八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题学案新版新人教版
课题：13.4 课题学习：最短路径问题【学习目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。
进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。
【学习重难点】重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点： 如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
一、知识链接复习旧知：1.两点之间，_______最短。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。
3． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______ 。
4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。
(2)对应点连线______________。
自主学习（新知）： 精读课本第85-87页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。
如图所示，从A 地到B 地有三条路选择，你会选走那条路最近？你的理由是什么？二、合作与探究探究活动（一）将军饮马问题：1、两点在一条直线的异侧：②AB① ③已知如图，A 、B 在直线L 的两侧，在直线L 上求一点P ，使得这个点到AB 的距离最短，即AP+P B 最短。
请说明AP+PB 最短的理由。
2、两点在一条直线的同侧如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究活动（二）造桥选址问题：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题教案(新版)新人教版
13.4 课题学习最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学过程一、探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．问题2如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC= AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′+B′C′．追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？二、练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．三、归纳小结1、本节课研究问题的基本过程是什么？2、轴对称在所研究问题中起什么作用？四、布置作业教科书P93复习题13第15题中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
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13.4 课题学习最短路径问题教课内容分析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短” “三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转变为“两点之间、线段最短”的问题。
教课目的设置：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、在谈最短路径的过程中，领会“轴对称”的桥梁作用，感悟转变的数学思想。
教课要点难点：要点：利用轴对称将最短路径问题转变为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转变为线段和最小问题。
学生学情剖析：1、八年级学生的察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括和运用数学意识的思想比较单薄，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步指引。
此年纪段的学生拥有一定的研究精神和合作意识，能在必定的亲自经历和体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，会合演绎推理能力有待增强。
2、学生已经学习过“两点之间，线段最短”“垂线段最短”以及刚才学习的轴对称和垂直均分线的性质作为本节知识的基础。
教课策略剖析：最短路径问题从实质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前极少波及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手。
解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在 l 上找到点 C，使 AC与 BC的和最小”，需要将其转变为“直线 l 异侧的两点，与直线 l 上的点的线段的和最小”的问题，为何需要这样转变，如何经过轴对称实现转变，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这类思路和方法，一些学生想不到。
八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新人教版(2021-2022学年)
1３。
4 课题学习 最短路径问题ﻬ掌握基本事实:两点之间,线段最短。
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理直平分线上的点到线段两端距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习点，在直线同侧两点之间路径最短问题＂的解决方案。
为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。
主学习、合作探究的方式,教师引导让每位学生都参与探究。
1。
能利用轴对称解决简单的最短路径问题； 2.体会图形 的变化在解决最值问题中的作用；3。
能通过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想; ４.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题 转化为“两点之间,线 段最短”问题.利用作轴对称将直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题 转化为“两点之间，线 段最短”问题.教学过程引入新课PPT1—４：通过创设情景,引导学生思考，激发学生学习兴趣．１出示问题：相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发,到一条笔直的河边ｌ 饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 2、倾听学生对上面问题的回答,揭示课题在的数学问题。
ＰPT4—7:通过学生自学课本P80—81页的内容,掌握最短路径问题.１、出示自学指导(见ppｔ４)２、巡视、检查;对部分基础比较差的学生进行个别辅导;3、通过相应的练习检查学生学习效果;收集存在的主要问题,让学生分组讨论，解决问题，然后进行综合点评1、学生带着问题自学教材，思考、解决自学问题,然后提出疑问,分组讨论解决共同的疑问；2、完成相应的自学检测，针对练习的过程，再次提出疑问并讨论解决。
ＰPT8—10：形成和巩固利用作轴对称将直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”的能力。
新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》优质课教案_0
信息技术
几何画板课件，展台
教学流程
一、创设情境，导入新课
教师在教室门口向学生问好，然后走进教室，问：“杨老师今天像往常一样直接从门口走到讲桌旁，为什么我不绕到教室后面或者是某某同学前面再走过来呢？”
