理论力学思考题

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理论力学思考题习题答案

第一章质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ，故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ）又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。

理论力学思考题习题答案

已知升降机的初速度为零。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

西南大学《理论力学》复习思考题及答案

西南大学《理论力学》复习思考题及答案（0123）《理论力学》复习思考题一、单项选择题1.某质点在运动过程中，其所属的状态参量位移、速度、加速度和外力中，方向一定相同的是：（）A.加速度与外力；B.位移与加速度；C.速度与加速度；D.位移与速度。

2.下面关于内禀方程和密切面的表述中，正确的是（）A.密切面是轨道的切线和轨道曲线上任意点所组成的平面；B.加速度矢量a全部位于密切面内；C.切向加速度在密切面内，法向加速度为主法线方向，并与密切面垂直；D.加速度和主动力在副法线方向上的分量均等于零。

3.选出正确的表述：（）A.牛顿运动定律能成立的参照系叫惯性参照系；B.牛顿运动定律不能成立的参照系叫非惯性参照系；C.对于非惯性参照系，只要加上适当的惯性力，牛顿运动定律就“仍然”可以成立；D.以上三种表述均正确。

4.研究有心力问题，采用哪一种坐标系最简单？（）A.直角坐标系；B.自然坐标系；C.平面极坐标系；D.球面坐标系。

5.下列表述中正确的是：（）A.对质心的动量矩定理和对固定点的动量矩定理在形式上都是相同的；B.对质心的动量矩定理和对其它任意点的动量矩定理在形式上都是相同的；C.对除了质心和固定点的其它任意点的动量矩定理和对固定点的动量矩定理在形式上都是相同的；D.以上表述均错误。

6.下列表述中正确的是：（）A.质点组的动量定理中内力不起作用；B.质点组的动量矩定理中内力不起作用；C.质点组的动能定理中内力不起作用；D.以上表述均错误。

7.下列有关刚体的描述中，错误的是（）A.刚体就是一种特殊的质点组；B.刚体内部任意两质点间距离不因力的作用而发生改变；C.刚体是一种理想化模型；D.刚体的形状不变，但大小可以改变。

8.下列关于地球自转所产生的影响中，错误的是：（）A.落体偏东；B.右岸冲刷；C.傅科摆的进动；D.在南半球，低压区形成左旋的气旋，高压区形成右旋的气旋。

9.下列说法中，正确的是：（）A．摩擦力的虚功总为零。

理论力学第三章思考题

第三章思考题3.1刚体一般是由n （n 是一个很大得数目）个质点组成。

为什么刚体的独立变量却不是3n 而是6或者更少？3.2何谓物体的重心？他和重心是不是总是重合在一起的？ 3.3试讨论图形的几何中心，质心和重心重合在一起的条件。

3.4简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 3.5已知一匀质棒，当它绕过其一端并垂直于棒的轴转动时，转动惯量为231ml ，m 为棒的质量，l 为棒长。

问此棒绕通过离棒端为l 41且与上述轴线平行的另一轴线转动时，转动惯量是不是等于224131⎪⎭⎫ ⎝⎛+l m ml ？为什么？3.6如果两条平行线中没有一条是通过质心的，那么平行轴定理式（3.5.12）能否应用？如不能，可否加以修改后再用？3.7在平面平行运动中，基点既然可以任意选择，你觉得选择那些特殊点作为基点比较好？好处在哪里？又在（3.7.1）及（3.7.4）两式中，哪些量与基点有关？哪些量与基点无关？ 3.8转动瞬心在无穷远处，意味着什么？3.9刚体做平面平行运动时，能否对转动瞬心应用动量矩定理写出它的动力学方程？为什么？3.10当圆柱体以匀加速度自斜面滚下时，为什么用机械能守恒定律不能求出圆柱体和斜面之间的反作用力？此时摩擦阻力所做的功为什么不列入？是不是我们必须假定没有摩擦力？没有摩擦力，圆柱体能不能滚？3.11圆柱体沿斜面无滑动滚下时，它的线加速度与圆柱体的转动惯量有关，这是为什么？但圆柱体沿斜面既滚且滑向下运动时，它的线加速度则与转动惯量无关？这又是为什么？ 3.12刚体做怎样的运动时，刚体内任一点的线速度才可以写为r ω⨯？这时r 是不是等于该质点到转动轴的垂直距离？为什么？3.13刚体绕固定点转动时，r ω⨯dtd 为什么叫转动加速度而不叫切向加速度？又()r ωω⨯⨯为什么叫向轴加速度而不叫向心加速度？3.14在欧勒动力学方程中，既然坐标轴是固定在刚体上，随着刚体一起转动，为什么我们还可以用这种坐标系来研究刚体的运动？3.15欧勒动力学方程中的第二项()21I I -y x ωω等是怎样产生的？它的物理意义又是什么？第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。

理论力学思考题(二)

理论力学思考题（二）一、单项选择题1、空间的两个力F 1与F 2对某定点O 的力矩矢相等，下述说法正确的是。

A 、这两个力的作用线必平行； B 、这两个力必在同一平面上；C 、这两个力的大小与O 点到各力作用线的距离成反比。

2、重P 的物块放在圆形曲面上，如图所示，接触面的摩擦系数为ƒS 。

为使物快保持平衡，在其上加一水平方向的力F ，当α〈arctan ƒS 时，下述说法正确的是。

A 、F 可指向左，也可指向右； B 、F 必须指向左； C 、F 必须指向右。

3、点的下述运动不可能的是。

A 、加速度越来越大，而速度大小不变； B 、加速度越来越小，而速度越来越大； C 、加速度越来越大，而速度越来越小； D 、速度越来越大，而全加速度大小为零。

4、圆盘以匀角速度ω饶定轴O 转动，动点M 相对圆盘以匀速v r 沿圆盘直径运动，如图所示。

当动点M 到达圆盘中心O 位置时，科氏加速度a c 正确的是。

A 、c a =0B 、c a =2ωv r ，方向垂直向上C 、c a =2ωv r ，方向垂直向下5、半径为R 的圆柱在水平面上连滚带滑的向前运动，图示瞬时A 为圆柱的最高点，如图所示。

