山东省高考仿真模拟冲刺(三)数学理试题及答案
山东省高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2zi i =-，i 为虚数单位，则z =（ ） A ． 2i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --2.已知集合1{|()1}2xA x =≤，2{|280}B x x x =--≤，则AB =（ ）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|24}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|2}x x ≤-3.直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（ ） A ．272 B ． 9 C ． 92 D ．2744.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于直线12x π=对称C. 关于点5(,0)12π对称 D ．关于直线512x π=对称 5.下列说法错误的是（ ）A ．对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a c C. ,c b D ．,b d7.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线段的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C. 22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ． 29B ． 31 C. 33 D ．369.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 10.已知函数()f x 满足1()()f x f x=，且当1[,1]x π∈时，()ln f x x =，若当1[,]x ππ∈时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln [,0]ππ-B ．1[,]2ππ-- C. 1ln [,]πππ- D ．[ln ,0]ππ-第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则3y x -的最小值为 ．12.若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆22(4)4x y -+=相切，则直线l 的斜率为 ． 13.已知1sin()cos 63παα--=，则cos(2)3πα+= ． 14.函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则5[()]2f f = ．15.在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （1）求角C ； （2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥1D C CB -的体积．18. 已知正项数列{}n a 满足11a =，且*1()21nn n a a n N a +=∈+．（1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n nb n a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小为30，求线段QM 的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点(-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13-12. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-=1sin 2S ab C ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b +=∴ABC ∆周长为5a b c ++=17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ，在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点， 所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高， 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯112432=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-=又111a =，∴数列1{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列 ∴121nn a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =又PQ，∴设(1PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c =∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB =-恒成立.①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =±②当直线l 的斜率不存在时，(1,),(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+ 综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x ⇒<<'()0f x <x ⇒>∴()f x 在递增，在)+∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2x u x xe m =-，则'()0x x u x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0m u m m e =->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*） 构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+，显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<， 则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解， 而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
山东省烟台市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(综合卷)完整试卷
山东省烟台市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（）A．-2B．-1C．0D．1第(2)题等比数列的公比，其中为i虚数单位，若，则（）．A．B．C．D．第(3)题双曲线C：的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(4)题若函数的部分图象如图所示，则下列选项可能正确的是（）A．B．C．D．第(5)题为非零向量，满足，且，则（）A．B．C．D．第(6)题费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（）A．B．2C．3D．第(7)题在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（）A．B．C．D．第(8)题从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A．0.8B．0.675C．0.74D．0.82二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）A．B．C．D．第(2)题画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为第(3)题下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，满足，则C．若随机变量，且，则D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数，满足，则的最小值是______.第(2)题若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_______．第(3)题已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线的焦距为，点在C上．(1)求C的方程；(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.①求的取值范围；②求证：直线过点．第(2)题已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.第(3)题如图，在三棱锥中，，点是的中点，点是的重心，点是上的点，且．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．第(4)题已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值.(2)证明：当时，.第(5)题设(1)当，求函数的零点个数.(2)函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围。
2023届山东省高考模拟练习(三)数学试题
2023届山东省高考模拟练习（三）数学试题一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|12}A x x =-< {|0}B x x => 则(A B = )A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >-C ．{|02}x x <D ．{|2}x x2．已知复数z 满足i z i =-)21(,则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a 与b 的夹角为60︒ (2,0)a = ||1b = 则|2|a b -的值为( ) A ．2B ．2C ．4D ．124．如图l 在高为h 的直三棱柱容器111C B A ABC -中 a AC AB ==,AC AB ⊥现往该容器内灌进一些水 水深为h ',然后固定容器底面的一边AB 于地面上 再将容器倾斜 当倾斜到某一位置时 水面恰好为C B A 11（如图2） 则hh '=( ) A ．32B ．45 C ．21D ．22 5．某软件研发公司对某软件进行升级 主要是对软件程序中的某序列},,,{321 a a a A =重新编辑 编辑新序列为},,,{342312*a a a a a a A ---=,它的第n 项为n n a a -+1,若**)(A 的所有项都是2 且244=a 325=a 则=1a ( ) A ．8B ．10C ．12D ．146．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动 某班级5名女生和2名男生 分成两个小组去两地参加志愿者活动 每小组均要求既要有女生又要有男生 则不同的分配方案有( )种． A ．20B ．4C ．60D ．807．已知()x f 是定义在R 上的奇函数 当[]1,0∈x 时,()x a x f 2cos π-=,若函数()1+=x f y 是偶函数 则下列结论不正确的为( ) A ．a=1B ．()x f 的最小正周期T =4C ．()x x f y 6log -=有4个零点D ．()()20222023f f >8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F 过点F 且斜率为)0(=/k k 的直线l交双曲线于A 、B 两点 线段AB 的中垂线交x 轴子于点D . 若||3||DF AB ≥,则双曲线的离心率取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛332,1B ．(]3,1C ．[)+∞,3D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，332 二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求 全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．每年4月23日为“世界读书日” 树人学校于四月份开展“书香润泽校园 阅读提升思想”主题活动 为检验活动效果 学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：月份 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码x l 2 3 4 5 月借阅量y （百册）4.95.15.55.75.8根据上表 可得y 关于x 的经验回归方程为a x yˆ24.0ˆ+= 则( ) A ．68.4ˆ=aB ．借阅量4.9 5.1 5.5 5.7 5.8的上四分位数为5.7C ．y 与x 的线性相关系数r >0D ．七月的借阅量一定不少于6. 12万册 10．已知33sin( cos 42)(-+⋅=）πx x x f 下列选项正确的是( )A ．)(x f 的值域为(][)+∞-∞-,11,B ．)(x f 的对称中心为))(0,23(Z k k ∈+ππC ．)(x f 的单调递增区间为)23,212(ππππk k ++和))(2127,23(Z k k k ∈++ππππ D ．x x g 2cos 1)(=图像向右平移12π个单位与)(x f 的图像重合 11．如图 点M 是棱长为l 的正方体1111D C B A ABCD -中的侧面11A ADD 上的一个动点（包含边界） 则下列结论正确的是( )A ．不存在点M 满足⊥CM 平面BD C 1B ．存在无数个点M 满足1AD CM ⊥C ．当点M 满足D A M A 1131=时 平面M BD 1截正方体所得截面的面积为26 D ．满足||2||1MD MD =的点M 的轨迹长度是92π 12．已知)1(1)(>-=x x xx f 若βα，分别是方程x e x f =)(和x x f n 1)(=的根 则下列说法正确的是( ) A ．2n 21<αB ．111>+βαC ．6<βaD ．4ln >+ββ第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分． 13．二项式()nxx 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是 （填数字）14．己知βα，为锐角 211)tan(-=+βα 54cos =β 则=αsin 15．已知点P 是椭圆14:22=+y x C 上一点 椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O交于A B 两点 当三角形AOB 的面积取最大值时 切线l 的斜率等于 16．已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3π=∠BAD 现将ABD ∆沿直线BD 翻折 得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .四、解答题：本题共6小题 共70分。
山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)解析版
想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更
15. 在
的展开式中，x3 项的系数为______．
16. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AF⊥BF，
线段 AB 的中点为 M，过点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N，则 的最小
值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
20. 在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学 2018 年已就业的 A、B 两个专业的 大学本科毕业生中随机抽取了 200 人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们 的月薪收入在 3000 元到 9000 元之间，具体统计数据如表：
月薪（百万）[30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
D. h（x）的图象关于 x=-1 对称
7. 秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所
创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是
将 f（x）=2019x2018+2018x2017+2017x2016+…+2x+1 化为 f（x）=（…（（
8. 在△ABC 中，B=45°，D 是 BC 边上一点，AD= ，AC=4，DC=3，则 AB 的长为（
）
A.
B.
C.
D.
9. 若双曲线
的一条渐近线被圆 x2+（y-2）2=2 所截得的弦
长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A.
B. 2
C.
D.
10. 如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第3卷
2020届新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第3卷1、已知集合{|23}A x x =-≤≤,2{|30}B x x x =-≤,则A B ⋃=( ) A.[2,3]-B.[2,0]-C.[0,3]D.[3,3]-2、已知z 为复数,若(1i)i z ⋅+=(i 是虚数单位),则||z =( ) A.1C.123、在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为( ) A.154B.154-C.38D.38-4、已知平面α⊥平面,l βαβ⋂=,,a b αβ⊂⊂,则“a l ⊥”是“a b ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A.12 B.35C.710D.456、直线20x y ++=分别与x 轴, y 轴交于,A B 两点,点p 在圆22(2)2x y -+=上.则ABP △面积的取值范围是( )A. []2,6B. []4,8C.D. ⎡⎣7、若函数()()()[)11,,212,2,2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x x f x =⋅-的零点个数为( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点()()1,1,0,1A B -，则PA PB +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59、已知(1,2),(3,4)a b ==r r ，若a kb +r r与-a kb r r 互相垂直，则实数k=（ ）A. 5B. 5-C. 5-D.510、下图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第三季度内，洗衣机销量约占20％，电视机销量约占50％，电冰箱销量约占30％).根据该图，以下结论中不一定正确的是( )A.电视机销量最大的是第四季度B.电冰箱销量最小的是第四季度C.电视机的全年销量最大D.洗衣机的全年销量最小11、已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是公差不为0的等差数列,且2288,a b a b ==,则( )A.55a b =B.55a b <C.44a b <D.66a b =12、对于函数sin π,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x ∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列结论正确的是( )A.任取12,[2,)x x ∈+∞,都有12|()()|1f x f x -≤B.函数()y f x =在[4,5]上单调递增C.函数()ln(1)y f x x =--有3个零点D.若关于x 的方程()(0)f x m m =<恰有3个不同的实根123,,x x x ,则123132x x x ++=13、已知πtan(+)=34θ，则2sin22cos θθ-的值为__________.14、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是___________.15、如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则四棱锥111A BB D D -的体积为__________.16、在ABC △中,已知π,4,63ABC AB BC ∠===,过点B 作BD AC ⊥于点D,则BD =______,sin ABD ∠=_______.17、已知函数()2cos (3cos )1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论()f x 在区间π[0,]2上的单调性．