追及相遇计算题专题训练

直线运动计算题专题训练
一、多过程问题：
1．如图所示，一辆汽车(视为质点)在一水平直路面ABC上运动，AB的长度为x1＝25 m，BC的长度为x2＝97 m。

汽车从A点由静止启动，在AB段做加速度大小为a1＝2.0 m/s2的匀加速直线运动。

在BC段，先做加速度大小为a2＝1.0 m/s2的匀加速直线运动。

当运动到离C点适当距离处，再以大小为a3＝2.0 m/s2的加速度做匀减速直线运动，汽车恰好停在C点。

求：
(1)汽车达到的最大速度v m和开始减速时离C点的距离d；
(2)汽车从A点运动到C点所用的时间t。

解析：(1)由x1＝1
2a1t1
2和v B2＝2a1x1可得
汽车在AB段运动时间t1＝2x1
a1＝5 s，到达B点时的速度v B＝2a1x1＝10 m/s
设汽车在BC段之间由B到D时加速行驶，距离为d′，有v m2－v B2＝2a2d′
由D到C时减速行驶，距离为d，有0－v m2＝－2a3d，且d′＋d＝x2，解得汽车的最大速度v m＝14 m/s
开始减速时汽车离C点的距离d＝v m2
2a3＝49 m。

(2)由B到D，汽车加速行驶，由v m＝v B＋a2t2得：
行驶时间t2＝v m－v B
a2＝4 s，由D到C，汽车减速行驶直到静止，由0＝v m－a3t3得：行
驶时间t3＝v m
a3＝7 s，
故汽车从A点运动到C点所用的时间
t＝t1＋t2＋t3＝16 s。

2.随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显，分析交通违法
事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．如图所示为某型号货车紧
急制动时(假设做匀减速直线运动)的v2-x图象(v为货车的速度，x为制
动距离)，其中图线1为满载时符合安全要求的制动图象，图线2为严
重超载时的制动图象．某路段限速72 km/h，是根据该型号货车满载时安全制动时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以54 km/h的速度行驶．通过计算求解：
(1)驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求；
(2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s，则该型号货车满载时以72 km/h速度正常行驶的跟车距离至少应为多远．
解析：(1)根据速度位移公式v2－v20＝2ax，有v2＝2ax＋v20，图线斜率的一半表示加速度；
根据题中图象得到：满载时，加速度为a1＝5 m/s2，严重超载时加速度为a2＝2.5 m/s2；
设该型号货车满载时以72 km/h(20 m/s)的速度减速，
制动距离x1＝v2
2a1＝
400
2×5m＝40 m，
制动时间为t1＝v
a1＝
20
5s＝4 s；
设该型号货车严重超载时以54 km/h(15 m/s)的速度减速，
制动距离x2＝v′2
2a2＝
152
2×2.5m＝45 m>x1，
制动时间为t2＝v′
a2＝
15
2.5s＝6 s>t1；
所以驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离均不符合安全要求．
(2)货车在反应时间内做匀速直线运动x3＝vt3＝20×1 m＝20 m，
跟车距离最小值x＝v2
2a1＋x3＝40 m＋20 m＝60 m.
二、追及相遇问题
A与B相距Δs，A追上B：sA＝sB＋Δs；如果A、B相向运动，相遇时：sA＋sB＝Δs。

