中学数学竞赛讲义—极限的概念及求极限方法
求极限的方法和技巧

1
= b + lim x(e x −1) x→+∞
(a = 1)
= b + lim x ⋅ 1 x x→+∞
(等价无穷小代换)
= b+1
故 a = b = 1.
【例
2】(1997 年
4)求极限
lxi→m0 ⎢⎣⎡
a x
−( 1 x2
− a 2 ) ln(1 +
ax)⎥⎦⎤
(a ≠ 0)
a2 []
2
6
(B)仅有一个跳跃间断点;
(C)有两个可去间断点;
(D)有两个跳跃间断点;
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ;5. e 2 6.(B); 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
+ 1)(5x
+ 1)
=
α
≠
0, ,则(
)
(A)α = 5!, β = 5.
(C) α
=
1 25
,β
=
5.
(B) α
=
5! 25
,β
=
5.
(D) α
=
5 25
,β
=
4.
(B)
【例 9】已知 lim (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(5x + 1) + ax + b = 16, ,则( )
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中,求极限是一个重要的概念,也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中,有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法,帮助我们更全面地理解求极限的概念,并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义,当x趋向于a时,函数f(x)的极限为L,即对于任意的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义,可以求得一些简单的极限,如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时,可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限,可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则,我们可以将复杂的函数分解成简单的部分,再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1),可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时,可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值,例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则,我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题,从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时,可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式,然后再进行求解。
通过泰勒展开,我们可以将复杂函数近似为一个多项式,从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换,可以将复杂的函数转化为简单的形式,然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x,可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的概念和求解方法

极限的概念和求解方法在数学中,极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时,函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时,函数f(x)的取值无限接近某个值L,我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L,记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性:如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L,那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性:如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0,那么在a的邻域内,函数f(x)的取值也大于0;同理,如果极限L小于0,那么在a的邻域内,函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理:如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中,存在一点x_0使得当x靠近x_0时,f(x)≤g(x)≤h(x),并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L,那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法:当函数在某个点存在定义时,可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如,对于函数f(x)=2x+3,当x趋近于2时,可以将x=2代入函数中计算,得到极限值为7。
2. 分析法:利用函数的性质和极限特性,通过分析函数在极限点附近的取值趋势,来求解极限。
例如,对于函数f(x)=x^2+3x-1,当x趋近于2时,可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限:有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如,对于函数f(x)=(e^x-1)/x,当x趋近于0时,可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则:对于一些特殊的函数形式,如0/0或∞/∞,可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
极限、导数与定积分

( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 (1)利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内,若 f ′( x) > 0 ,则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内,若 f ′( x) < 0 ,则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. (2)利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件:若函数 f ( x) 在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则
2
数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写:孟伟业
反思 感悟 拓展 提升:
