复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分）

1、复数i 212--

的指数形式是 2、函数w =z

1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上

的曲线是 3.若01=+z

e ,则z ＝

4、()i i +1=

5、积分()⎰+--+i

dz z 2222= 6、积分

⎰==1sin 21z dz z

z

i π 7、幂级数()∑∞

=+0

1n n n z i 的收敛半径R=

8、0=z 是函数

z

e z 1

11-

-的 奇点 9、=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1Re

21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ）

A 无意义

B 等于1

C 是复数其实部等于1

D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）

A i i 2<

B 零的辐角是零

C 仅存在一个数z,使得z z

-=1 D iz z i

=1

3、下列命题正确的是（ ）

A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析

C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛

D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ）

A i 232

1-

B 2

23i - C 223i +- D i 2

3

21+

- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）

A z

1sin 1

B z 1

cos C z ctg e 1

D Lnz

6、下列积分之值不等于0的是( )

A ⎰

=-

1

2

3

z z dz B ⎰=-

1

2

1

z z dz C ⎰=++12

42z z z dz

D ⎰=1

cos z z dz

7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）

A ()∑∞

=+-0

2121n n

n

n z （z

<1） B ()

∑∞

=+-0

1

221n n n

n

z （z <1） C ()∑∞

=++-0

1

2121n n n

n z （z

<1） D ()

∑∞

=-0

221n n

n

n z （z <1）

8、幂级数n n n z 20

1)1(∑∞

=+-在1

内的和函数是（ ）

A

2

11

z - B

2

11z + C

112-z D

2

11

z +-

9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()

=-⎰dz i a z

z C

2

cos （ ）

A 0

B e

π2i C 2πie D icosi

10、将单位圆1w 的分式线性变

换是（ ）

A )1(1>--=a z a a z e w i β

B )1(1<--=a z a a

z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β

D )1(<--=a a

z a

z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,2

2z

z =

成立

2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点

3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21<

4、（ ）z=∞是函数()=

z f ()

2

5

1z z -的三阶极点

5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）

1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值

2、计算积分⎰=--2

2

)1(2

5z dz z z z

3、将函数()1

1+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛

范围

4、计算实积分I=⎰∞

+++02

22

)

4)(1(dx x x x 5、求2

11

)(z z f +=

在指定圆环+∞<-

6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1

()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L

五、证明题（每小题7分）

1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析

（2）在某一点D z ∈0有0)(0)(=z f n ，（Λ,2,1=n ） 证明：)(z f 在D 内必为常数 2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1

内有n 个根

一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1

i e

π6

54-，2 2

1=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0,

Λ

2,1±±)， 4

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-ππk i e

e 242ln (k=0,Λ2,1±±)

5 3

i -, 6 0 , 7

2

1 , 8 可去， 9 2

e ， 10 z

1-

二 单选题（每小题2分，共20分）

1 D

2 D

3 A

4 A

5 B

6 B

7 C

8 D

9 A 10 A

三 判断题（每小题2分，共10分）

1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题（每小题6分，共36分）

1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3Λ分 y x

v u = y dx ay x 22+=+

x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分

解得:1,2-====c b d a 6

Λ