生思考后回答：老师直接走这样距离最近
师问：能用我们学过的数学知识来解释一下吗？
生：两点之间，线段最短
师：某某同学回答得非常准确，在这个情景里，把什么抽象成点，又把什么抽象成线段呢？
生：老师在门口站立的位置和在讲桌站立的位置抽象成点，所走的路程抽象成线段
师：现在老师想向第一排同学借一支笔，我应该像谁借最方便呢？
生：某某同学
师：为什么？生：垂线段Fra bibliotek短师：前面我们研究过“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，教师利用几何画板演示
问8：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
生：点在内部借助两次轴对称转变成点在外部
学生独立完成练习2，教师利用展台展示正确作图结果
3、课堂小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
播放“将军饮马”动画视频。
问1：你能将这个问题抽象为数学问题吗？这是一个实际问题，你打算首先做什么？
生：两个地方抽象为点，河流抽象为一条直线
问2：你能用自己的语言解释这个问题的意思吗？
生：尝试回答，互相补充
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题导学案(新版)新人教版-(新版)新
课题学习最短路径问题——轴对称在解决“最短路径问题”的应用一、新课导入1.导入课题：屏幕展示教材第85页问题1的文字和图标.2.学习目标：(1)能利用轴对称变换解决实际问题.(2)能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）3.学习重、难点：重点：路径极值问题的转换方法.难点：路径极值问题的说理证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第85页的问题1.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：经历“作图——探究——归纳——总结”过程，体验用轴对称的性质解决生活中的求最短距离问题的实质.(4)自学参考提纲：①轴对称具有什么性质？如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②思考：问题1中的情境问题可以转化怎样的几何问题？试作出几何图形来表示.③马从A到河边再到B的路径是一个折线，求折线的最小值，可联想到两点之间的距离，所以可将三个点转化到同一直线上.④如图，AC如何转化使A、C、B在同一直线上呢？作B点关于l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则A、C、B′在同一直线上.⑤按“两点之间线段最短”，A通过怎样的变换确定的C点保证变换后的A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上呢？作A点关于l的对称点A′，则A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上.2.自学：认真阅读教材第85页内容，参照自学参考提纲试着找出解决问题的办法.3.助学：(1)师助生：①明了学情：最短路径问题是轴对称知识在生活中的运用，寻找解题思路是个难点.②差异指导：先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，完成②，然后在②的基础上寻找解决③的办法及依据.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生明白此类题的作图方法.(2)练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图：P点即为该点.1.自学指导：(1)自学内容：教材第86页的问题2.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读课文，边看文字，对照图形，边体会教材上作图的方法和依据.(4)自学参考提纲：①回忆问题1是用什么办法解决最短路线问题的？作对称点.②问题2中点A、点B在河的两侧，而河岸存在两条直线，这个问题怎么解决？通过图形变化，转化为求一条直线两侧的点的最短距离.③由于河宽一定，要求AM+MN+NB最小，实际上就是要求AM+NB最小？④如何在直线b上确定一点N，使A′N=AM？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则A′N=AM.2.自学：学生结合自学参考提纲研学课文内容.3.助学：(1)师助生：①明了学情：问题2较问题1更复杂，本质上是一回事，注意了解学生的思维障碍.②差异指导：a.先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，然后引导学生思考如何将AM、NB转化到同一直线上.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生说明作图的思路、依据及方法.(2)完成教材第93页15题.解：过A作关于MN的对称点A′，过B作关于l的对称点B′，连接A′B′交MN于P，交l于Q点，连接AP、BQ.则A→P→Q→B就是所示的最短路径.(3)教材第87页“归纳”.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获有哪些？困惑在哪里？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.一、基础巩固（每题20分，共60分）1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.解:2.要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？试作图确定泵站并加以说明.解：如图，P处即为泵站的位置.3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.二、综合应用（20分）4.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图:作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.三、拓展延伸（20分）5.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
13.4 课题学习-最短路径问题人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．二、教学重难点重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”)2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC 最短，依据“垂线段最短”)3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.)4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长)教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备.【新知探究】知识点1牧人饮马问题[提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”.[提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？[提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.[学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C.[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;连接AB′,交直线l于点C.点C即为所求作的点.[提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC=AC +B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．