二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
一元二次方程根与系数的关系
2
x 2 3x 1.
c
b
15
3 3
x
x
x;
b
4
a
3
b
1
（3）x1+x2= a 1 1
b
4
（4）x1+x2= a 2 2
x1x2=
c 1
a 3
x1x2=
c
1
a
x1x2=
c 1
a 2
于常数项与二次项系数的比.
？
积极探索：
把方程 ax2 bx c 0 (a≠0)的两边同时除以a，
得
b
c
2
x
a
x
a
0
因为 x1 , x2 是方程的两个根，所以有 x x1 , x x2 ，
即 x x1 0, x x2 0 方程可分解为 ( x x1 )( x x2 ) 0 .
提出问题：
方程 ax 2 bx c （a≠0）的求根公式
0
−± 2 −4
，不仅表示可以由方程
2
=
的系数a，b，c决定根的值，而且反映
了根与系数之间的联系，一元二次方程
根与系数之间的联系还有其它表现方式
吗？
思考：根据求根公式可知
b b 2 4ac
b b 2 4ac
因此，方程的两个根 x1 , x2
和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 , x1 x2 .
a
a
把方程 ax2 bx c 0
(a≠0)的两边同除
以a，能否得出该
根与系数的关系-初中数学知识点
1 / 1 根与系数的关系
1．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1 ，常用以下关系：1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根时，12x x p +=- ，12x x q =，反过来可得()12p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=- ，12c x x a =，反过来也成立，()12b x x a =-+ ,12=c x x a
． （3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③
不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足
的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑()0a ≠，0∆≥ 这两个前提条件．。
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1 2+x2=
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另#43;m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
2 3
, x1 ·x2=-3
2 3 3
=
x1 x 2 x1 x 2
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x x
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是高中数学中的重要内容之一。
在学习一元二次方程时，我们需要了解它的根与系数之间的关系。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、根的求解方法以及根与系数之间的关系。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、根的求解方法我们先来了解一元二次方程的根的求解方法。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式得到：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a根据这个公式，我们可以得知：1. 当b² - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根；2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相同的实数根；3. 当b² - 4ac < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
三、根与系数之间的关系接下来我们来探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程ax² + bx + c = 0有两个实数根x₁和x₂。
根据求根公式，我们可以将两个实数根表示为：x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / 2ax₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a我们可以进一步观察上述根的求解公式，发现以下规律：1. 根与一次项系数b的关系：一元二次方程的两个实数根分别是-b加上或减去√(b² - 4ac)再除以2a。
所以根与一次项系数b有关，如果b增大（b>0），根的数值也会相应地变大；如果b减小（b<0），根的数值也会相应地变小。
2. 根与二次项系数a的关系：a是二次项系数，它决定了方程开口的方向。
当a>0时，抛物线开口朝上，方程的根都是负数。
当a<0时，抛物线开口朝下，方程的根都是正数。
所以根与二次项系数a的正负有关。
二元一次方程的根与系数的关系公式
二元一次方程的根与系数的关系公式二元一次方程根与系数的关系公式是：
只有一元二次方程中根与系数的关系：ax²+bx+c=(a≠0)。
当判别式=b²-4ac>=0 时，设两根为x₁,x₂。
则根与系数的关系（韦达定理）：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1
（1）等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式。
（2）代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，求出x的值。
（4）回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解。
2。
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
一元二 次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它的解与方程的系数之间有着密切的关系。
本文将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，并通过几个具体的例子加以说明。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的根可以通过求解得到，设方程的两个根分别为x1和x2，那么根据韦达定理可知x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