(3)复合函数的导数 设函数 y = f (u ) , u = ϕ ( x) ,已知 ϕ ( x) 在 x 处可导, f (u ) 对应的点 u ( u = ϕ ( x) ) 处 可 导 , 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 , 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写:孟伟业
反思 感悟 拓展 提升:
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数(如下图左) ,则 ∫ f ( x)dx = 0 ;
x0 x y0 y − 2 =1; a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点,则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 (1)常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = ( k , b 为常数) ( C 为常数) ( α 为常数) ⑥ ( e x )′ = e x
计算极限的方法总结

计算极限的方法总结极限是数学中重要的概念之一,它用于描述函数或数列在无穷趋近其中一点或其中一数值时的表现。
计算极限的方法有很多种,下面将总结常用的计算极限的方法。
1.代入法:代入法是最基本也是最直接的计算极限的方法。
它适用于能够通过简单代入计算出结果的情况。
通过将极限的变量代入函数中,从而得到极限的值。
2.分式归结法:分式归结法适用于计算含有分式的极限。
通过对分子、分母同时归结或分解,简化极限计算过程。
3.推状极限法:推状极限法也称为夹逼定理,适用于计算含有复杂函数的极限。
通过找到两个函数,一个小于待求函数,一个大于待求函数,并且两个函数的极限相等,从而得到待求函数的极限。
4.极限的四则运算法则:对于已知的极限,可以利用极限的四则运算法则计算复杂函数的极限。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法,其中除法需要注意除数不能为零。
5.极限的换元法:当函数含有复杂的表达式时,可以通过进行合适的换元来简化函数求极限的过程。
常见的换元包括三角函数换元、指数函数换元、对数函数换元等。
6.形式极限法:形式极限法适用于计算复杂函数包含无穷大、无穷小量级的极限。
将函数转化为形式极限后,可以利用已知的极限进行计算。
7.泰勒级数展开法:泰勒级数展开法适用于计算函数在特定点处的极限。
通过对函数进行泰勒级数展开,可以将函数转化为多项式的形式,从而计算出极限。
8.洛必达法则:洛必达法则适用于极限存在不确定形式,即0/0或无穷/无穷的情况。
该法则通过对函数的分子和分母分别求导,然后再计算极限的值。
9.幂次不等式法:幂次不等式法适用于计算幂函数的极限。
通过利用幂函数的大小关系,可以确定幂函数的极限。
10.斜线渐进法:斜线渐进法适用于计算函数在无穷远处的极限。
通过将函数分子和分母同时除以最高阶的幂,可以得到斜率为1的直线函数,从而计算出极限。
总结以上所述,计算极限的方法有代入法、分式归结法、推状极限法、极限的四则运算法则、极限的换元法、形式极限法、泰勒级数展开法、洛必达法则、幂次不等式法和斜线渐进法等等。
数学极限公式知识点总结

数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的,它可以在多种情况下应用,比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一,也是微积分的核心内容之一。
所以,掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳,希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时,函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下,我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如,可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时,我们通常使用无穷小量的代换法,可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外,我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时,函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下,我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如,可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时,我们通常使用洛必达法则,可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外,我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念,它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中,无穷小量是指在某一点附近(通常是无穷小范围内)取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况,也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时,我们通常使用无穷小量的代换法,可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外,我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时,我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
62、数学竞赛辅导之-极限2

例
求极限
a lxim0 x
1 x2
a
2
l
n(1
ax
)
解:原式
lxim0
a x
1 x2
ln(1
ax)
lima2
x0
ln(1
ax)
ax ln(1 ax)
lim
x0
x2
a a lim 1 ax
x0 2x
a2x
lim
x0
2
2!
n! (n + 1)!
那么
e = 1+1+ 1 ++ 1 + 1 +
2!
n! (n + 1)!
2en!=
2 [(1 + 1 +
1
++
1
).n!+
n!(1 + o(1)) ]
即
lim
n→∞
xn
=
3
例 设数列xn 满足 0 x1 , xn1 sin xn(n 1,2,)
(1)证明:lim n
xn存在,并求该极限;
1
(2)计算
lnim
xn1 xn
xn2
提示:(1)用归纳法证明单调下降且有下界
(2)用重要极限和洛必达法则
解: (1)由题目可得 0 < xn ≤1 ,则 xn+1 = sin xn < xn
+
2 n2 + 2
++
n n2 + n
,有
1 n(n + 1)
1 n(n + 1) n + 1
高中数学 第十四章《极限与极值》数学竞赛讲义 苏教版