18、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19、某村为了发展家庭经济,引进了一黄桃品种,这个品种有两种培育方法,其中一种是压枝培育,另一种是嫁接培育.为了解两种培育的情况,从中随机抽取500棵树,统计其挂果数量,统计结果如下表.根据统计,可知挂果数量落在[]85,105内的频率为0.66.(1)求,a b的值.(2)若认为挂果数量大于90个的树是良种,小于90个的树是次种,根据统计得出22⨯列联表,请将其补充完整.(3)由列联表说明有多大把握认为挂果数量与培育方法有关.参考公式:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据:20、如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为43的菱形,60BCD ∠=︒,AC 与BD 交于点O ,平面FBC ⊥平面ABCD ,23//,,EF AB FB FC EF ==.(1)求证:OE ⊥平面ABCD ;(2)若FBC △为等边三角形,点Q 为AE 的中点,求二面角Q BC A --的余弦值.21、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,点(,25)M a 在抛物线C 上 (1)若6MF =,求抛物线的标准方程(2)若直线x y t +=与抛物线C 交于,A B 两点,点N 的坐标为(1,0),且满足NA NB ⊥,原点O 到直线AB 2求p 的取值范围.22、已知函数()1ln (R)f x ax x a =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值,且对任意的(0,)x ∀∈+∞,()2f x bx ≥-恒成立,求实数b 的最大值.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知,2{|30}{|03}B x x x x x =-≤=≤≤,又{|23}A x x =-≤≤,∴{|23}[2,3]A B x x ⋃=-≤≤=-.故选A.2答案及解析： 答案：D解析：由已知得i i(1i)1i 1i (1i)(1i)22z -===+++-,所以||z ==3答案及解析： 答案：D解析：由二项式定理可得6⎫-⎝的通项为616rr t T C -+⎛= ⎝⎝⎭()636122rrr r C x --⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,2,3,...,6r =，令32r -=，则1r =，所以2x 的系数为()6111613228C -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D.4答案及解析： 答案：A解析：因为平面α⊥平面,,,l a b βαβαβ⋂=⊂⊂,所以当a l ⊥时,由面面垂直的性质定理,可得a b ⊥;反之,当a b ⊥时,a 与l 不一定是垂直的,所以“a l ⊥”是“a b ⊥”的充分不必要条件.故选A.5答案及解析： 答案：C解析：从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =(种)，故所求概率为3711010-=.6答案及解析： 答案：A解析：因为直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点 (2,0),(0,2)A B ∴---,则22AB =因为点P 在圆22(2)2x y -+=上 所以圆心为(2,0),则圆心到直线距离1202222d ++=故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为[2,32] 则2212[2,6]2ABP S AB d d ==∈△ 故答案选A.7答案及解析： 答案：C解析:先作出()f x 的图象，再分析零点个数.显然0x =不是()F x 的零点，所以()F x 的零点就是()1f x x=的根，即只需考虑()f x 与()1g x x =有几个交点，由于()()55f g >，()()77f g <，易知有6个交点，选C.8答案及解析： 答案：D解析：椭圆方程为22143y x +=，∴焦点坐标为()0,1B -和()'0,1B ， 连接'PB ，'AB ，根据椭圆的定义，得'24PB PB a +==，可得4'PB PB =-，因此()()4'4'PA PB PA PB PA PB +=+-=+-. ∵''PA PB AB -≤，∴4'415PA PB AB +≤+=+= 当且仅当点P 在'AB 延长线上时，等号成立. 综上所述，可得PA PB +的最大值为59答案及解析： 答案：BD解析：由已知()(1)234a b ==,,,，若a kb +与a kb -互相垂直，则()()0a kb a kb +⋅-=，即2220a k b -=，即25250k -=，即215k =，所以5k =.10答案及解析： 答案：ABD解析：对于A ，对比四个季度中，第四季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大.同理,易知B 不一定正确在四个季度中，电视机在每个季度的销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C 正确.对于D ，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，故D 不一定正确.11答案及解析： 答案：BC解析：设{}n a 的公比为(0)q q >,{}n b 的公差为(0)d d ≠,111n nn a a a q q q-==⋅,11(1)n b b n d b d nd =+-=-+,将其分别理解成关于n 类 (指数函数指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数( 一次函数的图象为直线),则俩函数图象在2,8n n ==处相交,故n n a b <(37)n ≤≤,从而445566,,a b a b a b <<<12答案及解析：答案：ACD解析：sinπ,[0,2] ()1(2),(2,)2x xf xf x x∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如图所示,当[2,)x∈+∞时,()f x的最大值为12,最小值为12-,∴任取12,[2,)x x∈+∞,都有12|()()|1f x f x-≤恒成立,故A正确;函数()y f x=在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同,则函数()y f x=在[4,5]上不单调,故B错误;作出ln(1)y x=-的图象,结合图象,易知ln(1)y x=-的图象与()f x的图象有3个交点,∴函数()ln(1)y f x x=--有3个零点,故C正确;若关于x的方程()(0)f x m m=<恰有3个不同的实根123,,x x x,不妨设123x x x<<,则123x x+=,372x=,∴123132x x x++=,故D正确.故选ACD.13答案及解析：答案：45-解析：先由条件求得1tan2θ=,再根据同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式可得2222tan2sin22cos1tan1tanθθθθθ-=-++,运算求得结果.14答案及解析：答案：2y x=解析：由已知得222431b-=，解得2b=2b=-0b>，所以2b=因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为2y x=±.15答案及解析： 答案：13解析：如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11AC ⊥平面11BDD B ， 则1A O 是四棱锥的高，且221111121122AO AC ==+= 111212BDD B S BD DD =⨯四边形结合四棱锥体积公式可得其体积为：11212333V Sh ===.16答案及解析： 答案：62177解析：因为π,4,63ABC AB BC ∠===,所以由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠,即211636246282AC =+-⨯⨯⨯=,所以27AC =,又111sin 222ABC S AC BD AB BD AB BC ABC =⋅=⋅=⋅⋅∠△,所以346621227BD ⨯=,故2227AD AB BD =-,所以7sin AD ABD AB ∠==17答案及解析：答案：（1）由题意，函数2()2cos (3cos )123cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-π32cos22sin(2+)6x x x =+=，所以函数()f x 的最小正周期2π2π=π2T w ==， 令()0f x =，即π2sin(2)06x +=，即π2π,6x k k Z +=∈，解得ππ,122k x k Z =-+∈所以函数()f x 的对称中心为ππ(,0),122k k Z -+∈. （2）由（1）可知()π2sin(2)6f x x =+，令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤+≤+∈，解得ππππ,36k x k k Z -+≤≤+∈， 令ππ3π2π22π,262k x k k Z +≤+≤+∈，解得π2πππ,63k x k k Z +≤≤+∈， 又因为[0,]2x π∈，当0k =时，函数()f x 的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为ππ,62⎛⎤⎥⎝⎦.18答案及解析：答案：（1）∵22n n S a =-，当1n =时1122S a =- ∴12a = 当2n ≥时 22n n S a =-，1122n n S a --=-两式相减得 122n n n a a a -=-(2)n ≥，∴122n n a a n -=≥， ∵120a =≠∴12nn a a -=，2n ≥ ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列 2n n a = （2）由（1）知(21)2n n b n =-231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L 23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅L两式相减得23122222(21)2n n n T n --=+⨯+++--⋅L （） 3112112(12)2(21)226(21)2(23)2612n n n n n n T n n n -++++⋅--=+--⋅=---⋅=----1(23)26n n T n +=-+19答案及解析：答案：(1)因为挂果数量落在[]85,105内的频率为0.66， 所以其颗数为5000.66330⨯=.由表可知挂果数量落在[)75,85内的颗数有0.0061050030⨯⨯=. 挂果数量落在[)85,95内的颗数有0.024********⨯⨯= 挂果数量落在[)115,125内的颗数有0.0081050040⨯⨯= 所以3301205003303040100.042,100.02500500a b ----=÷==÷= . (2)补充完整的列联表如下：(3) ()225001001806016010.393260240160340K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为10.3937.879>所以有99.5%的把握认为挂果数量与培育方法有关.20答案及解析：答案：(1)取BC 的中点H ,连接,OH FH , 因为FB FC =,所以FH BC ⊥.因为平面FBC ⊥平面ABCD ,平面FBC ⋂平面ABCD BC =,FH ⊂平面FBC , 所以FH ⊥平面ABCD .因为,H O 分别为,BC AC 的中点,所以//OH AB 且12OH AB =.又//EF AB ,12EF AB =,所以//EF OH =,所以四边形OEFH 为平行四边形,所以//OE FH , 所以OE ⊥平面ABCD .(2)因为菱形ABCD 中,60,BCD AB ∠=︒=所以2OA OC ==,在等边三角形FBC 中,43BC =,所以2FH =, 所以2OE FH ==.易知,,OA OB OE 两两垂直,以O 为坐标原点,,,OA OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图所示,则23(2,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C E Q -, 所以23(2,BC =-u u u r ,(3,0,1)CQ =u u u r .设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =u r,则00BC m CQ m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩, 取1x =,可得(1,3,3)m =--u r.易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r,则313cos ,||||1139m n m n m n ⋅===⨯++u r ru r r u r r ,易知二面角Q BC A --为锐二面角, 所以二面角Q BC A --313.21答案及解析：答案：(1)由题意及抛物线的定义得62pa +=,又点(,25)M a 在抛物线C 上,所以202pa = 由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的标准方程为24y x =或220y x =(2)联立方程得22x y ty px+=⎧⎨=⎩,消去y,整理得22(22)0x t p x t -++=设1122(,),(,)A x y B x y由根与系数的关系可得2121222,x x t p x x t +=+= 因为NA NB ⊥,所以1212(1)(1)0x x y y --+=又1122,y t x y t x =-=-,所以212122(1)()10x x t x x t -++++=,得22121t t p t -+=+由原点O 到直线AB≥即2t ≤-(舍去)或2t ≥因为221421411t t p t t t -+==++-++,函数2211t t y t -+=+在[2,)t ∈+∞上单调递增 所以16p ≥,即p 的取值范围为1[,)6+∞22答案及解析：答案：(1)()f x 的定义域为()11(0,),ax f x a x x-'+∞=-=, 当0a ≤时, ()0f x '<在(0,)+∞上恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减,所以()f x 在(0,)+∞上没极值点. 当0a >时,由'()0f x >得1x a >,由'()0f x <得10x a<<, 所以()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1(,)a +∞上单调递增,即()f x 在1x a =处有极小值.综上,当0a ≤时, ()f x 在(0,)+∞上没有极值点;当0a >时, ()f x 在(0,)+∞上有一个极值点.(2)因为函数()f x 在1x =处取得极值,所以'(1)10f a =-=,则1a =,从而()1ln f x x x =--, 由()2f x bx ≥-，得1ln 1xb x x+-≥. 令1ln ()1,(0,)x g x x x x =+-∈+∞,则2ln 2'()x g x x -= 由'()0g x >得2e x >,由'()0g x <得20e x <<, 则()g x 在2(0,e )上单调递减,在2(e ,)+∞上单调递增,所以2min 21()(e )1e g x g ==-,故实数b 的最大值时211e -.。
2020届山东省潍坊市高考模拟训练理科数学模拟试题(三)有答案
高考模拟训练试题 理科数学(三) 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足24iz i =+，则z 在复平面内对应的点的坐标是A.()4,2B. ()2,4-C. ()2,4D. ()4,2-2.已知集合{}11M x x =-<，集合{}223N x x x =-<，则R M C N ⋂= A. {}02x x <<B. {}12x x -<< C. {}102x x x -<≤≤<3或 D. ∅ 3.下列结论中正确的是 A.“1x ≠”是“()10x x -≠”的充分不必要条件B.已知随机变量ξ服从正态分布()()5,1460.7N P ξ≤≤=，且，则()6=0.15P ξ>C.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 平均与方差均没有变化D.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人.为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法中抽取样本4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.263π+ B. 113π C. 116π D. 263π+ 5.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调增区间是A. []()6,63k k k Z ππ+∈B. []()63,6k k k Z -∈C. []()6,63k k k Z +∈D. []()63,6k k k Z ππ-∈6.a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则()cos a πθ-的结果是A. cos θB. cos θ-C. sin θD. sin θ-7.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则B ∠的范围是A. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩不等式()()[]2,1f x a f a x a a +>-+在上恒成立，则实数a 的取值范围是A.()2,0-B. (),0-∞C. ()0,2D. (),2-∞-9.设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u r g (O 为坐标原点)，且123PF PF =，则双曲线的离心率为A. 212+B. 21+C. 31+D. 31+10.定义域是R 的函数，其图象是连续不断的，若存在常数()R λλ∈使得()()f x f x λλ++=0对任意实数都成立，则称()f x 是R 上的一个“λ的相关函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；② ()2f x x =是一个“λ的相关函数”；③“ 12的相关函数”至少有一个零点；④若x y e =是“λ的相关函数”，则10λ-<<.其中正确．．结论的个数是 A.1B.2C.3D.4 第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-160，则()2031a x dx -=⎰_________. 12.过点()1,2M 的直线l 与圆()()22:3425C x y -+-=交于A,B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是________. 13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1，5，9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂去共有_________种.14.设x D ∈，对于使()f x M ≤恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫作()f x 的上确界.例如()22,f x x x x R =-+∈的上确界是1.若,,1a b R a b +∈+=且，则 122a b--的上确界为________. 15.对于函数()[]()()sin ,0,2,12,2,,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩有下列4个结论：①任取[)()()1212,0,2x x f x f x ∈+∞-≤，都有恒成立； ②()()()22f x kf x k k N *=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 则其中所有正确结论的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,cos ,3cos ,2cos ,1a x x b x x f x a b =-==+g .（I ）求函数()f x 的最小正周期，并求当2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的取值范围； （II ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,,a b c 若1,2,42A g a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分.已知甲、乙两人在A 和B 点投中的概率相同，分别是1123和，且在A,B 两点处投中与否相互独立.设定每人按先A 后B 再A 的顺序投篮三次，得分高者为胜.（I ）若甲投篮三次，试求他投篮得分ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲胜乙的概率.18. （本小题满分12分）-的一个面ABC内接于圆O，G，H分别是AE，BC的中点，如图，一四棱锥A BCDEAB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC.（I）证明：GH//平面ACD；--的余弦值.（II）若AC=BC=BE=2，求二面角O CE B19. （本小题满分12分）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1n a 的等差中项. （I ）求证：数列{}2n S 为等差数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）设()1n n n b a -=，求{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分） 设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交y 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r .（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若过A,Q,F 2三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，求椭圆C 的方程； （III ）在（II ）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()2ln 21f x x x ax =+-+（a 为常数）. （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）证明：若对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()()20ln f x a m a a +>-成立，求实数m 的取值范围.。
