解析几何圆问题的几何处理办法 (1)
九年级数学圆几何题小妙招
九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。
二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。
在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。
三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。
只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。
同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。
四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。
通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。
画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。
五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。
例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。
通过分类讨论，可以更好地解决问题。
六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。
例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。
七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。
例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。
通过代数方法，可以更快地解决问题。
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
老高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12， 抛物线 C 的方程为：y2＝x， 因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1， 故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5， 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直 线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相 切．
解圆的技巧
解圆的技巧圆是几何学中最基本的图形之一，其特点是任意一点到圆心的距离都相等。
解圆问题在几何学中非常常见，掌握解圆的技巧对于解决与圆相关的问题至关重要。
本文将介绍几种解圆的常用技巧。
一、圆的基本性质在解圆问题之前，我们首先要了解圆的一些基本性质。
圆由圆心和半径组成，圆心用字母O表示，半径用字母r表示。
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，用字母C表示，公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。
圆的面积是圆上所有点到圆心的距离的平均值，用字母A表示，公式为A=πr²。
二、圆的切线圆的切线是与圆只有一个交点的直线。
解圆问题中经常需要求切线的长度或角度。
求解圆的切线可以通过以下几种方法：1. 利用勾股定理：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。
已知圆的半径r和圆心到切线的距离d，可以通过勾股定理求得切线AB的长度。
根据勾股定理，有r² = d² + AB²，解得AB = √(r² - d²)。
2. 利用相似三角形：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。
已知圆的半径r和切线与半径的夹角θ，可以通过相似三角形求得切线AB的长度。
根据相似三角形的性质，有AB/r = r/OA，解得AB = r²/OA。
3. 利用切线的性质：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。
已知圆的半径r和切线与半径的夹角θ，可以通过切线的性质求得切线AB的长度。
根据切线的性质，切线与半径的夹角等于切线与圆的切点连线的夹角，即θ = ∠OAB。
根据正弦定理，有AB/sinθ = OA/sin(π/2 - θ)，解得AB = r*cosθ。
三、圆的相交与相切解圆问题中常常需要求两个圆的交点或切点的坐标。
求解圆的相交与相切可以通过以下几种方法：1. 利用勾股定理：设两个圆的圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。
高考专题复习 解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)
专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。
数学几何圆题答题技巧
数学几何圆题答题技巧圆题是数学几何中的一部分，主要涉及到圆的性质、定理及应用。
掌握圆题的解题技巧不仅有助于提高数学成绩，也有益于培养解决实际问题的思维能力。
下面，本文将从如何理解圆及圆的基本要素、圆的基本定理与性质以及圆题的解题技巧三个方面进行详细阐述。
一、如何理解圆及圆的基本要素圆是平面上一组点的集合，这些点与一个固定点之间的距离均相等，这个点称为圆心，距离称为半径。
圆有很多种表述方式，其中最常用的是：已知圆心坐标和半径长度的圆方程，以及一般最常见的圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²(公式中a，b为圆心坐标，r为半径长度)。
二、圆的基本定理与性质圆的基本定理与性质有很多，其中比较重要的有以下几个：1.圆的对称性。
对于圆上的任意一点，在圆心的垂线中点处作一个垂直于半径的直线，会将圆分成两个对称的部分。
2.圆上的任意三点不共线。
对于圆上的任意三个点A、B、C，它们一定不共线。
反之，若三个点共线，则它们不可能在同一圆上。
3.圆的切线性质。
切线与圆的交点与圆心连线垂直于切线。
4.圆的内外切线。
如果两个圆的圆心连线长度等于它们的半径之和，则这两个圆外切；如果圆心连线长度等于它们的半径之差，则这两个圆内切。
5.相切圆的切点连线。
如果有两个相切的圆A、B，那么它们相切点的连线BC必须垂直于勾股中的直角边AB。
6.正多边形的外接圆和内切圆。
对于正n边形，它的外接圆圆心坐标和半径的公式为(x,y)=(0,0)、r=L/2sin(π/n)，其中L为边长；它的内切圆圆心坐标和半径的公式为(x,y)=(0,0)、r=L/2tan(π/n)。
三、圆题的解题技巧圆题的解题技巧涵盖了圆的基本定理与性质的运用及计算技巧，下面将重点介绍一下圆题的解题技巧：1.认真读题，理解问题。
圆题解题最重要的第一步就是认真阅读题目，理解题目所给情境及所求结果。
2.根据已知条件确定几何关系。
根据题目给出的半径、弦、切线、线段等量的长度、相互之间的夹角关系来判断出所求的几何关系。
第46讲 解析几何中的四点共圆问题(解析版)
第46讲 解析几何中的四点共圆问题一、单选题1．（2020·全国全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点，点P 为双曲线右支上一点，直线1PF 交y 轴于点Q ，且点O ，Q ，P ，2F 四点共圆（其中O 为坐标原点），若射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，则双曲线的离心率为（ ） A 21 B 31C ．2D 5【答案】B 【分析】由O ，Q ，P ，2F 四点共圆得到222QPF QOF π∠∠==，结合射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线以及双曲线的性质求得212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，由此求得12,PF PF ，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率. 【详解】因为点O ，Q ，P ，2F 四点共圆，所以222QPF QOF π∠∠==．因为射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，所以221PF Q QF F ∠=∠，由双曲线的对称性知1221PF F QF F ∠=∠，所以212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，122F F c =，因此2PF c =，13PF c ，从而1223=-=-a PF PF c c ， 因此离心率3131c e a ===-. 故选：B2．（2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ） A ．212B 31- C 51- D 52- 【答案】C【分析】由,,,O F P A 四点共圆，可得AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，列等式即可求解. 【详解】如图，()0,A b ，()0,B b -，(),0C a ，(),0F c ， 因为,,,O F P A 四点共圆，2AOC π∠=,所以2APF π∠=，所以AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，()00100b b ac ---⋅=---，整理可得2b ac =， 所以22a c ac -=，210e e +-=，解得15e -±= 因为01e <<，所以51e -= 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.二、多选题3．（2021·山东菏泽·二模）已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（ ） A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆 B ．△PQF 1的内切圆半径为1 C ．I 为线段OQ 的三等分点 D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D. 【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF = 对于A ：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B ：11||||||2PF PQ FQ r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C ：121222||||Rt Rt ||252||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒==∽△△， 故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD4．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线22145x y -=，)(00,P x y 为双曲线上一点，过P 点的切线为l ，双曲线的左右焦点1F ，2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则（ ） A ．125d d =B ．直线l 与双曲线渐近线的交点为M ，N ，则M ，N ，1F ，2F 四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为22145y x -=D ．过2F 的弦长为5的直线有且只有1条 【答案】AB 【分析】对于A 中，求得切线l 的方程005420x x y y -=，结合点到直线的距离公式，可判定A 正确 对于B 中，联立方程组，分别求得,M N 坐标，结合斜率公式，可判定B 正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C 错误；结合实轴长和通经，可判定D 错误. 【详解】由题意，双曲线22145x y -=的焦点坐标为)(13,0F -，)(23,0F ， 对于A 中，由双曲线的性质，可得切线l 的方程为00145x x y y-=，即005420x x y y -=， 则)()()()()(22000012222222220025916259161520152052516255204251654x x x x d d x y x xx yx y -----====++-⋅++，所以A 正确对于B 中，联立方程组0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252M x y x y ⎫--，又由0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252N x y x y ⎫++， 1000000524545356352MF x y k x y x y -==+-+-2000000524545356352MF x y k x y x y -=-+--，)()())(00000012200000060524535645356tan 10018035614535645356x y x y x y F MF x y x y x y ---++-∠==--+-+，1000000524545356352NF x y k x y x y +==++++2000000524545356352NF x y k x y x y +==---+则()())(00000012200220060524535645356tan 100180********x y x y x y F NF x y x y ++++--∠==-++-+1212tan tan F MF F NF ∠+∠))())()()(2000000002200006052180356605218035618035618056x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤--+++--⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎦⎣=⎡⎡⎤⎤---+⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣)()))(2200000000605218095252180952x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩))))2200000000540522052522052x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩)())()2222000000000000540205405452205405452x y x y x y x y x y x y ⎡⎤=---+++---⎥⎢⎦⎣))00000540405205220520x x y x y ⎡⎤=-+--=⎢⎥⎦⎣， ∴1222tan tan 0F MF F NF ∠+∠=，1222180F MF F NF ∠+∠=︒， ∴M ，N ，1F ，2F 四点共圆，B 正确.