1.不同的图像斜率的物理意义不同，如x-t图像的斜率表示速度，而v-t图像的斜率表示加速度。

2．不同的图像，图线与t轴所围面积的物理意义不同，如v-t图线与t轴所围面积表示质点的位移，而a-t图线与t轴所围面积表示质点速度的变化量。

3．解题中常用到的二级结论：
(1)匀减速追匀速：恰能追上或追不上的关键：v匀＝v匀减。

(2)v0＝0的匀加速追匀速：v匀＝v匀加时，两物体的间距最大。

(3)同时同地出发两物体相遇：时间相等，位移相等。

匀速追匀减速
3.A、B两车在同一直线上向右匀速运动,B车在A车前,A车的速度大小为v1=8 m/s,B 车的速度大小为v2=20 m/s,如图Z1-13所示.当A、B两车相距x0=28 m时,B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动),加速度大小为a=2 m/s2,从此时开始计时.
(1)A车追上B车之前,求两者相距的最大距离;
(2)求A车追上B车所用的时间;
(3)从安全行驶的角度考虑,为避免两车相撞,在题设条件下,求A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度.
图Z1-13
3.(1)64 m(2)16 s(3)0.25 m/s2
[解析] (1)当A、B两车速度相等时相距最远,有
v1=v2-at1
解得t1=6 s
根据位移公式得
xA=v1t1=48 m
xB=v2t1-a=84 m
故Δxm=xB+x0-xA=64 m
(2)B车从刹车到停止运动所用时间t0==10 s
对B车,有x'B==100 m
对A车,有x'A=v1t0=80 m
由于x'A<x0+x'B,所以此时A车并未追上B车,而是在B车停止后才追上,之后A车运动时间为
t2==6 s
故所求时间为t=t0+t2=16 s
(3)A车刹车减速至0且刚好追上B车时,加速度最小,有+x0=
解得aA=0.25 m/s2
匀速追匀加速
4.如图Z1-12甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示.已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=12 m.
(1)求B车运动的速度大小vB和A车的加速度大小a;
(2)若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时(t=0)两车的距离s0应满足什么条件?
图Z1-12
答案.(1)12 m/s 3 m/s2(2)s0>36 m
[解析] (1)在t1=1 s时A车刚启动,第1 s内两车间缩短的距离x1=vBt1
解得B车的速度vB=12 m/s
A车的加速度大小a== m/s2=3 m/s2
(2)两车的速度相等时,两车的距离达到最小,对应于v-t图像的t2=5 s时刻,此时两车已发生的相对位移为梯形的面积,则
Δx=vB(t1+t2)=×12×(1+5) m=36 m
因此,若A、B两车不会相撞,则两车的距离s0应满足条件:s0>36 m
5.某高速公路的同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车的速度大小分别为v1=40 m/s和v2=25 m/s,轿车在与货车距离s0=22 m时才发现前方有货车,若此时轿车只是立即刹车,则轿车要经过s=160 m才停下来.(两车可视为质点)
(1)若轿车刹车时货车以速度v2匀速行驶,通过计算分析两车是否会相撞.若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从轿车发现货车开始到撞上货车的时间。

(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号,货车司机经过t0=2 s收到信号并立即以a2=2.5 m/s2的加速度加速前进,通过计算分析两车会不会相撞.若不会相撞，则两车的最小距离为多少？
答案.(1)会相撞(2)不会相撞
[解析] (1)由=2a1s
解得轿车刹车时加速度大小为a1==5 m/s2
两车速度相等时,有v1-a1t1=v2
解得t1==3 s
此时轿车前进的距离s1=t1=97.5 m
货车前进的距离s2=v2t1=75 m
因为s1-s2=22.5 m>s0,故两车会相撞.
(2)设经过时间t后,两车的速度相等,则
v1-a1t=v2+a2(t-t0)
解得t= s
此时轿车前进的距离s'1=v1t- m
货车前进的距离s'2=v2t+a2(t-t0)2= m
因为s'1-s'2=21.7 m<s0,故两车不会相撞.
6．(2018届湖北八校联考)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲
车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？
解析：(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1＝v2甲－v20
2a甲
＝91 m
x2＝x0＋x1＝100 m
即甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车．
(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得v乙－a乙(t－t0)＝v 甲－a甲t，解得t＝8 s
相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s<6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为
x3＝v乙t0＋v2乙－v20
2a乙
＝157 m
所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x3－x1＝66 m. 答案：(1)100 m(2)66 m。