资产组合有效集定理

(一)资产组合收益与风险的测定1、资产组合的收益资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。

设一项资产组合中含有n项资产，令r i表示第i种资产的收益率，w i表示第i种资产在组合中的比例。

则组合P的预期收益率为：E(r P)=E(w1r1+ w2r2…+ w n r n)= w1E(r1)+ w2E(r2)+…+ w n E(r n)=∑w i E(r i)其中，∑w i =1，i=1，2，…，n。

2、资产组合的风险衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。

资产组合的方差不仅和其组成资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。

对于有n项资产的组合P来说，其总方差为：σP 2=∑∑wiwjcov(ri，r j)；w i和w j分别表示资产i和资产j的投资权重其中当i=j时，cov(r i，r j)表示资产i收益的方差，即cov(r i，r j)=σi2当i≠j时，cov(r i，r j)表示资产i和资产j收益间的协方差。

用公式表示：cov(ri，r j) =E{[ r i- E(r i)][ r j- E(r j)]}协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。

如果cov(r i，r j)>0，即协方差为正数，那么证券i和证券j的收益呈同向变化，即当证券i的收益大于其预期收益E(r i)时，证券j的收益也大于它的预期收益。

反之，如果cov(r i，r j)<0，即协方差为负数，那么证券i和证券j的收益呈反向变化。

为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用资产i和资产j收益间的相关系数ρij，用公示表示:ρij= cov(r i，r j)/σiσj，其中σi和σj分别表示证券i和j的标准差，ρij的取值范围为[-1,1]。

当ρij=1时，证券i和j是完全正相关的。

当ρij=-1时，证券i和j是完全负相关的。

当ρij=0时，证券i和j之间不存在相关关系重点关注由两种证券构成的投资组合：这一投资组合的收益：E(r P)=E(w1r1+ w2r2)= w1E(r1)+ w2E(r2)这一投资组合的方差：σP 2=w12σ12+w22σ22+ 2w1w2cov(r1，r2)=w12σ12+w22σ22+ 2w1w2ρ12σ1σ2当ρ12=1时，σP=w1σ1+w2σ2；此时组合标准差等于组合中单个证券标准差的加权平均值。

当ρ12=0时，σP=(w12σ12+w22σ22)1/2当ρ12=-1时，σP=｜w1σ1-w2σ2｜显然，投资组合的标准差在ρ12=-1时最小，ρ12=1时最大。

例：已知证券组合P是由证券1和证券2构成，两种证券的预期收益和标准差分别为E(r1)=20%，σ1=10%；E(r2)=25%，σ2=20%，并且两种证券的权重分别为w1=w2=50%，请计算由这两种证券所构成的证券组合P的预期收益率，并分别计算ρ12=1，ρ12=0，ρ12=-1时证券组合P的标准差。

答：证券组合P的预期收益率为： E(r P)=50%×20%+50%×25%=%证券组合P的标准差分别为：当ρ12=1时，σP= w1σ1+ w2σ2=50%×10%+50%×20%=15%当ρ12=0时，σP=(w12σ12+ w22σ22)1/2=(50%2×10%2+50%2×20%2)1/%当ρ12=-1时，σP=｜w1σ1- w2σ2｜=｜50%×10%-50%×20%｜=5%需要指出的是，证券组合分散化的效果大小取决于证券之间的相关系数。

随着相关系数从1增加到-1，即证券之间由完全正相关发展到完全负相关，证券组合的标准差减少到最小，分散化效果也在不断显现。

(二)资产组合的可行集可行集，也叫投资机会集合，是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的总体。

我们已经知道，对于任何一个单一证券，都可以用期望收益率和标准差来描述，那么在均值——方差平面图上我们可用相对应的点来表示该证券，其中横坐标表示该证券的标准差，纵坐标表示该证券的期望收益率。

相应的任何一个投资组合也可以用组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一个点。

这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线是证券A和证券B的组合线。

这条组合线就是由证券A和证券B构成的可行集，也称为投资机会集合。

可行集上的每一点都表示一个由证券A和证券B构成的可能的组合。

由2种证券构成的可行集——双曲线的一部分由2种以上证券构成的可行集——均值—方差平面上的一个区域，整个可行集呈雨伞状，可行集区域的左侧边界仍然是双曲线的一部分。

通过设置不同的投资比重，可以得出不同的组合收益率和组合标准差，将这些不同的组合点（标准差、收益率）相连，可以得到一条平滑的凹形曲线——投资机会集合——投资机会集合，又叫可行集。

可行集参考自编教材中可行集解释。

大同煤业比重工商银行比重组合收益率组合标准差1011%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%01%%(三) 可行集与相关系数如上所述，可行集左侧边界曲线通常为双曲线的一部分。

可行集左侧边界曲线向左弯曲的程度取决于证券A、B之间的相关程度。

随着相关系数由1变成-1，可行集左侧边界曲线变得越来越向左弯曲，这说明随着相关系数的降低，组合的标准差在逐渐减小，组合的风险得到了有效降低。

从图中可以看出当相关系数ρ=1时，可行集左侧边界曲线是连接证券A 和B的一条直线；随着相关系数降到0，可行集左侧边界曲线开始显著向左弯曲，变成一条凹形曲线；当相关系数为负，可行集左侧边界曲线进一步向左拉伸。

