第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
数学(文)二轮复习通用课件：专题五第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题共54页
数学（文）二轮复习通用课件：专题 五第四讲大题考法——圆锥曲线中的
定点、定值、存在性问题
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题
(2)设 A、B、P 点的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)、
P(0，y0)．
考 点
显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k，
训 练
核 心
则直线 l 的方程是 y＝k(x－m)．
高 效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何
基
础
将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并
础 要 点
1．(2013·焦作模拟)椭圆 G：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两
整 合
个焦点为 F1(－c,0)，F2(c,0)，M 是椭圆上的一点，且满
解 题 规 范 流 程
足F→1M·F→2M＝0.
(1)求离心率的取值范围；
(2)当离心率 e 取得最小值时，椭圆上的点到焦点的
最近距离为 4( 2－1)．
解答题
难度 较难
此类以直线和圆锥曲线为载体，求某些
考
考查 内容
定值问题，常与一元二次方程、函数、 向量、数列等知识交汇命题，其实质是 考查直线与圆锥曲线的位置关系，该类
训
点
问题一般以证明题或探究的形式出现.
练
核
高
心
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何
基 础 要
解 题 规
训
点 核 心
又 k≠0，∴－ 294＜k＜0 或 0＜k＜ 294，
练 高 效
突 破
∴所求的 k 的取值范围是－
294＜k＜0 或 0＜k＜
94 2.
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
10
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
y＝k（x－1） 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122， |AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （3＋8k42k2）2－4×43k＋2－4k122＝12（3＋1＋4kk22）.
4
直线 MA 的方程为 y＋1＝xy11＋＋12(x＋2)，则 P－4，－2（x1y＋1＋2 1）－1， 即 P－4，－（mmy1＋－22）y1. 直线 NA 的方程为 y＋1＝xy22＋＋12(x＋2)，则 Q－4，－2（x2y＋2＋2 1）－1， 即 Q－4，－（mmy2＋－22）y2.
5
所以||BPBQ||＝（mmy＋1－2）2 y1（mmy＋2－2）2 y2 ＝mmyy11yy22－ －22yy12＝mm8822＋＋mm 44－－22yy21 ＝yy11＋ ＋yy22－ －22yy12＝1. 综上，||BPBQ||＝1.
圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
1
定值问题
(2020·高考北京卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 过点 A(－2，－1)，且 a＝ 2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(－4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x＝－4 于点 P，Q，求||BPBQ||的值．
17
圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该 方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为 坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新
（新课标）2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（新课标）2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版的全部内容。
第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的上顶点为P，右顶点为Q,直线PQ与圆x2＋y2＝错误!相切于点M错误!.（1)求椭圆C的方程;(2）若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且错误!·错误!＝0，求证：直线l 过定点．解：(1）由已知得直线OM（O为坐标原点）的斜率k OM＝2，则直线PQ的斜率k PQ＝－错误!＝－错误!，所以直线PQ的方程为y－错误!＝－错误!错误!,即x＋2y＝2.可求得P（0，1）,Q(2，0）,故a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1.（2）证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋n(n≠1），由错误!,消去y整理得（4k2＋1）x2＋8knx＋4（n2－1)＝0,Δ＝（8kn)2－4×4(4k2＋1)（n2－1）＝16（4k2＋1－n2)〉0，得4k2＋1〉n2。
①设A(x1,y1)，B（x2，y2)，则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.②由错误!·错误!＝0，得(x1，y1－1）·(x2,y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n,所以(k2＋1）x1x2＋k(n－1）（x1＋x2)＋(n－1）2＝0，③由②③得n＝1(舍），或n＝－错误!，满足①.此时l的方程为y＝kx－错误!，故直线l过定点错误!。
第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
ac＝ 22， [解] 由题意得2ab2＝ 2，
a2＝b2＋c2，
a＝ 2， 解得b＝1，
c＝1，
∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)在直线 x＝2 上是否存在点 D，使得△DAB 为正三角形？
若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] 存在，理由如下：
ห้องสมุดไป่ตู้
设直线 AB 的方程为 x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的 中点为 M.
y－y1＝kx－y412，
联立方程得y－y1＝kx－y421， y2＝4x
消去 x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky21＝0， ∵M 是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky21)＝0， 即 4－4ky1＋k2y21＝0，解得 k＝y21，
∴直线 PM 的方程为 y－y1＝y21x－y421，即 y＝y21x＋y21， 同理得直线 PN 的方程为 y＝y22x＋y22，
第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与 系数的关系正确写出；
第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中 涉及的位置关系和数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何 问题中．
在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，选用恰当 运算方法，合理地简化运算.
