题（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．平面与平面的位置关系例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对【解析】如图，可能会出现以下两种情况：【答案】C1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．由图知，平面α与平面β可能平行或相交．3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．[规律方法]（1）平面与平面的位置关系的判断方法①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．（2）常见的平面和平面平行的模型①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；②长方体的六个面中，三组相对面平行．点、线、面位置关系图形的画法例4：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G及AC.（2）过三点E，F，D1.【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．[规律方法]直线与平面位置关系的图形的画法（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．【课堂检测】1．不平行的两条直线的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．相交或异面解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（）A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l 与α相交．故选C.3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面解析：选D.如图：4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）A．平行B．直线在平面内C．相交或直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．答案：异面6．下列命题正确的是________．（填序号）①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．答案：①。
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案、导学案、课后作业
《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》教案【教材分析】空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【教学目标与核心素养】课程目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．数学学科素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.【教学重点和难点】重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.【教学过程】一、情景导入我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方形，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本128-131页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线？2、空间两条直线的位置关系？3、直线与平面的位置关系？4、平面与平面的位置关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:2.空间两条直线的位置关系3.直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共的直线a与平面α相交有且只有一个公共的位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点a⊂αa∩α=A直线a与平面α平行无公共点4.平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点,这些点在一条直线上四、典例分析、举一反三题型一直线与直线的位置关系例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B.【答案】见解析.【解析】(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.解题技巧（判定两直线异面的常用方法）(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.跟踪训练一a∥αα∥βα∩β=l1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与棱AB 异面且垂直的棱有( ) (A)8条 (B)6条 (C)4条 (D)3条 【答案】C【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB 平行,有四条与AB 相交,还剩四条,这四条是CC 1,DD 1,A 1D 1,B 1C 1都是与AB 异面且垂直.故选C. 题型二 直线与平面的位置关系例2如图所示,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,试判定BC 1与六个面的位置关系.【答案】见解析．【解析】因为B ∈面BCC 1B 1,C 1∈面BCC 1B 1,所以BC 1⊂面BCC 1B 1.又因为BC 1与面ADD 1A 1无公共点,所以BC 1∥面ADD 1A 1.因为C 1∈面CDD 1C 1,B ∉面CDD 1C 1,所以BC 1与面CDD 1C 1相交,同理BC 1与面ABB 1A 相交,BC 1与面ABCD 相交,BC 1与面A 1B 1C 1D 1相交.解题技巧 (直线与平面位置关系的解题思路)解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.跟踪训练二 1、下列说法中,正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行③若直线a在平面α外,则a∥α.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.题型三平面与平面的位置关系例3 α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【答案】 D【解析】对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.跟踪训练三1、平面α与平面β平行且a⊂α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【解析】因为α∥β,a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本131页练习，131页习题8.5的剩余题.【教学反思】就本节课位置关系学生容易理解，但在做题时容易进入误区，例：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. 所以要求学生做题时要将其所有情况考虑全面.《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案【学习目标】知识目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．核心素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.【学习重点】：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；【学习难点】：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本128-131页，填写。
教案(空间中点、线、面的位置关系)
空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示 平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有 条； （2）与直线B A 1相交的棱有 条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是 ； （4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离； （2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。
初中数学空间理论教案
初中数学空间理论教案1. 让学生掌握空间中点、线、面的基本概念和性质。
2. 培养学生识别和运用点、线、面解决实际问题的能力。
3. 培养学生空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 空间中点、线、面的定义及性质。
2. 点、线、面的位置关系。
3. 点、线、面在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：空间中点、线、面的基本概念和性质，点、线、面的位置关系。
2. 难点：点、线、面的位置关系的运用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解点、线、面的定义及性质。
2. 采用案例分析法，分析点、线、面的位置关系。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识空间中的点、线、面，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解点、线、面的定义及性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 分析：分析点、线、面的位置关系，引导学生运用所学知识分析实际问题。
4. 实践：布置练习题，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识，巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：检查学生对点、线、面知识的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在实际问题中运用点、线、面的能力。
3. 学生反馈：了解学生对教学内容的满意度和建议，不断改进教学方法。
七、教学反思在教学过程中，要注意引导学生从生活中的实例认识点、线、面，培养学生的空间想象力。
同时，通过实际问题，让学生学会运用点、线、面的知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力。
