6秩亏自由网平差S的求法与基准
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0 ym 0 xm
0 1 0
0 zm
y10
0 zm
0
0 xm 0 ym
0 0 1 0 ym 0 xm 0 0 zm
位置基准
方位基准 尺度基准
将S矩阵标准化，即可得到Ｇ矩阵。
参考文献
1. 张勤等，附有系统参数和附加约束条件的GPS 城市沉降监测网数据处理方法研究 2. 张勤等，顾及板块运动、稳定性和系统偏差的 高精度GPS监测基准研究与实现
2、自由网平差的基准
自由网平差基准分类
自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网； 一维网：相对重力值，高差； 二维网：高度、方位角、距离； 三维网：角度、天顶距、距离； 按最小二乘进行自由网平差，必须给定自由网平差基 准或自由网定位数据，否则平差秩亏。
3、基准：平差中的不变量
根据平差前后基准是否有变化：
0 1 0 0 0 0 0 1 0 A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 33 m 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
ˆi bik y ˆ i aik x ˆ k bik y ˆ k lik vik aik x
自由测边网中没有固定点，因此每条边的两端点坐标未知数 必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总 是形如
0 0 xi0 xk yi0 y k aik , bik 0 0 sik sik
各类自由网S和G的确定
赵超英
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
秩亏自由网平差的解法分类
①求N的最小范数逆 ----Mittermayer（1971）
③附加条件法
----Mittermayer（1972） 原理类似
④伪观测法
⑦坐标转换法
----Pelzer（1974）
②当1点坐标，1-2边上方位角，1-3边的边长已知（固定）则：
ˆ X0 X A1 1
tg
1
ˆ Y0 Y A1 1
ˆ Y ˆ Y A2 A1 12 ˆ ˆ X A 2 X A1
1 T 1 T ˆ X N C Q C ( N SS ) A Pl
解法四：附加条件法
n1
ˆ l V AX r
nu u1
n1
d u
S
T
ˆ 0 X r
u1
NQ11 I S( S S ) S
T
1
T
T ˆ X r Q11 A Pl
证明三种解法的等价性（一）
0 T
1 0 T S 42 m y10 0 x 1
0 1 x10 y10
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 xm
0 y2
0 1 0 xm 0 ym
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
1 m 0 T G y10 H x10 H 0 1 m x10 H y10 H 1 m 0
jh
a jk ) (b jh b jk ) a jh b jh a jk
b jk
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有四 个，除与水平网相同的三个特征向量外，还有一个尺度基准 对应的特征向量：
x
0 1
y
0 1
xm
1 0 0 y2
0 x2
0
ym
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
0 1 0 x1
1 0 0 y2
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 1 0 xm
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
GT 1 m 0 y10 H 0 1 m x10 H 1 m 0
0 y2
0 1 m 0 x2 H
可以推出法方程系数阵N=ATA，形式如下：
1
S T 1 1 1
1 0 2 1
GT
AS 0 NS 0 1 1 1
t
1
2、测边网、边角网
对于自由测边网，其系数阵A的秩亏数为3，即缺少两个位置 基准（X，Y）和一个方位参数。测边网误差方程的一般形式为
a jh
0 ( y 0 y h j) 0 2 jh
(s )
, b jh
0 ( x 0 x h j) 2 (s 0 ) jh
(a
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之 差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故 系数阵中的每一行元素结构总是形如
Ai aik bik aik bik
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有三个， 分别是：
1
0
0 1 0
1 0 1
x
0 1
T
T
0 T m
y
0 1
y
0 m
x
满足AS=0，由上述特征向量可得S为：
32m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
T
1 0 y0 1
强基准：平差前后基准形式固定不变（值不变） 弱基准：平差后基准数据会得到修正
根据平差中参数必须满足的附加条件：
经典自由网平差基准 秩亏自由网平差基准 固定基准 重心基准 ？ 强基准 弱基准
参数加权平差基准
一、 经典自由网平差基准
1.一维水准网：
V1 1 1 0 ˆ V 0 1 X 1 0 2 X ˆ 2 6 V 1 0 3
设
T ˆ GC X 0
为基准方程
①当1、2两点已知（固定）坐标，则：
ˆ 0 X ˆ1 Y1 0 ˆ X 2 0 Y ˆ 2 0
1 0 T GC 0 42 t 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ... ... ... ...
