解析几何圆问题的几何处理办法 (1)

例说解析几何圆问题的常规处理办法

一、知识讲解

知识点1：圆的概念和方程

（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；

（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()2

2

2x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫

-

- ⎪⎝

⎭为

圆心，以

为半径的圆的一般方

程

为

：

220x y Dx Ey F ++++=()

2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：

()()()()12120x x x x y y y y --+--=

（3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。

知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系

○

1点(),m n 与圆22

0x y Dx Ey F ++++=： 若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若

220m n Dm En F ++++>，点在圆外。

○

2点(),m n 与圆()()2

2

2

x a y b r -+-=： 若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()22

2m a n b r -+-=，点在圆上；若

()

()2

2

2m a n b r -+->，点在圆外。

（2）直线与圆的位置关系

○

1联立直线方程0Ax By C ++=与圆22

0x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程20ax bx c ++=，若0∆=，直线和圆有一个交点（相切）；若0∆>，直线和圆有2个交点（相交）；若0∆<，直线和圆没有交点（相离）。

○

2圆()()22

2

x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。若

d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。

○3圆()()2

2

2

x a y b r -+-=与直线0Ax By C ++=相交于()()1122

,,,A x y B x y 两点。则： （3）圆与圆的位置关系

()()22

21111:O x x y y r -+-=，

()()22

2

1222:O x x y y r -+-=的圆心距

12O O =

若1212O O r r >+，则两圆外离；若1212O O r r =+，则两圆外切；若112122r r OO r r -<<+，则两圆相交； 若1212OO r r =-，则两圆内切；若1212

OO r r <-，则两圆内含； 二、典例分析

问题1：待定系数法求解圆的标准方程

例题1：(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程

为________.

解析：由题意可得圆的圆心为(1，0)，故而可得圆的标准方程为：()2

211x y -+=

变式：(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为

23，则圆C 的标准方程为________.

解析：由题意可得圆心坐标可设为()2,y y ，根据圆与y 轴的正半轴相切，故而可得2,0r y y =>，

根据弦长公式可得1y =⇒=，故而可得圆的标准方程为：

()

()2

2

214x y -+-=。

问题2：利用距离公式求解圆的位置关系

例题2：(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆

M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切

B.相交

C.外切

D.相离

解析：由题意可得圆的标准方程为()2

22x y a a +-=，圆心到直线的距离为：d =

，根根据

弦长公式可得2

222222a a a ⎛⎫=-⇒=

⎪

⎝⎭

，故而圆M 的标准方程为()22

222x y +-=，2MN =，故而可得2121MN -<<+，两圆相交。

例题3：(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆

C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) C.(6－25)π

解析：由平面直角坐标系的性质可得 90AOB ∠=︒，故而可得圆C 的图像经过

原点O 。由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l ⊥时，半径最小，此时4115

225r d =

==

，故而面积的最小值为54π。 变式：(2017·新课标1卷)已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，

以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

解析：如图所示，过点A 作渐近线的垂线AB ，由6030MAN BAN ∠=︒⇒∠=︒，

又2

2

33,22AM b AB b OA a OB a b ⎛⎫=⇒==⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭

，故而 22

32

tan 32b b BOA a

a b ∠==

⎛⎫- ⎪

⎝⎭

，解得2222123133b b e a a =⇒=+=。 问题3：巧思圆的几何性质与最值、范围问题

例题4：(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )

解析：根据90APB ∠=︒可得点P 在以AB 为直径的圆上，故而点P 的轨迹方程为：

222x y m +=故而此问题可转化为以AB 为直径的圆与圆C 有交点的问题，即

11151m OC m m m -≤≤+⇒-≤≤+，解得46m ≤≤，故而选B 。

变式：(2014·全国课标2)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠

OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( ) A. [－1，1]

B. ⎣⎡⎦

⎤－12，1

2

C. [－2，2]

D.