在教学方法上，要注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
【精品】空间点、线、面的位置关系辅导教案
确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．典型例题例1、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[规律方法](1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．练一练：1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．例2、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[规律方法]异面直线的判定方法：(1)定义法：依据定义判断(较为困难)．(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线．(此结论可作为定理使用)．(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．练一练:2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．例3、在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．练一练：若例3中“正方体”改为“正四棱柱”且异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910，试求：AA 1AB的值．[规律方法] 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．过关测试：1、已知正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A 1的距离为1，则异面直线AA 1，BC 1所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.5π122、如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，则异面直线AD 和BC 所成的角为________．方法思想——判断空间线面位置关系(构造法)例1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．例2、已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能[规律方法]点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．课堂总结[思想方法]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解． [易错防范]1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”． 2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件． 3．两条异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．课时作业1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能2. 如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M3. 如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上5. 平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面．6. 如图所示，在三棱锥PABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．7. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．。
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解点、线、面的基本概念。
2. 让学生掌握点、线、面之间的位置关系。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：重点：点、线、面之间的位置关系。
难点：如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点、线、面的位置关系。
2. 利用多媒体课件，直观展示点、线、面的位置关系。
3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。
四、教学准备：1. 多媒体课件。
2. 点、线、面模型。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：通过展示现实生活中的点、线、面实例，引导学生关注空间点线面的位置关系。
2. 点、线、面的概念讲解：讲解点、线、面的基本概念，让学生明确它们之间的关系。
3. 点、线、面的位置关系探究：引导学生通过观察、操作、思考，发现点、线、面之间的位置关系。
4. 案例分析：分析现实生活中点、线、面位置关系的应用，让学生体会知识的价值。
5. 小组讨论：分组讨论如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
6. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 评价目标：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对空间点线面位置关系的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂参与度：观察学生在课堂讨论和提问中的活跃程度和思考深度。
练习正确率：统计学生练习题的正确率，分析学生的掌握情况。
作业完成质量：评估学生作业的完成质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。
3. 评价内容：学生能否准确描述点、线、面的概念及其特征。
学生是否能理解并应用点、线、面的位置关系解决简单问题。
学生是否能在实际情境中识别和运用点、线、面的位置关系。
七、教学拓展：1. 拓展活动：组织学生进行空间几何模型制作，如点、线、面的小模型，让学生通过动手操作进一步理解空间关系。
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： 1. 掌握空间中点、线、面的概念； 2. 理解点线面之间的位置关系； 3. 运用点线面的位置关系解决问题。
二、教学重难点1.重点：点线面的概念与辨析；2.难点：点线面之间的位置关系的判断及应用。
三、教学准备1.教学课件；2.白板、彩色粉笔；3.学生练习用纸。
四、教学过程步骤一：导入1.引入话题：让学生想象自己置身于一个空旷的大地，有一些身体上的特征点，如：头顶、鼻尖、脚尖等；2.提问：学生是否了解这些点在空间中的位置关系？步骤二：点、线、面的概念1.定义点：点是一个没有长度、宽度、高度，只有位置坐标的对象；2.定义线：线是由无数个点连接起来的；3.定义面：面是由无数个线连接起来的，有长度、宽度，但没有厚度。
步骤三：点线面的位置关系1.学习点与点的位置关系：–重合：两个点的位置坐标完全相同；–不重合：两个点的位置坐标不完全相同。
2.学习点与直线的位置关系：–在直线上：点在直线上；–不在直线上：点与直线没有交点。
3.学习点与平面的位置关系：–在平面内：点在平面内；–不在平面内：点与平面没有交点。
4.学习线与线的位置关系：–相交：两条线在某一点上有交集；–平行：两条线没有交点，永远不会相交；–重合：两条线在每个点上都重合。
5.学习线与平面的位置关系：–相交：线与平面有交集；–平行：线与平面没有交点，永远不会相交；–在平面内：线所在的点都在平面内。
6.学习面与面的位置关系：–相交：两个面有交集；–平行：两个面没有交集，永远不会相交；–重合：两个面在每个点上都重合。
步骤四：练习与讨论1.发放练习用纸，让学生尝试判断不同点线面之间的位置关系；2.学生互相交流答案，并进行讨论、核对。
步骤五：拓展应用1.引导学生思考如何运用点线面的位置关系解决问题；2.提供实际问题，鼓励学生利用所学知识进行解答。
五、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并撰写一篇关于点线面位置关系的小结，字数不少于200字。
点线面位置关系教案
4.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a、b 在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三：课堂研讨例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD= 3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.课堂检测——空间点、直线、平面之间的位置关系姓名：1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 .2.给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .3.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .4.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系 .①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条.4.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.。
空间点、直线、平面的位置关系教案
空间点、直线、平面的位置关系一、教学目标：1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系.3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系．4.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面之间的位置关系.5.让学生在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，提升学生的数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理能力。
