矩阵逆的性质
§3 逆矩阵
三、解矩阵方程
解矩阵方程 (1) AX = C , ( 2) XA = B , ( 3) AXB = C , 其中 A、B 均为可逆矩阵 .
矩阵方程
AX = B XA = B
AXB = C
解
X = A−1 B
X = BA−1
X = A−1 C B −1
3 2 1 − 5 例5 解矩阵方程 (1) ; X = 1 4 −1 4
−1 −1 −1
1 − 1 1 1 2 − 3 (2 ) X 1 1 0 = 2 0 4 2 1 1 0 − 1 5
1 −1 1 1 1 0 =1≠ 0 2 1 1
给方程两端右乘矩阵
1 − 1 1 1 1 0 , 2 1 1
解
d − b A = ad − bc ≠ 0, A = − c a .
*
1 d − b ∴A = . ad − bc − c a
−1
二阶矩阵的逆可以直接“看出来”
1 2 3 例3 (1) 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解 A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3
−1 T
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1 −1
另外, 当 A ≠ 0时
定义
A =E
0
A
−k
= ( A ) , k为整数
−1 k
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
(A )
λ µ
= Aλµ .
二、逆矩阵的求法
矩阵的广义逆的定义与性质
矩阵的广义逆的定义与性质矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念。
在实际应用中，经常遇到矩阵求逆运算的情况，但并不是所有的矩阵都存在逆矩阵。
广义逆的引入扩展了矩阵逆的概念，使得更多的矩阵问题得以解决。
1. 广义逆的定义对于任意一个矩阵A，如果存在一个矩阵X，使得AXA=A，那么称X是A的一个广义逆。
通常用符号A+表示矩阵A的广义逆。
注意到，当A存在逆矩阵时，A的广义逆即为它的逆矩阵。
但当A不存在逆矩阵时，仍然可以存在广义逆，用来解决求逆运算的问题。
2. 广义逆的性质（1）广义逆的基本性质如果X是矩阵A的一个广义逆，则满足以下性质：① XAX=X；② (AX)T=AX；③ (XA)T=XA；④ X和A的秩分别为r和k，则XAX和AXA的秩均为r。
（2）广义逆的存在性与唯一性矩阵A的广义逆存在的充要条件是A的列秩等于A的行秩。
此时A的广义逆是唯一的。
上述条件的证明比较复杂，可以简单地介绍一下：假设矩阵A的列秩为r，行秩为k，不失一般性地假设r<=k。
设A的一个秩为r的列子矩阵为B，满秩列子矩阵为C，则有C=BQ，其中Q为r*k的满秩子矩阵。
因为C的列向量线性无关，所以存在一个r*k矩阵Y，满足CY=I。
对于任意一个矩阵X，我们可以分解成两部分：X=XBC+X(1-BC)，其中X(1-BC)表示X中不在B和C的列向量。
由于C=BQ，我们有：XA=XBCA+X(1-BC)A，AX=AXB+AX(1-B)。
由于BCA和XB线性无关，所以XBCA+XB=0的充要条件是XBCA+XB=0。
同理可得AX(1-B)=0的充要条件是AX(1-B)=0。
因此，矩阵A的广义逆可以表示为：A+=C((BTA-1B)-1BT)+M，其中M是任意r*(n-r)矩阵。
（3）广义逆的计算求矩阵A的广义逆，一种简单的方法是使用Moore-Penrose广义逆公式：A+=(ATA)-1AT。
该公式的正确性可以通过验证性质①得到，即有XAX=X，因此X=(ATA)-1AT满足广义逆定义。
逆矩阵的三个基本公式
逆矩阵的三个基本公式逆矩阵是矩阵理论中重要的概念之一，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论逆矩阵的三个基本公式，包括逆矩阵的定义、逆矩阵的计算方法以及逆矩阵的性质。
1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B使得它们的乘积等于单位矩阵I，即 AB = BA = I，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵可以看作是原矩阵在矩阵乘法下的“倒数”。
2. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A要求其逆矩阵，有以下两个常用的计算方法：2.1 初等变换法（高斯-约旦消元法）通过对A做初等变换，将矩阵A化为n阶单位矩阵I，此时经过一系列初等变换得到的矩阵B 就是逆矩阵A^-1。
具体做法是将矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，然后利用行变换将矩阵A转化为单位阵I，此时变换后的单位阵就是逆矩阵。
2.2 公式法（伴随矩阵法）设A为一个可逆矩阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则逆矩阵A^-1可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵adj(A)的计算方法是，将A的元素的代数余子式组成的矩阵转置得到。
3. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 逆的逆仍为原矩阵如果矩阵A有逆矩阵A^-1，那么A^-1的逆矩阵是A，即(A^-1)^-1 = A。