最终当相关系数ρ=-1时，可行集左侧边界曲线实际上变成了一种折线，组合的标准差甚至可以取到0，此时组合完全没有风险，得到一个稳定的收益率。

这正是分散化的魅力所在。

这很好理解，当ρ=-1时，证券A和证券B完全负相关，一种证券收益率的上涨与另一种证券收益率的下跌相互抵消，从而完全消除了组合的风险。

注意：两种极端情况下的风险资产可行集：1、当相关系数=1，可行集是一条直线。

2、当相关系数=-1，投资机会集合是一条折线。

此时，最小方差点位于纵轴上，最小标准差=0，此时投资组合可以实现零风险。

(四)资产组合的有效集：马克维茨最重要的结论——有效边界请大家思考，可行集上的每一点是否都是有效的投资组合呢要判断这一点，我们首先需要对有效加以界定。

经济学的一个基本假定：投资者是理性的，他们总是在寻找最优决策：在成本一定的情况下，收益最大化在收益一定的情况下，成本最小化同样地，在金融学中，投资者在进行投资时，也会遵循最优化决策：同一风险、最大收益同一收益、最小风险这就是有效的含义。

据此，我们可以看出在由大同煤业和工商银行组成的可行集上，并非所有的点都符合这一原则：可行集上最小方差点下方的曲线是无效的。

可行集上最小方差点上方的曲线AB遵循了有效的含义——同一风险、收益最大；同一收益、风险最小。

所以——可行集上最小方差点上方的曲线，被称为马克维茨有效集。

关于马克维茨有效集也叫马克维茨有效边界你需要掌握：1、从图形上看，马克维茨有效集是最小方差点上方的曲线。

2、有效的含义3、马克维茨有效集是针对风险资产而言的，因此马克维茨有效集上的每一点都代表风险资产的有效组合。

例如，大同煤业与工商银行——风险资产组合；股票与债券——风险资产组合怎样判断风险资产收益率不确定标准差>04、马克维茨有效集的形状——凹形(1)凹性——相对于X轴(2)含义：(3)凹形的判断方法——请参考前面判断投资者风险类型的方法凹形：将曲线上任意两点相连，连线低于曲线投资者总是更偏好均值——方差图中左上方的点，即更高的收益、更低的风险。

所以，将有效边界AB上的任意两点L和H连线，点C是LH连线上的一点。

其中，点L代表风险资产的一种有效组合，点H代表风险资产的另一种有效组合。

由于点C是LH连线上的一点，因此点C是风险资产有效组合L、H所构成的一种新的线性组合。

例如，E(R C)=W L×E(R L)+ W H×E(R H)而点D是马克维茨有效集AB上的一点，点D与点C的风险水平相同。

根据凹形的含义：曲线上的点高于任意两点连线上的点，即点D高于点C，因此，E(R D)＞E(R C)可见，马克维茨有效集上的点D满足同一风险、最大收益。

同样地，将点C与马克维茨有效集AB曲线上的点E相比，点C与点E处于同一收益，但是点E的标准差要小于点C。

说明，马克维茨有效集上的点E满足同一收益、最小风险。

反之，如果马克维茨有效集呈凸性，则有效边界上的点不符合同一风险水平下，最大收益；同一收益水平下，最小风险。

所以，有效边界必然呈凹形。

（五）无差异曲线与最优投资组合1、无差异曲线确定投资组合的有效集后，投资者可根据自己对风险的个人偏好从这个有效集中选出更适合自己的投资组合。

投资者的个人偏好可以用无差异曲线来描述。

这里的无差异曲线和消费者效用函数中的无差异曲线非常类似，是指能为投资者带来同等效用水平（即满足程度）的收益和风险的不同组合。

风险偏好不同的投资者，其无差异曲线的形状也不同。

尽管如此，绝大多数投资者的无差异曲线具有凸性，这是因为绝大多数的投资者都是风险厌恶者。

凸性的无差异曲线表明随着投资风险的上升，投资者要求以越来越多的收益作为承受风险的补偿。

换言之，投资者越来越难以忍受风险。

风险厌恶者的无差异曲线具有以下六个特点：(1)无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线---说明投资者要么喜欢低风险、低收益的组合，要么喜欢高风险、高收益的组合。

(2)每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面。

同时，由于不同的无差异曲线代表不同的满足程度，因此不同的无差异曲线不会相交。

(3)同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。

(4)不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。

(5)无差异曲线的位置越高，其上的投资组合给投资者带来的满意程度就越高。

投资者总是更偏好于均值—方差平面上靠近左上方的无差异曲线上的组合，因为它代表着更高的收益和更小的风险。

(6)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。

2、最优投资组合最优投资组合是指一个投资者选择一个有效的投资组合并且具有最大效用。

有效边界是客观存在的一条曲线，它告诉我们哪些组合是有效的。

但是投资者具体选择有效边界上的哪一点进行投资，则取决于投资者的个人主观偏好。

投资者的个人偏好可以通过无差异曲线来反映。

因此，在确定最优投资组合时，必须同时考虑有效边界和无差异曲线。

对于投资者而言，无差异曲线的位置越高越好，此时投资者可以在更低的风险水平上获取更高的收益。

投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有效组合：相对于其他有效组合，该组合所在的无差异曲线位置最高。