[典例] (2018·稽阳联谊学校高三联考) 已知离心率为 23的椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
kDM＝－m， 由于△DAB 为正三角形，则有d＝ 23|AB|，
即|mm12t＋＋－m21|2t＝＝－23×2m23－23×mmm，22＋＋21，
解得 m＝± 22，则 t＝±452.
∴存在点 D2，±452满足题意．
圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
解答
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于 点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
证明
3.已知椭圆
E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率是
23，点
P1，
23在椭圆
E
上.
(1)求椭圆E的方程；
ac＝ 23， 解 由题意得a12＋43b2＝1，
解答
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G，H和M，N，且 E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.
证明
5.已知焦距为 2 2的椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点为 A，直线 y＝43与 椭圆 C 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆C的方程；
解答
模板答题规范练
模板体验
典例 (12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行 于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点m3 ，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平 行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由.
方法技巧 (1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t， 由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0). (2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量 恒成立，令其系数等于零，得出定点.
4.已知两点 A(－
2，0)，B(
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版)
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值•解决这类问题的一般思路是：(1) 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等.(2) 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.(3) 求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明.2 2 —【例1】已知椭圆C: x? +右=l(a>b>0)的离心率为乎，点Q b,-［在椭圆上，0为坐a b 2< b J标原点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P, M , N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S 为定值，并求该定值.题组训练一圆锥曲线中的定点、定值问题2 2已知椭圆C : X2+ y2= 1过A(2,o), B(0,1)两点.a b(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.题型二圆锥曲线中的范围问题题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．【例2】设圆F i：/+ y2+ 4x= 0的圆心为F i,直线I过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，且与圆F i相交于两点C、D，过F2作F i C的平行线交直线F i D于点E.(1)证明||EF i|—|EF2||为定值，并写出点的轨迹方程；⑵设点E的轨迹曲线与直线I交于M, N两点，过F2且与垂直的直线与圆F i交于P, Q两点，求△ PQM与厶PQN的面积之和的取值范围.题组训练二圆锥曲线中的范围问题设圆x2+ y2+ 2x—i5 = 0的圆心为A，直线I过点B(i,O)且与x轴不重合，I交圆A于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(i)证明|EA|+ |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；⑵设点E 的轨迹为曲线 C i ,直线I 交C i 于M , N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆 A交于P , Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.题型三圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在， 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.(1)求椭圆C 的方程；⑵设过点A(4,0)的直线I 与椭圆相交于 M , N 两点(点M 在A , N 两点之间)，是否存在 直线I 使厶AMF 与厶MFN 的面积相等？若存在，试求直线I 的方程；若不存在，请说明理由． 【例3】已知椭圆2 C ： X2 + a 2 i 『3 ] 治=1(a>b>0)的离心率为",且过点P 1,- F 为其右焦点.题组训练三圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C: x2= 2py(p>0)的焦点为F，直线2x—y+ 2= 0交抛物线C于A, B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.⑴D是抛物线C上的动点，点E(—1,3)，若直线AB过焦点F ,求|DF|+ |DE |的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QA+ QB|=|2QA —QB| ?若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．题型四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法: 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解•求最值方法有：(1) 利用基本不等式求最值时要注意一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可.(2) 通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.【例4】已知P为圆A: (x+ 1)2+ y2= 12上的动点，点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T,记点T的轨迹为r(1)求曲线『的方程；⑵设M , N是『上的两个动点，MN的中点H在圆x2+ y2= 1上，求原点到MN距离的最小值.题组训练四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题2 2 . ixOy中，椭圆C: *+器=1(a>b>0)的离心率是今，抛物线E: x2= 2y 的焦点F是C的一个平面直角坐标系顶点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；51②直线I与y轴交于点6,记厶PFG的面积为S，△ PDM的面积为求三的最大值52及取得最大值时点P的坐标.【专题训练】1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为¥，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB, AC,若直线AB, AC斜率之积为1直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理4由.2. 已知两点A( —2, 0), B(,2, 0)，动点P在y轴上的投影是Q,且2PA PB = |PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；⑵过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G, H , M , N,且E i, E2分别是GH ,MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.2 2 23. 如图，椭圆E：字+存=1(a>b>0),经过点A(0, —1)，且离心率为才(1)求椭圆E的方程;⑵经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q(均异于点A),证明: 直线AP与AQ的斜率之和为定值.24. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率为双曲线y2—号=1离心率的一半，直线y = x被椭圆E截得的线段长为一.直线|: y = kx+ m与y轴交于点P,与椭圆E交于A, B两个相异点，且AP =沪B.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数m,使OA + ^0B= 40P?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.。
高考数学圆锥曲线定点、定值、存在性问题
方法二 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， 因为点P与点M关于x轴对称，所以y3＝－y1， 设直线PQ的方程为x＝ty＋2， 代入y2＝4x得y2－4ty－8＝0，所以y1y2＝－8， 设直线MQ的方程为x＝my＋n， 代入y2＝4x得y2－4my－4n＝0， 所以y2y3＝－4n， 因为y3＝－y1， 所以y2y3＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2， 所以直线MQ的方程为x＝my－2，必过定点(－2，0).