[归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上.解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定教师根据“牧人饮马”模型解决最值问题的应符合的条件，在图中依次找到定直线、两定点、一动点.【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？知识点2造桥选址问题[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）[提出问题]这是一个实际问题，我们同样需要把它转化成数学问题来解决.经过了刚才我们对问题1的转化，你能将这个实际问题转化为数学问题吗？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地和造桥的起始两个位置看成点，把河岸看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：N 为直线b 上一点，且NM ⊥直线a 于点M ，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.此时，教师引导学生发现，桥的长度是不变的，进而可得到：问题转化二：由于河岸的宽度MN 是固定的，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出这两幅图有什么不同吗？（两条直线、一条直线）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：转化成了引例中的模型该折线即为最短路径[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；（3）过点N作NM⊥直线a于点M.点M和点N的位置即为造桥的位置.[提出问题]怎样证明造桥位置的正确性呢？在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB ＜AM′+M′N′+N′B.你能完成这个证明吗？[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，黄色的两条线段相等，A′、N、B在一条直线上.学生思考完毕，将解题过程写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，之后教师点名学生说出自己的答案，并纠错.[归纳总结]解决”造桥选址“问题的步骤：（1）一移；（2）二连；（3）三交；（4）四垂直.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.【课堂小结】【课堂训练】1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ D ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）3.(2021•天津二模)如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( D )A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD 的中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.5．（2021•江西模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．【解析】如图，连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13．6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D ′；（4）作DD′,EE′即为桥.8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．【变式】（2021•吉安模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE ＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 120° ．【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE=180°﹣120°＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°．【教学反思】本节课我通过引例（两点在直线的异侧）,让学生认识到找最短路径的根本是通过"两点之间,线段最短”找出解决问题的途径,接下来通过"牧人饮马”让学生带着兴趣进入教学。
八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。
这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。
但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。
六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。
2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。
3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。
2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。
通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。
13.4课题学习-最短路径问题 教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册
13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。
三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。
最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。
2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。
2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。
它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。
弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。
2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
人教版八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题备课资料教案新版
第十三章 13.4 最短路径问题
知识点：最短路径的选择
(1)当两点在某一条直线的两侧时 , 这两点的最短距离就是连结这两点的线段与直线
的交点就是最短路径的点 .
(2)当两点在某条直线的同侧时 , 这两点到直线上某一点的最短距离的作法 :
作随意一个点对于这条直线的对称点 , 尔后再连结对称点与另一点之间的线段 , 与直线的交点就是最短距离的点的地址 .
注意：在解决最短路径的问题时 , 我们平常利用平移、轴对称等变化把已知问题转变成
简单解决的问题 , 进而作出最短路径的选择 .
考点：解决本质生活中的最短路径问题
【例】如图 , 在河岸 l 的同侧有亚运村 A 和奥运村 B, 现计划在河畔修建一座小型休闲中心P, 使 P 到两村的距离之和最短 ; 另在河两岸架起一座桥 Q,使 Q与 A、B 两村的距离相等 , 试画出P、 Q所在的地址 .
解:如图.
(1)作点 B 对于直线 l 的对称点 B';
(2) 连结 AB', 交直线 l 于点 P, 则点 P就是所求的小型休闲中心的地址;
(3) 连结 AB;
(4)作线段 AB的垂直均分线 , 交直线 l 于点 Q,则点 Q就是所求的桥的地址 .