二、教学重难点与课时安排教学难点：空间中直线、平面之间的位置关系教学重点：空间中直线、平面之间的位置关系的分类与图形表示课时安排：1课时三、教学设计【生活情景导入】1..黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？【引入新课】知识点一空间直线与直线的位置关系在平面上两条直线有两种位置关系：平行和相交，在空间中两条直线有哪些位置关系呢？（引入.异面直线的定义）知识梳理(1)异面直线①定义：不同在同一的两条直线．②异面直线的画法：为了表示它们不共面的特点，作图时，用一个或两个平面衬托．(2)空间两条直线的位置关系：①相交直线——同一平面内，一个公共点；②平行直线——同一平面内，无公共点；③异面直线——不同在任何一个平面内，无公共点知识点二空间中直线与平面的位置关系通过基本事实，我们知道如果一条直线上有两点在平面内，那么这条直线在平面内．如果一条直线和平面只有一个公共点、没有公共点，它们又是什么位置关系呢？知识梳理(1)直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内：有无数个公共点，记作a⊂α；②直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作a∩α=A；③直线与平面平行：无公共点，记作a∥α当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．(2)直线与平面的三种位置关系的画法：知识点三空间中平面与平面的位置关系观察正方体的相对的两个平面，它们没有公共点，它们是什么关系呢？再观察相邻的两个平面它们有一条公共的直线，它们又是什么关系呢？思考生活中的两个平面还有哪些位置关系呢？知识梳理(1)平面与平面的位置关系有两种：①两个平面平行：没有公共点，记作α∥β；②两个平面相交：有一条公共直线，记作α∩β=l.(2)平行平面的画法：使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图【巩固练习】1.选择题.(1)如果两条直线a与b没有公共点，则直线a与b( )A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则直线a与b( ) A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线(3)设直线a，b分别是长方体的相对的两个面的对角线所在的直线，则直线a与b( )A．平行B．相交C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线2.若平面α∥β，直线a∥α，则直线a与平面β的位置关系是( )A．直线a在平面β内B．直线a与平面β相交C．直线a与平面β平行D．直线a在平面β内或直线a与平面β平行3.下列说法正确的有( )①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④如果两平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行. A．0个B．1个C．2个D．3个四、课堂小结1.空间两条直线间的位置关系:①相交直线——同一平面内，一个公共点；②平行直线——同一平面内，无公共点；③异面直线——不同在任何一个平面内，无公共点2.直线与平面之间的三种位置关系:①直线在平面内：有无数个公共点，记作a⊂α；②直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作a∩α=A；③直线与平面平行：无公共点，记作a∥α3.平面与平面之间的两种位置关系:①两个平面平行：没有公共点，记作α∥β；②两个平面相交：有一条公共直线，记作α∩β＝l.四、课后作业五、教学反思。
高三数学 空间点线面之间的位置关系教案
城东蜊市阳光实验学校空间点、线、面之间的位置关系【高考目的定位】一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、考纲点击〔1〕理解空间直线、平面位置关系的定义；〔2〕理解可以作为推理根据的公理和定理；〔3〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以空间几何体为载体，考察逻辑推理才能；〔2〕通过判断位置关系，考察空间想象才能；〔3〕应用公理、定理证明点一一共线、线一一共面等问题；〔4〕多以选择、填空的形式考察，有时也出如今解答题中。
二、直线、平面平行的断定及其性质1、考纲点击〔1〕以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与断定定理；〔2〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以选择、填空的形式考察线与面、面与面平行关系的断定与性质定理的内容；〔2〕在解答题中，综合考察定理的应用。
三、直线、平面垂直的断定及其性质1、考纲点击〔1〕以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与断定定理； 〔2〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以选择、填空的形式，考察线面垂直的断定定理和性质定理； 〔2〕解答题中，考察线面垂直关系及逻辑才能；〔3〕通过考察线面角及二面角，考察空间想象才能及计算才能，常以解答题的形式出现。
【考纲知识梳理】一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的根本性质公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：假设两个不重合的平面有一个公一一共点，那么它们有且只有一条过该点的公一一共直线。
2、直线与直线的位置关系 〔1〕位置关系的分类 〔2〕异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角〔或者者直角〕叫做异面直线a 与b 所成的角〔或者者夹角〕②范围：02π⎛⎤⎥⎝⎦，3、直线和平面的位置关系公一一共点有无数个公一一共点有且只有一个公一一共点没有公一一共点符号表示aα⊂a Aα=//aα图形表示4、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公一一共点个数两平面平行//αβ0两平面相交斜交aαβ=有无数个公一一共点在一条直线上垂直αβ⊥aαβ=有无数个公一一共点在一条直线上5、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案一、教学目标：1.了解空间中点、直线、平面的基本概念，并能够准确描述它们之间的位置关系。
2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的几何性质。
3.应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点：1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的基本属性。
2.能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容：1.空间中点、直线、平面的概念及其表示方法。
2.直线与直线的位置关系：相交、平行。
3.直线与平面的位置关系：相交于一点、平行于平面。
4.平面与平面的位置关系：相交、平行。
四、教学过程：步骤一：导入新知识（15分钟）1.复习并巩固二维平面几何中的直线和平行线的概念，积累一些直线和平行线的性质；2.通过一些常见的平行线的例子，引出直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的位置关系。
步骤二：点、直线、平面的概念及表示方法（10分钟）1.引导学生回顾点、直线、平面的概念和表示方法，使用示意图加深理解；2.提问引导学生思考：点确定直线，直线确定平面，点和平面之间是否必然相交？步骤三：直线与直线的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与直线相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与直线平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤四：直线与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与平面相交于一点时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤五：平面与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察平面与平面相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察平面与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤六：综合应用（15分钟）1.提供一些综合性问题，让学生应用所学知识解决问题；2.引导学生分析问题，并给出解决思路；3.让学生个别或小组合作展开思考，解决问题；4.客观给予学生合理的评价和鼓励。
空间点线面之间的位置关系教案
空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围： .3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意事项1异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2. (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案D【变式1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③题型二异面直线【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．答案：C【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、DF四点共面．1、(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．【变式4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD 的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案B巩固提高1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC 是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．答案：B4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB 与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．答案：①答案：90°。
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计