下述结果正确的是。

Ａ、圆柱顶点A 的速度为：2A c v v =；Ｂ、A 点的切向加速度为：A c a a R τε=+；Ｃ、A 点的法向加速度为：2n A a R ω=． 6、两个质点，质量相同，初始速度的大小和方向也完全相同，以后任何瞬时的速度大小都相同。

下述说法正确的是。

A 、任何瞬时，这两个质点的切向加速度大小必相同；B 、任何瞬时，这两个质点受力大小一定相同；C 、这两个质点的运动方程一定相同。

7、图示球M 重P ，由两根无重杆AM 及BM 支撑，且AM=BM 。

在静止状态下，两杆内力大小相等。

现系统以角速度ω饶铅直轴AB 旋转，如图所示。

下列各说法正确的是。

A 、两杆内力大小相等，即AM BM F F =；B 、AM BM F F >；C 、AM BM F F <。

理论力学思考题答案

第一章思考‎题解答1‎.1答：平‎均速度是运‎动质点在某‎一时间间隔‎内位矢大‎小和方向改‎变的平均快‎慢速度，其‎方向沿位移‎的方向即沿‎对应的轨‎迹割线方向‎；瞬时速度‎是运动质点‎在某时刻或‎某未知位矢‎和方向变化‎的快慢程度‎其方向沿该‎时刻质点所‎在点轨迹的‎切线方向。

‎在的极限‎情况，二者‎一致，在匀‎速直线运动‎中二者也一‎致的。

1‎.2答：质‎点运动时，‎径向速度‎和横向速度‎的大小、‎方向都改变‎，而中的‎只反映了‎本身大小‎的改变，‎中的只是‎本身大小‎的改变。

事‎实上，横向‎速度方向‎的改变会引‎起径向速度‎大小大改‎变，就是‎反映这种改‎变的加速度‎分量；经向‎速度的方‎向改变也引‎起的大小‎改变，另一‎个即为反‎映这种改变‎的加速度分‎量，故，‎。

这表示‎质点的径向‎与横向运动‎在相互影响‎，它们一起‎才能完整地‎描述质点的‎运动变化情‎况1.3‎答：内禀方‎程中，是‎由于速度方‎向的改变产‎生的，在空‎间曲线中，‎由于恒位‎于密切面内‎，速度总‎是沿轨迹的‎切线方向，‎而垂直于‎指向曲线‎凹陷一方，‎故总是沿‎助法线方向‎。

质点沿空‎间曲线运动‎时， z何‎与牛顿运动‎定律不矛盾‎。

因质点除‎受作用力‎，还受到被‎动的约反作‎用力，二‎者在副法线‎方向的分量‎成平衡力‎，故符合‎牛顿运动率‎。

有人会问‎：约束反作‎用力靠谁施‎加，当然是‎与质点接触‎的周围其他‎物体由于受‎到质点的作‎用而对质点‎产生的反作‎用力。

有人‎也许还会问‎：某时刻若‎大小不等‎，就不为‎零了？当然‎是这样，但‎此时刻质点‎受合力的方‎向与原来不‎同，质点的‎位置也在改‎变，副法线‎在空间中方‎位也不再是‎原来所在‎的方位，又‎有了新的副‎法线，在新‎的副法线上‎仍满足。

‎这反映了牛‎顿定律得瞬‎时性和矢量‎性，也反映‎了自然坐标‎系的方向虽‎质点的运动‎而变。

‎1.4答：‎质点在直线‎运动中只有‎，质点的‎匀速曲线运‎动中只有‎；质点作变‎速运动时即‎有。

理论力学思考题

理论⼒学思考题第⼀章静⼒学公理和物体的受⼒分析1-1 说明下列式⼦与⽂字的意义和区别：(1) F1 = F2(2) F1 = F2(3) ⼒F1等效于⼒F2 。

答：（1）若F1 = F2 ，则⼀般只说明这两个⼒⼤⼩相等，⽅向相同。

（2）若F1 = F2 ，则⼀般只说明两个⼒⼤⼩相等，⽅向是否相同，难以判定。

（3）⼒F1等效于⼒F2 ，则说明两个⼒⼤⼩相等，⽅向、作⽤效果均相同。

1-2 试区别F R = F1 + F2和F R = F1 + F2两个等式代表的意义。

答：前者为两个⽮量相加，后者为两个代数量相加。

1-3 图中各物体的受⼒图是否有错误？如何改正？（1）（2）（3）（4）答：（1）B处应为拉⼒，A处⼒的⽅向不对；（2）C、B处⼒⽅向不对，A处⼒的指向反了；（3）A处⼒的⽅向不对，本题不属于三⼒汇交问题；（4）A、B处⼒的⽅向不对。

（受⼒图略）1-4 刚体上A点受⼒F作⽤，如图所⽰，问能否在B点加⼀个⼒使刚体平衡？为什么？答：不能；因为⼒F的作⽤线不沿AB连线，若在B点加和⼒F等值反向的⼒会组成⼀⼒偶。

1-5 如图所⽰结构，若⼒F作⽤在B点，系统能否平衡？若⼒F仍作⽤在B点，但可以任意改变⼒F的⽅向，F在什么⽅向上结构能平衡？答：不能平衡；若F沿着AB的⽅向，则结构能平衡。

1-6 将如下问题抽象为⼒学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能⼒，试画出它们的⼒学简图和受⼒图。

（1）⽤两根细绳将⽇光灯吊挂在天花板上；（2）⽔⾯上的⼀块浮冰；（3）⼀本打开的书静⽌放于桌⾯上；（4）⼀个⼈坐在⼀只⾜球上。

答：略。

（课后练习）1-7 如图所⽰，⼒F作⽤于三铰拱的铰链C处的销钉上，所有物体重量不计。

（1）试分别画出左、右两拱和销钉C的受⼒图；（2）若销钉C属于AC，分别画出左、右两拱的受⼒图；（3）若销钉C属于BC，分别画出左、右两拱的受⼒图。

提⽰：单独画销钉受⼒图，⼒F 作⽤在销钉上；若销钉属于AC ，则⼒F 作⽤在AC 上。

理论力学思考题

1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔tt t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。