对于C 中，双曲线22145x y -=的共轭双曲线为22154y x -=，所以C 错误对于D 中，由双曲线22145x y -=，可得2,a b ==3c =， 可得245a =<，且通经长225b a =，所以过2F 的弦长为5的直线有3条，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点M ⎫，N ⎫，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.三、双空题 5．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上不同的三点(1,2)A ，()11,B x y ，()22,C x y ，满足AB BC ⊥，120y y ≠，且O ，A ，B ，C 四点共圆，则直线BC 的方程是___________；四边形OABC 的面积为___________． 【答案】224y x =-+ 90 【分析】结合AB BC ⊥，,,,O A B C 四点共圆，由1OA OC k k ⋅=-求得2y ，进而求得C 的坐标，由1AB BC k k ⋅=-求得1y ，进而求得B 点坐标.由,B C 的坐标求得直线BC 的方程.求得,,,OA OC AB BC ，由此求得四边形OABC 的面积. 【详解】依题意有π2AOC ABC ∠=∠=， 则22222222814OA OC y y k k y x y ====-⋅，得22228,164y y x =-==， 又有1112412AB y k x y -==-+， 1212121448BC y y k x x y y y -===-+-， 所以1144128y y ⋅=-+-，解得16y =或10y =（舍），21194y x ==. 故可知(9,6)B ，(16,8)C -， 则有直线BC 的方程为()8669169y x ---=--，即224y x =-+；易知OAOC =AB =BC =所以1()902OABC S OA OC AB BC =⨯+⨯=四边形．故答案为：224y x =-+；90四、填空题6．（2021·广西·模拟预测（理））过)F作与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A 、B 两点，若OAFB 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．【分析】联立OA 直线、与FA 直线，求出A 点的坐标，联立OB 直线、与FB 直线，求出B 点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，再结合OA OB ⋅的数量积为0，即可求解． 【详解】解：由题意可得(),0F c ， ∵直线OA 、OB 都平行于渐近线， ∴可设直线OA 的方程为b y x a =，直线OB 的方程为by x a=-， ∴过点F 平行与OA 的直线FB 的方程为()by x c a=-， 过点F 平行与OB 的直线FA 的方程为()by x c a=--， 分别联立方程()b y x ab y xc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，()b y x a b y x c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即线段AB 与OF 互相垂直平分，则四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处， ∴OA AF ⊥，则2222044c b c OA AF a ⋅⋅=-=即a b =，∵22222c a b a =+=，c =，∴双曲线的离心率c e a ===7．（2021·浙江·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:24l x y +=与x 轴交于A 点，直线:10m kx y +-=与y 轴及直线l 分别交于B 点，C 点，且A ，B ，C ，O 四点共圆，则此圆的标准方程是__________.【答案】22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】由题意得AB 为直径，且直线l 与m 垂直故2k =-，得(0,1)B 所以圆心与半径可求，则圆方程易得. 【详解】由题意A ，B ，C ，O 四点共圆且OA OB ⊥，所以⊥CB CA ，则直线l 与m 垂直故2k =-，又(0,1)B ，()4,0A此圆的圆心为1(2,)2，半径为12r AB =17，所以圆的标准方程为22117(2)()24x y -+-=.故答案为：22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭五、解答题8．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）22143x y += （2）①证明见解析，②9,116⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）设椭圆的左焦点为F '，利用2a EF EF '=+求解即可；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，由点差法可得直线MO 的斜率为34k-，然后根据斜率可证明PR OQ ⊥、QS OP ⊥，即可得证； ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RF S S SO =，然后可算出2221k RF k =+，22216916k SO k =+，然后()22122229161716161161RF S k S k k SO +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，即可求得答案. （1）设椭圆的左焦点为F '，由题意可知()1,0F '-，()1,0F 根据定义，可求得24a EF EF '=+=，∴2a =，∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得：22221212043x x y y --+= 两边同除12x x -，可得：00043x y k +⋅=，即0034y k x ⋅=-，所以直线MO 的斜率为34k -，MO 的方程为3 4y x k=-所以34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线PF 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以PR OQ ⊥由//OQ AB 可求得()4,4Q k ，所以直线QF 的斜率为43k ， 因为34143kk ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，所以QS OP ⊥ 综上，O ，S ，F ，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径. ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RFS S SO=，由于直线PF 的方程为10x ky +-=，直线OP 的方程为340x y +=，由垂径定理可知，222221421k RF k ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222311642916k SO k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为0k ≠， 所以()221222291617916,116116161RF S k S k k SO+⎛⎫⎛⎫===-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上，12S S 的取值范围为9,116⎛⎫⎪⎝⎭. 9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考）已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ． （1）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆. 【详解】解：（1）双曲线的标准方程为2212y x -=，21a ∴=，22b =．设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，221112-=y x ，222212-=y x 两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即2221AB b k a⋅=得：22k ⋅=，1k ∴=． ∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为1y x =+．（2）设CD 直线方程为0x y m ++=，则点()1,2P 在直线CD 上． 则3m =-，直线CD 的方程为30x y +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，CD 的中点为()00,Q x y ，223312y x -=，224412y x -=两式相减得2020CD y b k x a⋅=，则0012y x -⋅=，则002y x =-又因为()00,Q x y 在直线CD 上有0030x y +-=，解得()3,6Q -，221022x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得()1,0A -，()3,4B ， 223022x y x y +-=⎧⎨-=⎩，整理得26110x x +-=，则3434611x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩则34CD x =-=由距离公式得QA QB QC QD ====所以A 、B 、C 、D 四点共圆．10．（2021·福建福州·模拟预测）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点()01,N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围． 【答案】（1）4y x =-+，12λ>；（2）{}3,3-； 【分析】（1）当03y =时，写出直线AB 方程，联立韦达定理，根据点()01,N y 的横坐标求出直线AB 的斜率，进而写出直线方程，根据判别式求出λ的取值范围；（2）若A ，B ，C ，D 四点共圆，则有22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出来，因为不管λ怎么变化，式子恒成立，所以可以求得21k =，进而求得0y 的取值范围. 【详解】（1）因为直线AB 过点()1,3N ， 所以直线AB 方程为：(1)3y k x =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=， 设点()11,A x y ，()22,B x y , 由韦达定理可知：1222(3)23k k x x k -+==+，解得1k =-，所以直线AB 方程为：1(1)3y x =-⨯-+即4y x =-+， 将1k =-代入方程222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=， 得到248160x x λ-+-=，则()2844(16)0λ--⨯⨯∆=->，解得12λ>， 所以λ的取值范围为12λ>.（2）设直线AB 方程0(1)y k x y =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，由韦达定理可知：01222()23k k y x x k -+==+，即03ky -=，20122()3y k x x kλ--=+，则12AB x =-=====所以23()CD k=+-= CD 中点P 坐标等于00322211()()12131313()y ky k k x k k k ---+-===+++-，点P 到AB距离等于22223(1)3113k d k k -+=-++， 因为A ，B ，C ，D 四点共圆等价于22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222223(1)13k k ⎫+=+⎪⎪+⎝⎭ 整理得()()2222222222222119(1)1912(13)(3)33113k k k k k k k k k k λλ++++⎡⎤⨯-++=⨯+⨯--⎣⎦+++， 即不管λ怎么变化，都有上式成立，则222211313k k k k++=++，解得21k =， 代入方程22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，使得2222004()4(3)(())0k y k k y k λ∆=--+-->，解得12λ>，满足题意所以0y 的取值范围为：{}3,3-. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 11．（2021·重庆·高二期末）设动点P与定点)F 的距离和P到定直线:l x =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M，直线OM 与曲线C 交于C ,D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出关系式并整理化简即可；（2）联立直线与椭圆方程，分别求解,MA MB MC MD ⋅⋅，最后证明两者相等即可. 【详解】解：（1）设(,)P x y ， 因为动点P与定点)F的距离和P到定直线:l x ==2214x y +=.所以动点P 的轨迹方程为：2214x y +=.（2）设直线l 的方程为()102y x m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为()242m ∆=-，由0∆>，即220m ->，解得m .由①得122x x m +=-，21222x x m =-.所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭.所以)()2524MC MD m m m ⋅=-=-. 又()()()22221212121211544416MA MB AB x x y y x x x x ⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-⎣⎦⎣⎦()()2225544222164m m m ⎡⎤=--=-⎣⎦.所以MA MB MC MD ⋅=⋅. 所以A ，B ，C ，D 四点共圆. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．（2021·北京·中央民族大学附属中学三模）已知椭圆的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，椭圆上的动点M 满足12122MF MF F F +=，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线:6l x =与AM 交于点P ，l 与x 轴交于点H ，OP 与BM 的交点为S ，求证：B 、S 、P 、H 四点共圆.【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求出a 的值，结合已知条件可得c 的值，进而可求得b 的值，可得出椭圆的方程及其离心率；（2）计算得出34AM BM k k ⋅=-，可设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，与直线l 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率关系得出OP BM ⊥，由此可证得结论成立. 【详解】（1）由椭圆的定义可得12122244a MF MF F F c =+===，2a ∴=，则223b a c =- 所以，椭圆的方程为22143x y +=，该椭圆的离心率为12c e a ==；（2）设点()00,M x y ，则2200143x y +=，则002AM y k x =+，002BM y k x =-， 所以，220022003444443AM BMy y k k x y ⋅===----，设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，联立()26y k x x ⎧=+⎨=⎩，可得68x y k =⎧⎨=⎩， 即点()6,8P k ，8463OP k k k ==， 而3344BM AM k k k=-=-，所以，1OP BM k k =-，则90BSP ∠=， 易知90BHP ∠=，所以，B 、S 、P 、H 四点共圆. 【点睛】关键点点睛：本题考查四点共圆的证明，一般转化为证明四边形的对角互补，本题中注意到 13．（2021·上海黄浦·三模）已知直线:l y x m =+交抛物线2:4C y x =于､A B 两点. （1）设直线l 与x 轴的交点为T ，若2AT TB →→=，求实数m 的值；（2）若点M N ､在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：AB M N ､､､四点共圆： （3）记F 为抛物线C 的焦点，过抛物线C 上的点P Q ､作准线的垂线，垂足分别为点U V ､，若UVF 的面积是PQF △的面积的两倍，求线段PQ 中点的轨迹方程.【答案】（1）8m =-；（2）证明见解析；（3）()222y x =-或()220y x x =≠.【分析】(1)联立直线:l y x m =+与抛物线2:4C y x =，韦达定理得到12124,4y y y y m +==，再利用2AT TB →→=化简得到240y +=，从而求出18y =，最后带回韦达定理求出实数m 的值；(2)通过证明0MA MB →→⋅=得到MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆；(3)根据UVF 的面积是PQF △的面积的两倍求得直线PQ 与x 轴的交点为()0,0D 或()2,0D ，再根据直接法求出线段PQ 中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点. 【详解】解：（1）由2,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4.y y y y m +== 因为直线l 与C 相交，所以16160m ∆=->，得 1.m <由2AT TB →→=，得1220y y +=，所以240y +=，解得24y =-，从而18y =，因为124y y m =，所以432m =-，故8m =-. （2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343344234324144y y y y y y x x y y --===--+-，故344y y +=-. 又4343,22y y x x m ++=+于是4322x x m +-=+， 即4342x m x =---.由点N 在抛物线上，有()()2334442y m x --=---.因为2334y x =，所以23341640y y m +++=，于是()()()()()()222233121323132313234444y y y y MA MB x x x x y y y y y y y y →→⎛⎫⎛⎫⋅=--+--=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()132313232132312312316161616y y y y y y y y y y y y y yy y y y ----⎡⎤⎡⎤=+++=++++⎣⎦⎣⎦()()()13232334416016y y y y m y y --=+++=因此MA MB ⊥，同理NA NB ⊥， 于是点,M N 在以AB 为直径的圆上， 即,,,A B M N 四点共圆.（3）易知()1,0.F 设()()22,2,,2P p p Q q q ，则()()1,2,1,2.U p V q --设直线PQ 与x 轴的交点为()1,0D x ，则 ()111221,11222PQFUVFSp q FD p q x S UV p q =-=--=--=- 由题设2UVFPQFSS=，可得111x -=，所以10x =或12x =.设线段PQ 的中点为(),R x y ，有 当12x =时，当PQ 与x 轴不垂直时， 由PQ DR k k =可得()()22222q p yx q p x -=≠--， 即()22.2yx q p x =≠+- 而222p qy p q +==+，所以()()2222y x x =-≠. 同理，当10x =时，()220y x x =≠.当PQ 与x 轴垂直时，R 与()2,0D 重合.符合()222.y x =- 综上，线段PQ 的中点的轨迹方程()222y x =-或()220y x x =≠.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.14．（2021·四川泸州·三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，根据中点坐标公式得出002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式2004y x =化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论. 【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =， 所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-==，且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N t t ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心，因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．（2021·四川泸州·三模（文））已知抛物线P ：22y px =（0p >）上的点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离为1． （Ⅰ）求p 和a 的值；（Ⅰ）求直线l ：y x m =+交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（Ⅰ）12p =，a =；（Ⅰ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可得点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，设()33,C x y ，()44,D x y ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）22y px =的准线为2px =-， 因为点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，所以3124p +=， 故12p =，即2y x =， 又3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭在2y x =上，所以a =； （Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x x x m⎧=⎨=+⎩，得20y y m -+=，则121y y +=，12y y m ⋅=， 且140m ->，即14m <，则12A y B =- 且线段AB 中点的纵坐标为12122y y +=，则12x m =-，所以线段AB 中点为11,22M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，联立21y xy x m⎧=⎨=-+-⎩，得210y y m ++-=，设()33,C x y ，()44,D x y ， 则341y y +=-，341y y m ⋅=-故34D y C =-=线段CD 中点为31,22N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为()21154108242m CD m -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22225422AN AM m MN -==+=+， 所以12AN CD =， 所以点A 在以CD 为直径的圆上， 同理点B 在以CD 为直径的圆上， 所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．（2021·江苏·高二单元测试）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点． （1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆． 【答案】（1）8m ＝－；（2）证明见解析． 【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得1212,y y y y +，再由向量的数乘可得122y y +＝0，结合韦达定理可得12,,y y m 值； （2）设()()3344,,,M x y N x y ，由对称性得434y y =--，4342x m x =---．再由,M N 在抛物线上，代入变形得3y 与m 的关系，然后计算MA MB ⋅，得MA MB ⊥， 同理NA NB ⊥，得证四点共圆． 【详解】解：由24y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=．设()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,4y y y y m +==． 因为直线l 与C 相交， 所以16160,m ∆->= 得1m <．（1）由2AT TB =，得1220y y +=， 所以240y +=，解得24,y =- 从而18y =， 因为124,y y m =所以432,m =-解得8m =-． （2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称， 则4343223443434=144y y y y y y x x y y --==-+-解得434y y =--． 又434322y y x x m ++=+ 于是3343422y y x x m --++=+ 解得4342x m x =---． 又点N 在抛物线上，于是233()()4442y m x --=---．