第十四章 极限与导数一、基础知识 1.极限定义:(1)若数列{u n }满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m 且n ∈N 时,恒有|u n -A|<ε成立(A 为常数),则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限,记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→,另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A,称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2.极限的四则运算:如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b,那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续:如果函数f(x)在x=x 0处有定义,且0lim x x →f(x)存在,并且0lim x x →f(x)=f(x 0),则称f(x)在x=x 0处连续。
4.最大值最小值定理:如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5.导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时(Δx 充分小),因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数(或变化率),记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ,即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。
极限的常用求法及技巧

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限,从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法,极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要,但是运算题目多,而且技巧性强,灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关,为此,本文对极限的求法做了一些归纳总结,我们学过的极限有许多种类型:数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分),其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类,如果再详细分下去,还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x趋于正无穷,x趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限及函数极限在求解方法上的区别及联系,以做到能够举一反三,触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ,使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作或)(,∞→∞→n a n 读作当n 趋于无穷大时,{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--(nn n 因此,对于任给的ε>0,只要,便有即当n ε9>时,(2)试成立。
又因为(1)式是在3≥n 的条件下也成立,故应取在利用数列的N -ε定义时,应意识到下几点1.ε的任意性 定义中的正数ε的作用在于衡量数列通项{}n a 及定数a 的接近程度,ε越小,表示接近的愈好;而正数ε可以任意的小,说明{}n a 及a 可以接近到任何程度。
求极限的方法及例题总结

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 解:原式= 。 注:本题也可以用洛比达法则。
16直接使用求导数的定义来求极限 , (一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式,
别注意)
看见了有特
十、利用级数收敛的必要条件求极限 级数收敛的必要条件是:若级数
收敛,则 ,故对某些极限 ,可将函数 作为级数 的一般项,只须证明此技术收敛,便有
。 例
十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了 求相应级数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂 级数,有时为Fourier级数)。使得要求的极限恰好是该函数项级数的 和函数在某点的值。 例求
(2)和都可导,且的导数不为0; (3)存在(或是无穷大); 则极限也一定存在,且等于,即= 。 说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满 足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件 (1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都 满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达 法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即 有: ~~~~~~ 。 说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价 关系成立,例如:当时, ~ ; ~ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且 等于,即=。
极限的概念及求极限方法

极限数列极限的定义一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即n a a -无限地接近于0),那么就说数列{}n a 以a 为极限. 注:a 不一定是{}n a 中的项. 几个常用的极限(1)lim n C C →∞=(C 为常数);(2)1lim =0n n→∞;(3)lim 0n n q →∞=(1q <).两个重要极限(1)0sin lim0x x x →= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭数列极限的四则运算法则设数列{a n }、{b n },当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时,lim()n n n a b a b →∞±=±;lim()n n n a b a b →∞=;limn n na ab b →∞=(0b ≠). 求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。
函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中的重要概念,它在分析数学、物理和工程学等领域中具有广泛的应用。
在实际问题中,我们经常需要求解函数极限,以帮助我们更好地理解函数在某一点的行为。
在微积分中,有多种方法可以帮助我们求解函数极限,包括代数法、夹逼法、洛必达法等。
本文将介绍这几种求解函数极限的方法,并举例说明其应用。
一、代数法代数法是求解函数极限最基本的方法之一。
对于一个给定的函数,如果其极限存在,那么我们可以通过代数运算来求解。
代数法的基本思想就是通过变形、化简等代数运算,将函数化为更易求解的形式。
一般来说,我们可以利用分子有理化、分母有理化、分子分母同时有理化等方法来求解。
下面通过一个例子来说明代数法的求解过程。