3.2 乘积的逆等于逆的乘积对于可逆矩阵A和B，(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
简单来说，如果两个矩阵的乘积是可逆矩阵，那么它们的逆矩阵是分别取逆然后交换顺序。
3.3 逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵对于可逆矩阵A，(A.T)^-1 = (A^-1).T。
即逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵理论中具有重要的地位，它不仅可以帮助我们解决线性方程组的求解问题，还可以应用于矩阵的分解、特征值计算和矩阵的变换等许多领域。
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
逆矩阵的定义及性质
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E
大学线性代数：矩阵的逆
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例 设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可 令 矩 阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则 有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠
2.3逆矩阵
，
求(E B)
1
1
B ( E A) ( E A) ( E A ) B ( E A )( E A ) ( E A ) E A
1
( E A) B E A
B AB E A
(E B)
1
E A 2
A B AB E O
A AXBB
1 X 0 0
2.3
X A CB
0 3 1 5 0
2 1 0
1 1 2 0 1 1
2 2 3 1 2 1 5 2 1 0
16 6 1 4 11 2 3 1
0 0 1 0 2 3 例2：设 A 0 4 5 0 0 6
0 0 ，且 B ( E A ) 1 ( E A ) 0 7 用定理1的推论
运用推论1的证明方法。
将A-1+B-1表示成三个可逆矩阵相乘，运用逆矩阵的运算性质，不需求行列式。
2.3
本节求逆矩阵的解题方法（技巧）：
1、A=AE 2、E=AA-1
1与2一般一起使用
3、AB=E(BA=E)推出A=B-1或B=A-1（推论1）
4、逆矩阵运算性Βιβλιοθήκη 32.3 ( E B )( E A ) 2 E
(E B)
2.3
(E A) 2
E
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4
自学P56例7与例8
例3：设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且 (A*)-1=(A-1)*。 用定理1的推论 例4：设A为 3 3 矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=2， 求|A*|。 例5、设矩阵A、B、A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆， 并求其逆矩阵。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
第7讲 矩阵的逆
A 0
四 逆矩阵的性质
(1) 若A可逆， (A1)1A
AA1=I
(2) 若A可逆，数l0，则(lA )1l1·A1
证明 lA• l1A1 ll1 • AA1 I 所以: (lA )1l1A1
(3) 若A可逆，则 (AT )1(A1)T
证明 AT(A1)T (A1A)T ITI，
所以 (AT )1(A1)T
(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则 (AB )1B 1A1
证明 (AB)(B1A1) A(BB1)A1 AIA1AA1I
所以: (AB )1B 1A1 推论: (ABC)1C 1B 1A1
注意逆矩阵顺 序，和转置相
(ABCD)1D-1 C 1B 1A1
似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
1 1 1
13 20 31
3 1 5 2
2 1 10 4 10 4
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
练习 ：解矩阵方程 X XA B 其中
1 0 1
A
2 3
1 2
03
B
1 3
2 4
1 1
解： X XA B
有 XE XA B
(I-A)-1=I+A+A2+...+Ak-1
证明 (I A)(I A A2 ... Ak1) I A A2 ... Ak1 A A2 ... Ak I Ak I
所以 I-A 可逆,且
(I A)1 I A A2 ... Ak1
矩阵可逆的充要条件
A矩阵可逆
A矩阵可经有限次初等行
逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
1) 如果方阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的， A的逆用A-1来表示；
2） 可逆矩阵一定是方阵，并且其逆矩阵为同阶方阵； 3) A与B互为可逆矩阵，即A-1=B,同时B-1=A.