在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.3答：内禀方程中，na 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故na 总是沿助法线方向。

质点沿空间曲线运动时，0,0≠=bb F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。

因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。

有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。

有人也许还会问：某时刻若bb R F 与大小不等，ba 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。

这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

1.4答：质点在直线运动中只有n a a 而无τ，质点的匀速曲线运动中只有τa a n 而无；质点作变速运动时即有n t a a 又有。

1.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。

外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。

1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。

在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。

(完整word版)理论力学思考题答案

理论力学思考题答案1- 1 （1）若F1=F2表示力，贝「般只说明两个力大小相等，方向相同（2）若F1=F2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判定（3）说明两个力大小、方向、作用效果均相同。

1- 2前者为两个矢量相加，后者为两个代数量相加。

1- 3 （1）B处应为拉力，A处力的方向不对。

（2）C、B处力方向不对，A处力的指向反了。

（3）A处力的方向不对，本题不属于三力汇交问题。

（4）A、B处力的方向不对。

1- 4不能。

因为在B点加和力F等值反向的力会形成力偶。

1-5不能平衡。

沿着AB的方向。

1-6 略。

1- 7提示：单独画销钉受力图，力F作用在销钉上；若销钉属于AC，则力F作用在AC上。

受力图略。

2- 1根据电线所受力的三角形可得结论。

2- 2不同。

2- 3（a）图和（b）图中B处约束力相同，其余不同。

2- 4（a）力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与F N平衡。

（b）重力P与0处的约束力构成力偶与M平衡。

2-5可能是一个力和平衡。

2-6可能是一个力；不可能是一个力偶；可能是一个力和一个力偶。

2-7 一个力偶或平衡。

2-8（1）不可能；（2）可能；（3）可能；（4）可能；（5）不可能；（6）不可能。

2M C aF 'RA2-9主矢：F RC F RA，平行于B0；主矩： 2 ，顺时针。

2-10正确：B;不正确：A，C, D。

2-11提示：左段OA部分相当一个二力构件，A处约束力应沿OA，从右段可以判别B处约束力应平行于DE3- 1T见（玛2亍昭％必）=0 ■主矢：码=（峙氏+少）主矩:亦嗚R+咅脑T-丰（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）不能；（5）不能；（6）能。

空间任意力系简化的最终结果为合力、合力偶、力螺旋、平衡四种情况，分别考虑两个力能否与一个力、一个力偶、力螺旋（力螺旋可以看成空间不确定的两个力）、平衡四种情况平衡。

理论力学思考题(一)

理论力学思考题（一）一、填空题1、研究运动的三种基本方法是。

资2、当刚体运动时，其上任意两点连线的方位始终不变，刚体的这种运动称为。

3、刚体运动上时，其体内或其扩大的部分内有一条固定不动的直线，刚体的这种运动称为。

资料个人收集整理，勿做商业用途4．在合成运动中，动点对定坐标系的运动称为；动点对动坐标系的运动称为；动坐标系对定坐标系的运动称为。

5、转动惯量是刚体的量度。

6、单位时间内力所作的功称为。

7、动能是度量物体机械运动的一个物理量，质点动能的表达式为。

8、质点的质量与其在某瞬时速度矢量的乘积，称为质点在该瞬时的。

二、判断正误（）1、理论力学研究的内容包括静力学、运动学和动力学三个部分。

（）2、将作用于在物体上的力系用另一个与它等效的力系来代替，则这两个力系互为等效力系。

（）3、刚体在三个力的作用下处于平衡时三力不一定相交于一点。

（）4、应用平衡条件求解未知力的过程中，首先要确定构件受了几个力以及每个力的作用位置和方向，这种分析过程称为物体的受力分析。

（）5、作用在刚体上的力，沿其作用线移动时会改变它对刚体的作用效应。

（）6、对于力偶，只要保持其力偶矩不变，则调整其力偶臂和力的大小将不改变它对刚的作用效应。

（）7、牵连运动为转动时，点的加速度的合成公式为a a=a e+a r（）8、在合成运动中，绝对速度是指动点对于固定参考系的速度。

（）9、在自然坐标系中，动点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度。

（）10、静力学中，力的平移定理是：力平移后力的大小和方向保持不变，但需附加一个力偶，力偶的大小等于原力对平移点的矩。

三、选择填空题：1、在重力场中，质量为100Kg 的物体静止于高10m 处，若取地面处的平面为零势能面，则物体的机械能（取g=10m/s 2）为。

A 、10000J B 、20000J C 、0 D 、1000J2、质点的动量随时间的变化关系为P=100t+2007(Kg.m/s),则系统的合外力F 的大小为。

理论力学思考题课后题

1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了rV 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。

事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度r V 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度rV 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θ r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θr r a r -=，.2θθθ r r a +=。

这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。

质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。

因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。

有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。

有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。

这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

动中，二者不同，ττa dtdva a dt d n =+=而,v 。

1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6V VV 球对人人对地题1-6图图所示，故人以速度V 向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。

静止投篮是直接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。

理论力学思考题习题答案

理论⼒学思考题习题答案第⼀章质点⼒学矿⼭升降机作加速度运动时，其变加速度可⽤下式表⽰：?-=T t c a 2sin1π式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所⾛过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解：由题可知，变加速度表⽰为-=T t c a 2sin1π由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代⼊得 dt T t c dv ??? ??-=2sin 1π对等式两边同时积分dt T t c dv t v-=002sin 1π可得：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代⼊初始条件：0=t 时，0=v ，故c T D π2-=即??-+=12cos 2T t T t c v ππ⼜因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c??-+12cos 2ππ对等式两边同时积分，可得：ω绕其焦点F 转动。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标⽅程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏⼼率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ??==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导+=-=θθθθθθcos sin sin cos &&&&&&r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ&&&&&&r r r r y x v ++-=+=222ωr r +=&如图所⽰的椭圆的极坐标表⽰法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利⽤ωθ=&）⼜因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()??--+-?-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平⾯运动，其速率保持为常数。