其他应用如何找到基准
1、InSAR小基线解算
2、摄影照片拼接
中国石油大学（华东）杰出校友榜
中国石油大学外景
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
〇、引言
1、自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网
对于任一自由网，依据最小二乘原理进行平差后，就 可以达到合理消除网中各种几何条件不符值的目的，此 时自由网可以得到唯一的闭合网形，即可确定网的最佳 相对形状 若此时网中拥有必要的起算数据，则可由此起算数据 推求其它的未知数据 对于秩亏自由网，由于网中无外部固定数据，因此网 形的外部绝对位置就无法确定，因而网形浮动 若要唯一确定网形，必须给定基准
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
0 y2 0 x2
0 1 m 0 x2 H 0 y2 H
1 m 0
0 ym 0 xm
H
H
H
H
0 1 m 0 xm H 0 ym H
4、GPS网（1）
GPS网的观测量为基线，隐含旋转参数和尺度参数，GPS自由 网的秩亏数为３，必要起始数据是网中一点的三维坐标。 GPS网可以简单看成是三维方向的水准网，某基线向量的观 测方程为：
因此，参照水准网情况，可写出GPS网的S矩阵形式如下：
33 m
S
T
33 m
S
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
其对应的Ｇ矩阵形式如下：
33 m
G
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 m 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 A n t 1
2 1 N 1 0 0 1 1 2 0
1
1 1 1 1 1
0 0 1 2
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
3、测角网
对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个 位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网 的误差方程式为
vi ( a jh a jk )ˆ x j ( b jh b jk )ˆ y j a jh ˆ xh b jh ˆ yh a j k ˆ xk b jk ˆ y k li
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
ˆ A Pl 0 NX
T
T ˆ X r N m A Pl
ˆ X ˆ min X
T
ˆ N AT Pl X r
l Aˆ O ST X r
解法三：伪观测法
1 m 0
0 ym
H
H
0 1 m 0 xm H
此时
1 0 0 T G G 0 1 0 I 0 0 1
由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。 • 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225. • http://v.163.com/special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
5、GPS网（2）
当尺度基准和方位基准不依靠GPS网本身提供时，GPS自 由网的秩亏数为7，必要起始数据是网中三个位置基准， 三个方位基准，一个尺度基准，因此，可写出GPS网的Ｓ 矩阵形式如下：
1 0 0 ST 0 73 m z10 0 y1 x0 1 0 1 0 z10 0 x10 y10 0 0 1 x10 0 z10 1 0 0 0
0 1 0
0 zm
y10
0 zm
0
0 xm 0 ym
0 0 1 0 ym 0 xm 0 0 zm
位置基准
方位基准 尺度基准
将S矩阵标准化，即可得到Ｇ矩阵。
参考文献
1. 张勤等，附有系统参数和附加约束条件的GPS 城市沉降监测网数据处理方法研究 2. 张勤等，顾及板块运动、稳定性和系统偏差的 高精度GPS监测基准研究与实现
2、自由网平差的基准
自由网平差基准分类
自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网； 一维网：相对重力值，高差； 二维网：高度、方位角、距离； 三维网：角度、天顶距、距离； 按最小二乘进行自由网平差，必须给定自由网平差基 准或自由网定位数据，否则平差秩亏。
3、基准：平差中的不变量
根据平差前后基准是否有变化：
0 1 0 0 0 0 0 1 0 A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 33 m 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
ˆi bik y ˆ i aik x ˆ k bik y ˆ k lik vik aik x
自由测边网中没有固定点，因此每条边的两端点坐标未知数 必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总 是形如
0 0 xi0 xk yi0 y k aik , bik 0 0 sik sik
各类自由网S和G的确定
赵超英
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
秩亏自由网平差的解法分类
①求N的最小范数逆 ----Mittermayer（1971）
③附加条件法
----Mittermayer（1972） 原理类似
④伪观测法
⑦坐标转换法
----Pelzer（1974）
②当1点坐标，1-2边上方位角，1-3边的边长已知（固定）则：
ˆ X0 X A1 1
tg
1
ˆ Y0 Y A1 1
ˆ Y ˆ Y A2 A1 12 ˆ ˆ X A 2 X A1
1 T 1 T ˆ X N C Q C ( N SS ) A Pl
解法四：附加条件法
n1
ˆ l V AX r
nu u1
n1
d u
S
T
ˆ 0 X r
u1
NQ11 I S( S S ) S
T
1
T
T ˆ X r Q11 A Pl
证明三种解法的等价性（一）
0 T
1 0 T S 42 m y10 0 x 1
0 1 x10 y10
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 xm
0 y2
0 1 0 xm 0 ym
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
1 m 0 T G y10 H x10 H 0 1 m x10 H y10 H 1 m 0
