山东省高考仿真模拟冲刺(三)数学理试题及答案

高考仿真模拟冲刺考试（三）数学理
满分150分 考试用时120分钟
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()
1()(n k p p C k P k
n k
k
n n =-=-
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的） 1．若复数2
(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数
=
a （ ）
A ．1±
B ．1-
C ．0
D ．1 2．下列有关命题的叙述错误的是
（ ）
A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件
C ．命题“x x R x -∈∀2
,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0”
D ．“x ＞2”是“
2
1
1<x ”的充分不必要条件
3．设集合{}
{}|,|5,,A x x k N B x x x Q ==∈=≤∈则B 等于
（ ）
A ．{1, 2,5}
B ．{l, 2，4, 5}
C ．{1，4, 5}
D ．{1，2，4}
4．在样本的频率分布直方图中，一共有)3(≥m m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1
个小矩形面积和的4
1，且样本容量为100，则第3组的频数是 （ ）
A ．10
B ．25
C ．20
D ．40
5．如右图,在△ABC 中, 13
AN NC =
,P 是BN 上的一点,若29
AP m AB AC −−→
−−→
−−
→=+,则实数m 的值为 （ ）
A ．
1
9
B ．
3
1
C ．1
D ．3
6．已知()()()2,log 0,1x a f
x a g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，
y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
7．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有/()()f x f x >，则有
（ ）
A ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->> D ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e
f f f e f -<>
8．将函数x y 2sin =的图象向右平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为
（ ）
A ．
1)4
2sin(+-=π
x y
B ．x y 2
cos 2= C ．x y 2
sin 2=
D ．
x y 2cos -=
9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每
个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有
（ ）
A ．192
B ．144
C ．288
D ．240
10．如果函数2()ln(1)
a f x x
b =-
+的图象在1x =处的切线l 过点1
(0,)b
-，并且l 与圆C ：221x y +=相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是
（ ）
A ．在圆上
B ．在圆外
C ．在圆内
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上） 11．等差数列{a n }中，a 4+ a 10+ a 16=30，则a 18-2a 14的值为 ．
12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
050
2402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．
13．二项式（1+sinx ）n
的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
2
5
，
则x 在[0，2π]内的值为 ． 14．直线l 过点(1,3)-，且与曲线1
2
y x =
-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；
15．下列结论中正确的是 ．
① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于
直线x=1对称；
② 2
~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则
③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数
1.2
1(ln ),(log 3),(0.4),;43
a f
b f
c f c a b -===<<设则
④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．
三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7
cos 9
B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.
如图,在三棱锥
ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作
SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.
求证：（Ⅰ）平面//EFG 平面ABC ;
（Ⅱ）SA BC ⊥.
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：3
1()f x x =,2()5x
f x =,3()2f x =，
421()21x x
f x -=+，5()sin()2
f x x π
=+，6()cos f x x x =． （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

在此条件下，求
两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则
停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
设函数22222()1(,)23n n
n x x x f x x x R n N n
=-+++++∈∈ ,证明:
（Ⅰ）对每个n
n N ∈,存在唯一的2
[
,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =; （Ⅱ）对任意n
p N ∈,由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<
已知函数()
f x=lnx-ax-3（a≠0）．（Ⅰ）讨论()
f x的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1,2]，函数
2
3
()[2()]
2
x
g x x m f x
'
=+-在区间（a,3）上有最值，
求实数m的取值范围．
如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆
4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交
椭圆1C 于另一点D （Ⅰ）求椭圆1C 的方程;
（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.
理科数学（三）
18．解：（Ⅰ）()3
1f x x =为奇函数；()25x
f x =为偶函数；()32f x =为偶函数；
()42121x x f x -=+为奇函数；()5sin()2
f x x π=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数.
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数， 一个为偶函数;故基本事件总数为112
333C C C + .
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为2
3C
故所求概率为231123331
4
C P C C C ==+,
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． 10
3
)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，
20
1
)4(,203)3(1313141
115121613141315121613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；
故ξ的分布列为
.4
7201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ∴ξ的数学期望为.47
19．
(Ⅰ) 2
24232224321)(0n x x x x x x f n x y x n
n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函
数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅
++-<--⋅++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122242322 时当]1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f
综上,对每个n n N ∈,存在唯一的
2[,1]
3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x
x x x x x f x x n
n n n n n n n p n n
)()1(4321)(2
212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f p n p
n n p n n p n p n p n p n p n p n p n 上式相减:
2
21
224
23
22
2242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n
p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++
++++++++=++++++++++++++ ）
（
）（
2
2
12
2
4
42
3
32
2
2)
()1(-4-3-2
--p n x n x n x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ n x x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 20．（Ⅰ）1(0,),()ax f x x
-'+∞=定义域，
11
0,(0,)()0;(,),()0,a x f x x f x a a
''>∈>∈+∞<当时时时
0,(0,),()0a x f x '<∈+∞>当时时，
11
0,()(0,),(,);a f x a a
>+∞所以当时的单调增区间为减区间为
0,()(0,),.a f x <+∞当时的单增区间为无减区间
（Ⅱ）322()(
),()3(2)12
m
g x x a x x g x x m a x '=
++-=++-， ()(,3),()(,3),(0)10g x a g x a g '∴=-< 函数在区间上有最值函数在区间上不单调，
2()03(2)10[1,2],(3)036260
g a a m a a a g m a '<⎧++-<⎧∴∈⎨⎨'>++>⎩⎩即对任意的恒成立 153219[1,2],3236260
m a
a m a
m a ⎧
<-⎪∈-<<-⎨⎪++>⎩即对任意的恒成立得。

21．解: (Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2
214
x
y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直
11 线21:10l y x x ky k k =--⇒++=,所以圆心(0,0)
到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=
的距离为d =
,所以直线1l 被圆224x y +=所
截的弦AB ==。