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第二章 矩阵的代数运算
2.6.1 逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
例 A diag(a1, a2 ,L an )其中 ai 0 (i 1, 2,..., n) 求A的逆？
线性代数
逆矩阵性质
性质1
如果n阶方阵A可逆，则其转置矩阵AT也可逆，并且
AT
1
A1
T
.
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质3
若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
矩阵逆的公式
矩阵逆的公式
摘要：
1.矩阵逆的定义与重要性
2.矩阵逆的计算方法
3.矩阵逆的性质与应用
正文：
矩阵逆是线性代数中的一个重要概念，它在许多科学领域和工程应用中都有着广泛的应用。
矩阵逆的定义是：若矩阵A 是可逆的，则存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵，矩阵B 就称为矩阵A 的逆矩阵。
矩阵逆的重要性体现在它可以帮助我们解决线性方程组，以及用于矩阵的变换和运算。
矩阵逆的计算方法有多种，其中最常见的是高斯消元法和求解线性方程组法。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将矩阵化为行最简形式，然后从最后一行开始向前推导，得到逆矩阵。
求解线性方程组法则是先求解线性方程组，然后根据矩阵的逆矩阵和解的关系得到逆矩阵。
矩阵逆具有一些重要的性质，如唯一性、对称性、正交性等。
唯一性指的是一个可逆矩阵只有一个逆矩阵；对称性是指矩阵的逆矩阵与其转置矩阵相等；正交性是指对于任意两个矩阵，它们的乘积的逆矩阵等于它们逆矩阵的乘积。
矩阵逆在实际应用中有很多重要的作用，如在求解线性方程组时，可以通过矩阵的逆矩阵直接求解；在矩阵变换和运算中，矩阵逆可以帮助我们将矩阵
变为简化的形式，从而简化计算。
此外，矩阵逆还在信号处理、图像处理、控制系统等领域有着广泛的应用。
总的来说，矩阵逆是一个重要的数学概念，它在理论研究和实际应用中都起着关键的作用。
1.5 逆矩阵
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例5. 若A, B, C是同阶矩阵, 且A可逆, 证明下列结论中(1), (3)成立, 举例说明(2), (4)不必然成立. (1)若AB=AC, 则B=C; (2)若AB=CB, 则A=C; (3)若AB=O, 则B=O; (4)若BC=O, 则B=O. 解: (2)设
A=1 0 2 , B = 1 1 , C = 3 1 1 0 1 0 , 1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
逆矩阵的性质 (1)若A可逆, 则A−1也可逆, 且(A−1)−1=A. (2)两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵, 且 (AB)−1=B−1A−1. (3)可逆矩阵A的转置矩阵AT是可逆矩阵, 且 −1=(A−1 (AT )− = − )T . 这是因为 AT(A−1)T=(A−1A)T=ET =E, 所以 (AT )−1=(A−1)T .
0
C W
= Y 0
BX + DW = E , BZ + DY = O , ⇒ CW = O , CY = E .
. E X = B −1 , −1 Y =C , ⇒ Z = − B −1 DC −1 , W = O.