(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不 是，请说明理由.
解 方法一 因为点P与点M关于x轴对称， 所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)， 设直线PQ的方程为y＝k(x－2)， 代入y2＝4x，得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0， 所以x1x2＝4， 设直线MQ的方程为y＝mx＋n， 代入y2＝4x，得m2x2＋(2mn－4)x＋n2＝0， 所以 x1x2＝mn22＝4， 因为x1>0，x2>0， 所以mn ＝2，即 n＝2m，
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA， PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F， 并说明理由.
解 以MN为直径的圆一定过点F，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，代入抛物线C：y2＝4x， 化简整理得y2－4my－4＝0， 则yy11＋ y2＝y2＝ －44m，， 由(1)知P(4，4)， 所以直线 PA 的方程为 y－4＝xy11－ －44(x－4)＝myy1－1－43(x－4)， 令 x＝－1 得 y＝4mm－y15－y31＋8，
专题五圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) __________________________ 热点分类突破 __________________________-典例研撕 各吓击區-热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1) 分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2) 注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3) “先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明 确的方向.例1已知P (0,2)是椭圆C ： a 2+b 2 =l (a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e=g.(1)求椭圆的方程；⑵过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A , B 两点，若*与12的斜率之和 为一4,则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.厂b = 2 ,解(1)由题意可得c =¥，a 3—2 - b 2 + c 2 ,解得a -眉,b-2 , c -辭,・•・椭圆的方程为手+芍-1. ⑵当直线AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y - kx + t ， A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2)，y-kx + t ,联立,x 2 y 2消去y 并整理， X 2 + y 2 — 1€ 6 4' 可得(3k + 2)x 2 + 6ktx + 3t 2 - 12-0 ,- 36(kt )2 - 4 x (3k 2 + 2)⑶2 - 12)>0 ,即24(6k2－t2＋4)>0，则x i+x2_^^^- ,x i x2_3^-121 23k2+2 1 23k2+ 2由l1与l2的斜率之和为-4 , 可得y!-+ y2-_-4,x1 x2又y i = kx1 + t, y2二kx2+1 ,y1- 2 _ y2- 2 _ kx1+1 - 2 _ kx2+1 - 2 . + _ +x1 x2 x1 x2- 6kt(t - 2)・----(t - 2)(x1+ x2) 3k2 + 2_2k+1——忆 _2k+ _- 4 ,3t2 - 12x1x23k2＋2化简可得t二-k - 2 ,.*.y _ kx - k - 2 _ k(x - 1) - 2 ,•°•直线AB经过定点(1 , - 2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x _ m , A(m , yj , B(m , y2),y i-2,y2-2_y i+y2-4,m m m又点A， B 均在椭圆上，. A ， B 关于x 轴对称，. y i+ y2_ 0，. m_ i，故直线AB的方程为x_1 ,也过点(1 ,-2),综上直线AB经过定点，定点为(1 , - 2).跟踪演练1 (2019・攀枝花模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值；(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A, B(均与P不重合)，直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解 ⑴由抛物线定义可知I PF I 二4 f 2）二5，解得P 二2 ,故抛物线C 的方程为y 2二4x ,将P （4 , t ）（t >0）代入抛物线方程解得t 二4.⑵以MN 为直径的圆一定过点F ,理由如下：设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2），设直线AB 的方程为x 二my + l （m 丘R ），代入抛物线C ：y 2 = 4x , 化简整理得y 2 - 4my -4 = 0,环2 二-4，由⑴知P （4,4）,所以直线PA 的方程为y -4二乩三(x -4)二丄三(x -4), x l - 4 my l - 3令x =-1得y 二的-5)儿+ 8, my l - 3__ - (4m - + 8、即 M - 1 , ------ 丛一,€ m y 1 -3 丿 同理可得j - 1 ,的-5汕+ 8€ m y 2 - 3 丿(4m - 5)y〔 + 8 (4m - 5)y 2 + 8 (2m - D 2y 1y 2 + (8m - 10)(y 1+y 2) + 16m 2y 1y 2- 3m (y 1+ y 2)+ 9-4(2m - |,2 + 4m (8m - 10) + 16-4m 2 - 3m ・4m + 916m 2- 9= 二-1 ,- 16m 2+ 9:.MF 丄NF , 故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF ・NF=0).热点二 定值问题 ：'k MF k NF2(my 1 - 3) 2(my 2 - 3)求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2已知椭圆C：02+b2=l(a>b>O)经过点(0, V3),离心率为2,左、右焦点分别为厲(一c,0),F2(c,0).(1)求椭圆C的方程；3(2)P, N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为一4证明：M, N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0，间，所以b =\：3 , 又因为e二2,所以V，2 a 2又C2 = a2~ b2 ,解得a 二 2 , b 二护, 所以椭圆C的方程为》+等二1.