理论力学思考题及解答

第一章质点力学1.1平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？1.2 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =.为什么2θ r r a r -=而非r ？为什么θθr r a 20+=而非θθr r +？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？1.4 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 而无τa ？1.5dtr d与dtdr 有无不同？dtv d 与dtdv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论.1.6人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？1.7雨点以匀速度v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路经？1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？ 1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是k j i v 323++=，式中i 、j 、k 是沿x 、y 、z 轴上的单位矢量。

理论力学思考题(一)

理论力学思考题（一）一、填空题1、研究运动的三种基本方法是。

2、当刚体运动时，其上任意两点连线的方位始终不变，刚体的这种运动称为。

3、刚体运动上时，其体内或其扩大的部分内有一条固定不动的直线，刚体的这种运动称为。

4．在合成运动中，动点对定坐标系的运动称为；动点对动坐标系的运动称为；动坐标系对定坐标系的运动称为。

5、转动惯量是刚体的量度。

6、单位时间内力所作的功称为。

7、动能是度量物体机械运动的一个物理量，质点动能的表达式为。

8、质点的质量与其在某瞬时速度矢量的乘积，称为质点在该瞬时的。

二、判断正误（）1、理论力学研究的内容包括静力学、运动学和动力学三个部分。

（）2、将作用于在物体上的力系用另一个与它等效的力系来代替，则这两个力系互为等效力系。

（）3、刚体在三个力的作用下处于平衡时三力不一定相交于一点。

（）4、应用平衡条件求解未知力的过程中，首先要确定构件受了几个力以及每个力的作用位置和方向，这种分析过程称为物体的受力分析。

（）5、作用在刚体上的力，沿其作用线移动时会改变它对刚体的作用效应。

（）6、对于力偶，只要保持其力偶矩不变，则调整其力偶臂和力的大小将不改变它对刚的作用效应。

（）7、牵连运动为转动时，点的加速度的合成公式为a a=a e+a r（）8、在合成运动中，绝对速度是指动点对于固定参考系的速度。

（）9、在自然坐标系中，动点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度。

（）10、静力学中，力的平移定理是：力平移后力的大小和方向保持不变，但需附加一个力偶，力偶的大小等于原力对平移点的矩。

三、选择填空题：1、在重力场中，质量为100Kg 的物体静止于高10m 处，若取地面处的平面为零势能面，则物体的机械能（取g=10m/s 2）为。

A 、10000JB 、20000JC 、0D 、1000J2、质点的动量随时间的变化关系为P=100t+2007(Kg.m/s),则系统的合外力F 的大小为。

A 、50 (N)B 、100 (N)C 、100 t (N)D 、2007 (N)3、质点系的质量m=20Kg ，质心作平面运动的方程是x C =40t 2+1998 (m)，y C =30t 2+2005 (m)，则质点系所受的合外力是。

理论力学第三章思考题

第三章思考题3.1刚体一般是由n （n 是一个很大得数目）个质点组成。

理论力学第一章思考题习题解答

第一章思考题1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。

只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。

1.2 在极坐标系中，θθ r v r v r ==，为什么2θ r r a r-=而非r ？为什么θθθ r r a 2+=而非θθθr r a +=？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。

实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。

因此径向加速度分量r a 中，除经向直线运动的加速度r 外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θr 外，还有沿横向的附加加速度θ r 2，其中的一半θ r是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ r 是由于横向运动受径向运动的影响而产生的。