因此
1 0 1 1 0 0 1 0 0 −5 / 2 1 −1/ 2 5 −1 1 → 0 1 − 2 −2 1 0 → 0 1 0 0 0 2 7 − 2 1 0 0 2 7 −2 1
于是
1 0 0 −5 / 2 1 −1/ 2 5 −1 1 , → 0 1 0 0 0 1 7 / 2 −1 1/ 2 −5 / 2 1 −1/ 2 A−1 = 5 −1 1 . 7 / 2 −1 1/ 2
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ−１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B−1 A−1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，…，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２…Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２…Ａｍ）−１＝（Ａｍ）−１…（Ａ２）−１（Ａ１）−１.2、若A可逆，则A−1也可逆，且（A−1）−1=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）−1=1λA−1；4、若A可逆，则A T也可逆，且（A T）−1=（A−1）T；5、(A′)−1=(A−1)′；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ−１。
例１、求矩阵Ａ＝(２２３１−１０−１２１)的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ−１存在设Ａ−１＝(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)，由定义知Ａ−１Ａ＝Ｅ，∴(２２３１−１０−１２１)(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)＝(100010001)由矩阵乘法得(２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１−ｘ２１ｘ１２−ｘ２２ｘ１２−ｘ２３−ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１−ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２−ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３)＝(100 010 001)由矩阵相乘可解得{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝−１；{ｘ１２＝−４ｘ２２＝−５ｘ３２＝６；{ｘ１３＝−３ｘ２３＝−３ｘ３３＝４故A−1=(1−4−3 1−5−3−164)㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ−１＝１|Ａ|Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。
线性代数,可逆矩阵
B A1 , A B 1
说明: 当A,B均为n 阶方阵时 (1)如果 AB E ,指出矩阵 A 是可逆的 并且逆矩阵为 A1 B.
(2) 指出求逆矩阵的一种方法
? ) E A( B 2 例 已知 An , A E , 求 A1 .
解
A2 E ,
A1 A
0 0 1 6 3 7 6
五、小节
逆矩阵的概念
逆矩阵的性质
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的定义
An Bn Bn An E ,
定理1 一个矩阵A的逆矩阵是唯一的. 定理2 对于n 阶方阵A、B 若 AB E (或 BA E ), 则 B A1 .
逆矩阵的求法
1
A 2E 且 (A E) 2
1
例6
设方阵A满足 A2 A 2 E 0 , 证明:
A, A 2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明 由 A2 A 2 E 0, 又由
A(1 A E ) 2 E
得 A A E 2E
A2 A 2 E 0
二阶可逆矩阵的逆矩阵
具有规律：
A 1
6 4 5 4
2 4 1 4
若是分块对角阵
Ai
可逆
1 1
A diag(1 , 2 ,n )
1
其中
A 1 A
A1 A O
1 1
0 0 3 1 , 求 A 1 . 2 1 0 A1 O , 1 O A2 1
1 2
A1 5,
3 1 A2 , 2 1
1 A ; 5
2.3逆矩阵
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
ab矩阵互逆
ab矩阵互逆矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的互逆性质更是研究矩阵的关键。
本文将以ab矩阵互逆为主题，详细介绍矩阵的互逆性质及其应用。