空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容和内容解析1．内容空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系及其符号表示．2．内容解析在前面的学习中，学生掌握了空间中点线面之间的3条基本事实，和三个推论．学生可借助这些结论和生活实际对空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的关系进行总结和概括．这些感性认识为后面章节研究它们关系的判定和性质奠定了初步的基础．空间中，点、直线、平面这三类对象之间有6类关系，其中点与点、点与线、点与面之间的关系学生已经非常清楚．而直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系，学生只有粗浅的认识．而长方体提供了观察它们之间关系的重要模型．先观察然后归纳长方体中的直线、平面之间的关系，这是新课程改革中较好体现逻辑推理重要学科素养的内容．空间中的几何对象与其代数表示各有其优缺点，代数表示较为简洁、明确，而几何表达较为形象直观．直线、平面之间的位置关系也一样，能利用代数符号表达几何关系，也能用几何图形表达代数符号，是本节课中数学建模这一学科素养的具体体现．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过对长方体和生活中实物的观察，归纳空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系；能够对上述关系进行符号表示，能在几何表示和符号表示之间快速转换．二、目标和目标解析1．目标（1）归纳并理解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系．（2）能对上述关系进行符号表达，能在图形表示与符号表达之间相互转换．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过长方体中具体的直线、平面之间的关系，抽象、归纳出直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，并能在具体的空间图形中回答指定对象较为明显的位置关系．达成目标（2）的标志是：学生能通过类比集合中属于和含于等符号，表达直线与直线间的相交、平行；直线与平面间的在面内、相交、平行；平面与平面的平行、相交等的所有可能的位置关系．对于文字叙述或者符号表达的点线面的位置关系，学生能通过平行四边形、直线、点等图形表示出来，特别是异面直线．三、教学问题诊断分析学生对于点与点，点与线、点与面之间的关系是非常清楚的，但是如何通过抽象，剥离出本质特征，用几何图形表示不是很明白．直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系是后面章节中重点介绍的内容，本节课主要是初步感知这些对象之间关系，并用基本图形表达这些关系．异面直线是用否定性的定义来表达的，即不在任何一个平面内，没有公共点．在用图形表达的时候，只能借助一条直线在面内，一条直线与平面相交，且交点不在前一直线上来展现，或者借助两个相交平面，其各自面内有一直线，它们没有交点来衬托展现．无论是直线与直线、直线与平面、平面与平面中的哪种关系，在用图形表达时，均需借助一个或多个平面展现其相对位置关系．本节课的教学难点是：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的图形表达．四、教学过程设计（一）探究、归纳空间中直线与直线的位置关系问题1 空间中的基本要素有点、直线、平面，它们之间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点在直线上、点不在直线上；点与平面之间有点在面内、点不在面内等等．我们也知道在同一平面中，直线与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系．那么，在空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有哪些位置关系呢？我们可以借助长方体模型或者教室中的物体首先研究一下空间中直线与直线的位置关系有哪些？师生活动：教师展示三维的长方体图形，引导学生通过观察图形中具体的直线与直线间不同的位置关系，梳理归纳出直线之间的相交、平行、异面三种位置关系．设计意图：从现有的平面知识出发，引发空间中对象间的关系，然后具体到难度相对较低的直线与直线间的位置关系.方法主要是观察、归纳．问题2平面中直线与直线的平行关系与空间中直线间的平行关系意义一样吗？那么，相交关系呢？何用图形表示空间中直线之间的平行和相交呢？追问1：两直线异面，即两条直线不在任何一个平面内，又应该怎么用图形表示呢？师生活动：学生应该都能利用平行四边形以及平行四边形内部的线段来准确地画出空间中直线与直线的相交、平行关系，但是对于追问可能会有些难度．但至少可以想到用下图来表示．基本想法是两条直线中一条在面内，另一条一定不在面内，也就是说不能画在平行四边形内部．设计意图：让学生经历从已知到未知，从空间图到直观图的过程．可促进学生经历从特殊到一般的思维过程，体会正难则反的数学探究方法．追问2：既然异面直线是不在同一平面内的直线，能否通过绘制两个不同的平面，再在各自平面中绘制不相交的直线来展现异面直线呢？师生活动：教师提出问题，引导学生认知常见的展现异面直线的情形．通过讨论后，教师展示下图．设计意图：通过不同形式的展示，引导学生全面认识异面直线，其本质为两直线不相交、不平行．（二）探究、归纳空间中直线与平面之间的关系问题3 观察下图，直线AB与长方体的六个平面分别有几个交点，它们之间的位置关系又一样吗？再结合生活中的实例思考，空间中直线与平面有哪些位置关系？师生活动：教师提出问题，引导学生类比空间中直线与直线的位置关系，借助长方体模型或者生活中的实例，探究空间中直线与平面的交点，从而归纳出直线与平面间的位置关系．教师引导学生认识直线与平面相交和直线与平面平行均称直线在平面外．追问1：当直线与平面的交点个数为无数个，一个，零个的时候，我们分别称它们的位置关系为直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行，那么用直观图怎么表示这些位置关系呢？师生活动：直线在平面内时，可以通过在表示平面的平行四边形内画一条线段展现，上一环节中的探究和讨论已经基本可以绘制直线与平面相交的直观图．教师引导学生通过观察生活中直线与平面平行时给人的直观感受来绘制直线与平面平行的直观图，也就是通过直线与平行四边形中的一条边平行来展现．设计意图：教材直接给出了直线与平面的三种位置关系，略作说明地给出了三种位置关系的直观图．此环节可让让学生结合生活中的实例理解这样绘制图形的合理性．体会直线与平面位置关系的常用直观图表示．追问2：点、直线、平面均有对应的符号表示，那么它们之间的位置关系应该怎么用符号表示呢？师生活动：教师引导学生从集合的角度理解直线与平面，自然引出直线与平面相交的基本符号表示为a∩α=A；直线与平面平行的符号为a//α．设计意图：几何与代数是数学对象的两个方面，数形结合认识事物会更全面，学会用数学语言表达世界是数学中的一种基本素养．直线与平面位置关系的直观图表示更形象、更直观，但是符号表达会更简洁、更准确．（三）探究归纳空间中平面与平面的位置关系问题4 观察下图，平面ABCD与长方体的其他平面公共点的个数有什么不同，它们之间的位置关系又有什么不一样？再结合生活中的实例思考，空间中平面与平面有哪些位置关系？师生活动：教师引导学生逐个观察平面ABCD与其他五个平面的交点情况，也可引导学生实际观察教室内地面与四周墙面、天花板的交点情况．引导学生类比直线与直线的位置关系，得到直线与平面的位置关系有平行、相交两种情况．设计意图：与直线与平面之间位置关系的探究类似，通过实例观察抽象出平面与平面的交点情况，再通过类比这一推理方式，得到平面与平面之间的位置关系．这里体现是的对数学抽象和逻辑推理这些数学素养的提升．追问：如何用符号表达平面与平面之间的位置关系？教师引导学生类比直线与直线的平行，还有直线与平面平行的符号表示，来得到平面与平面相交、平行时的符号表示．设计意图：此处的设计与直线与平面之间位置关系的符号表示意图一致，均为加强学生的数形结合意识的培养和数学直观素养的提升．（四）直线、平面位置关系的应用问题5 观察下图长方体中直线与平面，尽可能多地分类举出空间直线、平面位置关系的例子，并用符号表示这些关系．师生活动：教师可让学生在白板上分类写出尽可能多的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其符号表示．设计意图：虽然学生通过观察，逐项探究得到不同对象间的位置关系，但是学生并未形成系统全面的认知，且不熟练．此环节的设置，一方面检测学生对空间中直线、平面位置关系的掌握情况；另一方面，借助长方体中的直线与平面关系的感知，增强学生的空间感．例1如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．例2 如图，直线与具有怎样的位置关系？为什么？师生活动：对于例题1，教师可以请一名学生上台板书，其余同学在台下书写，教师巡视查看学生书写的规范性与全面性．对于例题2，教师可让学生思考，异面直线的定义是对共面的全面否定，对它的证明，最好的方式是进行反正．假定两直线不是异面关系，则它们一定共面，利用已知的基本事实和正确的推理得到矛盾的结论，从而得到之前假设的错误．设计意图：继续强化直线、平面之间位置关系的判定与符号表示．引导学生体会证明两条直线异面时常用的一种逻辑——反证法，提升学生逻辑推理的数学素养．（五）归纳小结，布置作业1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面有哪些位置关系？（3）怎么用符号表示空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？（4）证明两直线异面时用了什么证明方法？设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．2．布置作业教科书第131页第1，2，3，4题，第132页第4题，第9题．五、目标检测设计1．如图所示，用符号语言可表达为( )．A．α∩β＝m，n？α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n？α，A？m，A？nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n设计意图：通过这个题目，检测学生对直线与平面位置关系的判断及其符号表示的掌握情况．2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以上几个结论中，正确结论的序号是( )．A．①②③B．②C．③D．②③设计意图：这个正方体还原后的图形如下图．检测学生在平面图形与空间图形之间的相互转换，提高其空间感，加强学生对直线与直线位置关系的判断，特别是异面直线的判断．3．已知：α∥β，a？α．求证：a∥β．证明：法一：∵α∥β，∴两个平面没有公共点，把平面和直线都看成点的集合，则有α∩β＝？，a？α，∴a∩β＝？，即直线a与平面β无公共点，依据直线和平面平行的定义可得a∥β．法二：假设a不平行于β，则①a∩β＝A，这时α与β有一个公共点A；②a？β，这时α与β有无数个公共点．①和②都与已知α∥β没有公共点矛盾，∴a∥β．设计意图：考查学生运用定理、公理等已知正确的结论，按照正确的推理格式进行推理论证的能力，特别是反证法的应用．。
