九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版

比例线段知识要点本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比.①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.②比例线段中的相关概念已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.如果m nn p，比例外项是；比例内项是；比例中项是。

①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0)＝b2＝ac(bc≠0)②合比性质：＝＝③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0)则＝4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点.1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。

2.画出黄金分割图，并用表达式表示。

典型例题例1已知3∶x＝8∶y，求例2已知＝，求.例3若＝，求例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.练习一、填空题1.若4x=5y,则x∶y＝ .2.若＝＝，则∶ ＝ .3.已知＝，则的值为 .4.已知＝，那么＝ .5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .7.若＝，那么＝ .8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm.10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm；a、c的比例中项x＝ cm.二、选择题1.已知x＝＝＝，则x的值是( )A.-B.1C.-1D.2.P在线段AB上，AP2＝AB·PB，若PB＝4，那么AP为( )A. +1B. +2C.2 +2D.2+13.把ab＝cd，写成比例式，不正确的是( )A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝4.如果四条线段a、b、c、d构成＝，m＞0，那么推出下面的结论中，正确的个数是( )① ＝；② ＝；③ ＝；④ ＝5.已知线段a＝3，b=6,c＝4，那么下面说法正确的是( )A.线段a、b、c的第四比例项是a+bB.线段a、b、c的第四比例项是(2a+3b) 2a是线段b和c的比例中项6.已知M是线段AB延长线上一点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM等于( )A.3∶2B.2∶3C.3∶5D.5∶27.一个三角形三边之比为2∶3∶4，则这个三角形三边上的高的比是( )A.2∶3∶4B.6∶4∶3C.4∶3∶2D.4∶9∶168.已知菱形ABCD，∠A＝60°，则＝( )A. B.1∶ C.1+D.( +1)∶2三、解答题1.已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且＝，如果AB＝6cm，AC ＝，求AD和BD的长.2.一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°，另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°，计算每一个三角形三边长度之比.3.已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.4.已知a∶b＝c∶d，求证：ab+cd为a2+c2及b2+d2的比例中项.5.已知：＝ ＝ ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证： ＝ ＝3.四、把长为7cm 的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段的长为 .五、在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼右地面的影长为10m ，同时高为1m 的测杆的影长为50cm ，那么教学楼的高是多少米?六、已知A 、B 、C 在同一直线上，若AB∶BC＝2∶3，P 为直线外一点，求的比.2．成比例线段 （课作）1．若线段AB=0.1, CD=0.75, 则AB ∶CD=；若AB=1m, CD=25cm ，则AB ∶CD=；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD=.2．若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN=, MN=PQ, PQ=MN. 3．如图，C 是线段AB 的中点，D 在BC 上，且AB=24cm ，BD=5cm, 则AC ∶CB=；AC ∶AB=；BC ∶BD=；CD ∶AB=；AD ∶CD=.4．若ab=cd ，则有a ∶d=；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y=. 5． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= .6．若a=2cm ，b=8cm, 则a, b, b-a 的第四比例项为；（a+b ）,（b-a ）的比例中项为.7．若x ∶（x+1）=7∶9，则x=；若b b a +=38，则b a =. 8．若5a=3b ，则b a =，ba b a +-3=. D A9．已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是；若在此地图册上量得A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是.10．正方形ABCD 的对角线相交于点O ，有下列式子：AB ∶BC=AD ∶DC ； AB ∶AC=AD ∶DB ；OA ∶OB=OD ∶OC ；OA ∶AD=AB ∶AC. 其中正确的式子有个.11．下列语句正确的有（ ）A 、已知线段a ∶b=2∶3，则a ，b 的长度一定是2和3；B 、四条线段a ，b ，c ，d ，不管各线段的位置如何，只要满足ad=bc ，则a ，b ，c ，d 一定是成比例线段；C 、若a ，b ，c ，d 是实数，且ad=bc ，则一定推出a ∶b=c ∶d ；D 、所有的矩形都相似，正方形都相似★12．