山东省2015届高三冲刺模拟(三)数学(理)试题(有答案)
绝密★启用前 试卷类型A山东省2015年高考模拟冲刺卷（三）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知()(){}3,3,,202y Mx y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则a =（ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．22、设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l α∥，m α⊥，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，//m α则l α⊥C ．若l ⊥m ，m α⊥,则//l αD ．若//l α,//m α则//l m3、已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365B ．6365-C ．6365±D ．5134、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种5、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 6、已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为（ ）A ．3B ．2 C．23D．27、由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A ．81 B ．41 C ．43 D ．878、已知正实数,x y 满足24x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y 都有2()1()0x y m x y ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）ABCD9、已知函数13()ln 144=-+-f x x x x，()g x ＝2x －2bx ＋4，若对任意1x ∈（0，2），存在2x ∈[1，2]，使1()f x ）≥2()g x ，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．17(2,]8B ．[1，＋∞]C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞] 10、已知方程|cos(|2x k xπ-=在（0，+∞）上有两个不同的解a ，b （a ＜b ），则下面结论正确的是（ ）A ．sina=acosbB ．sina=-acosbC ．cosa=bsinbD ．sinb=-bsina第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ．12、函数)0(cos sin ≠-=ab x b x a y 的图像的一条对称轴为4π=x ,则以),(b a a =为方向向量的直线的倾斜角为 ．13、已知点A （1，－1），B （3,0），C （2,1）．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →（1≤λ≤2,0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为 ． 14、已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图，令),6(πn f a n =则=++++2014321a a a a ．15、给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sinsin A B >成立的充要条件；②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x+≥； ③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最小正周期为π3,当],0[π∈x时，函数)(x f 的最小值为0． （Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）在AB C ∆中，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值．如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===．（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ； （Ⅱ）求直线DE 与平面A DF 所成的角的正弦值；（Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321 ,, 432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．已知数列{n a }的前n 项和1122n *nn S a ()(n N )-=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．（I ）求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设2n n n c log a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为Tn ，求满足2521*n T (n N )<∈的n 的最大值。
2024届山东省枣庄市高三下学期高考数学仿真模拟联考试题(三模)含解析
2024届山东省枣庄市高三下学期高考数学仿真模拟联考试题（三模）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）{}20A x x =+>∣{}220B x x x =--<∣A B = A ．B ．C ．D ．{21}xx -<<∣{22}x x -<<∣{11}x x -<<∣{12}xx -<<∣2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）22:14y x C m -=2y x =m =A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，αx ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则（ ）πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．0B ．CD 124．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，πe ϕρα=α是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）ϕρϕπ2ρA ．倍B ．倍C ．倍D ．倍13e 12e π2e πe 5．己知平面向量，则在上的投影向量为（ ）(1,1),(2,0)a b =-= a bA ．B ．C ．D ．(1,0)-(1,0)(6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4π6π8π10π7．已知复数，若同时满足和，则为（ ）1212,,z z z z ≠12,z z ||1z =|1||i |z z -=-12z z -A ．1B C ．2D ．8．在中，，为内一点，，，ABC 1202ACB BC AC ∠=︒=，D ABC AD CD ⊥120BDC ∠=︒则（ ）tan ACD ∠=A ．BCD 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）ˆ125 4.25yx =+．A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数，则（ ）()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+A ．的图象关于对称B ．在上单调递增()f x ()0,0()f x ⎛ ⎝C ．D ．有两个零点()f x ()f x 11．已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别为棱的中点，点P 为四1111ABCD A B C D -1,DD DC 边形（含边界）内一动点，且，则（ ）1111D C B A 2MP =A ．平面B ．点P 1A B ∥AMNC ．存在点P ，使得平面D ．点P 到平面MP ⊥AMNAMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数图象的一条对称轴方程．()sin cos 1f x x x =+13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出3414发，到达第3阶台阶的概率为 ．14．设为平面上两点，定义、已知点P 为抛物线()()1122,,,A x y B x y 1212(,)d A B x x y y =-+-上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为2:2(0)C x py p =>(3,0),(,)Q d P Q p =的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则的最小值为．32(,)d P M 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台的底面为菱形，，点为1111ABCD A B C D -14,3,60AB DD BAD ==∠=︒E中点，BC 11,D E BC D E ⊥=(1)证明：平面；1DD ⊥ABCD (2)若，求平面与平面夹角的余弦值．112A D =11A C E ABCD 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E 的离心率为，椭2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 12圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，，求直线l 2F 1//AB CF 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．p (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到2红球的概率；(2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：p p 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．5方案二：从袋中进行有放回摸球次．5分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值p 更合理．18．已知函数，为的导数2()e x f x ax x =--()f x '()f x (1)讨论的单调性；()f x '(2)若是的极大值点，求的取值范围；0x =()f x a (3)若，证明：．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1cos 1ee ln(sin cos )1θθθθ--++<19．若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”{}n a *N n ∈212n n n a a a ++≥{}n a 数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．231234()f x b b x b x b x =+++0(1,2,3,4)i b i >=证明：数列为“对数凹性”数列；1234,,,b b b b (3)若数列的各项均为正数，，记的前n 项和为，，对任意三个不{}n c 21c c >{}n c n S 1n nW S n =相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得．()()()r p q p q W q r W r p W t-+-+-=证明：数列为“对数凹性”数列．{}n S1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.B 【详解】由，即，解得，220x x --<()()120x x +-<12x -<<所以，{}{}21220|B x x x x x <-=-=<-<∣又，所以.{}{}202A x x x x =+>=>-∣∣{}12A B x x =-<< ∣故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得，0m >令，即的渐近线方程为，2204y x y m -=⇒=C y x =.21m =⇒=故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.sin αcos α【详解】因为，即，ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭12P ⎛ ⎝即角的终边经过点，所以，α12P ⎛⎝sin α=1cos 2α=所以.πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭故选：D 4．B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂0ϕ0ρ10π2ϕϕ=+1ρ的运算法则计算可得.【详解】设所对应的极径为，则，0ϕ0ρ0π0e ϕρα=则所对应的极径为，所以，10π2ϕϕ=+0π2π1eϕρα+=0000ππ222π1πππ1e e ee ϕϕϕϕραρα++-===故每增加个单位，则变为原来的倍.ϕπ2ρ12e 故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.a b ⋅ b【详解】，(1,1),(2,0)a b =-=，,2a b ⋅=- 2b =在上的投影向量为.a b()()22,01,04a b b b b⋅-⋅==-故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，r 则，故该球的表面积为.r ==24π8πr =故选：C 7．C 【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再()i ,R z x y x y =+∈||1z =|1||i |z z -=-12,z z 计算其模即可.【详解】设，则，，()i ,R z x y x y =+∈()11iz x y -=-+()i 1iz x y -=+-由和，||1z =|1||i |z z -=-所以且，221x y +=()()222211x y y x -+=-+即且，解得或221x y +=x y =xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以、（或、），1z =2z =1z =2z =则（或），21z z ⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭21z z -=所以.122z z -==故选：C 8．B【分析】在中，设，，即可表示出，，再在中利Rt ADC ACD θ∠=AC x =CB CD BCD △，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化cos sin(60)x θθ=-︒切，即可得解.【详解】在中，设，令，Rt ADC ACD θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭AC x =()0x >则，，2CB x =cos CD x θ=在中，可得，，BCD △120BCD θ∠=︒-60CBD θ∠=-︒由正弦定理，sin sin BC CDCDB CBD =∠∠cos sin(60)x θθ=-︒所以，=可得．tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦BCD △定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：，所以y 与x 正相关，即A 正确；1.250>由表格数据及回归方程易知，即B 错误；32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=易知，所以样本数据y 的第60百分位数为，即C 错误；560%3⨯=898.52+=由回归直线方程知时对应的预测值分别为，1,2,3,4,5x = 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=对应残差分别为，显然残差之和为0，即D 正确.0.5,0.75,0,0.25,0--故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数，令，解得或，()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩10x -<<01x <<所以函数的定义域为，()()1,00,1-U 又，()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎣⎦所以为奇函数，函数图象关于对称，故A 正确；()f x ()0,0又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--，222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--当时，，即在上单调递减，故B 错误；x ⎛∈ ⎝()0f x'<()f x ⎛ ⎝当时，，即在上单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x ⎫⎪⎪⎭根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，()fx 1,⎛- ⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以C 正确；()fx又，(()ln 30f x f ==++>极小值且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，x ()f x x ()f x 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，()f x ()0,1()f x ()1,0-故无零点，故D 错误．()f x 故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知，1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒又平面，平面，所以平面，即A 正确；1⊄A B AMN MN ⊂AMN 1A B ∥AMN 对于B ，因为点P 为四边形（含边界）内一动点，且，，1111DC B A 2MP=11MD =则P 点轨迹为以1DP==1D 部分，所以点P 的轨迹长度为，故B正确；12π4⨯=对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则，()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以，()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MPθθ=-=-=若存在点P ，使得面，则，MP ⊥AMN 100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩解之得sin θθ==即不存在点P ，使得面，故C 错误；MP ⊥AMN 对于D ，设平面的一个法向量为，则，AMN (),,n x y z =2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，即，12x y z =⇒==()1,2,2n =则点P 到平面的距离AMN，1πtan ,0,22n MP d n ϕϕ⋅⎫⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎭ 显然时取得最大值D 正确.