因为2334,y x =所以23341640y y m =+++，于是13231323()()()()MA M x x x x y y y y B ⋅=--+--222233121323()()(-)(-)4444y y y y y y y y =--()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦ ()()132********()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++ 因此MA MB ⊥， 同理,NA NB ⊥于是点,M N 在以AB 为直径的圆上， 即,,,A B M N 四点共圆． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得1212,y y y y +，再利用向量的线性运算求得12,y y 关系，从而可求得12,,y y m 值．17．（2021·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l O ，为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A B 、两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．（1）若直线m ||||AF BF 的值； （2）设AB 的中点为N ，若O M N F 、、、四点共圆，求直线m 的方程．【答案】（1）||3||AF BF =或||1||3AF BF =；（2）1)y x =-．【分析】（1）由抛物线的定义建立方程即可.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，用t 表示,M N 坐标，再结合条件得到0OM ON ⋅=，建立关于t 的方程即可获解. 【详解】 （1）设||||AF BF λ=，当1λ>时，设||0BF k =>，则||AF k λ=，直线m 直线m 的倾斜角为60︒，由抛物线的定义，有()()1cos60cos602AB AF BF k k k k λλ⋅︒=+⋅︒=+⨯=-， 112λλ+∴=-，解得：3λ=， 若01λ<<时，同理可得：13λ=，||3||AF BF ∴=或||1||3AF BF =．（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-．由2211224,4y x y x ==，得()22221212212122(4)2(4)424444y y y y y y t x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +．因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -， 则直线n 的方程为(1)t y x --=．由1(1)x y t x =-⎧⎨=--⎩，，解得(1,2)M t -．若O M N F 、、、四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥， 则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =所以直线m 的方程为2(1)y x =-． 【点睛】（1）有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；（2）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.18．（2020·浙江丽水·高三月考）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF x ⊥轴时，||4MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H （不同于A ），直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆． 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）当AF x ⊥轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即||||24MN AB p ===可得答案；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+与抛物线方程联立12y y +、12y y ⋅，1y 和12x x +，圆的方程并令0y =，得34x x +，34x x ⋅，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，再证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥可得答案. 【详解】（1）当AF x ⊥轴时，,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭故圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即||||24MN AB p ===，得2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，()2Δ1610m =+>，124y y m +=，124y y ⋅=-，所以12y m ==+∴()21212242x x m y y m +=++=+，故圆心()221,2m m +， 半径()21||212r AB m ===+，即圆的方程为()()2222221(2)41x m y m m --+-=+，令0y =，则()()2222221441x m m m --+=+，化简得：()224230x m x -+-=，23442x x m +=+，343x x ⋅=-，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则090BPH BMH ∠=∠=， 即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥， 下证：存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥， 设()55,H x y ，()66,B x y ，直线()111:AM x x t y y -=-和直线()121:AN x x t y y -=-， 联立()21114y x x x t y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得：211114440y t y t y x -+-=，所以1514y y t +=，5114y t y =-，同理1624y y t +=，6214y t y =-， ∴()65652265656512144424HG y y y y k y y x x y y t t y --====--++-，又∵1311x x t y -=，1421x x t y -=，∴113434114242HGy k x x x x x y y ==-=--+- 又1AB km =，得HG k m =-=，所以32m m m +=， 即32m 62410m m --=，设3()41f x x x =--，(0,)x ∈+∞，2()121f x x '=-，故()f x 在3⎛ ⎝⎭单调递减，3⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增， 又∵(0)10f =-<，30f <⎝⎭，且(1)20f =>，故存在唯一(0,)x ∈+∞满足()0f x =， 即存在唯一(0,)m ∈+∞，满足62410m m --=， 综上结论得证． 【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.19．（2020·广西师范大学附属中学高三月考）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为A ，B 6P 是C 上异于A ，B 的动点. （1）证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设||23AB =，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值13-；（2）存在，定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，然后利用斜率公式求200022000y y y x a x a x a ⋅=+--化简可得结果； （2）由题意先求出椭圆C 的方程为2213x y +=，设直线AP 的方程为(3)y k x =，则直线BP 的方程为1(3)3y x k =-，直线方程与椭圆方程联立可求出(3,33)M k k ，13N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心113332k k t k k E ⎛++- ⎪ ⎪⎝⎭，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，所以直线AP 与BP 的斜率之积22022222200022222200001131x b a y y y b a c x a x a x a x a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅===-=-=-+--⎭=--⎝，即直线AP ，BP 的斜率之积为定值13-.（2）存在.理由如下：由题意知2a =a =因为c a=c =所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.设直线AP的方程为(y k x =，则直线BP的方程为1(3y x k=-.联立(3,y k x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得(3,3)M k，同理可得1N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0， 因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为y OT 的垂直平分线所在直线的方程为2t x =，所以圆心2t E ⎛⎪ ⎪⎝⎭. 又|OE |=|ME |= 解得t =113.所以存在定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题 20．（2020·甘肃·天水市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-（1）由抛物线的定义可得22pPF =+，即可求出p ，从而得到抛物线方程； （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=即可求出参数t ，从而得解； 【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +.因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -.若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得t =所以直线m 的方程为)1y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21．（2020·江西师大附中三模（理））已知椭圆22:14x C y +=上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； （2）若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】（1）1,⎛- ⎝⎭；（2）2±． 【分析】（1）由已知可得()2,0B -，由//AM BO ，且AM BO =，设()00,M x y ， ()002,A x y +代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA OB ⊥，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入 12120OA OB x x y y →→⋅=+=，化简计算求解即可. 【详解】解析：（1）如图所示：因为()2,0B -，四边形AMBO 为平行四边形， 所以//AM BO ，且2AM BO ==． 设点()00,M x y ，则()002,A x y +因为点M 、A 在椭圆C 上，所以()220022014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1,M ⎛- ⎝⎭．（2）因为直线AB 的斜率存在， 所以设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=， 则有122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+．因为平行四边形AMBO ，所以()1212,OM OA OB x x y y →→→=+=++．因为122814kmx x k -+=+，所以()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⋅+=++，所以2282,1414km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得22441m k =+．① 因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形， 且OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y →→⋅=+=． 因为2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以22212122244401414m m k x x y y k k--+=+=++，化得22544m k =+．② 由①②解得2114k =，23m =，此时0∆>，因此11k = 所以所求直线AB 的斜率为11． 【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.22．