点拨 : 要使点 P 到两村的距离最短 , 可知点 P 必然是点 B 对于河岸 l 的对称点 B' 和点 A 的连线与河岸 l 的交点 ; 点 Q与 A、B 两村的距离相等 , 则表示点 Q在线段 AB的垂直均分线上 .。
新版新人教版2020年八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案
13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。
初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程l方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC ，这样问题就转化为“点P ，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小”． 问题5 造桥选址问题 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A 到B 的路径是AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？互相交流解题经验独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决力.提炼思想方法：轴对称，线段和最短体会转化思想，体验轴对称知识的应用AA B C P Q 山河岸大桥BlAB ′CC ′体验转化思想教学内容与教师活动学生活动设计意图三、巩固训练（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法，为课本例题奠定基础.ABBB村的距离相等，则应选择在哪建厂？B两村的水管最短，应建在什么地方？班举行文艺晚会，桌子摆成如图桌面上摆满了橘子，处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到图a 图b布置作业）本节课研究问题的基本过程是什么？）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？1、在最软入的时候，你会想起谁。
新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》公开课教学设计_1
课题学习13.4 路径最短问题【教学设计】1.知识目标:（1）两点在直线的两侧时，会在直线上找到最短路径的点；（2）“直线有宽度”时，会找到建桥的位置；(3)两点在直线的同侧时，会利用轴对称在直线上找到最短路径的点.（4）一个点在锐角或直角的内部时，能在角的两边上找到最短路径的点.2.情感目标：通过本节的课题学习，引导学生理论联系实际，让学生感受到“数学不是空洞的”，它无时无刻伴随着我们的生活和工作.学好数学既可以丰富我们的生活，将来在建设祖国的工作中还可以发挥具大的经济效益，节约成本，增加收益，创造财富，体现人生的价值.【思维方法】不论是作对称点还是建桥，都是充分体现了“化归思想”，化未知转为已知，化复杂为简单.【教学重点】（1）利用“两点之间，线段最短.”和“轴对称.”在直线上找到最短路径的点；（2）在实际建桥设计中，在河岸上准确找到合适的建桥位置. 【教学难点】（1）两点在直线的同旁时，怎样在直线上找到最短路径的点；（2）当河流有宽度时，怎样在河岸上找到建桥的位置.【教学准备】用《几何画板》制成完整的教学过程.13.4 路径最短问题活动一：通过学生课堂自学，完成知识准备. 1.知识准备：（1）两点之间，线段最短；（2）轴对称.2.引例：(1)如图1，平面上是否存在一点M,使MC+MD 最小？(2)如图2，直线AB 在C 、D 之间，在直线AB 上是否存在P,使PC+PD 最小？活动二：在老师的引导下，解决两个问题.问题1：如图3，两点C 、D 在直线AB 的同一旁，在直线AB 上是否存在一点P ，使PC+PD 最小？问题2：如图4，A 、B 两村庄被一条河的两岸隔开，现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？(假设河的两岸平行，桥与河岸垂直)活动三：巩固提高.例1.如图，小马在P 点，先到山坡OA 吃草，再到河边OB 喝水，最后回到P 点睡觉.请在OA ，OB 上分别找到M 、N 两点，使△PMN 的周长最小.练习：图1C D图2CDAB图31.如图，正方形ABCD 的边长为6cm,△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为( )cm.A 5B 6C 8D 12活动四：归纳小结. 1.知识归纳： （1）两点一线：两点分别在直线的异侧，连线和最小；有河宽，先合拢，再推开； 两点在直线的同侧，作对称点，连线和最小. （2）一点两线：分别向两边作对称点，连线和最小.2.方法归纳：既要学会添加辅助线解决问题，也要学会擦去多余的图形，保留种子模型. 作业：1.如图1，甲乙两个村庄在河岸的同侧，现在两个村庄商议，在河岸上共同修建一个水泵站，问水泵站建在何处，可使铺设的水管最短？2.如图2，A 、B 两村庄之间有两条平行河ab ，cd,现要在两条河上各修一座桥,桥修在何处可使从A 到B 的路径最短？(假设河的两岸平行，桥与河岸垂直)平测练习db ac 图2A'图1A B1.如图1，作出点A 关于直线m 的对称点A ’.2.如图2，A 、B 在直线m 的两侧，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小.3.如图3，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N,使△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A 130°B 120°C 110°D 100°图3图44.如图4，A 、B 在直线m 的同侧，在直线m 上找一点P ，使△PAB 的周长最小.5.如图5，在一条河的两岸有两个村庄A 、B ，现要在河上建一座与河岸垂直的桥，假设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A 到B 的路程最短？只要画出图形.6.如图6，∠AOB=30°，点P 为∠AOB 内的一点，OP=10,点M 、N 分别在OA 、OB 上，求△PMN 周长的最小值.图5 图6m图1Am 图2AB mAABO。
人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
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13.4课题学习最短路径问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
【过程与方法】
体会图形的变换在解决最值问题中的作用.
【情感、态度与价值观】
通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
【教学难点】
利用图形变换进行线段的转移.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由.
二、合作探究
探究点1三角形周长最短的问题
典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.
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[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.
理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,
根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.
探究点2坐标系中的将军饮马问题
典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.
(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.
[解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近.
(2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近.
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(3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求.
三、板书设计
最短路径问题
最短路径问题
◇教学反思◇
本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.
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