π2θϕ+=max d =故选：ABD思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．（答案不唯一）π4x =【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知，所以，1()sin 212f x x =+()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈不妨取，则.0k =π4x =故（答案不唯一）π4x =13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 3394416⨯=只上一步且上两个台阶，则概率为，14所以到达第3阶台阶的概率为，911316416+=故答案为.131614． 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，P //PN x 根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.(,)d P M 【详解】设，则，2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，即，时取得最小值；322p⇒-=2p =p m =易知，，联立有，39:22l y x =-2:4C x y =26180x x -+=显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过作交l 于N ，过作，P //PN x M ME PN ⊥则（重合时取得等号），(,)d P M PE EM PE EN PN=+≥+=,M N 设，则，所以，2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭223,64n n N ⎛⎫+⎪⎝⎭()22133336622n PN n n =-+=-+≥故2，32思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定DE DB BC ⊥1D DE 1BC DD ⊥理逆定理得到，即可证明平面；1DD DE ⊥1DD ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接、，DE DB 因为四边形为菱形，ABCD 60BAD ∠=所以是边长为的正三角形，BDC 4因为为中点，所以，E BC DE BC ⊥DE =又因为，平面，所以平面，11,D E BC D E DE E ⊥⋂=1,D E DE ⊂1D DE BC ⊥1D DE 又平面，1DD ⊂1D DE 所以，1BC DD ⊥又，，1D E =13DD =DE =所以，所以，22211DD DE D E +=1DD DE ⊥又因为平面，,,DE BC E DE BC =⊂ ABCD 所以平面.1DD ⊥ABCD（2）因为直线两两垂直，以为原点，所在直线为轴，轴，1,,DA DE DD D 1,,DA DE DD x y 轴建立空间直角坐标系，z则，()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,,2,0,3D A E C A -所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=-设平面的一个法向量为，11A C E (),,n x y z = 则，即，11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令，得，所以，3x=4y z ==()4n =由题意知，是平面的一个法向量，()0,0,1m =ABCD 设平面与平面的夹角为，11A C E ABCD θ则，cos m n m n θ⋅===⋅ 所以平面与平面11A C E ABCD 16．(1)22143x y +=(2)或10x y -=10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，2c ()()000,0P x y a x ≥≥易知，则()2,0F c2PF==，00c c x a a x a a ==-=-显然时，0x a =2min PF a c=-由题意得解得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩2,1,a c b ===所以椭圆的方程为；C 22143x y +=（2）设，()()1122,,,C x y B x y 因为，所以AB //1CF 1122::2:1CF AB F F F A ==所以①122y y =-设直线的方程为，联立得，整理得，l 1x my =+221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2234690m y my ++-=由韦达定理得，()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩把①式代入上式得，得，222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩()()22222236923434m y m m==++解得，m =所以直线的方程为：或.l 10x y -=10x y -=17．(1)1p -(2)答案见解析【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条A =B =件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求X X 11110,,,,,15432出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，Y 则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.()55,Y B p ~【详解】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，A =B =则，，()()21P A p =-()()31P B p =-所以；()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，X 则的可能取值为：，X 11110,,,,,15432且，，，()()501P X p ==-()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()3114P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()112P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1P X p ==所以的分布列为：X X151413121P5(1)p -4(1)p p-3(1)p p-2(1)p p-()1p p-p则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯，()4321(1)(1)(1)5432p pp p p p p p p----=++++“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为，Y ()55,Y B p ~所以的分布列为：，5Y ()555C (1),0,1,2,3,4,5k kk P Y k p p k -==-=即的分布列为：Y Y152535451P5(1)p -45(1)p p-3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以，则，()55E Y p=()E Y p=因为，，所以“方案二”估计的值更合理.()E X p>()E Y p=p 18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数()()g x f x '=0a ≤0a >的单调区间；（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即0a ≤102a <<12a =12a >()f x 可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意sin 12eln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<，有，结合（2）只需证明，构造函数，10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+()ln 1(10)x x x +<-<<利用导数证明即可.【详解】（1）由题知，()e 21x f x ax =--'令，则，()()21x g x f x ax =-'=-e ()e 2x g x a'=-当时，在区间单调递增，0a ≤()()0,g x f x ''>(),-∞+∞当时，令，解得，0a >()0g x '=ln2=x a 当时，，当时，，(),ln2x a ∞∈-()0g x '<()ln2,x a ∈+∞()0g x '>所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞综上所述，当时，在区间上单调递增；0a ≤()f x '(),-∞+∞当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.0a >()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞（2）当时，，0a ≤()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '<(),0∞-当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x当时，，且，102a <<ln20a <()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；()ln2,0x a ∈()()0,f x f x '<()ln2,0a 当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x 当时，，则当时，在上单调递增，12a =ln20a =(),x ∈-∞+∞()()0,f x f x '≥(),-∞+∞所以无极值点，不合题意；()f x 当时，，且；12a >ln20a >()00f '=当时，在上单调递增；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '>(),0∞-当时，在上单调递减；()0,ln2∈x a ()()0,f x f x '<()0,ln2a 所以是函数的极大值点，符合题意；0x =()f x 综上所述，的取值范围是.a 12a >（3）要证，()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<只要证，()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+只要证，，sin 12e ln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<因为，则，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈所以只要证对任意，有，01x <<12e ln x x x -+<只要证对任意，有（※），10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+因为由（2）知：当时，若，则，1a =0x <()()01f x f <=所以，即①，2e 1x x x --<2e 1x x x <++令函数，则，()()ln 1(10)h x x x x =+--<<()1111x h x x x -'=-=++所以当时，所以在单调递增；10x -<<()0h x '>()h x ()1,0-则，即，()()00h x h <=()ln 1(10)x x x +<-<<由①②得，+()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+所以（※）成立，所以成立.()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合零点个数相同及“对数凹性”数列的定义()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；（3）将互换计算可得，令，可证明是等差数列，结合等差数列得通,p q 0=t 1,2p q =={}n W 项公式可知，利用及的关系可得，并判定()11n W c n d=+-1n nW S n =,n n S c ()121n c c d n =+-为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算结合基本不等式放{}n c ()2124n n n S S S ++-缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，2234≥⨯所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，2234()23f x b b x b x =++'所以，221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>又，所以，0(1,2,3,4)i b i >=2324243b b b b b >>显然，即不是的零点，()1000x f b =⇒=>0x =()f x 又，2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则也有三个零点，1t x =()231234f t b b t b t b t =+++即有三个零点，32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫=⎪⎝⎭则有三个零点，()321234g x b x b x b x b =+++所以有两个零点，()212332g x b x b x b =++'所以同上有，22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>故数列为“对数凹性”数列1234,,,b b b b （3）将互换得：，所以，,p q ()()()r q p t q p W p vr W r q W t=-+-+-=-0=t 令，得，1,2p q ==()()(2210r W r W r W -+-+-=所以，故数列是等差数列，()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--{}n W 记，所以，221211022S c c d W W c -=-=-=>()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以，()21n n S nW dn c d n==+-又因为，所以，11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩()121n c c d n =+-所以，所以为单调递增的等差数列，120n n c c d +-=>{}n c 所以.()11210,2,2n n n n n n n n c c c c c c c S ++++>>+==所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以，数列是“对数凹性”数列212n n n S S S ++≥{}n S 思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定，再判定2324243b b b b b >>零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定即可；第()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭2213133b b b b b >>三问根据条件将互换得，利用赋值法证明是等差数列，再根据及,p q 0=t {}n W 1n n W S n =的关系可得从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算,n n S c n c 结合基本不等式放缩证明其大于0即可.()2124n n n S S S ++-。
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．284．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s28．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．159．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，则A∩B中元素的个数为3，故选：D．2．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵a+=是纯虚数，∴a+，即a=﹣．故选：A．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．28【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式中T r+1=x6﹣r=（﹣1）r x6﹣2r，令6﹣2r=﹣2，解得r=4．∴T5=x﹣2，∴x﹣2的系数为=15．故选：B．4．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，3），半径r=，求出圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y 轴截得的线段AB的长为2，从而得到圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，再求出圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d，由勾股定理得：，由此能求出b．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2的圆心C（1，3），半径r=，联立，得或，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB的长为2，∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD 的长度相等，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，∵圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d==，∴由勾股定理得：，即2=，解得b=．故选：B．5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【考点】绝对值三角不等式．【分析】将x的值进行分段讨论，①0≤a≤1，②a＜0，③a＞1，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出x的范围．【解答】解：当①0≤a≤1时，原不等式可化为：e x＜1，解得：x＜0；②当a＜0时，原不等式可化为：e x＜1﹣2a；此时可解得x＜0；③当a＞1时，原不等式可化为：e x＜2a﹣1，解得：x＜0；综合以上a的三个范围可得x＜0，即实数x的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：c=0时不成立，即可判断出真假．命题q：利用正切函数的性质、充要条件的判定方法即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：a＜b，则ac2＜bc2，c=0时不成立，因此是假命题．命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，是真命题．∴下列命题为真命题的是（￢P）∧q．故选：C．7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图知甲、乙两名运动员测试的成绩，利用平均数、方差公式计算后比较大小．【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（18+19+22+28+28）=23．方差为s12=×[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（22﹣23）2+（28﹣23）2+（28﹣23）2]=；乙动员测试成绩的平均数为=×（16+18+23+26+27）=22，方差为s22=×[（16﹣22）2+（18﹣22）2+（23﹣22）2+（26﹣22）2+（27﹣22）2]=；∴＞，s12＜s22，∴s1＜s2．故选：B．8．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平行求出目标函数的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，），此时z最小值为z=4﹣，由得，即B（5，5），此时z最大值为z=4×5﹣5=15，∵z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，∴15=15（4﹣），即4﹣=1，得=3，即m=5，故选：A9．