（2020·江苏南京·三模）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2,0)和3⎛ ⎝⎭,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标； （3）若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2）M (－3；（3）11【分析】(1)将点()2,0-和3⎛ ⎝⎭代入椭圆22x a ＋22y b＝1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3) 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0求解即可. 【详解】（1）因为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)过点()2,0-和3⎛ ⎝⎭,所以a ＝2,21a ＋234b ＝1,解得b 2＝1,所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.（2）因为B 为左顶点,所以B (－2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2. 设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以M (－（3）因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, 则有x 1＋x 2＝2814km k -+,x 1x 2＝224414m k -+. 因为平行四边形AMBO ,所以OM ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2). 因为x 1＋x 2＝2814km k -+,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·2814km k -+＋2m ＝2214m k +,所以M (2814kmk -+,2214mk +).因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2＝4k 2＋1.① 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB , 所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222414m k k-+, 所以x 1x 2＋y 1y 2＝224414m k -+＋222414m k k -+＝0,化得5m 2＝4k 2＋4.② 由①②解得k 2＝114,m 2＝3,此时△＞0,因此k ＝所以所求直线AB 的斜率为【点睛】本题主要考查了椭圆方程的基本求法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法,进而代入求解的问题.属于难题.23．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．。
解析几何圆问题的几何处理办法
例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以为半径的圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=（3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。
知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系○1点(),m n 与圆220x y Dx Ey F ++++=： 若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若220m n Dm En F ++++>，点在圆外。
○2点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=： 若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()222m a n b r -+-=，点在圆上；若()()222m a n b r -+->，点在圆外。
（2）直线与圆的位置关系○1联立直线方程0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程20ax bx c ++=，若0∆=，直线和圆有一个交点（相切）；若0∆>，直线和圆有2个交点（相交）；若0∆<，直线和圆没有交点（相离）。
○2圆()()222x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。
若d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。
圆几何题目解题技巧
圆几何题目解题技巧
1. 哎呀，遇到圆几何题目不要慌！要仔细观察图形啊！比如看到一个圆里有几条线交叉，那不是就像一团乱麻等你去理顺嘛！这时候就得找关键信息啦。
2. 嘿，解题时要善于利用已知条件呀！就像搭积木，一块一块堆起来，你看那个给的角度，不就像给了你个提示让你往那个方向走嘛！比如已知一个圆心角，那能求出好多东西呢！
3. 哇塞，别忘了那些定理啊！圆的定理就像是秘密武器！就好比圆周角定理，多好用啊，一用一个准！比如知道个弧所对的圆周角，马上就能找到圆心角啦！
4. 呀，要学会转化问题呀！把难的变成简单的，这多妙啊！就像走迷宫，找个简单的入口进去。
比如要求弧长，先把半径和圆心角搞定不就好啦！
5. 哈哈，多画画辅助线呀！这就像给题目开了扇窗，一下子就亮堂啦！有的时候一条线就能让你豁然开朗呢！例如连接圆心和某个点，说不定就有新发现！
6. 哟，记得多角度思考问题呀！别在一棵树上吊死！想想不同的方法，就像找钥匙，多试几把说不定就开了！比如可以从角度入手，也可以从线段入手嘛！
7. 唉，可别死脑筋呀！灵活一点！就跟跳舞似的，要跟着节奏来。
像那种看似复杂的图形，换个角度也许就简单了呢！
8. 总之，解决圆几何题目就是一场有趣的挑战！要细心、要动脑、要勇敢尝试！只要你掌握了这些技巧，还怕什么难题呢！。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
高考数学复习第7章解析几何第3讲圆的方程
答案：(x－2)2＋y2＝9
(3)(2018 年天津) 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点
F＝0， (0,0)，(1,1)，(2,0)，则1＋1＋D＋E＋F＝0，
解析：抛物线 y2＝4x 中,2p＝4,p＝2,焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x ＝－1 ,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22,即为(x－1)2＋y2＝4.
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________. 解析：∵圆心在直线 x－2y＝0 上，∴设圆心为(2a，a)， ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切，∴a>0，r＝2a，又∵圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3，∴a2＋( 3)2＝(2a)2，a2＝1，a＝1.则圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(x－1)2＝4.
(2)研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思 想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量.总之,要 数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最 大值和最小值.
的学习过程中,体会用 与圆的位置关系；二是重在知识的交
代数方法处理几何问题 汇处命题,把解析几何初步与集合、
的思想
向量、函数等知识结合命题,注重考
高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2
考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.
≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2
a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有
= 1,
+1
-1
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平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x－x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．23 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1， 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5. (1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. *13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，n－3所以m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
圆中问题常见处理策略
圆中问题常见处理策略
在圆的问题中，常见的处理策略包括：
1. 利用垂径定理：垂径定理是圆的基本性质之一，它指出通过圆心并与直径垂直的线段将平分该直径。
这个性质可以用于证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等等。
2. 作弦心距：遇到弦时，可以作弦心距，构造“二分之一弦长、弦心距、半径”所得到的直角三角形。
这个策略常用于证明线段相等和垂直关系。
3. 运用勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，当在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方时，就满足勾股定理。
在圆的问题中，勾股定理常常用于证明线段长度或者证明垂直关系。
4. 利用角平分线性质：角平分线将一个角分为两个相等的部分。
在圆的问题中，角平分线的性质常常用于证明线段相等和垂直关系。
5. 考虑圆的对称性：圆的对称性是圆的基本性质之一，利用它可以简化问题，特别是在处理与圆相关的证明题时。
6. 引入辅助线：有时候为了解决问题，需要在图形中引入一些辅助线。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决问题。
7. 归纳总结：在处理圆的问题时，需要对问题进行归纳总结，找出问题的本质和关键点，从而找到合适的处理策略。
以上策略需要根据具体问题来选择使用，灵活运用这些策略可以更好地解决问题。
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
高考数学复习考点题型归类解析40直线与圆综合应用(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题40直线与圆综合应用一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议直线与圆是高考的必考内容，它包括直线、圆和直线与圆综合应用等内容．高考常以选填题和解答题形式出现，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查．近几年高考直线、圆试题的考查特点，一是考查两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；二是以直线与圆位置关系为载体，在代数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查解决轨迹、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理和代数运算能力．三、自主梳理1.处理解析几何问题的两种方法：几何法、代数法2.圆上动点的处理方法：几何法：转化为具有几何意义的问题来解决（距离、角、斜率、截距）；代数法：设点坐标，用坐标去表示目标，寻求解决办法。