⑵证明设P , M , N三点坐标分别为(x p, y p) , (x M, y M) , (x N, y N), 设直线PM , PN斜率分别为k i, k2, 则直线pM方程为y~y p = k1(x - x P),x2+y2 二 1 由方程组,4 3' 消去y,得、y-y P二k1…x - x P(3 + 4k#)x2 - 8k1(k1x p- y p)x + 4k x p - 8k1x p y p+ 4y p - 12 二0 , 由根与系数的关系可得x +x二贴伙1Xp - yp),M p3+ 4k21故x_8k1(k1x p-y p) X_ 4k2x p- 8k”- 3x p,M_ 3 + 4* p_ 3 + 4k2 '从而 X N + X M =0，即 M ，N 两点的横坐标之和为常数 0.跟踪演练2 (2019.四川百校冲刺卷)已知椭圆C ： X 2+y 2=l 的左、右焦点分别为F ], F 2,点 P (m , n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l ： x =4的距离为d 证明：韵为定值；⑵若0V m V 2, A , B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合)，且直线PA , PB 的斜率互为 相反数，求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知，得a 2 = 4 , b 2 = 3 , :.C 2 = a 2 - b 2=1 ,即 F 1(- 1,0)， F 2(1,0).(2)解 当0 < m < 2时，则n M 0 ,直线PA , PB 的斜率一定存在.同理可得S + Xp 二 sag 一 y p )3＋4k 22.d…l PF 2l 2 为定值.2l m - 4l设 A (X 1, y 1) , B (x 2 , y 2)，直线 PA 的斜率为 k ,则直线PA 的方程为y - n 二k (x - m ),即y-kx- km + n ,与椭圆C 的方程3x 2 + 4y 2二12 , 联立组成方程组，消去y ,整理得，(3 + 4k 2)x 2 - 8k (km - n )x + 4(km - n )2 - 12-0.工是4(km - n )2 - 12 于疋 x 二 ',y - kx, - km + n . 1 (3 + 4k 2)m I II 1根据直线PB 的斜率为-k ，将上式中的k 用-k 代替,4( - km - n )2 - 12 4(km + n )2 - 12 得x 二 - 2 [3 + 4( - k )2]m (3 + 4k 2)my 2-- kx 2+ km + n .于是 y 1 - y 2 二(kx 1 - km + n ) - (- kx 2 + km + n )- k (x 1+ x 2)- 2km(3 + 4k 2)m (3 + 4k 2)m 8(k 2m 2 + n 2)- 24 - 2m 2(3 + 4k 2) k •一(3 + 4k 2)m8n 2- 24- 6m 2注意到 3m 2+ 4n 2- 12，得 12- 4n 2- 3m 2，(3 + 4k 2)m k ，4(km - n )2 -12x 1 - x 2 -II 2 (3 + 4k 2)m 由根与系数的关系，得m ・x i4(km - n )2 - 123 + 4k 2 -k 4(km - n )2 - 12 4(km + n )2_ 2km4(km + n )2- 12 (3 + 4k 2)m 4[(km - n )2 - (km + n )2] _ - 16kmn(3 + 4k 2)m(3 + 4k 2)m 因此，直线AB 的斜率为J y^2 x 1 -x 2_ (8n2 - 24 - 6m2)k－16kmn_ 3m2- 4n2+ 12 _ 6m2 _3m_ 寸9- 3m8mn 8mn 4n 2n热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3 (2019•乐山、峨眉山联考)已知椭圆G：a2+b2=1(a>b>0)过点人(1，和点B(0，T)・⑴求椭圆G的方程；(2)设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M, N,记线段MN的中点为P,是否存在实数m,使得I BM I = I BN I?若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.解(1)椭圆G：a+b2_1(a>b>0)过点A,1,普…和点B(0，-1)，:.b_1 ,由丄+ — _ 1，解得。
圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一：直线过定点问题①设直线为m kx y +=，根据题目给出的条件找出m 与k 之间的关系即可②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为()()n m x k f y +-=的形式，即可求出定点。
考点二：定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三：定直线问题①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的y x ,相同，然后再用韦达定理带入化简即可得y x ,的关系即为定直线【题型目录】题型一：直线圆过定点问题题型二：斜率面积等定值问题题型三：定直线问题【典型例题】题型一：直线过定点问题【例1】已知点()1,1P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，12PF F △的面(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆()222:01O x y r r +=<<相切，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（i ）证明：121k k =；（ii ）证明：直线AB 过定点.，即可求椭圆若10m k +-=，则直线():111AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点P ，舍去.若330m k ++=，则直线():3333AB ykx k k x =--=--，此时AB 恒过点()3,3-，所以直线AB 过定点()3,3-.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．【例3】已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，其中POQ △的面积为1（O 为原点），椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，求证：直线l 过定点．【例4】已知椭圆C ：221(0)x y a b a b+=>>过点()2,0A -．右焦点为F ，纵坐标为2的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程；(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．的坐标代入椭圆【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．