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：双曲线的标准方程为，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）．∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）．设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|===3．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），即得到=，分子有理化并进行对数的运算便可得到=，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴log2（3t）=0；∴3t=1；∴．故答案为：．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为7．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n＞6，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，，利用数量积的运算性质计算．【解答】解：=9，=4，=3×2×cos60°=3．∵==，．∴=（）•（）=﹣t+（t﹣1）=4﹣9t+3（t﹣1）=﹣6t+1．∴﹣6t+1=﹣1，解得t=．故答案为：．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，再求出两个三棱锥A﹣BCFE的体积和A1﹣B1C1FE的体积，作差求得三棱锥A1﹣AEF的体积，则答案可求．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，侧棱垂直底面，∴三棱柱为正三棱柱，在底面正三角形ABC中，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AB=BC=AC=4，∴AD=．则．∵四边形BCFE与四边形EB1C1F均为直角梯形，且BE=EB1=3，C1F=CC1=2，CF=4．∴，．，．∴=．∴=．故答案为：．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的值．【分析】由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由中点坐标公式求出M的坐标，利用向量垂直的条件列出式子并分离出a来，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥），求出导数判断单调性、求出最值，可得到a的范围．【解答】解：由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由M、N的中点恰好在y轴上得M（﹣t，t3+t2），∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0①，当t≥时，f（t）=alnt，代入①式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt，令h（x）=（x+1）lnx（x≥），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，∵t≥，∴h（t）≥h（）=（e+1，）∴h（t）的取值范围是[（e+1），+∞）．∴对于0＜a≤，方程①总有解，则满足条件．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间．（2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a 的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）．故a的最小值为2．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）取AB中点E，连结PE，∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ=AB=1．∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，∴AP=PB==，∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，∵PB⊂平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP．解：（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BPC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面ABP的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==．∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出，即可求出a n；（2）把a n代入b n=a n a n+1化简，利用裂项相消法求出S n，根据数列的单调性求出S n的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当n=1时，，则a1=2，当n≥2时，，则，两式相减得，=，即a n=，当n=1时，也符合上式，则a n=；（2）由（1）得，b n=a n a n+1===2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）…+（）]=2（1﹣），则n越大，越小，S n越大，即当n=1时，S n最小为S1=，因为对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，所以＞2λ﹣，解得，故实数λ的取值范围是（﹣∞，）．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；随机事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率．（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数n==45，这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m==18，∴这两地的空气温度的指标z相同的概率p===．（2）由题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指1 4 4 62 4 53 5 3标其中长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，共4个，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X 1 2 3 4 5PE（X）=+=．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和点（1，）在椭圆上，结合隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（ii）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，把转化为点的横坐标的关系求得答案．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=9，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），由，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，∴x1=﹣3，．当x=时，y=k（+3）=，∴D（，）．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（），则（k≠0）．直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E点坐标为（0，3k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即﹣•=﹣1恒成立，∴（9m+3）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣，0）．（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，得=====．当且仅当，即k=±时取等号，∴当k=±时，的最小值为．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，设g（x）=，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到m的范围；（2）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，设出极大值点，也即最大值点，运用函数零点存在定理，可得t的范围，化简整理由二次函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）若函数f（x）有零点，则f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，由g（x）=的导数为g′（x）=，当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=e2时，取得极大值，且为最大值，可得﹣m＞，解得m＜﹣，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）；（2）证明：函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1﹣=，解得m=1，即有f（x）=的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，可得lnx+=1，设方程的解为t，由h（x）=lnx+﹣1递增，且h（1）﹣1=﹣＜0，h（）=ln+﹣1＞0，可得1＜t＜，且lnt+=1，即有f（x）的最大值为f（t）===+=（+）2﹣，可得f（t）在（1，）递减，f（1）=，f（）=+＞1，即有f（t）∈（f（），f（1）），则有1＜M＜．第21页（共22页）2020年8月7日第22页（共22页）。
山东省青岛市2023届高三三模数学试题及答案解析
山东省青岛市2023届高三三模数学试题及答案解析满分150分，考试时间：120分钟一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ，B 满足()B A A ⋂⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．A B=B ．B A ⊆C ．()φ=⋂B C A U D ．()φ=⋂B A C U 2．若{}n a 为等比数列，则“135a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（）A ．59B ．524C ．14D ．234．某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A ，B ，C 三人对成绩作出如下预测：A 说：乙肯定不是冠军；B 说：冠军是丙或丁；C 说：甲和丁不是冠军．成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()30A -,，()3,0B ，()3,3C ，若直线l ：()2390ax a y +--=与ABC ∆的欧拉线平行，则实数a 的值为（）A ．－2B ．－1C ．－1或3D ．36．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象向左平移π2ω后，得到()g x 的图象，若函数()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（）A ．(]0,3B ．(]0,2C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知向量a ，b ，c 满足：1a b == ，()12a ab ⋅-= ，()()30b c b c -⋅-= ，则a c - 的最小值为（）A ．31-B ．3C ．2D ．1四、解答题19．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1(1)3n nn n S a ++-=，2122n n n b a a +=+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若1a ，2a ，3a 成等差数列，求21n S -．答案解析一、单项选择题12345678CBADBCAD1.解析：∵A A ⊆∩B ，∴B A ⊆，对A ：当A 为B 的真子集时，不成立；对B ：当A 为B 的真子集时，不成立；对C ：恒成立；对D ：当A 为B 的真子集时，不成立.2.解析：若等比数列{}n a 是递增数列，可得531a a a <<一定成立；反之：例如数列(){}n n 211+-，此时满足531a a a <<531a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，∴“531a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的必要不充分条件.3.解析：将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203，2230，3220，3022，2023，2320，2032，2302，3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023，2320，2032，2302，3202共5个，∴所组成的不同四位数（含原来的四位数）总两个3不相邻的概率为95.4.解析：若A 预测错误，则B 、C 预测正确，即乙是冠军，则B 的预测冠军时丙或丁错误，矛盾；若B 预测错误，则A 、C 预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B 的预测矛盾；所以C 预测错误，则A 、B 预测正确，即甲盒丁有一个是冠军，又B 预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.5.解析：由ABC ∆的顶点()03，-A ，()03，B ，()33，C 知ABC ∆的重心为⎪⎭⎫⎝⎛++++-33003333，，即()1,1.又三角形为直角三角形，∴外心为斜边中点⎪⎭⎫⎝⎛++-230233，，即⎪⎭⎫⎝⎛230，，∴可得ABC ∆的欧拉线方程为：123111--=--x y ，即032=-+y x ，∵()0932=--+y a ax 与032=-+y x 平行，∴392312-≠-=a a ，解得1-=a .6.解析：()()03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 向左平移ωπ2，得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=65sin 32sin πωπωπωx x x g ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎦⎤⎢⎣⎡+∈+6526565πωπππω，x ，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，即342365≤⇒≤+ωππωx ，故⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0ω.7.解析：由题意不妨设()0,1==OB b ，()n m OA a ,==，()y x OC c ,==，则()()21,1,=-⋅n m n m ，即432122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m ，且122=+n m ，解得：21=m ，23=n 或23-=n ，由()()()()()012,3,10322=-+-=--⋅--==-⋅-y x y x y x c b c b ，即()1222=+-y x ，即c 的终点C 在以()0,2D 为圆心，1=-，由圆的对称性，不妨令23=n ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21a ，连接AD 交圆于E ，由点与圆的位置关系可知：1312322122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≥DE AD .8.解析：如图所示：由题意知：()0,1c F -，()0,2c F ，其中22b a c +=，设直线AB 方程为()c x y -=3，联立()⎪⎩⎪⎨⎧=--=132222b y ax c x y ，整理可得：()036322222222=--+-b a c a cx a x a b，设()11,y x A ，()22,y x B，则222222212222133,36b a b a c a x x b a c a x x -+=-=+，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+>∆≠-00003212122x x x x a b ∴223b a >∴()222222222221221233436241b a b a c a b a ca x x x x kAB -+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=22238b a ab -=……①由双曲线定义知，a BF BF AF AF 22121=-=-，∴AB F 1∆的周长为：aBF a AF BF BF AF AF 2222222121+++=+++()12424222=+=++=a AB a BF AF ∴a AB 26-=……②由①②得：022223=++-b ab a a ……③又∵W 为AB 的中点，∴22221332b a ca x x x W -=+=，()222333b ac b c x y W W -=-=，∴W (22233ba ca -,22233b ac b -)∴W F 22222222222222323333b a b a c b b a cb c b a c a +=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，解得：b a =……④由③④可得：1==b a ，∴双曲线方程为122=-y x ∴双曲线渐近线方程为x y ±=，故A 项错误，B 项错误；对于C 项，426=-=a AB ，故C 项错误；对于D 项，∵1==b a ，∴2=c ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛26223，W ，∴62622322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=OW ，故D 项正确.二、多选题9.解析：∵()422-=±i ，因此不妨令方程42-=x 的复数解i z 21=，i z 22-=，对于A ，()42221=-⋅=⋅i i z z ，A 错误；对于B ，1z 与2z 互为共轭复数，B 正确；对于C ，i z 21=，由i z z +=⋅21得()()()i i i i i i i z -=-⋅-⋅+=+=212222，则复数z 在复平面内对应的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121在第四象限，C 错误；对于D ，设()R y x yi x z ∈+=,，由1=z 得122=+y x ，显然有11≤≤-x ，由选项A 知421=⋅z z ，因此()()3817442221≥-=+-=+-=⋅-x y x yi x z z z ，当且仅当1=x ，即1=z 时取等号.10.解析：A ：支出极差：20-1=19，故A 正确；B ：销售额中位数：按照从小到大的顺序排列后，可知中位数为44，故B 错误；C ：样本中心()()42,8=y x 恒过线性回归方程，∵m x y +=5.1，∴30=m ，故C 正确；D ：∵()19,1不在线性回归直线上且偏差极大，去掉这组数据后，相关程度会更高，故D 错误.11.解析：A ：∵()4ln 4ln ln ln ln 22abb a b a =+<，即14ln 2>ab ，解得2ln >ab 或2ln -<ab ，∴2e ab >或210e ab <<，故A 错误；B ：()()a b b a a b b a b a ln ln 2ln ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2log 2log -=-=-=-，∵0>>b a ，则b a ln ln >，即0ln ln <-a b ，且02ln >，∴02log 2log <-b a ，即2log 2log b a <，故B 正确；C ：∵0>>b a ，且01ln ln >=b a ，可得b a ln ln ，同号，则有：若b a ln ln ，同正，可得1>>>b e a ，9101112BDACBCDABD则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；若b a ln ln ，同负，可得011>>>>b ea ，则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；综上所述：b a ab +>+1.又∵x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在定义域内单调递减，∴ba ab ++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21211，故C 正确；D ：∵0>>b a ，则0>-b a ，可得ba xy -=在()∞+，0内单调递增，可得0>>--b a b a b a ，且0,>a b b a ，∴a b b a b a b a >，故D 正确.12.