3.直线与圆交点的处理方法：几何法：转化的思想代数法：设而不求的办法四、高频考点+重点题型考点一、与其他知识（向量、简易逻辑、函数、不等式）交汇例1-1（与简易逻辑交汇）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1【解答】解：联立直线与圆的方程得：{x−y+m=0x2+y2−2x−1=0，消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1＝0，由题意得：△＝（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）＝﹣4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m﹣1）＜0，解得：﹣3＜m＜1，∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选：C．例1-2（与三角函数交汇）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2．则直线l的倾斜角的取值范围是．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0化简为标准方程，可得（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝18，∴圆心坐标为C （2，2），半径r ＝3√2，∵在圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax +by ＝0的距离为2√2， ∴圆心到直线的距离应小于或等于r −2√2=√2， 由点到直线的距离公式，得√a 2+b 2≤√2，∴（2a +2b ）2≤2（a 2+b 2），整理得(−ab )2−4(−ab )+1≤0， 解之得2−√3≤−ba ≤2+√3，∵直线l ：ax +by ＝0的斜率k =−ab ∈[2−√3，2+√3]∴设直线l 的倾斜角为α，则tan α∈[2−√3，2+√3]，即tan π12≤tan α≤tan 5π12． 由此可得直线l 的倾斜角的取值范围是[π12，5π12]． 故答案为：[π12，5π12] 例1-3（与向量的交汇） 已知直线x +y ﹣k ＝0（k ＞0）与圆x 2+y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA →⋅OB →≥−2，那么k 的取值范围是（ ）A ．（√3，+∞）B ．[√2，2 √2）C ．[√2，+∞）D ．[√3，2 √2）【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r ＝2，设圆心到直线x +y ﹣k ＝0的距离为d ；若直线x +y ﹣k ＝0（k ＞0）与圆x 2+y 2＝4交于不同的两点A ，B ，则d =√1+1=√22，则有k ＜2√2；设OA →与OB →的夹角即∠OAB ＝θ，若OA →⋅OB →≥−2，即|OA |×|OB |×cos θ≥﹣2，变形可得cos θ≥−12，则θ≤2π3，当θ=2π3时，d ＝1，若θ≤2π3，则d =√2≥1，解可得k ≥√2，则k 的取值范围为[√2，2√2）； 故选：B ．例1-4（与基本不等式交汇）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ，则P A ＋PB 的取值范围是( )A ．[5，25]B ．[25，45]C ．[10，45]D ．[10，25] 答案：D解析：由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0，0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1，3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动． 故当点P 与点A 或点B 重合时，P A ＋PB 取得最小值，(P A ＋PB )min ＝AB ＝10． 当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △P AB 中，有P A 2＋PB 2＝AB 2＝10．因为P A 2＋PB 2≥2P A ·PB ，所以2(P A 2＋PB 2)≥(P A ＋PB )2，当且仅当P A ＝PB 时取等号，所以P A ＋PB ≤2P A 2＋PB 2＝2×10＝25，所以10≤P A ＋PB ≤25， 所以P A ＋PB 的取值范围是[10，25]．故选D ．例1-5．过直线y ＝x 上一点作圆（x ﹣5）2+（y ﹣1）2＝2的两条切线l 1，l 2，当l 1，l 2关于直线y ＝x 对称时，l 1，l 2的夹角的大小为．【解答】解：圆（x ﹣5）2+（y ﹣1）2＝2的圆心（5，1），过（5，1）与y ＝x 垂直的直线方程：x +y ﹣6＝0，它与y＝x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2√2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故答案为：60°．例1-6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8，则圆心C（1，2），半径R=√8=2√2，△CMN的面积为4，×2√2×2√2sin∠MCN＝4，即S=12则sin∠MCN＝1，即∠MCN＝90°，则MN=√2CN=√2×2√2=4，则CP=1MN＝2，点P轨迹是个圆2要使△PAB的面积最大，则CP⊥AB，此时三角形的高为PD＝2+2＝4，AB＝3﹣（﹣1）＝4，×4×4=8，则△PAB的面积S=12故答案为：8．考点二、直线与圆中的探索性问题例2-1．在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线x −√3y +2＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点P ，满足|PQ |=√22|PO |，其中，点Q 的坐标是Q （﹣1，0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C 上存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx +ny ＝1与圆O ：x 2+y 2＝1相交不同两点A ，B ，求m 的取值范围．并求出使得△OAB 的面积最大的点M 的坐标及对应的△OAB 的面积．【解答】解：（1）设圆心是（a ，0），（a ＞0），它到直线x −√3y +2＝0的距离是d =√1+3=2，解得a ＝2或a ＝﹣6（舍去），所以，所求圆C 的方程是（x ﹣2）2+y 2＝4．（4分） （2）假设存在这样的点P （x ，y ），则由PA =√22PO ，得x 2+y 2+4x +2＝0．（6分）即，点P 在圆D ：（x +2）2+y 2＝2上，点P 也在圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4上．因为|CD|=4＞r c +r d =2+√2，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点． 所以，不存在点P 满足条件．（8分）（3）存在，理由如下：因为点M （m ，n ），在圆C 上，所以（m ﹣2）2+n 2＝4， 即n 2＝4﹣（m ﹣2）2＝4m ﹣m 2且0≤m ≤4． 因为原点到直线l ：mx +ny ＝1的距离h =√m 2+n2=√4m1，解得14＜m ≤4 （10分）而|AB |＝2√1−ℎ2，所以S △OAB =12|AB |h =√ℎ2−ℎ4=√14m −(14m )2=√−(14m −12)2+14， 因为116≤14m ＜1，所以当14m =12，即m =12时，S △OAB 取得最大值12，此时点M 的坐标是（12，√72）或（12，−√72），△OAB 的面积的最大值是12．（12分）例2-2．如图，已知⊙C 的圆心在原点，且与直线x +3y +4√2=0相切． （1）求⊙C 的方程；（2）点P 在直线x ＝8上，过点P 引⊙C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ． ①求四边形OAPB 面积的最小值； ②求证：直线AB 过定点．【解答】（1）解：依题意得：圆心（0，0）到直线x +3y +4√2=0的距离d ＝r ， ∴r ＝d =√2|√10=4√55， ∴圆C 的方程为x 2+y 2=165；（2）①解：连接OA ，OB ， ∵PA ，PB 是圆C 的两条切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴S 四边形OAPB =2S △OAP =12OA ⋅PA =12×4√55√PO 2−165=2√55√PO 2−165．∴当PO 取最小值为8时，(S 四边形OAPB )min =2√55√64−165=8√195； ②证明：由①得，A ，B 在以OP 为直径的圆上， 设点P 的坐标为（8，b ），b ∈R ，则线段OP的中点坐标为（4，b2），∴以OP为直径的圆方程为(x−4)2+(y−b2)2=16+b24，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB为两圆的公共弦，∴联立{x2+y2=165x2+y2−8x−by=0得：直线AB的方程为8x+by=165，b∈R，即8（x−25）+by＝0，则直线AB恒过定点（25，0）．例2-3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有1−00−x1•1−00−x2=−1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．例2-4．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y＝kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组{(x −3)2+y 2=4y =kx ，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x +5＝0， 由△＝36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜45 由韦达定理，可得x 1+x 2=61+k 2，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为{x =31+k 2y =3k 1+k 2，其中−2√55＜k ＜2√55， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x −32）2+y 2=94，其中53＜x ≤3； （3）结论：当k ∈（−2√57，2√57）∪{−34，34}时，直线L ：y ＝k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点． 理由如下： 联立方程组{(x −32)2+y 2=94y =k(x −4)，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k 2）x +16k 2＝0， 令△＝（3+8k 2）2﹣4（1+k 2）•16k 2＝0，解得k ＝±34， 又∵轨迹C 的端点（53，±2√53）与点（4，0）决定的直线斜率为±2√57， ∴当直线L ：y ＝k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为[−2√57，2√57]∪{−34，34}．例2-5．如图，圆C ：x 2﹣（1+a ）x +y 2﹣ay +a ＝0．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝4相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）因为由{y =0x 2−(1+a)x +y 2−ay +a =0可得x 2﹣（1+a ）x +a ＝0， 由题意得△＝（1+a ）2﹣4a ＝（a ﹣1）2＝0，所以a ＝1， 故所求圆C 的方程为x 2﹣2x +y 2﹣y +1＝0．（Ⅱ）令y ＝0，得x 2﹣（1+a ）x +a ＝0，即（x ﹣1）（x ﹣a ）＝0，求得x ＝1，或x ＝a ， 所以M （1，0），N （a ，0）．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 代入x 2+y 2＝4得，（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），从而x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2． 因为NA 、NB 的斜率之和为 y 1x1−a+y 2x2−a=k[(x 1−1)(x 2−a)+(x 2−1)(x 1−a)](x 1−a)(x 2−a)，而（x 1﹣1）（x 2﹣a ）+（x 2﹣1）（x 1﹣a ）＝2x 1x 2﹣（a +1）（x 2+x 1）+2a =2k 2−41+k 2−(a +1)2k 21+k 2+2a =2a−81+k 2，因为∠ANM ＝∠BNM ，所以，NA 、NB 的斜率互为相反数，y 1x 1−a+y 2x 2−a=0，即2a−81+k 2=0，得a ＝4．当直线AB 与x 轴垂直时，仍然满足∠ANM ＝∠BNM ，即NA 、NB 的斜率互为相反数． 综上，存在a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．例2-6．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a ,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， x 1,2＝2k 2±4k 4－4(k 2＋1)(k 2－4)2(k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 的坐标为(4,0)时，能使得x 轴平分∠ANB 总成立． 例2-7.已知t ∈R ，圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0． (1) 若圆C 的圆心在直线x －y ＋2＝0上，求圆C 的方程；(2) 圆C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由． 解析：(1) 配方得(x －t )2＋(y －t 2)2＝t 4＋t 2－4t ＋4，其圆心C (t ，t 2)．依题意t －t 2＋2＝0，解得t ＝－1或2．即x 2＋y 2＋2x －2y －8＝0或x 2＋y 2－4x －8y ＋4＝0为所求方程．(2) 整理圆C的方程为(x 2＋y 2－4)＋(－2x ＋4)t ＋(－2y )·t 2＝0，令⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，－2x ＋4＝0，－2y ＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0. 故圆C 过定点(2，0)．考点三、与实际结合考察例3-1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸 【答案】A 【分析】连接OC ，设半径为r ，则1OD r =-，在直角三角形OAD 中应用勾股定理即可求得r ，进而求得扇形OAB 的面积，减去三角形OAB 即可得阴影部分的面积． 