点线面之间的关系教案
第10讲 § 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，理解异面直线的定义，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. ¤知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：ììïííîïî相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.. 2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ¢¢，把,a b ¢¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ¢¢所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]°，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ^. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲：【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（°的直线有且仅有（ ）. A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解：过P 作a ¢∥a ，b ¢∥b ，若P ∈a ，则取a 为a ¢，若P ∈b ，则取b 为b ¢．这时a ¢，b ¢相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记a ¢，b ¢所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a ¢，b ¢都成30°的直线．°的直线． 过点P 与a ¢，b ¢都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a ¢，b ¢所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l ¢，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B. 【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D . 又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点，为中点， ∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵）∵ 1Q AC Î平面，Q BE Î平面，1P AC Î平面，P BE Î平面，∴ 1AC BE PQ = 平面平面. 又 1AC BE R = 平面， ∴ 1R AC Î平面，R BE Î平面， ∴ R PQ Î. . 即即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面. 证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面a ，使得,a b a a ÌÌ. 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d a Ì. 假设c a Ë，则c C a = , 在平面a 内过点C 作//c b ¢， 因为b //c ，则//c c ¢，此与c c C ¢= 矛盾. 故直线c a Ì. 综上述，a 、b 、c 、d 四线共面. 点评：证明一个图形属于平面图形，证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理需要紧扣公理2及其三条推论，及其三条推论，寻找题中能确定平面的寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，然后从假设出发，然后从假设出发，推出矛盾，推出矛盾，推出矛盾，矛盾的原因是假设矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC 1 ， ∵DC 1∥AB 1，∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角. ∵ ∠CC 1D =45°，°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°. （2）如图，连结DA1、A 1C 1， c'b a d c a C B A P Q F ED 1C 1B1A 1D C BA¤学习目标：¤知识要点：¤例题精讲：321DACDEHF GA B D E F G H A B C D E F G M O 解：依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1AO OA =1BO OB =1CO OC ， 所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1. 由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以111ABC A B C S S D D =（23）2=49. 点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题. 第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想掌握转化思想“线线平“线线平行Þ线面平行”. ¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：,,////a b a b a a a a ËÌÞ. 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG . ∵ F 为PD 中点，中点， ∴ GF ∥CD 且GF =12CD . ∵ AB ∥CD ， AB =CD ， E 为AB 中点，中点，∴ GF ∥AE ， GF =AE ， 四边形AEGF 为平行四边形. ∴ EG ∥AF ，又∵又∵ AF Ë平面PEC ， EG Ì平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC . 【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE =12DC . ∵ DC ∥D 1C 1， DC =D 1C 1 ， F 为D 1C 1的中点，的中点，∴ OE ∥D 1F ， OE =D 1F ， 四边形D 1FEO 为平行四边形. ∴ EF ∥D 1O . 又∵又∵ EF Ë平面BB 1D 1D ， D 1O Ì平面BB 1D 1D ，∴ EF ∥平面BB 1D 1D . 【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：A M ∥平面EFG . 证明：如右图，连结D M ，交GF 于O 点，连结OE ， 在BCD D 中，G 、F 分别是BD 、CD 中点，中点， ∴//GF BC ，∵G 为BD 中点，中点， ∴O 为M D 中点，中点， 在AM AMD D D 中，∵E 、O 为AD 、M D 中点，中点， ∴//EO AM ， 又∵A M Ì平面EFG ，EO Ì平面EFG ， ∴A M ∥平面EFG . 点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用. 【例4】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点 （1）求证：MN //平面P AD ；（2）若4MN BC ==，43PA =，求异面直线P A 与MN 所成的角的大小. 解：（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点，的中点， ∴ NH //=12DC . 由M是AB 的中点，的中点，∴ NH //=AM ，即AMNH 为平行四边形. ∴ //MN AH . 由,MN PAD AH PAD ËÌ平面平面， ∴ //MN PAD 平面. （2） 连接A C 并取其中点为O ，连接OM 、ON ，∴ OM //=12BC ，ON //=12P A ，所以ONM Ð就是异面直线P A 与MN 所成的角，且MO ⊥NO . 由4MN BC ==，43PA =, 得OM =2，ON =23 所以030ONM Ð=，即异面直线P A 与MN 成30°的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，得到相交的线线角，得到相交的线线角，通过解三角形通过解三角形而得. 第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. ¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b a b P a b b b b a a a ÌÌ=üÞýþ . ¤例题精讲：【例1】如右图，如右图，在正方体在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD . 证明：连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴的中点，∴ PN ∥B 1D 1. 又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD . 又PN 不在平面A 1BD 上，∴PN ∥平面A 1BD . 同理，MN ∥平面A 1BD . 又PN ∩MN =N ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 【例2】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：（1）由B 1B //=DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD Ë平面B 1D 1C ，B 1D 1Ì平面B 1D 1C ，∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ． （2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． ∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ． 【例3】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC . 证明： PM ：MA =BN ：N D=PQ ：QD . ∴ MQ //AD ，NQ //BP ， 而BP Ì平面PBC ，NQ Ë平面PBC , ∴ NQ //平面PBC . 又 ABCD 为平行四边形，BC //AD ， ∴ MQ //BC ， 而BC Ì平面PBC ，MQ Ë平面PBC , ∴ MQ //平面PBC . 