【例5】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【题型专练】1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为A 到右焦点F 的距离为3．(1)求椭圆C 的方程(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.的方程3.已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点2P ⎛ ⎝⎭在E 上.(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.4.焦距为2c 的椭圆2222:1x y a bΓ+=（a ＞b ＞0），如果满足“2b =a +c ”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆2222:1x y a b Γ+=（a ＞b ＞0）是“等差椭圆”，求b a的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A 为椭圆短轴的上顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由．题型二：斜率面积等定值问题【例1】动点M 与定点(1,0)A 的距离和M 到定直线4x =的距离之比是常数12．(1)求动点M 的轨迹G 的方程；(2)经过定点(2,1)M -的直线l 交曲线G 于A ，B 两点，设(2,0)P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +恒为定值．【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,1Q x 在椭圆上且位于第一象限，12QF F 121QFQF ⋅=-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上异于点Q 的两动点，记QM ，QN 的倾斜角分别为α，β，当αβπ+=时，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例3】已知点()2,1P -在椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>上，C 的长轴长为2:l y kx m =+与C 交于,A B 两点，直线,PA PB 的斜率之积为14.(1)求证：k 为定值；(2)若直线l 与x 轴交于点Q ，求22||QA QB +的值.【例4】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的离心率23e =,且椭圆C 的右顶点与抛物线212y x =的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程．(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ,直线():1l y k x =-与椭圆C 交于E ,D 两点,且点E 的纵坐标大于0,直线12,A E A D 与y 轴分别交于()()0,,0,P Q P y Q y 两点,问:P Qy y 的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．【例5】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.【例6】已知P 为圆22:4M x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足，若点Q 满足DQ =.(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点()1,0N -作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E F ､，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.-.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.【例7】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【点睛】方法点睛：探究性问题求解的思路及策略：(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1D ，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点D 关于原点对称的点为A ，过点()4,0B -且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ，求证PBBQ为定值.3．如下图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．由抛物线定义可知抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，即可求出结果4．如图，椭圆214x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，1F ，2F 的圆与y 轴正半轴交于点()10,A y ，经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：011(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线MP，MQ的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．Q5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.6．已知椭圆22Γ:1a b+=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.7．已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x =的距离之比为3．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)曲线C 上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，平面上点()2,0E -，连结PE ，PF 并延长，分别交曲线C 于点A ，B ，若1PE EA λ= ，2PF FB λ=，问，12λλ+是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．8．已知椭圆2:14x C y +=，过点0,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析k9．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且离心率为12，椭圆C 的长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的一点，以线段BD 为直径作圆E ，若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l 与直线AD 相交于点,P 试判断1PF PH +是否为定值，并说明理由.））