我们来看一个具体的例子。
假设有一个一元二次方程x^2-5x+6=0，通过求解可以得到方程的两个根为2和3。
根据韦达定理，我们可以验证一下：2+3=(-(-5))/1=5/1=5，2×3=6/1=6，符合关系式。
接下来，我们来看一下根与系数之间的一些规律。
首先，如果一元二次方程的两个根相等，即x1=x2，那么根据韦达定理可知x1+x2=-b/a，即2x1=-b/a，解得x1=-b/2a。
这说明，当一元二次方程的两个根相等时，它们的和等于-b/2a，即根与系数之间存在一个关系：两个根的和等于系数b的相反数除以2a。
如果一元二次方程的两个根互为倒数，即x1=1/x2或x2=1/x1，那么根据韦达定理可知x1x2=c/a，即1=x1x2=a/c。
这说明，当一元二次方程的两个根互为倒数时，它们的乘积等于a/c，即根与系数之间存在一个关系：两个根的乘积等于系数a除以c。
如果一元二次方程的两个根的和等于两个根的乘积，即x1+x2=x1x2，那么根据韦达定理可知-b/a=c/a，即-b=c。
这说明，当一元二次方程的两个根的和等于两个根的乘积时，它们的和等于系数b，即根与系数之间存在一个关系：两个根的和等于系数b。
我们来看一下一元二次方程的根与系数之间的一些特殊情况。
当一元二次方程的判别式b^2-4ac=0时，方程有且只有一个实根，即两个根重合。
当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
第二讲 元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 思考：你能利用一元二次方程的求根公式推出韦达定理吗？二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数如：已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根，求该方程的另一个根2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值如：若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值如：若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1x 2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax 2+bx+c= a(x- x 1)(x- x 2)巩固练习一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.二、选择题7.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-8.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ）A.32- B .—2 C.92 D.—92 9.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—210.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，则=+21x x ，=21x x 。
二、应用1、求待定系数值；2、求关于根的代数式值；3、结合△，讨论根的符号特征；4、构造一元二次方程辅助解题。
三、以两个数21,x x 为根，构造一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 。
四、方程根的符号特征)0(02≠=++a c bx ax 有两根21,x x ：①若0021=⇔=+b x x ，21,x x 互为相反数； ②若c a x x =⇔=121，21,x x 互为倒数；⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ③方程两根同为正数； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ④方程两根同为负数； ⇔⎩⎨⎧<>∆0021x x ⑤方程两根异号；⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⑥方程两根异号且正根绝对值大； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<+>∆0002121x x x x ⑦方程两根异号且负根绝对值大。
五、典例讲解例1、（1）以3、2为根作一元二次方程是 。
（2）以313-，212为根作一元二次方程式 。
（3）解方程组⎩⎨⎧=+-=67y x xy（4）求作一元二次方程使它的根是方程0132=++x x 的各根的平方。
（5）不解方程0262=+-x x ，求作一元二次方程是它的一根为原方程两根和的倒数，另一根是原方程两根差的平方。
④两根立方和。
练习2、设方程03742=--x x 两根是21,x x ，求：①)3)(3(21--x x ；②；③21x x -；2112x x x x +④；⑤||21x x -；⑥3231x x +；⑦222111x x -；⑧2112x x x x -+-例3、（1）关于x 的方程2)12(22=+++k x k x 两根的平方和为11，求k 的值。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系二次方程是高中数学中常见的一类方程，它的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解二次方程的根是数学中的重要问题之一，而根与系数之间又存在着一定的关系。
在本文中，我们将对二次方程的根与系数的关系进行探究和分析。
1. 二次方程的根公式解二次方程的根可以通过求解一元二次方程的公式得到，即根据下列公式可以求得方程的实根：x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)其中，x₁和x₂分别为二次方程的根，√表示求平方根。
2. 二次方程的判别式在进一步讨论二次方程的根与系数的关系之前，我们先介绍一下二次方程的判别式：Δ = b² - 4ac。
判别式Δ决定了二次方程的根的性质。
- 当Δ > 0时，即判别式大于0，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，即判别式等于0，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，即判别式小于0，方程没有实根，而变成了有复数解。
3. 二次方程的根与系数的关系接下来，我们将探讨二次方程的根与系数之间的关系。
以一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0为例进行讨论。