由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理，，根据平面与平面平行的判定定理，∴ 平面MNQ ∥平面PBC . 点评：由比例线段得到线线平行，由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 【例4】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2,侧棱13A A =，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点. （1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求平面AMN 与平面EFDB 的距离. 证：（1）连接11A C ,分别交MN 、EF 于P 、Q . 连接AC 交BD 于O ，连接AP 、OQ . 由已知可得//MN EF ， ∴ //MN EFDB 平面. A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E FN M P D C Q B A 由已知可得，//PQ AO 且PQ AO =. ∴ //AP OQ , ∴ //AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面EFDB . 解：（2）过1A 作平面AMN 与平面EFDB 的垂线，垂足为H 、H’，易得111'2A H A P HH PQ ==. 由22221122383()42AP A A A P =+=+=, 根据11A AMN A A MN V V --=, 则 13821111233232A H ´´´´=´´，解得131919A H =. 所以，平面AMN 与平面EFDB 的距离为61919. 点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第（2）问求面面距离，求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，巧妙将中间两个平面的距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B 到平面AB ’C 的距离. 第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化平行的转化..¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b a b a b üïÌÞýï=þ . ¤例题精讲： 【例1】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：∵：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ËÌ平面平面， ∴ 111//AA BEE B 平面. 又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE Ì= 平面，平面平面， ∴ 11//AA EE . 则111111//////AA BB BB EE AA EE üÞýþ. 【例2】如图，//AB a ，//AC BD ，C a Î，D a Î，求证：AC BD =. 证明：连结CD ，∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为b ，∵,C D a Î，,C D b Î，∴CD a b = ，∵//AB a ，AB b Ì，CD a b =∴//AB CD ，又∵//AC BD ， ∴ 四边形四边形ACDB 为平行四边形，为平行四边形， ∴∴AC BD =.【例3】如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH . 证明：∵证明：∵ //EH FG ,EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ， D 1C 1B 1A BC D A 1E 1E A a B CD ββa ab∴ //EH BCD 平面. 又 ∵ EH ABD Ì平面，BCD ABD BD = 平面平面, ∴ //EH BD . 又 ∵ EH EFGH Ì平面,BD EFGH Ë平面, ∴ //BD EFGH 平面. 点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64页的3题的演变, 同样还可证//AC 平面EFGH . 【例4】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α 平面β=b ，求证//a b ． 证明：经过a 作两个平面g 和d ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵ a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又 ∵d Ì平面β，c Ë平面β，∴c ∥平面β，又 c Ì平面α，平面α∩平面β=b ，∴ c ∥b ，∵a ∥c ， ∴ a ∥b ． 点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的，这里借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现．证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行. 第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化. ¤知识要点：1. 面面平行的性质：面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，如果两个平行平面同时与第三个平面相交，如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b a b g a g b ==Þ . 2. 其它性质：①//,//l l a b a b ÌÞ； ②//,l l a b a b ^Þ^；③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α. 证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ， 则ME ∥AC ，∴，∴ ME ∥平面α， 又 NE ∥BD ， ∴ NE ∥β， 又M E ∩NE =E ，∴平面MEN ∥平面α，∵MN Ì平面MEN ，∴MN ∥α. 【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面a ，b 外，它们在a 内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在b 内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．证明：∵：∵ A ，B ，C ，D 四点在b 内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，在一条直线上，∴A ，B ，C ，D 四点共面．四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在a 内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，是平行四边形的四个顶点，∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．的交线．∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是平行四边形．是平行四边形．【例3】如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC . d g b a _b _acd b a E N M DB C A证明：作1EP BB ^于P ，连接PF . 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面11ABB A 中，易知111A B BB ^，又1E P B B ^，所以11////EP A B AB . ∴ 11BE BP BA BB =，//EP 平面ABC . 又∵又∵ BE CF =，11BA CB =， ∴ 11CF BP CB BB =，∴ //PF BC ，则//PF 平面ABC . ∵ EP PF P = ，∴，∴ 平面PEF //平面ABC . ∵ EF Ì平面PEF ， ∴ EF //平面ABC . 同理，GF //平面ABC . ∵ EF GF F = ，∴，∴ 平面EFG //平面ABC . 点评：将空间问题转化为平面问题，将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，是解决立体几何问题的重要策略，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质//,//l l a b a b ÌÞ易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想. 【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD . 证明：过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN . ∵ BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴ EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ， ∵ AB 1=BC 1，B 1E =C 1F ，∴AE =BF ， 又∠B 1AB =∠C 1BC =45°，°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM =FN . ∴ 四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又MN Ì平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴1111B E B G B A B B =，11B E C F =，11B A C B =，∴1111C F B G C B B B=， ∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又∵EG FG =G ，AB BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD . b 又EF Ì平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD . 点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行Û线面平行Û面面平行”之间的互相转化而完成证明. 