可知()()()222,0,2,0,1,0A B F F H -=，112212PF PH PF PF F H PF PF +=+-=+()()2,0,E m m ≠则()2,2,D m 圆E 的半径为则直线AD 直线方程为(2)2my x =+，的方程为1,x ty =+10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，直线AB 与圆22:3O x y +=相切，切点为M ，且2AM MB =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于E 、F 两点，试判断：PE PF ⋅是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.11．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.题型三：定直线问题【例1】已知如图，长为宽为12的矩形ABCD，以为,A B焦点的椭圆2222:1x yMa b+=恰好过,C D两点，(1)求椭圆M的标准方程；(2)根据（1）所得椭圆M的标准方程，若AB是椭圆M的左右顶点，过点(1,0)的动直线l交椭圆M与CD两点，试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【例2】已知椭圆:C22221x ya b＋＝（0a b>>）的离心率为23，且⎭为C上一点.(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左､右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O，点M关于原点O的对称点为M'，若直线AM'与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上.【例3】已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线y =与C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为4+ 2.(1)求C 的标准方程；(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ，不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ，E ，直线PD 与QE 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【题型专练】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①1k k 为定值；②点M 在定直线上.C2.已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，左顶点为1A ，左焦点为1F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，M 为C 上一动点，11M AF △1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ，证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上.。
考点41 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题问题典型高考数学试题解读与变式(解析版)
+
y1 y2
=
(1 +
k 2 )x1x2
+
km( x1
+
x2 ) +
m2
=
(1 +
k 2 )(2m2 1+ 2k 2
− 6)
− 4k 2m2 1+ 2k2
+
m2
3m2 6k 2 6 1 2k 2
0
OA ⊥ OB ， 所以 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O .
【数学思想】
①数形结合思想．
②分类讨论思想．
于点 M ， N ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
x2 y2
【解析】（1）
设椭圆 C 的方程为 a2
+ b2
=1
(a b 0)
，
因为椭圆的左焦点为 F1 ( − 2，0) ，所以 a2 − b2 = 4 ．
( ) 42
2k + 2k
2
．
同理可得点
N
0,
1
−
2
1
2k + 2k
2
．
( ) MN =
2 2k − 2 2k
2 2 1+ 2k 2 =
所以
1+ 1+ 2k2 1− 1+ 2k2
k
．
设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0, −
2 k ．
则以
MN
为直径的圆的方程为
x2
+
y
+
2 k
2
+
专题七7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件
适的方法.
关键能力 学案突破
热点一
圆锥曲线中的定点问题
2
【例1】(202X全国Ⅰ,理20)已知A,B分别为椭圆E: 2 +y2=1(a>1)的左、右
顶点,G为E的上顶点, · =8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点
此时直线 MN 过点 P
2 1
,3 3
令 Q 为 AP 的中点,即 Q
.
4 1
,
3 3
.
若 D 与 P 不重合,则由题设知 AP 是
与P
1
2 2
Rt△ADP 的斜边,故|DQ|=2|AP|= 3 .若 D
1
重合,则|DQ|=2|AP|.
综上,存在点 Q
4 1
,
3 3
,使得|DQ|为定值.
解题心得有关存在性问题的求解策略
由方程组
2
4
+ 2 = 1,
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
= + ,
8
4 2 -4
∴x1+x2=-4 2 +1,x1x2=4 2 +1.又由
π
α+β= 2 ,
∴tan α·
tan β=1.设直线 MA,MB 斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=1,
∴
1
bx+ay-ab=0,
2 5
.
5
因为△OAB 的面积为
1
1,所以 ab=1,即
2
2
所以椭圆的标准方程为 +y2=1.
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课件理
大题考法
—— 圆 锥 曲 线 中 的 定点、定值、存 在性问题
题型(一)
线上.
定点问题
主要考查直线、 曲线过定点或两条直线的交点在定曲
[ 典例感悟]
[典例] 点 x2 y2 (2017· 全国卷Ⅰ)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)，四 a b
3 3 ， P 1 ， 4 中恰有三点在椭圆 2 2
[解]
(1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，
故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点． 1 1 1 3 又由 2＋ 2> 2＋ 2知，椭圆 C 不经过点 P1， a b a 4b 所以点 P2 在椭圆 C 上． 1 b2＝1， 因此 3 1 ＝1， 2＋ 4b2 a
2 a ＝4， 解得 2 b ＝1.