1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心。

在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。

理论力学第六章思考题

第六章思考题6.1. 相同的两匀质杆AO 和BO 用铰链连接于固定点O , 并可在水平面内绕O 点转动. 某时刻AOB 位于同一直线上, 二杆以同样大小的角速度ω转动, 如思考题6.1图所示. 有人认为:“以二杆为系统, 此时质心为O 点, O 点为固定点, 故此时质心速度为零.”这种说法对吗?思考题6.1图6.2. 有时称c t c v m r ⨯为质心对O 点的角动量, 称221c t v m 为质心的动能. 这是否说明质心是一个质量为t m 、位置矢量为c r 、速度为c v 的质点? 6.3. 有一半径为R , 质量为m 的匀质圆球被旋转抛出. 某时刻球心速度为v ,球旋转角速度为ω , 求此时圆球的动量.6.4. 将一半圆柱置于一光滑水平面上, 初始时半圆柱静止于如思考题6.4图所示位置, 求质心C 的运动轨迹.思考题6.4图6.5. 有一水平圆台, 可绕过其圆心的竖直轴z 轴转动, 轴承处有较小但不可忽略的摩擦力. 有人站在台边上, 初始时圆台与人均静止, 如思考题6.5图所示.之后人沿台边跑一段时间后, 又停止跑动. 问人停止跑动后, 人与圆台将如何运动? 在整个过程中, 以人、圆台和轴为质点系, 其对z 轴总角动量如何变化?思考题6.5图6.6. 思考题6.5中, 把轴包括在质点系内, 这样做有何好处?6.7. 思考题6.5中, 如轴承是光滑的, 情况又当如何?6.8. 思考题6.5中, 人与盘运动状态的改变是由人跑动引起的. 而质点系的角动量定理指出, 质点系角动量的变化与内力无关. 这两者之间是否发生矛盾?6.9. 试证明: 若质点系总动量为零, 则质点系对任意固定点的总角动量均相等.6.10. 有两个形状相同的匀质齿轮位于同一竖直面内, 可绕过各自中心的水平轴1O 和2O 转动, 转动惯量同为I , 如思考题6.10图所示. 开始时轮1绕固定轴1O 以角速度ω 转动, 轮2静止. 之后可沿竖直线移动的轴2O 向下移动使二齿轮啮合. 已知齿轮啮合后转动角速度的大小均为2ω. 有人说: “以二齿轮为质点组, 所受外力对轮轴力矩均为零. 且啮合前总角动量为ω I , 啮合后总角动量仍为ωωωI I I =+⋅22, 可见啮合过程角动量守恒.”试分析该说法是否正确.思考题6.10图6.11. 质量相同的两小球用轻杆相连, 静止地放在光滑水平面上. 初始时给其中一小球以垂直于杆的水平初速度0v , 试证两球各自的轨道均为旋轮线. 6.12. 自行车由静到动, 其动量变化靠的是地面对后轮向前的摩擦力f F , 这个摩擦力f F 对自行车做的功是否为自行车向前移动距离）(⨯=f F W ? 6.13. 以一般的动坐标系z y x O ''''代替质心系, 关系式O O t O OL v m r L ''''+⨯= 和T v m T O t '+='221(O L ''和T 分别为质点系在z y x O ''''系中对O '点的角动量和动能)能否成立?6.14. 一匀质细杆可绕过端点的水平轴无摩擦地转动, 初始时杆静止于竖直位置, 如思考题6.14图所示. 之后一小球沿水平方向飞来与杆做完全弹性碰撞. 以小球和杆为质点系, 在碰撞过程中系统动量、角动量和机械能是否守恒?思考题6.14图6.15. 在光滑水平面上有一长为l 、质量为m 的匀质细杆, 绕过其中点的竖直轴以角速度0ω转动, 但其中心不固定, 如思考题6.15图所示. 现突然将杆的A 端按住, 以杆为研究对象, 有人认为:“用手按住A 点, 系统在A 点受外力作用, 但在按住A 点的过程中A 点无位移,故该外力不做功, 所以杆的机械能守恒.”你认为这样的看法正确吗?思考题6.15图第六章习题6.1. 椭圆规尺AB 质量为12m , 曲柄OC 质量为1m , 套管B A ,质量为2m ,l CB AC OC ===, 尺和曲柄的质心均位于其中点, 曲柄以匀角速度ω 绕z 轴转动,如题6.1图所示. 求此机构总动量的大小和方向.题6.1图6.2. 质量分别为1m 和2m 的重物以跨过滑轮A 的不可伸长的轻绳相连, 并可沿直角三棱柱的斜面滑动. 三棱柱底面放在光滑水平面上, 如题 6.2图所示. 已知三棱柱质量21164m m m ==初始时各物体均静止, 求当重物下降高度为m 1.0时, 三棱柱沿水平面的位移.题6.2图 6.3. 质量为0m 的人手持质量为m 的物体, 此人以与地面成α角的初速度0v 向前跳出. 当他跳到最高点时, 将物体以相对自己的速度u 水平向后抛出. 问由于物体的抛出,跳的距离增加了多少?6.4. 两个质点A 和B 质量分别为A m 和B m , 初始时位于同一竖直线上, A 质点有水平初速度0v , B 质点静止, B 点高度为h , A 点在B 点的上方, A 和B 间距离为l . 在以下3种情况中求质点A 和B 的质心轨迹. (1) A 和B 两质点间没有相互作用；(2) 质点A 和B 以万有引力相互作用; (3) A 和B 间以轻杆相连.6.5. 质量为m 的薄板在竖直面内, 绕过O 点的水平轴按t ωθθcos 0=规律转动, 其质心C 离O 点的距离为a , 如题6.5图所示. 求在任一瞬时水平轴对板的约束力.题6.5图 6.6. 瓦特节速器装置如题6.6图, 二杆长l OB OA ==, A 和B 二球质量均为m . 初始时A 和B 二球被一根线连结, 装置以角速度0ω绕竖直轴转动, 杆的张角为0θ. 自某一时刻线被烧断, 求角速度ω 与张角θ的关系. 设轴承光滑, 不受主动力矩, 杆的质量均可忽略不计. 若杆的质量不可忽略, 但各杆质量分布均匀, 结果又当如何?题6.6图6.7. 一质量为0m 、底半径为R 的匀质圆锥, 它的光滑固定对称轴沿竖直方向, 圆锥尖端向上, 在圆锥表面上有一沿母线的细槽. 初始时, 圆锥绕其对称轴以角速度0ω转动, 同时有一质量为m 的小球开始自槽的顶端沿槽自由下滑. 试求小球滑出槽口时圆锥的角速度. 若此槽不是沿母线的直线, 试问此槽曲线应满足什么条件, 才能使小球滑出槽口时圆锥角速度与槽为沿母线的直线情况相同.6.8. 质量为1m 和2m 的二质点, 用一根长为l 的不可伸长的轻绳相连. 初始时1m 被握在手中不动, 2m 以匀速率0v 绕1m 做圆周运动. 在某瞬时将1m 放手, 试求以后二质点的运动, 并证明绳内张力l m m v m m F T)(212021+=. 