解析：A ：∵222AC PC P A =+，222AC BC BA =+，故P A PC ⊥，BC AB ⊥，则22==BN PN ，又∵1=PB ，∴222PB BNPN =+，故NB PN ⊥，∵PC P A =，N 为AC 的中点，∴AC PN ⊥，又N NB AC =⋂，⊂NB AC ，平面ABC ，∴⊥PN 平面ABC ，又⊂PN 平面P AC ，则平面P AC ⊥平面ABC ，故A 正确；B ：∵⊥PN 平面ABC ，AC BN ⊥，以N 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00,22，A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,220，B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2200，，P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛42420，，M ，∴=+=+=AP NA AW NA NW λ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛00,22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22022，，λ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=λλ220122，，，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42420，，NM ，设NW NM ，所成角为θ，而21cos 212+-=⋅=⋅λλθθNW NM，又λ41=⋅NW NM ，故2121cos 2+-=λλλθ，212143sin 22+-+-=λλλλθ，∴WMN ∆的面积为：2463223419232234121434122=⋅⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+-==λλλθS 故B 正确；C ：当W 为P A 中点，取BC 的中点D ，连接ND MD ，，∵ND AB MW ∥∥，2121===ND AB MW ，故D N W M ,,,四点共面，且四边形MWND 为平行四边形，又∵2121===MD PC WN ，故四边形MWND 为菱形，∴当W 为P A 中点时，平面WMN 截该三棱锥所得截面MWND 为菱形，故C 不正确；D ：∵P A PC ⊥，BC AB ⊥，∴22===NP NA NC ，故三棱锥ABC P -的外接球半径为22，故该外接球的内接正方形的棱长为2，故三棱锥ABC P -可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为()2223==V ，故D 正确.三、填空题13.13422=+x y ；14.34π；15.28；16.1-13.解析：抛物线方程化为标准方程得y x 42=，焦点坐标为()10，F ，∵抛物线焦点与椭圆C 的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y 轴，设椭圆标准方程为()012222>>=+b a bx a y ，则由焦点坐标和长轴长知1=c ，42=a ，∴2=a ，∴3222=-=c a b ，∴椭圆C 的标准方程为13422=+x y.14.解析：设圆锥母线长为l ，由题意l ππ=⨯12，2=l ，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面P AB ∆，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O ，E D ,是切点，如图，已知PD 是圆锥的高，O 在PD 上，由2=P A ，1=BD 得3π=∠BPD ，因此3π=∠ABP ，∴621π=∠=∠DBP OBD ，336tan ==πBD OD ，∴圆锥内半径最大的球的表面积为343342ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=S .15.解析：∵展开式的所有项的二项式系数和为2562=n，解得8=n ，则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31展开式为()82388881331--+=⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rrr r xC x x C T ，8,2,1,0 =r ，可得第1+r 项得到系数为8,2,1,0,3881==-+r C a r rr ，令⎩⎨⎧≥≥+++rr r r a a a a 121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥----+-rr r r rr r r C C C C 91888718883333，解得6=r ，∴展开式中第7项系数最大，其二项式系数为2868=C .16.解析：令1==y x ，则()()()()()()00210012==+=f f f f f f ，∴()00=f ；令2=x ，1-=y ，则()()()()11121222=-=-+=ffff ，又()01<-f ，∴()11-=-f ；令1=y ，则()()()()()()x f f x f f x f x f -=-+=+11101，∴()x f 关于直线1=x 对称；令x y -=，在()()()()()()()[]()01110=+-+=--++=x f x f x f x f x f x f x f f ，∵()01=+x f 不恒成立，∴()()0=-+x f x f 恒成立，∴()x f 为奇函数，∵()()()x f x f x f -=-=+2，∴()()()x f x f x f =+-=+24，∴()x f 是周期为4的周期函数，∴()()()11114455-=-=-⨯=f f f.四、解答题17.解：（1）∵()C c a B c tan 2sin 2-=，∴()CCC A B C cos sin sin sin 2sin sin 2⋅-=，又0sin ≠C ，则()CC B C A C B sin sin 2sin sin 2cos sin 2-+=-=()C C B C B sin sin cos cos sin 2-+=，整理得：C B C sin cos sin 2=，又0sin ≠C ，∴21cos =B ，而()π，0∈B ，∴3π=B ；（2）a c 3=，由余弦定理得：22222273cos329cos 2a a a a a B ac c a b =⨯⨯-+=-+=π，∴a b 7=，∵D 是AC 中点，则a CD AD 27==，在ABD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a ADB ，在CBD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a CDB ，∵π=∠+∠ADB CDB ，∴0cos cos =∠+∠ADB CDB ，0132729134713272913472222=⨯⨯-++⨯⨯-+a a a a a a ，解得2=a ，∴ABC ∆的周长为72837+=++=++a a a c b a .18.解：（1）在三棱台111C B A ABC -中，取11C B 的中点1O ，连接11O A ,∵AC AB =，2π=∠BAC ，4211==B A AB ，则21111==C A B A ，2111π=∠C A B ，有24=BC ，2211=C B ，1111C B O A ⊥，211=O A ，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面111C B A ，则平面11B BCC ⊥平面111C B A ，平面11B BCC ∩平面111C B A 11C B =，又⊂11O A 平面111C B A ，∴11O A ⊥平面11B BCC ，梯形11B BCC 中，311==CC BB ，则梯形11B BCC 的高()()12322221121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B BC BB h ，因此梯形11B BCC 的面积()231242221=⨯+⨯=S ，∴四棱锥111B BCC A -的体积2223313111=⨯⨯=⋅=O A S V .（2）取BC 的中点O ，连接AO ，∵AC AB =，∴BC AO ⊥，在等腰梯形11B BCC 中，O O ，1分别为上下底边BC C B ，11的中点，有BC OO ⊥1，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面11B BCC ∩平面ABC BC =，⊂1OO 平面11B BCC ，∴1OO ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以1,,OO OB OA 所在直线为z y x ,,建立空间直角坐标系，则()0,022，A ，()0220，，B ，()0220，，-C ，()1201，，B ，令()101<<=m BB m BE ，有()m m E ,2220-，，设平面ACE 的法向量为()z y x n ,,=，而()02222，，=CA ，()m m CE ,224,0-=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅022402222mz y m EA n y x CA n ，令m x =，得()m m m n 224,,--=，∵1OO ⊥平面ABC ，则()1,0,01=OO 为平面ABC 的一个法向量，记二面角B AC E --的平面角为θ，于是()10272242224cos 22=-+-===mm m θ，即0262=-+m m ，而10<<m ，解得21=m ，∴存在点E 为B B 1的中点，使得二面角B AC E--的余弦值为1027.19.解：（1）∵()nn nn a S 311=-++，∴2≥n 时，()11131---=-+n n n n a S ，两式相减得：()()113211-+⨯=-+-+n n nn nn a a a ，n 是偶数时，11322-+⨯=+n n n a a ，∴12212322-+⨯=+=n n n n a a b ；（2）由已知321=-a a ……①，9321=++a a a ……②，∵321,,a a a 成等差数列，∴2312a a a =+……③，①②③联立解得61=a ，32=a ，03=a ，∴61=S ，932==S S ,由已知得()23221222≥=+---n a S n n n ，即()29312212≥==---n S n n n ，综上，⎩⎨⎧≥==--2,91,6112n n S n n .20.解：（1）如图所示：由题意知，圆B 圆心为()0,3B ，半径为4，设动圆P 的半径为R ，∵()16332<--，∴点()03，-A 在圆B 内，∴R P A =，R PB -=4，∴324=>=+AB PB P A ，∴圆心P 的轨迹为以B A 、为焦点，长轴长为4的椭圆.∴42=a ，322=c ，故2=a ，3=c ，则122=-=c a b ，∴曲线C 的方程为1422=+y x .（2）如图所示，存在常数m 使得QM m QB =,理由如下：设()00,y x Q ，则142020=+y x ，[]2,20-∈x ，()0,y t M ，∴()()43243413302220202+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=x x x x y xQB ，t x QM -=0，假设存在常数m使得QM m QB =,则()202202043243t x m x x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，即：()2022033443t x m x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，∴432=m ，334=t .即存在常数23±=m 使得QM m QB =成立，此时直线l 方程为334=x .21.解：（1）由题意可知：X 的取值为1,0,1-，()1213214311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X P ；()12532431321430=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ；()2132431=⨯==X P 故X 的分布列如下：则()()12521112501211=⨯+⨯+⨯-=X E .（2）由题可知，87211113321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-===P P P ，，，1613213144=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=P ；经分析可得：若第n 轮没有得1分，则121-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮没有得1分，则241-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮得1分，第2-n 轮没有得1分，则381-=n n P P ；故()4814121321≥++=---n P P P P n n n n ，故81,41,21===c b a ；∵321814121---++=n n n n P P P P ，故211814121--+++=n n n n P P P P ，故211814121--+++-=-n n n n n P P P P P 21321814181412121-----++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=n n n n n P P P P P 01613<-=-n P ；X -11()X P 12112521故()41≥<+n P P n n ，且4321P P P P >>=，则 >>>>=54321P P P P P ，∴答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.22.解：（1）依题意，()x e c x x f +=sin ，求导得()xe cx x x f --='sin cos ，于是()010=-='c f ，解得1=c ，当1=c 时，()xex x f 1sin +=，()10=f ，因此曲线()x f y =在0=x 处的切线为1=y ，平行于x 轴，∴1=c .（2）由（1）知，()xa xb x f 1sin +=，当[]π,0∈x 时，()01sin 11sin 1≥--⇔≤+⇔≤x b a ax b x f xx，令()[]π,0,1sin ∈--=x x b a x g x，求导得()x b a a x g x cos ln -='，若10<<a ，则()01<-=ππa g ，不符合题意，若1>a ，当0≤b 时，()01sin ≥--=x b a x g x，符合题意，当a b ln 0≤<时，()0ln ln cos ln ≥-≥-≥-='b a b a a x b a a x g xx，因此函数()x g 在[]π，0上单调递增，()()00=≥g x g ，符合题意当a b ln >时，令()()x g x h '=，则()()0sin ln 2>+='x b a a x h x，即函数()x g '在[]π，0上单调递增，而()0ln 0<-='b a g ()0ln >+='b a a g ππ，则存在()π,00∈x 使得()00='x g ，当()0,0x x ∈时，()0<'x g ，函数()x g 在()0,0x 上单调递减，当()0,0x x ∈时，()()00=<g x g ，不符合题意，综上得a b ln <且1>a ，则有a e a eb a ln -≥-，令()1,ln >-=a a e a a ϕ，求导得()aea -='1ϕ，当e a <<1时，()0<'a ϕ，当e a >时，()0>'a ϕ，函数()a ϕ在()e ,1上单调递减，在()+∞,e 上单调递增，因此()()0ln =-=≥e e e e a ϕϕ，即0ln ≥-≥-a e a eb a ，∴eb a ≥.。
山东省聊城市2020届高考数学模拟考试三模试题含解析
山东省聊城市2020届高考数学模拟考试（三模）试题（含解析）一、单项选择题．1.已知集合{}1,3,5,7A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =（ ）A. {}1,3,5,7,9,11,15B. {}1,3,5,7C. {}3,5,9D. {}3,7【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先得到{}3,7,11,15，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}1,3,5,7A =，所以{}{}21,3,7,11,15B y y x x A ==+∈=， 因此{}3,7A B ⋂=. 故选：D.【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2.已知复数z 满足()2313z i +=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数z 和z ，再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限. 【详解】()()()13231323232323i z i i i i -===-++- 23z i ∴=+，复数z 在复平面内对应的点是()2,3，在第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题型. 3.已知向量2a =，1b =，()()31a b a b +⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A.4π B.34π C.3π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，求出a b ⋅，再由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】因为向量2a =，1b =，()()31a b a b +⋅-=，所以22231a a b b -⋅-=，即2231a b -⋅-=，即1a b ⋅=-， 因此2cos ,2a b a b a b⋅<>===-，所以3,4a b π<>=.故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.4.在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a 代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）A. 20 20B. 21 20C. 20 21D. 21 21【答案】B 【解析】 【分析】先由题中数据，根据题意，求出4a =，将甲乙的成绩都从小到大排序，即可得出中位数.【详解】由题中数据可得：甲的平均数为118181620242812466a ax +++++++==，乙的平均数为218182020242812866x +++++==，因为甲乙成绩的平均数相等，所以12412866a +=，解得：4a =， 所以甲的成绩为：16,18,18,24,24,28，其中位数为1824212+=，乙的成绩为：18,18,20,20,24,28，其中位数为2020202+=. 故选：B.【点睛】本题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型. 5.函数2sin 2sin 221x xy x =+-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，分别判断0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，2sin 2sin 221x x y x =+-的正负，即可得出结果.【详解】当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 20x >，21x >，所以2sin 2sin 2021x xy x =+>-，排除AB 选项；当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 20x <，021x <<，所以2sin 221sin 2sin 202121xx x x y x x +=+=⋅>--，排除D 选项. 故选：C.【点睛】本题考查函数图像的识别，根据排除法，即可得出结果.6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ） A. 9寸B. 7寸C. 8寸D. 3寸【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得．【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为1(146)102⨯+=寸， 则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=（立方寸）所以平地降雨量为2588314ππ=⨯（寸），故选：D ．【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解 题意是解题关键．本题属于基础题． 7.