【详解】连接OC ，设半径为r ，5AD =寸，则1OD r =-在直角三角形OAD 中，222OA AD OD =+ 即()22251r r =+-，解得13r = 则5sin 13AOC ∠=，所以22.5AOC ∠= 则222.545AOB ∠=⨯=所以扇形OAB 的面积21451316966.333608S ππ⨯⨯=== 三角形OAB 的面积211012602S =⨯⨯= 所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S -=-= 所以选A例3-2．如图,某城市中心花园的边界是圆心为O ,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l ,花园中间有一条公路AB (AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:道路PB ,QA 不穿过花园.已知OC l ⊥,BD l ⊥(C ､D 为垂足),测得OC =0.9,BD =1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】2.1m 【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用. 【详解】如图：过点B 作直线BP AB ⊥交l 于P ，取BD 与圆的交点M ， 连接,MA MB ，则MA MB ⊥， 过点A 作直线AQ AB ⊥交l 于Q ， 过点A 作直线AC l '⊥交l 于C '，根据图象关系可得，直线上，点P 左侧的点与B 连成线段不经过圆内部， 点Q 右侧的点与A 连成的线段不经过圆的内部， 最短距离之和即PB AC '+，根据几何关系：PBD BAM QAC '∠=∠=∠，3sin 5BAM ∠=，所以4cos cos cos 5PBD BAM QAC '∠=∠=∠=， 所以 1.5BP =，2BD AC OC '+=，所以0.6AC '=，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m 元. 故答案为：2.1m例3-3．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）12小时. 【分析】建立直角坐标系，则城市A （0，0），当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为（x ，y ），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A ．（2）t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，60+10t 为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果． 【详解】（1）如图建立直角坐标系， 则城市()0,0A ，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为r =160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A ()6010t + 230010800864000t t ⇒-+≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.例3-4．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营孙在区域即为回到军营.（1）若军营所在区域为222x y Ω+≤：，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为22x y Ω+≤’：，求“将军饮马”的最短总路程.【答案】（1（2 【分析】（1）根据利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出A 关于河岸线的对称点'A ，根据对称性质和圆的性质即可求得；（2）先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到'A 最近，即可求得. 【详解】（1）若军营所在区域为22:2Ωx y +， 圆：222x y +=， 作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，'A 为A 关于直线4x y +=的对称点， 因为()3,0A ,所以()'4,1A .则总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得路程最短，只需要||||PB PA '+最短， 即点A '到军营的距离最短，即点A '到222x y +的最短距离，为OA '（2）若军营所在区域为:||2||2Ωx y +，对于||2||2x y =+，在x ≥0，y ≥0时为22,x y +=令0x =,得1y =,令0y =,则2x =,图象为连接点()0,1和()2,0的线段，根据对称性得到||2||2x y =+的图象如图所示的菱形，Ω':22x y+为这个菱形的内部(包括边界). 作图如下：由图可知，最短路径为连接()2,0点和'A 的连线，交直线4x y +=于点P ,饮马最佳点为P ，所以点A '到区域Ω最短距离A B '即“将军饮马”例3-5.如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F .∵∠ABC ＝90°，∠BEC ＝90°，∴∠ABF ＝∠BCE ，∴tan ∠ABF ＝tan ∠BCO ＝43. 设AF ＝4x (m)，则BF ＝3x (m)，∵∠AOE ＝∠AFE ＝∠OEF ＝90°，∴OE ＝AF ＝4x (m)，EF ＝AO ＝60(m)， ∴BE ＝(3x ＋60)m.∵tan ∠BCO ＝43，∴CE ＝34BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94x ＋45 m ，∴OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋94x ＋45 m ，∴4x ＋94x ＋45＝170，解得x ＝20.∴BE ＝120 m ，CE ＝90 m. 综上所述，BC ＝150 m.(2)如图，设BC 与⊙M 切于点Q ，延长QM ，CO 交于点P ，∵∠POM ＝∠PQC ＝90°.∴∠PMO ＝∠BCO . 设OM ＝x m ，则OP ＝43x m ，PM ＝53x m. ∴PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋170m ，PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1615x ＋136m.设⊙M 的半径为R ，∴R ＝MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1615x ＋136－53x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫136－35x m ，∵A ，O 到⊙M 上任一点的距离不少于80 m ，则⎩⎨⎧R －OM ≥80，R －AM ≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧136－35x －x ≥80，136－35x －(60－x )≥80.解得10≤x ≤35.当且仅当x ＝10时R 取到最大值．∴当OM ＝10 m 时，保护区面积最大， 综上所述，当OM ＝10 m 时，保护区面积最大．课后作业一、单项选择题1．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A B C D答案：B解析：由题意可设圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=，则()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y --=的距离均为15d ==；圆心()5,5到直线230x y --=的距离均为2d ==，所以圆心到直线230x y --=．故选B ．2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295答案：C解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.3．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b 的最小值是( )A ．23B ．203C ．323D ．163 答案：C解析：由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选C. 4．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－2，1＋2]B ．[1－2，3]C ．[1－22，3]D ．[－1，1＋2] 答案：C解析：由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)． ∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示． 当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2．∴b ＝1±22．由图可知b ＝1－22．∴b 的取值范围是[1－22，3]．故选C ．5．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA→＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞) D ．[3，22) 答案：B解析：当|OA ＋OB |＝33|AB |时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，|OA ＋OB |＞33|AB |，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)．故选B ．6．已知点A (－5，0)，B (－1，－3)，若圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为5，则r 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，5)C ．(2，5) D ．(2，5) 答案：B解析：由题意可得AB ＝(－1＋5)2＋(－3－0)2＝5，根据△MAB 和△NAB 的面积均为5，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为2．由于直线AB 的方程为3x ＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有三个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5．所以实数r 的取值范围是(1，5)．故选B ．二、多项选择题7．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( ) A ．33B ．－33 C ．4＋15D ．4－15 答案：CD解析：圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1．因为△ABC 为等边三角形，所以AB ＝BC ＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15．故选CD ． 8．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －8＝0D ．x ＋y －10＝0 答案：AD解析：由题意知，圆心C (3，3)到直线l 的距离为13×62＝22，即|3＋3－m |2＝22，解得m ＝2或m ＝2，因此直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －10＝0．故选AD ．三、填空题9．已知点A (－1，1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是______________． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞)解析：直线l ：x ＋my ＋m ＝0可化为x ＋m (y ＋1)＝0，所以直线恒过定点P (0，－1)． ∵点A (－1，1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，∴－1m ≤－2或－1m ≥－12， ∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞)．10．已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于____． 答案：2解析：圆心为O (1，0)，由于P (2，2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2．11．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0．若点P到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．答案：2解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42， ∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．12．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l上的Q 使得AP →＋AO →＝0，则实数m 的取值范围为________．答案：[2，3]解析：曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2，0]，对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P2∈[2，3]．四、解答题13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值． 