例1:求解函数极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)解:我们可以尝试直接代入x=2来求解:lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = (2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0由于分子为0、分母也为0,无法直接求解。
此时,我们可以尝试分子有理化:(x^2 - 4) = (x+2)(x-2)可以看到,此时分母可以约去(x-2),得到:lim(x→2) (x+2)再次代入x=2,得到极限值:lim(x→2) (x+2) = 4二、夹逼法夹逼法也是求解函数极限常用的方法之一。
当函数极限存在时,夹逼法可以通过构造两个函数,使得它们夹住原函数,并且这两个函数的极限值相等,从而求得原函数的极限值。
夹逼法的核心思想是通过构造合适的不等式来限制函数值的大小,从而求解函数极限。
下面通过一个例子来说明夹逼法的求解过程。
解:对于x*sin(1/x)函数,当x≠0时,我们可以得到不等式:-x ≤ x*sin(1/x) ≤ x两边同乘以x,得到:-x^2 ≤ x*sin(1/x) ≤ x^2显然,当x→0时,-x^2和x^2都趋近于0,根据夹逼法,我们可以求得极限:lim(x→0) x*sin(1/x) = 0通过夹逼法,我们成功求解了函数极限lim(x→0) x*sin(1/x)的值为0。
极限的计算方法总结
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极限的计算方法总结导读:“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结,希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x 趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的`原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
极限的基本概念及判定方法
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极限的基本概念及判定方法极限是微积分中的重要概念,用于描述函数在某点的趋势和变化。
本文将介绍极限的基本概念以及判定方法,以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是极限?在数学中,极限是一种数列或函数逐渐趋近于某个确定值的性质。
当自变量趋近于某个值时,函数的取值也逐渐接近于一个确定的值,这个确定的值就是函数的极限。
考虑一个函数f(x),当自变量x无限接近于某个值a时,如果存在一个确定的常数L,使得对任意给定的正数ε(无论多么小),总存在着另一个正数δ,只要自变量x满足0 < |x - a| < δ,就有|f(x) - L| < ε成立,那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限,记作:lim(x→a) f(x) = L二、函数极限的判定方法1. 函数极限是否存在的判定方法函数极限存在的判定方法主要有以下三种情况:- 左极限等于右极限。
即lim(x→a^(-)) f(x) = lim(x→a^(+)) f(x)- 左极限等于函数值。
即lim(x→a^(-)) f(x) = f(a)- 右极限等于函数值。
即lim(x→a^(+)) f(x) = f(a)2. 函数的无穷大极限判定方法若函数f(x)当x趋于无穷大时趋于无穷大,记作lim(x→∞) f(x) = +∞;而当x趋于无穷小时趋于无穷大,记作lim(x→0) f(x) = +∞。
3. 函数的等价无穷小极限判定方法如果在x趋于某一点a的过程中,函数f(x)与g(x)之间存在一个关系,使得lim(x→a) g(x) = 0,则称函数f(x)是g(x)的一个等价无穷小。
三、极限的运算性质极限具有一些基本的运算性质,以下是常见的运算性质:1. 两个函数极限的和等于函数的和的极限。
即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. 两个函数极限的差等于函数的差的极限。
极限的基本概念及判定方法
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极限的基本概念及判定方法极限是微积分学中的基本概念之一,它是描述函数趋于某一特定值时的行为的数学工具。
在本文中,我们将介绍极限的基本概念并讨论常见的判定方法。
1. 极限的基本概念在微积分中,当自变量趋近于某一特定值时,函数的取值也会相应地趋近于一个特定值,这个特定值就是函数的极限。
用数学符号表示为:lim(x→a) f(x) = L其中,lim表示极限,x→a表示自变量x趋近于a,f(x)表示函数,L表示极限值。
这个符号的意思是当x无限接近于a时,f(x)无限接近于L。
2. 极限的判定方法2.1 通过函数图像观察法最直观的方法是通过观察函数的图像来判断极限。
当自变量x趋近于某一值时,如果函数的图像趋近于某一水平线(如水平线y=L),则可以认为函数的极限存在,并且极限值为L。
2.2 代入法另一种用于判定极限的方法是代入法。
如果函数在某一点a的附近存在定义,并且当自变量x趋近于a时,函数的取值无限接近于某一特定值L,则可以通过代入a的值来验证极限的存在。
2.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的判定极限的方法。
如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足以下条件:- 对于自变量x在a的某个邻域内,有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x);- lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L。
那么,当x趋近于a时,函数g(x)的极限存在,并且极限值为L。
2.4 无穷小量和无穷大量无穷小量是指在极限运算中趋于零的量,通常用符号o(x)表示。
相对应地,无穷大量则是在极限运算中趋于无穷的量,用符号O(x)表示。
通过无穷小量和无穷大量的概念,我们可以定义函数的极限。
3. 总结通过对极限的基本概念和判定方法的介绍,我们了解了极限的概念以及判定方法的一些基本原理。
在实际应用中,判定函数的极限可以通过观察函数图像、代入法、夹逼定理以及无穷小量和无穷大量的概念来进行。
掌握这些方法,可以帮助我们更好地理解函数在不同自变量取值下的行为,并在微积分学中应用。
极限的基本概念及计算方法
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极限的基本概念及计算方法极限是微积分的基本概念之一,是描述函数趋近某一特定值的概念。
在数学中,极限使用符号lim来表示,通过求取极限,我们可以研究函数的性质和行为,以及解决一些与变化相关的问题。
在本文中,我们将介绍极限的基本概念,并探讨一些常用的极限计算方法。
一、极限的定义在数学中,我们使用极限来描述函数在某一点或趋于无穷时的行为。
设函数f(x)定义在某一区间上,当自变量x无限接近某一值a时,如果函数值f(x)无限接近某一常数L,称函数f(x)在x趋于a的过程中的极限为L,记作:lim(f(x)) = Lx→a其中,lim表示极限运算,x→a表示自变量x趋于a的过程。
二、极限的性质在计算极限时,有一些基本的性质需要注意:1. 极限的唯一性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在,那么极限值L是唯一确定的。