- 根与系数的和：二次方程的根与系数的和可以通过根公式得到：x₁ + x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) + (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= -b / a- 根与系数的积：二次方程的根与系数的积也可以通过根公式得到：x₁ * x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) * (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= (b² - (b² - 4ac)) / (4a²)= c / a由以上推导可知，二次方程的根与系数之间存在着以下关系：- 根与系数的和等于二次方程的一次系数b的相反数除以二次方程的二次项系数a的倒数，即 x₁ + x₂ = -b / a；- 根与系数的积等于二次方程的常数项c除以二次方程的二次项系数a，即 x₁ * x₂ = c / a。
二次函数根与系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理;其逆定理也成立;它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系;它形式简单但内涵丰富;在数学解题中有着广泛的应用．知识要点1．如果方程a≠O的两根为;;那么;;这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m;积为n;则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根;可不直接解原方程;利用根与系数关系;求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值;关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程a≠O有两根;时：1若;则方程有一正一负根；2若;;则方程有两个正根；3若;;则方程有两个负根．趋势预测利用根与系数关系;可以解决许多有关方程的问题;有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程;然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式;判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式;不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．范例解读题11997·陕西已知二次方程ac≠0有两异号实根m和n;且m<n;那么;二次方程的根的情况是A有两个负根B有两个正根C两根异号D无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根;还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m;n异号且m<n;∴m<0;n>0;从而;．方程的判别式：;故方程必有两实根．设这两个实根为;;则由根与系数关系得;;可知;均为负数;故选A．题21997·上海若a和b是方程的两个实根;c和d是方程的两个实根;e和f是方程的两个实根;则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3;cd＝3;ef＝3;a+b＝-2p;c+d＝-2q;;将a-cb-ca+db+d展开;把上列数值代入;可得所求值．但若全部展开;结果很繁;因此考虑局部展开;分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3;cd＝3;ef＝3;a+b＝-2p;c+d＝-2q;;则题31996·祖冲之杯已知α;β是方程的两根;α>β;不解方程;求的值．分析待求式中α;β是不对称的;但根与系数的关系具有对称性;应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7;αβ＝8;∴;．因α>β;故;．记;令;从而; ∴．题42000·江苏已知;;其中m;n为实数;则__________.分析根据两个方程系数的特点;可作恰当的变形;使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程;然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与;由于m;的关系没有给定;故应分两种情况：①当时;；②当时;可知m;是方程的两个根;则由根与系数关系得;．∴．综合①;②得或.题51996·江苏设的两个实根为α;β;1求以;为根的一元二次方程；2若以;为根的一元二次方程仍是;求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值;由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p;常数项等于q;可求得p;q的值．解1由根与系数关系得α+β＝p;αβ＝q;∴;．所求方程是；2由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：;;;;;;．其中仅无实数根;舍去.故所有这样的一元二次方程有六个;分别为：;;;;;．题62000·全国设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．分析根据方程系数的特点;可先用十字相乘法求出方程两根;然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后;再求出是的值．解原方程可化为．∵k-4k-2≠0;∴解得方程两根为;∴;;消去k;得;∴．由于;都是整数;故对应的k的值分别为6;3;．方法指引1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题;我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题;然后一起参与运算通常是加、减、乘、除;从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1直接求解法．若根可用有理式表示;则先求出根;再结合整除性求解．2利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围;运用枚举法讨论;不等式分析求解．3运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式;从中消去待定字母;再通过因式分解和整数性质求解．4巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时;可选择换主元的方法;结合整除知识求解．综合能力训练1．△ABC的一边长为5;另两边长恰好是方程的两根;那么m的取值范围是________________．2．设;是方程的两实根;且;则k的值是A-3或1 B-3C1 D不小于的一切实数3．