解析：(1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝±3． 当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)．即x ＋3y －4＝0， 当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33．此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)．即x －3y －4＝0． 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0．(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3． 又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22． 则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4(d 21＋d 22)＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52， 所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40．所以AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．14．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知AB ＝2OA ，且点B 的纵坐标大于0．(1)求AB→的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解析：(1)设AB →＝(x ，y )，由AB ＝2OA ，AB →·OA→＝0，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B＞0矛盾．∴⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6，8)． (2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x ． 设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10．。
高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解
高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解解析几何是高中数学中的一门重要学科，其中圆问题是解析几何的基础和核心。
在解析几何中，我们经常会遇到求解圆的问题，如圆的方程、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。
本文将通过具体的题目，来说明解析几何中圆问题的求解技巧，并给出一些解题思路和方法。
一、圆的方程圆的方程是解析几何中最基本的问题之一。
对于给定圆心坐标为(h, k)和半径为r的圆，我们可以得到圆的方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。
其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标。
举个例子来说明，假设有一个圆心坐标为(2, -3)，半径为5的圆，求其方程。
解题思路：根据圆的方程(x-h)²+ (y-k)²= r²，将给定的圆心坐标和半径代入，得到方程为：(x-2)² + (y+3)² = 25。
通过这个例子，我们可以看出，求解圆的方程需要根据已知条件进行代入运算，最终得到圆的方程。
二、圆与直线的关系圆与直线的关系也是解析几何中常见的问题。
常见的问题有：判断直线与圆的位置关系、求直线与圆的交点等。
举个例子来说明，假设有一个圆的方程为(x-2)² + (y+3)² = 25，直线的方程为2x - 3y + 4 = 0，求直线与圆的交点。
解题思路：首先，将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程：(x-2)² + (-3/2x-3)² = 25。
然后，解这个二次方程，求出x的值。
将求得的x的值代入直线的方程，求出对应的y的值，即可得到直线与圆的交点坐标。
通过这个例子，我们可以看出，求解直线与圆的交点需要将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程，并进行解方程运算，最终求得交点的坐标。
三、圆与圆的关系圆与圆的关系也是解析几何中常见的问题。
常见的问题有：判断两个圆的位置关系、求两个圆的交点等。
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
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例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以为半径的圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=（3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。
知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系○1点(),m n 与圆220x y Dx Ey F ++++=： 若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若220m n Dm En F ++++>，点在圆外。
○2点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=： 若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()222m a n b r -+-=，点在圆上；若()()222m a n b r -+->，点在圆外。
（2）直线与圆的位置关系○1联立直线方程0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程20ax bx c ++=，若0∆=，直线和圆有一个交点（相切）；若0∆>，直线和圆有2个交点（相交）；若0∆<，直线和圆没有交点（相离）。
○2圆()()222x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。
若d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。
○3圆()()222x a y b r -+-=与直线0Ax By C ++=相交于()()1122,,,A x y B x y 两点。
则： （3）圆与圆的位置关系()()2221111:O x x y y r -+-=，()()2221222:O x x y y r -+-=的圆心距12O O =若1212O O r r >+，则两圆外离；若1212O O r r =+，则两圆外切；若112122r r OO r r -<<+，则两圆相交； 若1212OO r r =-，则两圆内切；若1212OO r r <-，则两圆内含； 二、典例分析问题1：待定系数法求解圆的标准方程例题1：(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________.解析：由题意可得圆的圆心为(1，0)，故而可得圆的标准方程为：()2211x y -+=变式：(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析：由题意可得圆心坐标可设为()2,y y ，根据圆与y 轴的正半轴相切，故而可得2,0r y y =>，根据弦长公式可得1y =⇒=，故而可得圆的标准方程为：()()22214x y -+-=。
问题2：利用距离公式求解圆的位置关系例题2：(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析：由题意可得圆的标准方程为()222x y a a +-=，圆心到直线的距离为：d =，根根据弦长公式可得2222222a a a ⎛⎫=-⇒=⎪⎝⎭，故而圆M 的标准方程为()22222x y +-=，2MN =，故而可得2121MN -<<+，两圆相交。
例题3：(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) C.(6－25)π解析：由平面直角坐标系的性质可得 90AOB ∠=︒，故而可得圆C 的图像经过原点O 。
由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l ⊥时，半径最小，此时4115225r d ===，故而面积的最小值为54π。
变式：(2017·新课标1卷)已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。
解析：如图所示，过点A 作渐近线的垂线AB ，由6030MAN BAN ∠=︒⇒∠=︒，又2233,22AM b AB b OA a OB a b ⎛⎫=⇒==⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭，故而 2232tan 32b b BOA aa b ∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2222123133b b e a a =⇒=+=。
问题3：巧思圆的几何性质与最值、范围问题例题4：(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )解析：根据90APB ∠=︒可得点P 在以AB 为直径的圆上，故而点P 的轨迹方程为：222x y m +=故而此问题可转化为以AB 为直径的圆与圆C 有交点的问题，即11151m OC m m m -≤≤+⇒-≤≤+，解得46m ≤≤，故而选B 。
变式：(2014·全国课标2)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( ) A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12C. [－2，2]D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON ||MN |≥tan 45°，得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1. 问题4：利用基本不等式求解圆的最值问题例题5：(2016·吉林长春质量监测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A.[1-3，1＋3] B.(-∞，1-3]∪[1＋3，＋∞)C.[2-22，2＋22]D.(-∞，2-22]∪[2＋22，＋∞) 解析：根据直线与圆的位置关系可得：()()()()222211211111m n m n m n m n +++-=⇒+=++++++，化简可得1m n mn ++=，根据基本不等式22m n mn +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得212m n m n +⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，化简可得()()2440m n m n +-+-≥，解一元二次不等式可得222m n +≤-或者222m n +≥+，当且仅当m n =时取等号。
故而选D 。
问题5：巧用建系法解答“定长+动点”问题例题6：(2016·四川)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM→＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )解析：如图所示，以BC 中点为原点建立平面直角坐标系，此时：()()()0,3,3,0,3,0A B C-。
故而可得点P 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，故而点P 的轨迹方程为()2231x y +-=，由PM MC =u u u u r u u u u r可得点M 为CP 的中点。
假设点M 坐标为(),x y ，故而可得点P 坐标为()23,2x y -，代入轨迹方程化简可得：2233124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
此时可得点M 在33,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆上。
max 1722BM BQ =+=u u u u r ，因此2max494BM =u u u u r 。
问题7：巧用参数方程（三角换元）法解答取值范围问题例题7：已知椭圆2221(0) 25x ymm+=>与双曲线2221(0)7x ynn-=>有相同的焦点，则m n+的取值范围是（）A. (]0,6 B. []3,6 C. (32,6⎤⎦ D. [)6,9解析：由题意可得222225718m n m n-=+⇒+=，解法1：不妨设m n z+=，故而点(),m n在直线0m n z+-=与圆()22180,0m n m n+=>>上，亦即直线与圆在第一象限部分有交点。
故而根据图像可得直线m n z+=在平行线1l和2l之间，根据圆与直线位置关系可得相切时3262md m==⇒=，故而可得326m n<+≤，因此选B。
解法2：根据题意可得(),m n在圆2218m n+=，不妨设32cos232sinmnθπθθ⎧=⎪⎛⎫<<⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩，故而可得32cos32sin6sin4m nπθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，根据三角函数性质可得326m n<+≤，故而选B。