2. 逼近性:当函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在时,函数值f(x)无限接近于L,但不一定等于L。
3. 有界性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且有限,那么函数f(x)在某个邻域内是有界的。
4. 保号性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且不为零,那么函数f(x)在极限值L的邻域内具有相同的符号。
三、常用的极限计算方法在计算极限时,有几种常用的方法可以帮助我们求取极限:1. 代入法:对于一些简单的函数,可以直接将极限值代入函数中计算得到结果。
例如,当求取lim(x→3) (2x+1)时,可以直接将x=3代入函数得到结果。
2. 基本极限法则:根据一些基本的极限性质,我们可以将复杂的函数求极限的问题转化为求取一些基本的极限式子的问题。
例如,lim(x→0) (sin x / x)可以使用基本极限法则转化为求取lim(x→0) sin x / lim(x→0) x,而这两个极限都是已知的。
3. 张举法:对于一些复杂的函数,我们可以通过引入新的变量或变形来简化计算。
例如,当求取lim(x→∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 + 5)时,可以将分子和分母同时除以x^2,得到lim(x→∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 +5/x^2)。
2020高中数学竞赛-微积分(联赛版)极限与连续-附:习题课(含答案)(共43张PPT)
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x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2. 单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4. 间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
x
0
x0
x
第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限
至少
有
一个
不存
在,
则
称
点x
为
0
函数f
(
x
)的
第二
类间断点.
y
第
二
类
间
断
0
x0
x
点
无穷型
y
0
x
振荡型
6. 闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
极限的计算方法总结归纳
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极限的计算方法总结归纳“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结,希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
极限的定义与求解方法
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极限的定义与求解方法极限是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点附近的特性。
通过极限的求解,我们可以了解函数的趋势、性质和变化规律,从而为微积分的应用提供了基础。
本文将介绍极限的定义以及常见的求解方法。
一、极限的定义在介绍极限的定义之前,我们需要先了解一些基本的概念。
在数学中,函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合的规则。
对于函数f(x),我们可以通过自变量x的取值来确定因变量f(x)的值。
而极限则是描述了函数在某一点附近的行为。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义,如果存在一个实数L,对于任意给定的正数ε(无论多么小),总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε成立,那么我们称L是函数f(x)当x趋于a时的极限,记作:lim┬(x→a)〖f(x)=L〗其中,x→a表示x趋于a的过程,L表示极限的值。
二、极限的求解方法1. 代入法当函数在某一点处有定义时,我们可以直接将该点的值代入函数中,得到极限的值。
例如,对于函数f(x)=2x+1,我们要求lim┬(x→2)〖f(x)〗,只需要将x=2代入函数中,得到f(2)=2(2)+1=5,即lim┬(x→2)〖f(x)=5〗。
2. 无穷小量法对于一些特殊的函数,我们可以通过无穷小量的性质来求解极限。
无穷小量是指当自变量趋于某一点时,函数值趋于零的量。
例如,对于函数f(x)=(sinx)/x,我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗,可以利用无穷小量sinx/x的性质,得到lim┬(x→0)〖f(x)〗=1。
3. 夹逼定理夹逼定理是求解极限中常用的方法,它利用了函数与其他已知函数之间的大小关系。
夹逼定理的核心思想是找到两个已知函数,它们的极限值相等,并且夹在待求函数的中间。
例如,对于函数f(x)=x^2sin(1/x),我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗,可以通过夹逼定理得到0≤|f(x)|≤x^2,由于lim┬(x→0)〖x^2〗=0,因此lim┬(x→0)〖f(x)〗=0。
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中学数学竞赛讲义—极限数列极限的定义一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即n a a -无限地接近于0),那么就说数列{}n a 以a 为极限. 注:a 不一定是{}n a 中的项. 几个常用的极限(1)lim n C C →∞=(C 为常数);(2)1lim =0n n→∞;(3)lim 0n n q →∞=(1q <).两个重要极限(1)0sin lim0x x x →= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭数列极限的四则运算法则设数列{a n }、{b n },当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时,l i m ()n n n ab a b →∞±=±;lim()n n n a b a b →∞= ;limn n na ab b →∞=(0b ≠). 求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键4.应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim0=→x x x 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5:求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X1+,最后凑指数部分。
【解】222121112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ;(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ,求a 。