某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为（ ） A.827B.227C.49D.13【答案】A 【解析】 【分析】首先求彩旗表达信号的所有方法种数，以及信号中恰有2面红色旗子的方法种数，再根据古典概型计算.【详解】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有4381=种，若恰有2面红色旗子，则有224224C ⋅=种，所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率2488127P ==. 故选：A【点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意，并能转化为数学问题.8.已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A 1- B. 1C. 2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，根据题意，求出1OM =，再由2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，得到PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小，根据点到直线距离公式，求出OP 的最小值，即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且AB =所以12OM ==⎝⎭，又2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥- 因此，PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小， 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点，所以点O 到直线40x y +-=的距离，即是min OP ，即min OP ==因此minmin 11PMOP =-=，即minmin22PA PB PM+==.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型. 二、多项选择题．9.下列命题正确的是（ ）A. 在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B. 已知()2,XN μσ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越矮胖C. 若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面//α平面βD. 若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则βn// 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A ，根据独立性检验的原理即可判断，对选项B ，根据正态曲线的几何特征即可判断，对选项C ，D ，利用面面和线面的位置关系即可判断.【详解】对选项A ，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大， 即犯错误的概率越小，故A 正确.对选项B ，根据正态曲线的几何特征，即可判断B 正确.对选项C ，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，故C 错误.对选项D ，若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ， 则直线n 有可能在平面β内，故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了独立性检验和正态分布，同时考查了线面和面面的位置关系，属于简单题.10.已知函数()sin cos f x x x =+（ ） A. 2π为()f x 的周期B. 对于任意x ∈R ，函数()f x 都满足()()f x f x ππ+=-C. 函数()f x 在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由函数周期定义判断是否满足()()2f x f x π+=；B 根据诱导公式判断是否满足()()f x f x ππ+=-；C.根据定义域,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分[]0,x π∈和(],2x ππ∈两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.【详解】A.()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+，即()()2f x f x π+=，所以2π为()f x 的周期，故A 正确；B.()()()sin cos sin cos f x x x x x πππ+=+++=-，()()()sin cos sin cos f x x x x x πππ-=-+-=-，所以()()f x f x ππ+=-，故B 正确；C.当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时5,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； D.由A 可知函数的周期是2π，所以只需考查一个周期函数的值域，设[]0,2x π∈，当[]0,x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()f x ∈-⎡⎣，当(],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，cos 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，即()(f x ∈-，所以[]0,2x π∈时，()f x 的最小值为-1，故D 不正确. 故选：ABC【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.11.关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程为()240a x y a ---+= B. 2x a=是函数()f x 的一个极值点 C. 当1a =时，()ln 21f x ≥+D. 当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到()22a f x x x'=-，求出函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程，即判断A ；根据0a <时，()220a f x x x '=-<恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B ；根据导数的方法求出1a =时，()f x 的最小值，即可判断C ；根据导数的方法判断1a =-时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为()2ln f x a x x=+，所以()12f =，()22a f x x x '=-，所以()12f a '=-，因此函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程为()()221y a x -=--， 即()240a x y a ---+=，故A 正确； 当0a <时，()220a f x x x'=-<在()0,x ∈+∞上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B 错；当1a =时，()22122x f x x x x ='-=-，由()0f x '>得2x >；由()0f x '<得02x <<， 所以函数()2ln f x x x =+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增；因此()min 2ln 2ln 212f x =+=+，即()ln 21f x ≥+；故C 正确；当1a =-时，()2120f x x x'=--<()0,x ∈+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减；由()()210f x f x -->可得210021x x x x->⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得：112x <<，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.12.已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若1222AF BF AF ==，则（ ） A 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 双曲线的渐近线方程为y x =D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长a 的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D 正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项．【详解】如图，设2AF x =，则212BF AF x ==，所以122a AF AF x =-=，122226BF BF a x a a =+=+=，36AB x a ==，所以1BF AB =，∴11AF B F AB ∠=∠，A 正确；124AF x a ==，16BF AB a ==，在1AF B △中，121cos 63a F AB a ∠==， 在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即222141642423c a a a a =+-⨯⨯⨯2443a =，22113c a =，所以3c e a ==，B 正确；由22222113c a b a a +==得2283b a =，3b a =，渐近线方程为3y x =±，C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则22OF AF =，2c a =，2ce a==与B 矛盾，不成立，D 错． 故选：ABC ．【点睛】本题考查双曲线的焦点弦有关问题，解题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用a 表示．从而寻找到,,a b c 的选题关系可求得离心率和渐近线方程． 三、填空题．13.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，则6a =______． 【答案】16 【解析】 【分析】直接由递推式逐一计算得出6a ．【详解】由题意2112a a =+=，2324a a =+=，4337a a =+=，54411a a =+=，65516a a =+=．故答案为：16．【点睛】本题考查数列的递推公式，由递推公式求数列的项，如果项数较小，可直接利用递推公式逐一计算，如果项数较大，则需要从递推式寻找到规律，或求出通项公式，再去求某一项．14.四张卡片上分别写有数字3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则______同学卡片上的数字最小． 【答案】丁 【解析】【分析】根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6，从而可分别得出其他同学的卡片数字，进而可得出结果.【详解】由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6；又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3.即丁同学卡片上的数字最小. 故答案为：丁.【点睛】本题主要考查合情推理，根据题中条件合理推断即可，属于基础题型. 15.已知()()45432123451x x b x a x a x a x a x a ++=+++++，其中413a =，则b =______．【答案】3 【解析】 【分析】4a 是x 的系数，由多项式乘法结合二项式定理可得．【详解】由题意展开式中x 的系数为14113b C ⋅+=，解得3b =．故答案为：3．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．对两个多项式相乘，注意乘法法则的应用．16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，Q 分别为棱11A B ，11B C ，1BB 的中点，点P 为棱1CC 上的动点，则P MNQ V -的最大值为______，若点P 为棱1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 (1). 12(2). 8π 【解析】 【分析】连接1B C 交QN 于点H ，根据正方体的特征，得到1B C QN ⊥，H 为QN 的中点，点C 到直线QN 的距离最大为CH ，由题中数据，求出CNQS，得到当点P 与点C 重合时，PNQ 的面积最大；再由()()()1maxmaxmax13P MNQM PNQ PNQ V V MB S --==⋅⋅，即可求出P MNQ V -的最大值；若点P 为棱1CC 的中点，连接PQ 交1B C 于点E ，连接NE ，则点E 为右侧面11B BCC 的中心，取左侧面11A ADD 的中心为点F ，连接EF ，记EF 的中点为G ，则G 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，连接MG ，则MG EF ⊥，得到PNQ 的外接圆圆心为点E ，根据球的结构特征，得到三棱锥M PQN -外接球的球心在直线EF 上，记作点O ，连接OM ，ON ，设三棱锥M PQN -外接球的半径为R ，根据题中条件，列出方程求解，即可得出22R =，从而可求出球的表面积.【详解】连接1B C 交QN 于点H ，因为四边形11B BCC 是正方形，N ，Q 分别为棱11B C ，1BB 的中点，所以易得，1B C QN ⊥，H 为QN 的中点，且正方形11B BCC 中，点C 到直线QN 的距离最大为CH ，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以QN ==1B C ==因此1B H =CH ==，所以13222CNQS==， 又点P 为棱1CC 上的动点，所以当点P 与点C 重合时，PNQ 的面积最大，为32； 因为正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11B BCC ，所以1MB ⊥平面PNQ ， 又P MNQ M PNQ V V --=，所以()()()1maxmaxmax1132P MNQM PNQ PNQ V V MB S --==⋅⋅=； 若点P 为棱1CC 的中点，连接PQ 交1B C 于点E ，连接NE ，则点E 为右侧面11B BCC 的中心， 取左侧面11A ADD 中心为点F ，连接EF ，记EF 的中点为G ，则G 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，连接MG ，则MG EF ⊥，因为P 为棱1CC 的中点，所以22112NP C N C P NQ =+==，所以2224NP QN PQ +==，因此NP NQ ⊥， 所以PNQ 的外接圆圆心为点E ；又球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，11//EF A B ，11A B ⊥平面11B BCC ，所以EF ⊥平面11B BCC ，因此三棱锥M PQN -外接球的球心在直线EF 上，记作点O ， 连接OM ，ON ，设三棱锥M PQN -外接球的半径为R ， 则OM ON R ==，又1//MB GE ，且1MB GE =，1EF B C ⊥，所以四边形1MB EG 为矩形， 因此11122MG B E B C ===，所以2222OG OM MG R =-=-， 因为1112NE CC ==，所以2221OE ON NE R =-=-， 又112GE OG OE EF =+==，所以22121R R -+-=，解得：22R =，所以该球的表面积为248R ππ=. 故答案为：12；8π.【点睛】本题主要考查求三棱锥体积的最值，以及求三棱锥外接球的表面积，熟记简单几何体的结果特征，以及棱锥体积公式、球的表面积公式即可，属于常考题型，难度较大. 四、解答题．17.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，11a =，且12a +，22a ，37a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()11nn b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）当n 为偶数时，111n T n =-++；当n 为奇数时，111n T n =--+．【解析】 【分析】（1）先由题意，设{}n a 的公差为d ，且0d >，根据12a +，22a ，37a +成等比数列，列出方程求出公差，从而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列求和公式，以及()11nn b a +=-，得到()()2111nn n b n n +=-+，再由裂项求和的方法，即可求出结果.【详解】（1）由题意，设{}n a 的公差为d ，且0d >， 因为11a =，且12a +，22a ，37a +成等比数列，∴()()22213227a a a =+⨯+，即()()22213127d d +=⨯++，解得2d =，52d =-（舍）． ∴()12121n a a n n =+⨯-=-． （2）∵21n a n =-，∴()21212n n n S n +-==，()211n Sn +=+，()1n n ==+，∵()11nn b a +=-，121n a n +=+， ∴()()()21111111nn n n b n n n n +⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭．当n 为偶数时，1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n奇数时，1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴当n 为偶数时，111n T n =-++；当n 为奇数时，111n T n =--+． 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，等比中项的定义，以及裂项求和的方法即可，属于常考题型. 18.在①(),m a b c a =+-，(),n a b c =-，且m n ⊥，②22cos a c b C -=，③1sin cos 62B B θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． （1）求角B ；（2）若4b =，求ABC 周长的最大值． 【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）12．【解析】 【分析】（1）若选①，根据向量数量积的坐标表示，以及余弦定理，即可求出角B ；若选②，根据正弦定理，化简整理，即可求出角B ；若选③，先将条件化简，得到1cos 32B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即可求出角B ；（2）先由余弦定理，根据（1）的结果，得到()2163a c ac =+-，再由基本不等式，求出8a c +≤，即可得出周长的最值.【详解】（1）选①∵(),m a b c a =+-，(),n a b c =-，且m n ⊥， ∴()()()0a b a b c c a +-+-=．化简得，222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为0B π<<，∴3B π=．选②根据正弦定理，由22cos a c b C -=得2sin sin 2sin cos A C B C -=， 又因为()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以2sin cos sin C B C =，又因为sin 0C ≠， 所以1cos 2B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=．选③由1sin cos 62B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得311sin cos cos 22B B B +=+， 即311sin cos 222B B -=，所以1cos 32B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又因为()0,B π∈，所以233B ππ+=，因此3B π=． （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()2163a c ac =+-．又∵2a a c c +≥，∴()24a c ac +≤，当且仅当a c =时等号成立， ∴()()2233164a c ac a c +=+-≤，解得，8a c +≤，当且仅当4a c ==时，等号成立．∴8412a b c ++≤+=． ∴ABC 的周长的最大值为12．【点睛】本题主要考查解三角形，以及求三角形的周长最值问题，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不等式即可，属于常考题型.19.如图1所示，EFGH 为矩形，四边形ABCD 为正方形．