一、矩阵的定义和性质矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数或复数。
矩阵由行和列组成，分别称为矩阵的行数和列数。
矩阵乘法是矩阵运算的一种基本操作，它遵循结合律和分配律。
二、矩阵的逆矩阵的逆是矩阵理论中的一个重要概念，它是指对于一个方阵A，存在一个方阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘等于单位矩阵I。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，否则称为奇异矩阵。
三、ab矩阵互逆的定义ab矩阵互逆是指两个矩阵a和b互为逆矩阵，即矩阵a与矩阵b相乘等于单位矩阵I，同时矩阵b与矩阵a相乘也等于单位矩阵I。
在这种情况下，矩阵a和矩阵b都是可逆矩阵。
四、ab矩阵互逆的性质1. 两个矩阵a和b互为逆矩阵，当且仅当它们的乘积等于单位矩阵I。
2. 互逆矩阵的逆矩阵仍然是它本身。
3. 互逆矩阵的转置矩阵也是互逆矩阵。
五、ab矩阵互逆的应用1. 线性方程组的求解：对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，那么可以通过矩阵的逆来求解方程组，即x=A^(-1)b。
其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵。
2. 矩阵的相似性：如果两个矩阵A和B互为逆矩阵，那么它们的特征值和特征向量相同，它们在线性代数中被认为是相似的。
3. 线性变换的逆变换：在线性代数中，线性变换是指保持向量加法和标量乘法的运算规则的变换。
如果一个线性变换有逆变换，那么它的矩阵表示就是可逆矩阵。
六、ab矩阵互逆的求解方法1. 利用矩阵的定义和性质，可以通过初等行变换、伴随矩阵、伪逆矩阵等方法求解矩阵的逆。
2. 利用行列式的性质，可以通过求矩阵的伴随矩阵和行列式的倒数得到矩阵的逆。
3. 利用矩阵的分块求逆法，可以将矩阵拆分为多个子矩阵，然后通过求解子矩阵的逆得到整个矩阵的逆。
七、总结本文以ab矩阵互逆为主题，详细介绍了矩阵的定义和性质，矩阵的逆以及ab矩阵互逆的定义和性质。
第三节 逆矩阵
a11
N a21
an1
矩阵多项式 ( ) 书本第15页
设A是n阶方阵, f (x) an xn an1xn1 L a1x a0 是多项式，f ( A) an An an1An1 L a1A a0En
性质： f (A)g(A) g(A) f (A).
2.4 线性方程组的逆矩阵解法
第三节 逆矩阵
一、背景
1、数 在数的运算中，当数α≠０时，有
aa1 a1a 1,
则 a1 称1为 的a倒数， （或称为 a的逆）；
a
2、矩阵 在矩阵的运算中，单位阵Ｅ相当于数的
乘法运算中的１。 那么，对于矩阵Ａ，如果存在另
一个矩阵 B, 使得 AB BA E,
则矩阵Ａ称为的可逆矩阵， B 称为A的逆阵.
c
2a
即
x
d 2b ad-bc
y
c 2a ad-bc
3、逆矩阵的运算规 （设 A 均B 是 阶律n可逆方阵）
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明 若设 B和 是C 可A逆矩阵， 则有
AB BA E, AC CA E, 于是 B EB (CA)B C( AB) CE C 所以 A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1 .
例1
设
A
2 1
1
0
,求
A的逆.
解
设
a
B
c
b
d
AB BA E
B
0 1
1 2
则
2
1
1a
证明 AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,
逆矩阵的定义及性质
求矩阵 X ，使满足 AXB C . 1 1 1 A A B 存在，则用 左乘上式， 解 若 ， B 1 右乘上式，
有
A1 AXBB1 A1 ( AXB) B1 A1CB1
即 X A CB ． 由例1知，A 可逆，且
5 0 8 1 A 3 1 6 2 0 3
3 6 3 8 A12 3, A22 1, 2 5 2 5
A13 3 2 1 0 2, A23 3 0 2 0
3 8 A32 6 3 6
3 0 3 1 3
0, A33
• 有
5 0 8 * A 3 1 6 2 0 3
• 逆矩阵的定义及性质 • 定义9 设 A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ， 使 AB BA E ，则称方阵 A 可逆，B 为 A 的 逆矩阵． • 若 A 可逆，则 A 的逆矩阵是惟一的． • 可逆矩阵的性质： • (1) 若 A 可逆，则其逆阵 A 1也可逆，且
T A A • （2）若 可逆，则 也可逆，且
• 所以
A
1
5 0 8 5 0 8 1 * 1 A 3 1 6 3 1 6 1 A 2 2 0 3 0 3
• 例2 设
0 8 3 1 3 2 1 A 3 1 6 , B 5 3 , C 2 0 2 0 5 3 1
1 1
又因 B 1 0， B 也可逆，且
B
1
3 1 5 2
• 所以
X A CB
1 1
5 0 8 1 3 3 1 3 1 6 2 0 5 2 2 0 3 3 1