jh
a jk ) (b jh b jk ) a jh b jh a jk
b jk
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有四 个，除与水平网相同的三个特征向量外，还有一个尺度基准 对应的特征向量：
x
0 1
y
0 1
xm
1 0 0 y2
0 x2
0
ym
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
0 1 0 x1
1 0 0 y2
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 1 0 xm
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
GT 1 m 0 y10 H 0 1 m x10 H 1 m 0
0 y2
0 1 m 0 x2 H
可以推出法方程系数阵N=ATA，形式如下：
1
S T 1 1 1
1 0 2 1
GT
AS 0 NS 0 1 1 1
t
1
2、测边网、边角网
对于自由测边网，其系数阵A的秩亏数为3，即缺少两个位置 基准（X，Y）和一个方位参数。测边网误差方程的一般形式为
a jh
0 ( y 0 y h j) 0 2 jh
(s )
, b jh
0 ( x 0 x h j) 2 (s 0 ) jh
(a
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之 差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故 系数阵中的每一行元素结构总是形如
Ai aik bik aik bik
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有三个， 分别是：
1
0
0 1 0
1 0 1
x
0 1
T
T
0 T m
y
0 1
y
0 m
x
满足AS=0，由上述特征向量可得S为：
32m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
T
1 0 y0 1
强基准：平差前后基准形式固定不变（值不变） 弱基准：平差后基准数据会得到修正
根据平差中参数必须满足的附加条件：
经典自由网平差基准 秩亏自由网平差基准 固定基准 重心基准 ？ 强基准 弱基准
参数加权平差基准
一、 经典自由网平差基准
1.一维水准网：
V1 1 1 0 ˆ V 0 1 X 1 0 2 X ˆ 2 6 V 1 0 3
设
T ˆ GC X 0
为基准方程
①当1、2两点已知（固定）坐标，则：
ˆ 0 X ˆ1 Y1 0 ˆ X 2 0 Y ˆ 2 0
1 0 T GC 0 42 t 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ... ... ... ...
其他应用如何找到基准
1、InSAR小基线解算
2、摄影照片拼接
中国石油大学（华东）杰出校友榜
中国石油大学外景
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
〇、引言
1、自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网
对于任一自由网，依据最小二乘原理进行平差后，就 可以达到合理消除网中各种几何条件不符值的目的，此 时自由网可以得到唯一的闭合网形，即可确定网的最佳 相对形状 若此时网中拥有必要的起算数据，则可由此起算数据 推求其它的未知数据 对于秩亏自由网，由于网中无外部固定数据，因此网 形的外部绝对位置就无法确定，因而网形浮动 若要唯一确定网形，必须给定基准
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
0 y2 0 x2
0 1 m 0 x2 H 0 y2 H
1 m 0
0 ym 0 xm
H
H
H
H
0 1 m 0 xm H 0 ym H
4、GPS网（1）
GPS网的观测量为基线，隐含旋转参数和尺度参数，GPS自由 网的秩亏数为３，必要起始数据是网中一点的三维坐标。 GPS网可以简单看成是三维方向的水准网，某基线向量的观 测方程为：
因此，参照水准网情况，可写出GPS网的S矩阵形式如下：
33 m
S
T
33 m
S
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
其对应的Ｇ矩阵形式如下：
33 m
G
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 m 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 A n t 1
2 1 N 1 0 0 1 1 2 0
1
1 1 1 1 1
0 0 1 2
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
3、测角网
对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个 位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网 的误差方程式为
vi ( a jh a jk )ˆ x j ( b jh b jk )ˆ y j a jh ˆ xh b jh ˆ yh a j k ˆ xk b jk ˆ y k li
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
ˆ A Pl 0 NX
T
T ˆ X r N m A Pl
ˆ X ˆ min X
T
ˆ N AT Pl X r
l Aˆ O ST X r
解法三：伪观测法
1 m 0
0 ym
H
H
0 1 m 0 xm H
此时
1 0 0 T G G 0 1 0 I 0 0 1
由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。 • 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225. • http://v.163.com/special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
5、GPS网（2）
当尺度基准和方位基准不依靠GPS网本身提供时，GPS自 由网的秩亏数为7，必要起始数据是网中三个位置基准， 三个方位基准，一个尺度基准，因此，可写出GPS网的Ｓ 矩阵形式如下：
1 0 0 ST 0 73 m z10 0 y1 x0 1 0 1 0 z10 0 x10 y10 0 0 1 x10 0 z10 1 0 0 0