不考虑重力及质点间引力作用, 并已知绳一直是张紧的.6.9. 传送机由两个相同的滑轮B 和C 和套在其上的传送带构成, 每个滑轮质量为1m 、半径为R , 均可视为匀质圆盘, 传送带质量为2m , 相对水平面倾角为α, 被传送物体质量为3m . 初始时各物体均静止, 在B 上施加一不变力矩M , 如题6.9图所示. 设滑轮轴承处光滑, 传送带与滑轮及传送带与被传送物体间均无滑动, 传送带在EF 间为直线. 试求当被传送物体在EF 间运动时, 传送带运行速率v 与运行距离s 间的关系.题6.9图6.10. 一炮弹质量为21m m +, 发射时水平及竖直速度分别为Ox v 和Oy v . 当炮弹达到最高点时, 其内部炸药爆炸产生能量E , 使此炮弹分为1m 和2m 两部分, 开始时两部分均沿原方向飞行, 不计空气阻力, 试求炮弹的两部分落地时相距的距离.6.11. 质量为0m 、半径为R 的光滑半球, 其底面放在光滑水平面上, 有一质量为m 的质点沿球面滑下. 初始时二物体均静止, 质点初位置与球心连线和竖直向上的直线间夹角为α.求质点滑到它与球心连线和竖直向上直线间夹角为θ时θ的值.6.12. 轻杆AB 长为l ,两端固定有质量分别为1m 和2m 的质点A 和B , 杆只能在竖直平面内运动, 某瞬时A 点速度为1v , B 速度为2v , 分别与杆夹角1α和2α, 如题 6.12图所示. (1) 试求此系统在质心系中相对质心的角动量； (2) 考虑重力作用, 试求此系统在以后的运动中角速度的变化情况.题6.12图6.13. 一质量为m , 长为a 2的细杆AB , 它的两端可沿一水平固定圆环无摩擦地滑动,圆环半径为)(a R R >. 初始时杆静止, 同时有一质量亦为m 的质点静止地位于杆的中点C . 自某一瞬时开始, 质点以相对杆的不变速度0v 沿杆运动, 如题6.13图所示.试求当质点运动到杆的端点A 时, 杆相对自己的初始位置转过多少角度?题6.13图6.14. 质量分别为1m 和2m 的两自由质点, 它们以万有引力互相吸引. 开始时, 两质点均处于静止状态, 其间距离为a . 试求两质点相距为2a 时两质点的速度.6.15. 参见思考题6.14, 试证明若小球撞击在距O 点2/3杆长的A 点时, 系统沿水平方向动量守恒.6.16. 参见思考题6.15, 试求按住A 点后瞬时杆的角速度, 及按住A 点的过程中杆的动能损失了百分之几?6.17. 电风扇的转动部分对其固定转动轴的转动惯量为I , 所受空气阻力矩与角速度大小成正比,比例系数为k .通电时风扇以匀角速度0ω转动, 求断电以后经过多长时间其角速度的大小减为初始时的一半,在这段时间内风扇又转过了多少圈?6.18. 由薄片刚体构成的复摆可绕与其垂直的光滑水平固定轴转动, 对转动轴的回转半径为k (k 定义为m I k =,I 为刚体对转动轴的转动惯量,m 为刚体质量), 转动轴到刚体质心的距离为a . 已知复摆无初速地自偏离平衡位置0θ角处开始摆动, 求复摆在悬点处所受约束力的水平分量和垂直分量.6.19. 有一半径为r 的小圆柱, 自半径为R 的大圆柱的最高位置无滑滚下, 同时大圆柱也沿水平面做无滑滚动,试写出两圆柱间无滑条件的数学表达式.6.20. 质量为m , 半径为R 的匀质细圆环被限定在竖直平面内运动, 开始时将其放在粗糙水平面上,用手按其后侧边缘, 使圆环质心获得向前的初速度0v , 同时圆环有向后转动的初角速度0ω , 如题6.20图所示.设圆环与水平面间摩擦因数为μ,试求圆环的运动规律.题6.20图6.21. 长为a 2的匀质棒AB , 以光滑铰链悬于A 点, 棒可在竖直面内摆动. 初始时棒自水平位置无初速地开始运动, 当棒摆至垂直位置时铰链突然脱落, 试证在以后的运动中棒质心的运动轨迹为一抛物线.并求当棒的质心下落h 距离后, 棒一共转了几圈?6.22. 一匀质棒被限制在竖直平面内运动, 开始时把棒一端置于光滑水平地面上,一端靠在光滑的竖直墙上,且棒与地面夹角为α, 并任其从此位置开始无初速地滑动.试证当棒与地面夹角变为)sin 32arcsin(α时,棒与墙分离.6.23. 试研究6.22题中棒与墙分离后的运动,设棒长为a 2, 求棒落地时的角速度.6.24. 如题 6.24图所示, 一面光滑一面粗糙的平板,质量为1m .将其光滑的一面放在光滑水平桌面上, 粗糙面上放一质量为2m 的球.初始时板与球均静止, 若板沿其长度方向突然获得一速度0v . 问经多少时间后球开始做无滑滚动? 设球与板间摩擦因数为μ,板的长度足够长.题6.24图6.25. 如题6.25图所示, 一质量为m , 半径为a 的匀质小圆球, 初始时位于另一个半径为b 的固定大圆球的顶点, 并无初速地无滑滚下, 设球一直保持无滑状态, 试证当两球连心线与竖直向上的直线间夹角)1710arccos(=ϕ时,两球将分离.题6.25图6.26. 试用计算机通过数值求解方法研究习题6.20中圆环的运动, 并描绘其运动情况.参考答案第六章思考题6.1. 不对. 质心不是固定点. 6.2. 质心是一个几何点. 严格说C t C v m r ⨯是位于质心假想质点对O 点角动量,2C t )2/1(v m 是位于质心的假想质点的动能.6.3. v m .6.4. 质心C 竖直向下运动. 6.5. 圆盘以kω沿人跑动方向转动.在人跑动时对z 轴总角动量增加, 在人停止跑动后对z轴总角动量逐渐减小到零. (因受轴承摩擦力矩所致.)6.6. 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点系内, 只需分析轴受轴承的力和力矩, 较为简单.6.7. 如轴承光滑,则总角动量不变. 人停止跑动后,圆盘亦停止转动.6.8. 质点系的总角动量的变化与内力无关, 但内力可使角动量在质点间等量转移. 6.9. 质点系总动量为零, 则0C =v . 于是C C C t C 0L L v m r L '='+⨯= , 与O 点选取无关. 6.10. 不正确. 啮合后二齿轮转动角速度方向相反, 对1O 或2O 轴角动量都不守恒.(1N F和2N F 都不沿21O O 方向.) 6.11. 初始时一球静止, 一球以0v 运动, 质心初速度2/0v , 二球在质心系内速率为2/0v .由于运动中系统动量守恒, 在质心系中对质心角动量守恒, 故其质心速度和二小球在质心系内绕质心运动的速率均不变. 因此两球的轨道与在直线轨道上作无滑滚动的圆盘边缘上一点的轨道相同.6.12. 后轮所受向前的摩擦力不可能对自行车作正功.6.13. 不能成立.6.14. 由于水平轴施与的约束力不一定沿竖直方向, 故动量不守恒, 沿水平方向动量也不一定守恒. 