若方程的两根为α;β;它也是方程的两个根;则p=_____________．4．若ab≠1;且有;及;则的值是A B C D5．在Rt△ABC中;∠C＝90°;若sinA和sinB是方程的两根;求∠A和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值;使关于x的方程的根都是整数..参考答案综合能力训练1．设另外两边长为a、b;则;;因为a;b是实数;所以;即;∴.由三角形两边之差小于第三边;有;;∴;故m的取值范围为..2．由根与系数关系得;;而由题意得;解得;..而当时;;无实数根;舍去；当时;方程的两个实数根为1和3..故选C..3．由是方程的两根得;;∴.由是方程的两根;得;..两式相减;得..4．原式可变形为;;又即;∴a;是方程的两根..∴;即.故选A..5．由根与系数关系;得∵∠A+∠B=90°;∴..于是有由①式两边平方;得.. ③由②、③式知.又由①、③式可得;是方程的两根;则有;即;故∠A=∠B=45°..6．1若k=0;则方程为;解得符合题意；2若;设方程的两个整数根为;;则有①-②得;..∴∴或;∴;;或;k=1..又当或k=1时;判别式均可得到;∴或k=1..综上所述;满足条件的所有k的值有三个;分别为k=0;或1..。
1元二次方程根与系数的关系公式
1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。
咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。
韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。
可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。
”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。
比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。
再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。
而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。
一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。
在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，具有形如ax^2+bx+c=0的表达式。
在解一元二次方程时，我们通常需要找到方程的根，也就是满足方程的x值。
本文将讨论一元二次方程的根与方程的系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
方程的根可以通过求解“求根公式”得到，即：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)在上述公式中，b^2-4ac被称为“判别式”。
判别式的值可以用来判断一元二次方程的根的性质。
1. 判别式大于零当判别式大于零时，即b^2-4ac>0，方程的根是两个不相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴有两个交点。
2. 判别式等于零当判别式等于零时，即b^2-4ac=0，方程的根是两个相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴有一个交点，该交点称为方程的“重根”。
3. 判别式小于零当判别式小于零时，即b^2-4ac<0，方程的根是两个共轭的复数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴没有交点。
从以上的讨论可以看出，一元二次方程的判别式对方程的根有着重要的作用。
但是判别式与方程的系数之间也有着一定的关系。
考虑判别式的表达式b^2-4ac，我们可以从中看出与方程的系数之间的关系。
1. a为正数当a为正数时，判别式的值受到b和c的影响。
当b和c同时大于零或同时小于零时，判别式为正；当bc同时异号时，判别式为负。
2. a为负数当a为负数时，判别式的值受到b和c的影响。
当b和c同时大于零或同时小于零时，判别式为负；当bc同时异号时，判别式为正。
综上所述，一元二次方程的根与方程的系数之间存在着一定的关系。
判别式的正负决定了方程的根的性质，而方程的系数则决定了判别式的正负。
我们可以通过观察方程的系数来大致判断方程的根的情况。
但是要求根的具体值还需要通过求解一元二次方程来获得。
总结起来，一元二次方程的根与系数的关系主要体现在判别式上。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】，，的两根为，那么，1．如果方程(a≠O)这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．若，则方时：≠O)有两根(1)5，．当一元二次方程(a，，则方程有两个正根；(3)程有一正一负根；(2)若若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和·陕西题1 (1997) n，且m<n，( )那么，二次方程的根的情况是(A) (B)有两个正根有两个负根无实数根(D)(C)两根异号的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程首先考虑方程分析．有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，，．，从而∴m<0，n>0方程的判别式：，故方程必有两实根．，则由根与系数关系得，设这两个实根为，均为负数，故选(A)，可知．，的两个实根，c和(1997题2·上海) 若a和b是方程d是方程是方程f的两个实根，e和的两个实根，则的值为_____________．，-2q，将，c+d＝-2p3＝，ef＝3，a+b＝3 分析由已知可得ab＝，cd(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得，，则-2qc+d＝-2p33，cd＝，ef＝，a+b＝，ab=3，不解方程，求β>α的两根，是方程β，α已知) ·祖冲之杯(19963题．的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，，∴．，故，．因α>β，令，从而记，．∴，其中m已知，，n·江苏题4 (2000) 为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，，的关系没有给定，故应分两种情况：由于m；时，①当．是方程的两个根，则由根与系数关系，②当时，可知m，．得．∴或综合①，②得.的两个实根为α，β，题5(1996·江苏) 设为根的一元二次方程；(1)求以，为根的一元二次方程仍是若以，求所有这样的一元二次方程．