第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. ¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面a 内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面a 互相垂直，记作l a ^. l －平面a 的垂线，a －直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直®线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m Ìa ，n Ìa ，则l ⊥a3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，再作垂线找射影，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，然后通过解直角三角形求解，然后通过解直角三角形求解，可可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. ¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC Ð= ，求证：BD ^平面ACD . 证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. G N M FE E C D B A D 1C1B 1A 1又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG D 中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ^，∴BD AC ^，又90BDC Ð=，即BD CD ^，AC CD C = ， ∴BD ^平面ACD . 【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值. 解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO . 由已知正方体，易知EO ^平面11ABC D ，所以EAO Ð为所求. 在Rt EOA D 中，1112222EO EF A D ===，2215()122AE =+=， 10sin 5EO EAO AE Ð==. 所以直线AE 与平面11ABC D 所成的角的正弦值为105. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ^^，，PO ^平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心. 证明：连接OA 、OB 、OC ，∵，∵ PO ^平面ABC ， ∴ ,PO BC PO AC ^^. 又 ∵ PA BC PB AC ^^，， ∴ BC PAO AC PBO ^^平面，平面，得AO BC BO AC ^^，, ∴ O 为底面△ABC 的垂心. 点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ^^，，求证PC AB ^”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ^后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出. 【例4】已知Rt ABC D ，斜边BC //平面a ，,A a Î AB ，AC 分别与平面a 成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面a 的距离. 解：作1BB a ^于1B ，1CC a ^于1C ，则由//BC a ，得，得 11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面a 的距离，的距离，设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC Ð=Ð= ，∴2,2AC x AB x ==，在Rt ABC D 中，6,90BC BAC =Ð= ，∴223624x x =+，∴6x =，即BC 到平面a 的距离为6．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB a b －－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l a b －－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,a b 内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB Ð叫做二面角的平面角. 范围：0180q °<<°. 3. 定义：两个平面相交，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，如果它们所成的二面角是直二面角，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直. 记作a b ^. 4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直®面面垂直） ¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中C 1B 1C B A aBD CA E F G 点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、F A 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P . （1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF . 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ，∴ P A ⊥平面PEF . ∵EF Ì平面PEF ，∴P A ⊥EF . （2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF . 又PE Ì平面P AE ，∴平面APE ⊥平面APF . 【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ^平面BGD . 证明：,AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ^. 同理可证,AC DG ^ ∴ AC ^面BGD . 又易知EF //AC ，则EF ^面BGD . 又因为EF Ì面BEF ，所以平面BEF ^平面BGD . 【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ^平面平面． 证明：连接AC ，交BD 于F ，连接1A F ，EF ，1A E ，11A C . 由正方体1111ABCD A B C D -，易得11A D A B =，E D E B =，F 是BD 的中点，的中点，所以1,A F BD EF BD ^^，得到1A FE Ð是二面角1A BD E --的平面角. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则，则22222112(2)6A F A A AF =+=+=，222221(2)3EF CE CF =+=+=，22222111(22)19A E AC CE =+=+=. ∴ 22211A F EF A E +=，即1A F EF ^，所以1A BD BED ^平面平面. 点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比 解：（1）延长ED 交CB 延长线于F ， 1//,,.1202DB EC BD EC FB BC AB ABF =\==Ð=° 又， ∴ 30BAF BFA Ð=Ð=°，90FAC Ð=°. ∵,AA AF AC AF ¢^^， ∴ ,A F A E E A C^Ð为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt △AEC 中，EC =AC ，故得∠EAC =45°. （2）设AB =a ，则31132,,,238A BCED BCED AA a BD a EC a Vh S a -¢===\=×=， 23333332,428A B C ABC ABC ADE A B C VS AA a a a V a ¢¢¢¢¢¢¢-D -¢=×=×==. ∴ 3A D E A B C A B C D E V S ¢¢¢--=. 点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用关性质，掌握两个性质定理及定理的应用..¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直®线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若a b ^，l a b = ，a a Ì，a l ^，则a b ^.（面面垂直®线面垂直）¤例题精讲：【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面a 垂直，a 是a 内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？垂直？ E D C 1B 1A 1C BA A C α B a⊥平为底面，按同样的方法即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 上述第¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、间位置关系的命题¤例题精讲：【例1】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别在其面的对角线A 1B 、AC 上运动，且A 1M =AN ，求MN 的最小值. 解：设AN =x ，作NG ⊥AB 于G 点，连MG . ∵BC ⊥AB ，∴NG ∥BC ，又由A 1M = AN 可得MG ⊥AB ， ∴ MG ∥B 1B . 由等角定理知∠MGN =∠B 1BC =90°, ∴ NG =22NA =22x ，MG =22BM =2(2)2x -. ∴ MN 2=NG 2+MG 2=22221121(2)21()2222x x x x x +-=-+=-+. ∴ 当x =22时，MN 2有最小值12，MN 有最小值22. 【例2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ^平面．证明：∵：∵ 1AA ABCD ^平面，∴，∴ 1A A BD ^. 又∵AC BD ^，∴，∴ 1BD AA F ^平面, 得1A F BD ^. 取BC 中点G ，连结1,FG B G ， ∴ 11//A B FG . ∵1111A B BCC B ^平面，∴，∴ 11A B BE ^. 又∵正方形11BCC B 中，E ,G 分别为1,CC BC 的中点，的中点， ∴1BE B G ^，∴ 11BE A B GF ^平面, 得1A F BE ^. 