对水平轴角动量守恒, 机械能守恒.6.15. 在按住A 点的过程中, A 点不可能设有位移. 如果位移足够小则外力必足够大, 我们可以忽略其位移而认为“按住A 点”, 但外力作负功不可忽略.第六章习题6.1. 可以分别求出AB 、OC 、A 和B 的动量，之后求和得)cos sin ()25(21j t i t lm m m p ωω+-+=. 也可先求AB 、OC 、A 和B 的公共质心位置矢量c r . 由c 21)23(r m m p +=求出. 6.2. 以m 、1m 和2m 为质点组，水平向右Ox 方向动量守恒02211=++x m x m xm . 即02211=∆+∆+∆x m x m x m ，x x x ∆+'∆=∆11，x x x ∆+'∆=∆22. 1m 下降0.1m 则31.01-='∆x 、1.02-='∆x ，可求出21077.3-⨯≈∆x m. 6.3. 以人与物体为质点组，水平方向动量守恒)(cos )(000u v m v m v m m -+=+α，可求出u m M m v v ++=αcos 0. 因落地时间g v t αs i n 0=，所以跳的距离增加了g m M m u v t v v l )(s i n )c o s (00+=-=∆αα.6.4. 三种情况均为B m m l m h x v m m m g y A A A A A +++-=2c 20c )(21. 6.5. 按质心运动轨道用自然坐标法，根据质心运动定理t a v mg F v m mg F v m N N ωωθθθαsin .sin ,cos 0t n t n 2-=-=-= .可求出t ma mg F t ma mg F N N ωθωθωωθθcos sin ,sin cos 2n 2220n -=+=. 6.6. 以二球、四杆和轴为质点组，根据绕竖直轴角动量守恒022022sin 2sin 2θωθωl m l m =，可求出0022)sin /(sin ωθθω=. 当杆的质量不可忽略时，结果不变.6.7. 以圆锥、小球为质点组，据绕竖直轴角动量守恒2202001030103R m R m R m ωωω+=+，可求出)103/(000m m m +=ωω. 只要槽出口处的切线方向沿母线，则结果不变.6.8. 初始时1m 和2m 的质心速度)/(21020c m m v m v += ，由系统动量守恒知以后质心速度0c v 不变，由质心系中绕质心角动量守恒可知1m 和2m 相对质心系速度不变)(),(2101221021m m v m v m m v m v +='+='. 以τ 表示质点在质心系内作圆周运动的轨道切线方向，则ττ )()(',)()('210121022210221021m m v m m m v m v m m v m m m v m v +++=+++=.质心系为惯性系. 由牛顿定律可求出l m m v m m F T )(212021+=. 6.9. 以传送机及被传送物体为质点组，运动过程中只有力矩M 及物体3m 所受重力做功，由动能定理αsin 02121)(2121232322221gs m R s M v m v m R v R m -=-++⨯⨯. 可求出213213])()sin (2[s m m m R g Rm M v ++-=α.6.10. 以1m 和2m 为质点组，爆炸过程中沿水平方向动量守恒（设1m 和2m 爆炸后速度为21,v v ）c 212211)(v m m v m v m +=+，再据动能定理E v m m v m v m =+-+2c 21222211)(212121，可解出)(22112c 1m m m E m v v +±=，)(221211m m m E m v v c += ，1m 和2m 落地时间均为g v t =，故212121)(2m m m m E g vv v t L +=-⋅=.6.11. 以0m 和m 为质点组，沿水平Ox 方向动量守恒0)cos (0=++θθ R x m xm ，求出)/(cos 0m m mR x +-=θθ ，代入机械能守恒方程)cos (cos ])sin ()cos [(2121220θαθθθθ-=+++mgR R R x m x m ，即可求出2/120])cos 1()cos (cos 2[θθαθm m m R g +--= . 6.12. 设质心速度为c v ，杆角速度为ω . 以地为S 系；质心系为S '系，将'c v v v +=用于B A .,两质点，并沿平行于和垂直于杆方向投影2211//c cos cos ααv v v == （1）11c sin αωv CA v =+⊥ （2）22c sin αωv CB v =+-⊥ （3）[请分析（1）式的物理意义. ]由（2）和（3）式可求出l v v /)sin sin (2211ααω+=，所以)/()sin sin ()/(2122112121221c c m m v v l m m m m l m m I L ++=+=='ααωω. 根据系统在质心系中对质心角动量守恒，可知ω 保持不变. 6.13. 以杆和质点为质点组，对过环心的竖直轴角动量守恒. 设质点遇到杆后的角速度为ω ，则])([)32(2202202222221a R mv t v a R m a R m L I L L L --+-+-=+=+=ωωω0)352(22022022=--+-=a R mv t mv a R m ωω，即,])352[(22022220t v a R a R v +--=ω因t d d θω=. 将上式积分可求出)352(tan )352(2212222a R a a R a R -⋅--=-ω.6.14. 以1m ，2m 为质点组，根据动量守恒2211v m v m =，机械能守恒a m Gm a m Gm v m v m 212122*********-=-+，即可求出，2121221])([m m a Gm v +=，2121212])([m m a Gm v +=.6.15. 设杆质量为m 、长为l ，撞击点到O 点距离为a . 由角动量Fa ml =ϕ 231，质心运动定理--=N F F l m ϕ 2（-N F 为O 点支撑力水平分量）. 由上述二式可证明：当l a 32=时，0=-N F . 0=-N F 则系统沿水平方向动量守恒.6.16. 按住A 点过程中，杆对过A 点竖直轴角动量守恒，可求出按住A 点后杆绕A 点转动角速度40ωω=，杆的动能损失43. 6.17. 