[ 对点训练]
x2 (2017· 全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： ＋y2＝ 2 ―→ 1 上， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N， 点 P 满足 NP ＝ 2 (1)求点 P 的轨迹方程； ―→ ―→ (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且 OP · PQ ＝1.证明：过点 P 且 垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. ―→ NM .
[类题通法]
动线过定点问题的 2 大类型及解法
类型
解法 设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示 为t＝mk＋n，得y－n＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，n) 引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立， 令其系数等于零，得出定点
动直线l过定点问题
动曲线C过定点问题
4－t2－2 4－t2＋2 则由 k1＋k2＝ － ＝－1，得 t＝2，不符 2t 2t 合题设． 从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)． x2 将 y＝kx＋m 代入 ＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 4 由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
联立方程得y＝y21x＋y21， y＝y22x＋y22，
x＝y14y2， 解得y＝y1＋2 y2，
∵Q 是线段 MN 的中点，∴y0＝y1＋2 y2，
∴PQ ∥x 轴，且 x0＝x1＋2 x2＝y21＋8 y22，
∴Py14y2，y1＋2 y2，
∴△PMN 的面积 S＝12|PQ |·|y1－y2|＝12y14y2－x0·|y1－y2|＝ 12y14y2－y12＋8 y22·|y1－y2|＝116|y1－y2|3＝32，即△PMN 的面积为定值．
(1)求椭圆的标准方程；
ac＝ 22， [解] 由题意得2ab2＝ 2，
a2＝b2＋c2，
a＝ 2， 解b＝1，
c＝1，
∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)在直线 x＝2 上是否存在点 D，使得△DAB 为正三角形？
若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] 存在，理由如下：
∴椭圆 E 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)问直线 CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定
点，请说明理由． [解] 由题意知，A(0,1)，B(0，－1)，则直线 MA 的方程为 y＝mx ＋
1，直线 MB 的方程为 y＝3mx－1，
y＝mx ＋1， 联立x42＋y2＝1，
x－m－2＋8m4， 即 y＝121－6mm2x＋12，∴直线 CD 过定点0，12.
[方法技巧] 动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y ＝kx＋t，由题设条件将 t 用 k 表示为 t＝mk，得 y＝k(x＋m)，故 动直线过定点(－m,0)．
y－y1＝kx－y412，
联立方程得y－y1＝kx－y421， y2＝4x
消去 x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky21＝0， ∵M 是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky21)＝0， 即 4－4ky1＋k2y21＝0，解得 k＝y21，
∴直线 PM 的方程为 y－y1＝y21x－y421，即 y＝y21x＋y21， 同理得直线 PN 的方程为 y＝y22x＋y22，
P
x3，53，Q
y＝2x＋t， (x4，y4)，由x22＋y2＝1
消去 x，
得 9y2－2ty＋t2－8＝0，所以 y1＋y2＝29t，
且由 Δ＝4t2－36(t2－8)>0，得－3<t<3. 由―PM→＝―N→Q ，得x1－x3，y1－53＝(x4－x2，y4－y2)，
圆 E 的上下顶点，动点 M 在第一象限内且坐标为(m,2)，过 M 作
直线 MA，MB 分别交椭圆 E 于 C，D 两点．
(1)求椭圆 E 的标准方程；
[解] 由 e＝ac＝ 23，a2＝b2＋c2，得 a＝2b.
①
1
把 2， 22代入椭圆方程，得a22＋b22＝1.
②
联立①②，解得 a＝2，b＝1，
又易得|PA|2＝(x1－m)2＋y21＝4116y21，同理可得|PB|2＝4116y22.
则|PA|2＋|PB|2＝4116(y21＋y22)＝4116[(y1＋y2)2－2y1y2]＝ 4116－45m2－16m225－25＝41. 所以|PA|2＋|PB|2 是定值．
y＝3mx－1， x42＋y2＝1，
得 xC＝m－2＋8m4，xD＝m22＋4m36，
∴Cm－2＋8m4，mm22－ ＋44，Dm22＋4m36，－mm2＋2＋3636， ∴kCD＝xyDD－－yxCC＝m－2－161m2，则直线 CD 的方程为 y－mm22－＋44＝121－6mm2
题型(三) 存 在 性 问 题
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查学生分 析问题和解决问题的能力.