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-; (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式..; (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选.....。
例7:求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+=-【解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.例8:求极限xxx x 30tan sin lim -→【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 6.用罗必塔法则求极限例9:求极限220)sin 1ln(2cos ln lim xx x x +-→ 【说明】∞∞或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→xx xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim20-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解例10:设函数f(x)连续,且0)0(≠f ,求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxx x x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f7.用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限例11:极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→【解】 x x x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限,也可用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -因为===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -例12:求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫⎪⎝⎭= 20l n 2c o s l n 3l i m x x x →+-=()01s i n 2c o s l i m2x x x x →⋅-+=() 011s i n 1l i m22c o s 6x x x x →=-⋅=-+ 【解2】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭= 2c o s 1ln 3limx x x →-+=(1)20c o s 11l i m 36x x x →-==-8.利用Taylor 公式求极限例13 求极限 ) 0 ( ,2lim 20>-+-→a xa a x x x . 【解】 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x +++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x a a x x +=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14 求极限011lim (cot )x x x x →-.【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x→→--= 323230()[1()]3!2!lim x x x x x x x xοο→-+--+= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.9.数列极限转化成函数极限求解例15:极限21sin lim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→【说明】这是∞1形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有一定难度,若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限611sin 11011sin 222lim lim 1sin lim -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e ex x y y y y x x x x x x所以,6121sin lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛e n n n n10.n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例16:极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成[0,1]定积分。
⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n 【解】原式=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→222112111111lim n n n n n n 1212ln2111102+--=+=⎰dx x例17:极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 【说明】(1)该题遇上一题类似,但是不能凑成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n f n f n f n n 211lim 的形式,因而用两边夹法则求解;(2) 两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n又nn n n +∞→2lim11lim2=+=∞→n nn所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim =1 12.单调有界数列的极限问题例18:设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== (Ⅰ)证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 (Ⅰ)因为10x π<<,则210sin 1x x π<=≤<. 可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ,则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<,(因当0sin x x x ><时,), 则有1n n x x +<,可见数列{}n x 单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=,在1sin n n x x +=两边令n →∞,得 sin l l =,解得0l =,即lim 0n n x →∞=.(Ⅱ) 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由(Ⅰ)知该极限为1∞型, 61sin 01sin 110032221lim lim sin 1lim --→⎪⎭⎫⎝⎛-→→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e e e x x xx x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。