由对固定轴的角动量定理t k I d )(d ωω-=，积分可求出0021,e ωωωω==-t l k 则2ln k I t =，把t t l k d e d 0-=ωθ积分得)e 1(0t l k k I --=ωθ，2ln k I t =代入则k I k I π4)r a d (200ωωθ==（圈）.6.18. 以固定轴为Oz 轴，Oy Ox ,轴在刚体所在平面内，Ox 轴水平向后，Oy 轴竖直向上，规定摆角θ正方向于Oz 轴正方向一致. 复摆的运动微分方程为x R F xm =c （1） mg F ym y R -=c （2） θθsin amg I -= （3）因θsin c a x =，θcos c a y -=，所以θθθθsin cos 2c a a x -= （4）θθθθcos sin 2c a a y += （5）由（3）式θθsin 2k ag -= ，即θθθθd sin d 2k ag -= ，积分可求出)cos (cos 2022θθθ-=k ag . 把θ 及2θ 代入（4）、（5）式，由（1）、（2）式可求出,sin )cos 2cos 3(022R θθθ--=k mg a F xmg k mg a F y +--=]1cos )cos 2cos 3[(022R θθθ.6.19. 以过大圆柱圆心2C 竖直向上半直线为定线1. 由定线1到大圆柱半径A C 2为ϕ（逆时针为正），定线1到二圆柱连心线为α（顺时针为正）. 以过小圆柱圆心1C 竖直向下半直线为定线2. 由定线2到小圆柱半径B C 1为θ（顺时针为正）. 初始时A 、B 点重合于大圆柱最高点，则0)(=-++r r R R θαϕ 或0)(=-++r r R R θαϕ.6.20. 沿0v 方向建立Ox 轴，Oy 轴竖直向上，ϕ角正方向沿0ω 方向. 第一阶段圆环作有滑滚动，动力学方程为 f F x m -=c （1）mg F ym N -=c （2） R F mR f -=ϕ2 （3） R y =c （4） N f F F μ= （5）由（1）—（5）式可解出tRggt v xμωϕμ-=-=00c , . 由无滑滚动条件0c =+=ϕ R xv p 求出达到无滑滚动的时间g R v t μω2/)(001+=. 1t 时刻2/)()(001c1R v t xω-= ，R v R t 2/)()(0011-=ωϕ . R v 00ω>时0,01c1<>ϕ x ；R v 00ω=时，01c1==ϕ x ；R v 00ω<时，0,01c1><ϕ x. 1t 以后为圆环运动的第二阶段，设圆环一直作无滑滚动. 第一阶段方程（1）—（4）不变，（5）式改为0=+ϕ R x. 可解得0,0c ==ϕ x ，及mg F N =，0=f F , 满足N f F F μ≤，假设正确.6.21. 由质心运动定理可证质心轨道为抛物线. 棒绕A 点下摆过程，由机械能守恒2223221ωωma I mga ==，可求出a g 2/3=ω. 铰链脱落后棒作平面平行运动，由角动量定理可知其角速度不变. 在质心下落h 的g h t /2=时间内，转动a h a h t 2π4/3)r a d (/3==ω（圈）.6.22. 建立Ox 轴沿地面向外，Oy 轴沿墙向上. 棒A 端于Oy 轴上，B 端于Ox 轴上，以OB到AB 为ϕ角正向. 从A 点作Oy 轴垂线，从B 点作Ox 轴垂线，二垂线交于D 点，则D 为A 端与墙分离前的瞬心. 设AB 中点为C ，a AB 2=，则a DC BC AC ===.由对瞬心的角动量定理ϕϕcos )31(22mga ma ma -=+ ，可求出ϕϕcos 43a g-= ，积分可求出)sin (sin 232ϕαϕ-=a g . 由质心运动定理NA F x m =及ϕcos c a x =，可知)cos sin (2ϕϕϕϕ +-=ma F NA . 把ϕ 及ϕ 结果代入则)sin 2sin 3(cos 43αϕϕ-=mgF NA ，由0=NA F 则棒与墙分离即可完成证明.6.23. 以地面为势能零点，根据机械能守恒2222c22c212122c12c13121)(21sin 3121)(21ϕϕϕ ma y x m mga ma y x m ++=+++ （1）2ϕ 为落地时的角速度，棒刚与墙分离时αϕsin 221a g = . 由ϕsin c a y =，ϕϕcos c a y =，所以)sin 941(sin 2cos 2122122c1ααϕϕ-==ag a y ，222222222c2cos ϕϕϕ a a y ==. 由质心运动定理可知c2c1x x=，把这些结果代入（1）式可求出212)sin 911(2sin 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-±=ααϕa g ，ϕ应取负值.6.24. 在桌面上建立坐标系Oxy ，Ox 沿0v 方向，Oy 竖直向上. 以逆时针方向为θ角正方向，球的运动微分方程为g m F xm f 21c12μ== （1）为球半径）R gR m R F R m f (522122μθ== （2）板的运动微分方程为g m F xm f 22c21μ-=-= （3）由（1）—（3）式可解出gt x μ=c1 ，t R g 25μθ= ，012c2v t m g m x +-=μ . 球上与板接触点速度gt R x v p μθ27c1=+= ，当c2x v p =时达无滑滚动，由此可求出⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=g m m v t μ)27(/1201. 设1t 以后保持无滑滚动，则g m F F F f f f 221μ===，把（1）—（3）式与无滑条件c2c1x R x=+θ联立可求出0=f F ，所以1t 以后确实一直保持无滑滚动.6.25. 以过大圆球球心O 竖直向上半直线为定线1，由定线1到二球连心线为ϕ角. 以过小圆球球心C 竖直向下半直线为定线2，小圆球初始时最低点为A ，由定线2到半径CA 为θ角. 小球的运动微分方程为f F mg b a m -=+ϕϕsin )( （1） N F mg b a m -=+ϕϕcos )(2 （2） a F ma f=θ 252 （3）无滑条件为0)(=-+θϕ a b a （4）由（3）、（4）式得f F b a m =+ϕ )(52，利用（1）式消去f F 得ϕϕsin )(57mg b a m =+ .积分可求出)(7)cos 1(102b a g +-=ϕϕ . 由（2）式可求出)710cos 717(-=ϕmg F N ，所以当1017cos =ϕ时0=N F ，两球分离.返回。