[典例感悟] [典例 3] (2019 届高三·浙江七校联考)已知中心在原点，焦
点在 x 轴上的椭圆的离心率为 22，直线 l 过椭圆右焦点 F，且交
椭圆于 A，B 两点，当直线 l 的倾斜角为π2时，|AB|＝ 2.
第 四 讲 大题考法——
圆锥曲线中的定点、 定值、存在性问题
题型(一) 定点问题
主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定 曲线上.
[典例感悟] [典例 1] (2018·宁波“十校”高三 5 月联考)
已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝ 23，
且点 P
2， 22为椭圆 E 上一点．点 A，B 为椭
第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与 系数的关系正确写出；
第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中 涉及的位置关系和数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何 问题中．
在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，选用恰当 运算方法，合理地简化运算.
[典例] (2018·稽阳联谊学校高三联考) 已知离心率为 23的椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y＝53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q ，满 足―PM→＝―N→Q ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
解：不存在满足条件的直线，证明如下：
设直线的方程为 y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
[方法技巧] 求解定值问题的两大途径
(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明 定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其 满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母 约分得定值．
[演练冲关] 2．(2019 届高三·湖南五市十校联考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
题型(二) 定 值 问 题
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查转化与 化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的 定值问题.
[典例感悟] [典例 2] 已知抛物线 C：y2＝2px(p>1)上的点 A 到其焦点的 距离为32，且点 A 在曲线 x＋y2－52＝0 上． (1)求抛物线 C 的方程； [解] 设点 A(xA，yA)， ∵点 A 到抛物线焦点的距离为32， ∴xA＝32－p2，y2A＝2pxA＝2p32－p2， 又点 A 在曲线 x＋y2－52＝0 上，∴32－p2＋2p32－p2－52＝0， 即 p2－52p＋1＝0，解得 p＝2 或 p＝12(舍去)， ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
[演练冲关] 3．(2018·惠州调研)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右
焦点分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)，点 A1， 22在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的标准方程； 解：设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c＝1，
因为 A1， 22在椭圆 C 上， 所以 2a＝|AF1|＋|AF2|＝2 2， 因此 a＝ 2，b2＝a2－c2＝1， 故椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1.
所以有 y1－53＝y4－y2， 即 y4＝y1＋y2－53＝29t－53. 又－3<t<3，所以－73<y4<－1， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．
[高考5个大题] 题题研诀窃
圆锥曲线问题巧在“设”——难在“算”
[思维流程]
[技法指导] 圆锥曲线解答题的常见类型是：第(1)小题通常是根据已知条 件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第(2)小题往往是通过 方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、 定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一 小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解 时，可将整个解题过程分成程序化的三步：
(2)若 k1＋k2＝k1k2，证明：直线 BC 恒过定点． 解：证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y＝k1x＋1－2k1，直
线 AC 的方程为 y＝k2x＋1－2k2，联立xy＝2＝k41xy，＋1－2k1， 消去 y 得 x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得 x＝2 或 x＝4k1－2， 因此点 B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得 C(4k2－2，(2k2－1)2)． 于是直线 BC 的斜率 k＝24kk1－ 1－122－ －24kk22－ －122 ＝4k1－4k2k1－k1＋k2k2－1＝k1＋k2－1，又 k1＋k2＝k1k2， 所以直线 BC 的方程为 y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－(4k2－2)]， 即 y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3. 故直线 BC 恒过定点(2，－3)．
(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 C 上异于原点的两点，Q (x0，
y0)是线段 MN 的中点，点 P 是抛物线 C 在点 M，N 处切线的交 点，若|y1－y2|＝4p，证明△PMN 的面积为定值．
[解] 证明：由(1)知 My421，y1，Ny422，y2，|y1－y2|＝8，设 抛物线 C 在点 M 处的切线的斜率为 k(k≠0)，则该切线的方程为
1＋m2·|y1－y2|＝2
2m2＋1 m2＋2 .
假设存在点 D(2，t)使得△DAB 为正三角形， 则 D 到直线 AB 的距离 d＝ |m1t＋－m1|2，
kDM＝－m， 由于△DAB 为正三角形，则有d＝ 23|AB|，
即|mm12t＋＋－m21|2t＝＝－23×2m23－23×mmm，22＋＋21，
(2)动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方 程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
[演练冲关] 1.如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E