已知b a =43，c b =53，则a ∶b ∶c 等于（ ） A. 3∶4∶∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶2013．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.①a=3m, b=5m, c=, d=② a=30mm, b=2cm, c=54cm, d=12mm③★ 14．已知有三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.2．成比例线段 （家作）1．在比例尺为1∶200000的某某市交通图上，人民广场与日月潭之间的距离约为10厘米，则它们之间的实际距离约为千米.2．P 是线段AB 上一点，且PB AP =52，则PB AB =，AB=AP.3．等腰梯形的两腰之比是，直角三角形斜边上的中线与斜边之比是，线段的垂直平分线上的一点到线段两端点的距离之比是.4． 若d 是5，-8，-3的第四比例项，则d=；若b 是5，15的比例中项，则b=. 若a=3cm ，a, b 的比例中项是9cm ，则b=cm.5．若b ∶4=a ∶3, 则a ∶b=；若3∶x=2∶6, 则x=；6．若（x+y ）∶y=4∶3, 且x+y=8, 则x=, y=.7．若4x=5y ，则yy x +=.8．已知2x=3y=4z ，则x : y :z 为（ ）A. 2 :3: 4B. 4: 3 :2C. 7 :6 :5D. 6 :4 :39．已知三角形的三边长的比是4：5：6，则它们对应高的比是（ ）A. 4:5:6B. 5:4:6C. 6:5:4D.15:12:1010. 判断下列各组长度的线段是否成比例？（1）a=6cm,b=0.12m,c=10cm,d=5cm (2) a=7cm,b=4cm, c=d=27cm11. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,3a =4b =5c , 求a,b,c 的长.12. 已知a b a -=32，求ba b a +-34的值.13. 已知x ∶y=3∶5, y ∶z=2∶3, 求⑴x: y :z ⑵（x+y-z ）∶（2x-y+z ）的值.★ 14. 若x ∶（y+z ）= y ∶（x+z ）= z ∶（x+y ）= k, 求k 的值.24.2.1 成比例线段【知能点分类训练】知能点1 成比例线段1．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a，b，c，d四条线段成比例，则d=_______．2．若2a=3b，则（a-b）：（a+b）的值是________．3．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：4，则AP：AB=_____，AB：PB=_______．4．求下列各式中的x:（1）3：x=6：x；（2）5：2=（3-x）：x知能点2 比例的性质5．若4,5a b ab b-=则=______．6．如果a=15cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=________．7．若4,7a c a cb d b d+==+则=________．8．已知4________,3m m n mn n m n+==-,则=_________.9．已知a：b：c=2：3：5，则222________,a b c a b ca ab ac bc+++-=+-=________．10．已知（a-b）：b=2：3，则a：b=_______，a ba b-+=__________．11．已知实数x，y，z满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x：y：z=________．【综合应用提高】12．设实数x，y，z使│x-2y│+（3x-z）2=0成立，求x，y，z的值．13．已知b c a c a b ca b c a b+++=+=,求的值．14．已知P是线段AB上一点，且AP：PB=3：5，求AB：PB的值．15．设x=a b cb c a c a b=+++=，求x的值．【开放探索创新】16．已知：2，3这三个数，请你添加一个数，写出一个比例式．【中考真题实战】17．（某某）若85a bb+=，则ab=______．18．（某某）已知5,7a c a cb d b d+==+则（b+d≠0）的值等于（）．A．35105 (77714)B C D19．（某某）在比例尺为1：2 700 000的某某地图上量得某某与某某间的距离约为8cm，则某某与某某两城间的实际距离为________km．答案:1．1522．1：5 3：1：5 5：4 4．（1）x=4 （2）x=695.756．c=203cm 点拨：线段不能是负数．7．4748.731或49．5 -12 点拨：设一份为x，则a=2x，b=3x，c=5x，代入式中求解．10．51 3411．1：（-5）：（-4）点拨：可把原式列为方程组，用x 为表示y 和z ，可得y=-5x ，z=•-4x ， ∴x ：y ：z=1：（-5）：（-4）．12．解：由题意20,30,30.x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩∴x=0，y=0，z=0．13．解：设当a+b+c ≠0时，b c a +=a c b +=a b c +=k ． 则b c a+=k ⇒b+c=ak ， a c b+=k ⇒a+c=bk ， a b c+=k ⇒a+b=ck ， ∴2（a+b+c ）=（a+b+c ）k ，∴k=2，∴a+b=2c ，即c a b +=12． 当a+b+c=0时，a+b=-c ， ∴c a b+=-1． 14．AB ：PB=8：515．解：当a+b+c ≠0时，a=（b+c ）x ，b=（a+c ）x ，c=（a+b ）x ，∴（a+b+c ）=2（a+b+c ）x ，∴x=12． 当a+b+c=0时，x=-1．16．如2等． 17．3518．B 19．216答案：一、1.5∶4 2. 3. 4. 5.12 6.5∶3 7. 8.9.24 10.3 4三、1.12cm、12cm 2.1∶ ∶21∶1∶ 3.x∶y＝ 4.∵a∶b＝c∶d，∴ad＝bc，此时(a2+c2)(b2+d2)＝a2b2+a2d2+c2b2+c2d2＝a2b2+a2b2c2+c2d2(ab+cd)2＝a2b2+2abcd+c2d2=a2b2+2b2c2+c2d2即：(ab+cd)2=(a2+c2)(b2+d2)5.提示：a=3b c=3d e＝3f，代入得证.四、(cm)五、20m六、2∶3。