1ADD A 与11BCC B 为全等的等腰梯形，其中11122224AB AE AA DH A D =====，沿着AB ，BC ，CD ，DA 折成如图2所示的几何体1111ABCD A B C D -，使1A ，1B ，1C ，1D 分别与E ，F ，G ，H 重合．（1）求证：平面11AA D D ⊥平面ABCD ；（2）求平面11B CD 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，得AB AD ⊥，再由四边形11ABB A 是矩形，得1AB AA ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11AA D D ，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）由已知可推得1OA ，OD ，ON 两两垂直，所以以OD ，ON ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，然后利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，∵四边形11ABB A 是矩形， ∴1AB AA ⊥，又∵1AD AA A ⋂=，1AA ⊂平面11AA D D ， ∴AB ⊥平面11AA D D ．又因为AB 平面ABCD ，∴平面11AA D D ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知平面ABCD ⊥平面11ADD A ． 过1A 作1A O AD ⊥于点O ， ∵平面ABCD ⊥平面11ADD A ， 平面ABD ⋂平面11ADD A AD =， ∴1A O ⊥平面ABCD ．过O 作//ON AB ，且交BC 于点N ， ∴1OA ，OD ，ON 两两垂直， 分别以OD ，ON ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：则()3,4,0C ，(1D ，(10,B ，()11,4,3CD =--，()13,0,3CB =-，设平面11B CD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由110,0,CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得430,330.x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩令3z =，得11,,32n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =， ∴251cos ,m n m n m n⋅==， 所以平面11B CD 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为251．【点睛】此题考查的是证面面垂直和求二面角的余弦值，考查空间想象能力，利用了空间向量求解，考查了计算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，P 为椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，12PF F △3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A 为椭圆C 的右顶点，过左焦点F 的动直线交椭圆于B ，D 两点（异于点A ），直线AB ，AD 与定直线():0l x t t =≠的交点分别为M ，N ，若以MN 为直径的圆经过点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 的方程为4x =-． 【解析】【分析】（1）当P 是短轴端点时，12PF F △面积的最大，由此可处bc ，再由离心率，及222a b c =+可求得,a b 得椭圆方程；（2）设直线BD 的方程为1x my =-，代入椭圆方程，()11,B x y ，()22,D x y ，得122634m y y m +=+，122934y y m -=+，设()1,M t n ，()2,N t n ，由A ，B ，M 三点共线得2n ，同理得2n ，把.M N 坐标代入0NF MF ⋅=，并代入1212,y y y y +可求得t ．【详解】解：（1）由离心率12e =得，2a c =，① 因为当点P 为短轴端点时，12PF F △面积最大，122c b bc ⨯⨯== 在椭圆中222a b c =+，③由①②③解得，24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A ，设直线BD 的方程为1x my =-，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 得()2234690m y my +--=， 设()11,B x y ，()22,D x y ，则()()()222643491441440m m m ∆=--⨯+⨯-=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 设()1,M t n ，()2,N t n ， 由A ，B ，M 三点共线得，11122y nx t =--， ∴()11122t y n x -=-，同理得()22222t y n x -=-，因为以MN 为直径的圆经过点F ，所以NF MF ⊥，于是0NF MF ⋅=，由()21,NF t n =---，()11,MF t n =---，()21210t n n ∴++=．将()11122t y n x -=-，()22222t y n x -=-，代入上式，得()()()()22121221022y y t t x x -⋅++=--， ∵111x my =-，221x my =-，∴()()()()22121221033y y t t my my -⋅++=--，③ 将122634m y y m +=+，122934y y m -=+， 代入③得()()222104t t --++=， 解得4t =-，或0t =（舍去）．故直线l 的方程为4x =-．【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标，设直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得出1212,y y y y +（或1212,x x x x +），然后把这个1212,y y y y +代入其他条件化简变形，得出结论．21.贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物，是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药，主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测，若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为23，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为45，药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，一只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为1-．用随机变量X 表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ；（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p ，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为()f p ，求()f p 最大时p 的值．【答案】（1）分布列答案见解析，期望为：2815；（2）p = 【解析】【分析】 （1）由题意分别写出随机变量X 的可能取值，再根据独立事件同时发生的概率分别求对应的概率，再计算分布列和数学期望；（2）首先由题意可知()()()454611f p p p p p p p =-+-=-，利用导数求函数的最大值.【详解】（1）由题意，随机变量X 的可能取值为4-，2-，0，2，4．()2224141135225P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2211222442241221111355335225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⨯+-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2222112222442424520111133553535225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯+-⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()22112224422496211355335225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222464435225P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． X 的分布列为：()()()112529664420284202422522522522522522515E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯==． （2）由题意知()()()454611f p p p p p p p =-+-=-，()01p <<，()()353246223f p p p p p '=-=-．令()()322230f p p p '=-=得，p =∴当0p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当13p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，∴当3p =，()f p 取得最大值． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，导数求函数的最值，属于中档题型，本题的关键是正确理解题意，并能力转化为数学问题，尤其是第一问，不重不漏的求出X 所取的所有数值，并且整理理解随机变量，并求概率.22.已知函数()x f x e =，()ln h x x x =+，()()1ag x x a e =-+． （1）设()()()F x xf x ah x =-，讨论()F x 极值点的个数；（2）判断方程()()f x g x =的实数根的个数，并证明：122462232nnn n e e e e e +++++⋅⋅⋅+≥． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先对函数()F x 求导，分别讨论0a ≤，0a >，用导数的方法研究其单调性，从而可确定极值点个数；（2）先将方程()()f x g x =化为1x a e x a -=-+，设x a t -=，则原方程又可化为1t e t =+．设()1t M t e t =--，用导数的方法求出 ()()min 00M t M ==，即可判断方程根的个数；得到对于任意的t R ∈，1t e t ≥+，从而有111242222111214121222n n n n n n n e e e n +++---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简整理，即可证明不等式成立.【详解】（1）()()ln x F x xe a x x =-+，0x >，∴()()()()1111x x x xe a F x x e a x x+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭，①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在()0,∞+内单调递增，()F x 没有极值点．②当0a >时，令()x H x xe a =-，当[)0,x ∈+∞时，()()10x H x x e '=+>，∴()H x 在[)0,+∞上单调递增．又()00H a =-<，()()10a H a a e =->，∴00x ∃>，使()00H x =，且当()00,x x ∈时，()0H x <，当()0,x x ∈+∞时，()0H x >，从而()00F x '=，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，∴0x x =是函数()F x 的极小值点．综上，当0a ≤时，()F x 无极值点，当0a >时，()F x 有一个极值点．（2）方程()()f x g x =可化为1x a e x a -=-+．设x a t -=，则原方程又可化为1t e t =+．设()1t M t e t =--，则()1t M t e '=-．∵()00M '=，当(),0t ∈-∞时，()0M t '<，()M t 在(),0-∞上单调递减，当()0,t ∈+∞时，()0M t '>，()M t 在()0,∞+上单调递增；()()min 00M t M ∴==，所以当0t ≠时，()0M t >，所以方程1t e t =+只有一个实数根，∴方程()()f x g x =只有一个实数根．∵对于任意的t R ∈，1t e t ≥+． ∴111242222111214121222n n n n n n n e e e n +++---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21132421222n n n n n n n n n n n +++=++⋅⋅⋅+-+=+-+=， 即()12242232n nn n e e e e +-+++⋅⋅⋅+≥， ∴12242232nn n n e e e e ++++⋅⋅⋅+≥． 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点个数，判断方程根的个数，以及证明不等式恒成立的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，判断极值等，属于常考题型，难度较大.。
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高考仿真模拟冲刺考试（三）数学理满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P kn kkn n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．1 2．下列有关命题的叙述错误的是（ ）A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件C ．命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0”D ．“x ＞2”是“211<x ”的充分不必要条件3．设集合{}{}|,|5,,A x x k N B x x x Q ==∈=≤∈则B 等于（ ）A ．{1, 2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}4．在样本的频率分布直方图中，一共有)3(≥m m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的41，且样本容量为100，则第3组的频数是 （ ）A ．10B ．25C ．20D ．405．如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为 （ ）A ．19B ．31C ．1D ．36．已知()()()2,log 0,1x a fx a g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是 （ ）7．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有/()()f x f x >，则有（ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -<>8．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2= C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（ ）A ．192B ．144C ．288D ．24010．如果函数2()ln(1)a f x xb =-+的图象在1x =处的切线l 过点1(0,)b-，并且l 与圆C ：221x y +=相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上） 11．等差数列{a n }中，a 4+ a 10+ a 16=30，则a 18-2a 14的值为 ．12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．13．二项式（1+sinx ）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 14．直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；15．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称；② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（Ⅰ）平面//EFG 平面ABC ;（Ⅱ）SA BC ⊥.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =． （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:（Ⅰ）对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; （Ⅱ）对任意np N ∈,由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<已知函数()f x=lnx-ax-3（a≠0）．（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1,2]，函数23()[2()]2xg x x m f x'=+-在区间（a,3）上有最值，求实数m的取值范围．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D （Ⅰ）求椭圆1C 的方程;（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.理科数学（三）18．解：（Ⅰ）()31f x x =为奇函数；()25xf x =为偶函数；()32f x =为偶函数；()42121x x f x -=+为奇函数；()5sin()2f x x π=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数.所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数， 一个为偶函数;故基本事件总数为112333C C C + .满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为23C故所求概率为2311233314C P C C C ==+,（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． 103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；故ξ的分布列为.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ∴ξ的数学期望为.4719．(Ⅰ) 224232224321)(0n x x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x x nn n n n n n n p n n)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f p n pn n p n n p n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n np n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x n x x x x x x x x x x pn pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ n x x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 20．（Ⅰ）1(0,),()ax f x x-'+∞=定义域，110,(0,)()0;(,),()0,a x f x x f x a a''>∈>∈+∞<当时时时0,(0,),()0a x f x '<∈+∞>当时时，110,()(0,),(,);a f x a a>+∞所以当时的单调增区间为减区间为0,()(0,),.a f x <+∞当时的单增区间为无减区间（Ⅱ）322()(),()3(2)12mg x x a x x g x x m a x '=++-=++-， ()(,3),()(,3),(0)10g x a g x a g '∴=-< 函数在区间上有最值函数在区间上不单调，2()03(2)10[1,2],(3)036260g a a m a a a g m a '<⎧++-<⎧∴∈⎨⎨'>++>⎩⎩即对任意的恒成立 153219[1,2],3236260m aa m am a ⎧<-⎪∈-<<-⎨⎪++>⎩即对任意的恒成立得。