又∵EB BD B = ， ∴1A F BED ^平面． 【例3】正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点. （1）求证：E 、F 、B 、D 共面；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：（1）连接11B D . ∵ E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴的中点，∴ 11//EF B D . 又 ∵ 11//DD BB 且11DD BB =, ∴ 11//BD B D . 根据平行公理4,得到11//EF B D ，所以E 、F 、B 、D 共面. （2）连接11A C ,分别交MN 、EF 于P 、Q . 连接AC 交BD 于O ，连接AP 、OQ . 由已知可得//MN EF ， ∴ //MN EFDB 平面. 由已知可得，//PQ AO 且PQ AO =. ∴ //AP OQ , ∴//AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面EFDB . 点评：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”. 【例4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥P ABC -的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60 .（1）证明：PA BC ^； （2）求底面中心O 到侧面的距离. 解：（1）证明：取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则AD BC ^，PD BC ^，故BC ^平面APD . ∴ PA BC ^. （2）由题意可知点O 在AD 上，PO OD ^. 过点O 作,OE PD E ^为垂足，连接PO . ∵ BC ^平面APD ， ∴ BC OE ^，又有OE PD ^，∴ OE ^平面PBC ，即OE 为点O 到侧面的距离. ∵ AD BC ^，PD BC ^， ∴ P D A Ð是侧面与底面所成二面角的平面角，即60PDO Ð=°. 设OE =h ，则2OP h =,23sin 603OE h OD ==°,323AD OD h ==,4sin 60AD AB h ==°. ∴ 221(4)sin60432ABC S h h D =°=，由体积2318372343233h h h =××=，解得，解得3h =，即底面中心O 到侧面的距离为3. 点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等性质定理等. GFEDCB A D 1C 1B 1A 1。
空间点线面的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系一、教材分析教材从长方体出发，观察它的点、线、面之间的位置关系，让学生仔细地观察，从而对点线面有一个直观的感受。
教材举出实例，并给出两幅实物图片，激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的。
本节的等角定理没有给出证明，而是通过从平面到空间的类比，得到和理解这个定理，显得直观且可信。
二、教学目标1、掌握五类位置关系的分裂及其有关概念，掌握平面的基本性质，即公理1,2,3.提高学生的归纳、类比能力。
2、掌握公理4和等角定理，并会运用它们解决问题，培养学生发展空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。
三、重点难点教学重点：4个公理和等角定理的应用。
教学难点：空间图形的位置关系和公理的归纳。
四、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：①点P 在直线上：；②点P 在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：①点P 在平面上：②点P 在平面外：；（二）平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
••A B αA B aA Baαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭、、公里1解释了空间“线面关系”，确定线是否属于面。
公理2 ：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理2主要是用来“确定平面”。
公理2有三个推论：推论1： 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。
推论2： 经过两条相交直线，可以确定一个平面。
推论3：经过两条平行直线，可以确定一个平面。
公理2及其推论主要用于确定平面；证明点线共面公理3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.••C •B α A 点A 、B 、C 不共线 ⇒ A 、B 、C可以确定一个平面α• • •A B C •αA • •BC •• • A B Cα αβlp• α P =,P P l l l ααββ∈⎫⇒∃∈⎬∈⎭唯一的直线，使得公理3解释了“面面相交”的问题，两个不重合的平面相交，交于一条直线。
6.2.点、线、面的位置关系-湘教版必修3教案
6.2.点、线、面的位置关系-湘教版必修3教案
一、教学目标
1.了解三维空间中点、直线、平面的位置关系；
2.能够应用空间几何图形来解决问题；
3.发现和探究空间几何常识，培养空间想象力和审美能力。
二、教学重难点
1.点、线、面之间的基本关系；
2.如何应用这些关系在空间几何中解决问题。
三、教学内容及课程安排
1.点和直线的位置关系
（1）直线上的点
（2）不在直线上的点
（3）异面直线
2.点和平面的位置关系
（1）位于平面上的点
（2）位于平面外的点
（3）异面平面
（4）交于一点的平面
3.直线和平面的位置关系
（1）直线和平面交于一点
（2）直线在平面上
（3）直线与平面平行
（4）直线与平面垂直
4.问题探究
（1）直线交于平面的问题
（2）平面之间的位置关系
四、教学方法与手段
1.课堂讲解与演示
2.个人独立或小组合作练习
3.课堂讨论与解答
五、教学评估
1.平时练习（40%）
2.课堂表现、合作和讲解（40%）
3.期末考试成绩（20%）
六、教学反思
本节课内容较为抽象，需要学生具备较强的几何空间想象能力。
在教学过程中，可以通过实物模型和图形演示来帮助学生更好地理解抽象的空间概念。
此外，问题探究环节的设立，可以激发学生主动思考、积极探索的学习态度。
在教学中，不能只关注学生的成绩表现，更重要的是培养学生的实际动手能力和综合思考能力。
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空间点线面的位置关系
（一）教学目标：
1. 知识与技能
（1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。
（3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进
行简单的体积或面积运算
2. 过程与方法
（1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观
（1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生
活中的应用。
（二）教学重点和难点：
1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定；
2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。
（三）教学过程： 【复习引入】
提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种?
如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？
【新课讲授】
根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。
1、高考数学（文科）考试说明的了解
2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥a
C.l 1//a 且l 2
⊂a D. l 1
//a 且l 2
⊂a
（2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂
⊥，则m m ,；
②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；
B 1
A 1D 1
C 1
C D
B
A
P
③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α与n 相交； ④若,//,m n m =⋂βα且βα⊄⊄n n ,，则βα////n n 且
其中正确的命题是
简单点拨：题组一主要是对线面、面面位置关系的判断以及根据平行或垂直有关
的定理和公理进行判断，要求学生对性质和定理要熟悉。
题组二：（线面、面面位置关系的推理证明和体积运算） （1）、如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的 长方体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 上的动点．
① 试求四棱锥1111P A B C D -体积的最大值； ② 试判断不论点P 在1AD 上的任何位置， 是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？ 并证明你的结论
（2）、已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的三视图如图所示，其中主视图AA 1B 1B 和 左视图B 1BCC 1均为矩形，在俯视图△A 1B 1C 1中，A 1C 1=3，A 1B 1=5,13
cos .5
A ∠=
① 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是底边AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1. ② 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，求证：
BC ⊥AC 1；
③ 若三棱柱的高为5,求三视图中左
视图的面积.
点拨讲解：要进行平行或垂直的证明，首要是应用什么定理或性质，然后根据定
理的内容对题目进行分析，找出合适的条件。
3、课后练习： P67 1、
4、12
教学札记：空间点线面的位置关系的判断和证明，关键在于学生能够了解关于线
面或面面平行、垂直的判定和性质定理，并能够灵活应用。
B 1
A 1
C 1
俯视图
主视图
左视图
B
B 1
A 1
A
A
A 1
C 1
C C
C B B 1
C 1
B
B 1
C 1
D。