(2) ，根据方程根与系数关系求的值，由此即可作出新方程；根据新方和分析程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数β＝q，关系得α+β＝p，α，∴．所求方程是；由题意得(2) 则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．.其中仅无实数根，舍去故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：．，，，，，题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，，，∴，∴．消去k ，得，由于都是整数，故，．3 对应的k的值分别为6，【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】，另两边长恰好是方程的两根，那么mABC．△的一边长为5的取值1 范围是________________．k2的两实根，且．设是方程，，则的值是( )(A)-3或1 (B)-3不小于的一切实数(C)1 (D)，它也是方程的两个根，α，3β．若方程的两根为．则p=_____________，则的值是≠1，及，且有( )．若4ab(D) (C)(A) (B)是方程sinB°，若90sinA和．在5Rt△ABC中，∠C＝的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．的方程x值，使关于的根都是整6．求满足如下条件的所有k 数。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。
1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。
而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。
2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。
当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。
当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。
3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。
当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。
当 c 为负数时，根的值为两个虚数。
而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。
根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。
例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。
-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。
方程根与系数关系
方程根与系数关系方程是数学中的重要概念，是由等号连接的代数表达式。
方程的根是能使方程成立的值。
在一元二次方程中，根与方程的系数之间存在着一定的关系，本文将从这个角度探讨方程根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为方程的系数，x为未知数。
根据求根公式，一元二次方程的根可通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)从这个公式可以看出，方程的根与系数之间的关系主要体现在根的求解过程中。
接下来，我们将从三个方面分析根与系数之间的关系。
1. 根的数量与判别式根的数量与方程的判别式有关。
判别式Δ = b^2 - 4ac，它决定了方程的根的情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0时，方程没有实根，但存在两个共轭复根。
可以看出，判别式Δ与方程的系数a、b、c之间存在着密切的关系。
通过改变系数的值，可以使判别式的符号发生变化，从而影响方程根的情况。
2. 根的和与系数的关系根的和可以通过公式求得：S = -b / a由此可知，根的和与方程的系数之间呈线性关系。
系数b的变化会直接影响根的和的大小，当b为正数时，根的和为负数；当b为负数时，根的和为正数。
而系数a的变化则会改变根的和的绝对值的大小，当a的绝对值增大时，根的和的绝对值也会增大。
3. 根的乘积与系数的关系根的乘积可以通过公式求得：P = c / a根的乘积与方程的系数之间也呈线性关系。
系数c的变化会直接影响根的乘积的大小，当c为正数时，根的乘积为正数；当c为负数时，根的乘积为负数。
而系数a的变化则会改变根的乘积的绝对值的大小，当a的绝对值增大时，根的乘积的绝对值也会增大。
方程的根与系数之间存在着一定的关系。
判别式决定了方程根的数量，根的和与系数之间呈线性关系，根的乘积与系数之间也呈线性关系。
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二次方程的根与系数的关系
二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。
对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以通过求解它的根来解决方程。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到如下的根与系数之间的关系：
1. 判别式：二次方程的判别式 $D = b^2 - 4ac$ 可以用来判断方程的根的情况。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：- 当 $D > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
- 当 $D = 0$ 时，方程有两个相等的实根（也称为重根）；
- 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，而是两个共轭复数根。
2. 根的求解：根据二次方程的求根公式，我们可以得到方程的两个根为：
- 根1：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
- 根2：$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
3. 关系总结：根据上述公式和结论，我们可以得到以下关系：
- 二次方程的判别式 $D$ 决定了方程的根的情况；
- 方程的两个根与系数 $a$、$b$、$c$ 之间的关系是通过求根公式得到的。
这就是二次方程的根与系数的关系。
通过对方程的系数进行求解，我们可以确定方程的根的情况，并进一步解决方程的问题。
在实际应用中，这一关系常常被用来解决与二次方程相关的数学和物理问题。