麦克斯韦亥姆霍兹方程

大气分子的吸收

(2.1-8)
式中s为界面面电荷密度。
1，1，1
Hale Waihona Puke EtEn2，2，2
图1 界面上电场的法向和切向分量
在光学波段经常遇到的情况是s等于零，这时，界面两侧的切向分量以及的法向分量均连续。
§2 光波在大气中的传播
大气激光通信、探测等技术应用通常以大气为信道。由于大气构成成分的复杂性以及收受天气等因素影响的不稳定性，光波在大气中传播时，大气气体分子及气溶胶的吸收和散散射会引起的光束能量衰减，空气折射率不均匀会引起的光波的振幅和相位起伏；当光波功率足够大、持续时间极短时，非线性效应也会影响光束的特性，因此有必要研究激光大气传播特性。
(2.1-7)
五、电磁场的边界条件
在光电子技术的许多实际应用中，经常涉及在两种或多种物理性质不同的介质交界面（在该处ε 、μ 发生突变）处光辐射场量之间的关系。这时，求解麦克斯韦方程需要考虑边界条件。
如图1所示，光辐射场的边界条件可以直接由麦克斯韦方程推得：
D1n D2 n s E1t E 2 t 0
一、大气衰减
激光辐射在大气中传播时，部分光辐射能量被吸收而转变为其他形式的能量（如热能等）部分能量被散射而偏离原来的传播方向（即辐射能量空间重新分配）。吸收和散射的总效果使传输光辐射强度的衰减。
dI/I=(I-I)/I= dl
为大气衰减系，在应用中，衰减系
I
dl
I
数常用单位为（1/km）或（dB/km），二者之间的换算关系为：
可改写为：
2
2 ~ E(r ) 0 r E(r ) 0
此方程平面波解的一般形式为
i (t k r 0 ) E(r , t ) E0e

亥姆赫兹方程

亥姆赫兹方程亥姆赫兹方程是电磁场学中的重要方程之一，描述了电磁场的传播和变化规律。

它是由德国物理学家亥姆赫兹基于麦克斯韦方程组发展而来的，被广泛应用于电磁学、天线理论、电波传播等领域。

亥姆赫兹方程是由两个部分组成的，分别是电场的旋度与时间的变化率成正比，以及磁场的旋度与时间的变化率成反比。

这两个部分分别表示了电场和磁场的相互作用和变化规律。

我们来看电场的旋度与时间的变化率成正比的部分。

根据亥姆赫兹方程，电场的旋度与时间的变化率成正比，这意味着电场的变化率越大，旋度也就越大。

电场的旋度表示了电场的环流性质，即电场围绕某一点的环流强弱。

当电场的变化率很大时，电场的环流也会很强，反之亦然。

这说明了电场的变化率与电场的环流性质之间存在密切的联系。

接下来，我们来看磁场的旋度与时间的变化率成反比的部分。

根据亥姆赫兹方程，磁场的旋度与时间的变化率成反比，即磁场的变化率越大，旋度越小。

磁场的旋度表示了磁场的环流性质，与电场类似。

但不同的是，磁场的变化率越大，磁场的环流越弱。

这说明了磁场的变化率与磁场的环流性质之间存在着反向的关系。

亥姆赫兹方程的解决了电磁场传播的问题。

根据亥姆赫兹方程，电场和磁场的变化率与它们的环流性质相关，从而决定了电磁场的传播方式和规律。

当电场和磁场的变化率较小时，电磁场的传播方式较为稳定；而当电场和磁场的变化率较大时，电磁场的传播方式则会产生明显的变化。

这也是为什么高频电磁场的传播方式与低频电磁场有所不同的原因。

亥姆赫兹方程在电磁学中有着广泛的应用。

例如，它被用于天线理论中，用来描述电磁波在空间中的传播和辐射特性。

通过求解亥姆赫兹方程，可以得到电磁波的幅度、相位和传播方向等重要参数。

这对于设计和优化天线的性能具有重要意义。

亥姆赫兹方程还被应用于电波传播领域。

在无线通信中，电磁波的传播特性对于信号的强度和质量有着重要影响。

通过求解亥姆赫兹方程，可以预测电磁波在不同环境中的传播损耗和传播路径，从而进行无线网络规划和优化。

由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程

由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组：\nabla \cdot \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho\nabla \cdot \mathrm{B} = 0\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}其中，- \mathrm{E} 表示电场强度；- \mathrm{B} 表示磁场强度；- \rho 表示电荷密度；- \mathrm{J} 表示电流密度；- \epsilon_0 表示真空介电常数；- \mu_0 表示真空磁导率。

根据法拉第电磁感应定律，有\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}将其代入第四个式子中，得\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}对两个式子分别取旋度，得\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathrm{B} \nabla \times (\nabla \times \mathrm{B}) = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})根据矢量恒等式\nabla \times (\nabla \times \mathrm{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathrm{A}) - \nabla^2 \mathrm{A}得到\nabla(\nabla \cdot \mathrm{E}) - \nabla^2 \mathrm{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) \nabla(\nabla \cdot \mathrm{B}) - \nabla^2 \mathrm{B} = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E}) 由于磁场无源，即 \nabla \cdot \mathrm{B} = 0，因此第二个式子可以简化为\nabla^2 \mathrm{B} = - \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})对第一个式子取散度，得\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) 将第一个式子和上式代入第二个式子中，得到\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} + \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times\mathrm{J})因为电荷守恒方程为 \nabla \cdot \mathrm{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}，所以上式可以进一步化简为\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \frac{\partial^2 \mathrm{J}}{\partial t^2} 这就是亥姆霍兹方程。

光波的亥姆霍兹方程在多数情况下

式中, 0 和 0 是真空中的介电常数和磁导率，已知
0 8.8542 10 12 c2 / N m2
0 4 10 7 N S 2 / c2
所以， c 2.99794 108 m / s
这个数值与实验中测得的真空中的光速非常接近,这又证明了麦克斯韦理论的正确性。
~ E

Eeikr
全解为
~ E(r,t )

Eei ( kr t )
(1－18) (1－19)
式中 k kk0 k0—— 光波传播方向上的单位矢量；
r ——光源至空间某点的矢量。
k 称之为波矢量。
（1－19）式为单色平面波在各向同性均匀介质中传播时的电场矢量的解析表达式。
2、单色球面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式

四、单色光波在各向同性均匀介质中自由传播时的振幅表达式
单色光波的波动方程（1－15）式和（1－16）式形式完全相同，在这里只研究电场强度的 E~ 波方程动. E~
称为电场复矢量（简称电场矢量），又称为复振幅。
1 单色平面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
解微分方程（1－15）式，得
二、物质方程
在麦克斯韦方程组中, E和B是电磁场的本
征物理量，D和H 是引进的两个辅助场量。
E和D,B和H的关系与电磁场所在物质的性
质有关。它们有如下关系：

D~ E~
(1---2)
B~ H~
(1---3)
式中 : 和分别称为介电常数（或电容率）和磁导率.
另外，在导电物质中还有如下关系：
于无限大的各向同性均匀介质，在远离辐射源的区域内，
常数 , 常数， 0， 0麦克斯韦方程组变为：

混合物电导率麦克斯韦

混合物电导率麦克斯韦
混合物的电导率可以通过麦克斯韦方程来描述。

麦克斯韦方程是描述电磁场行为的一组方程，包括麦克斯韦-安培定律、法
拉第电磁感应定律、麦克斯韦-高斯定律和麦克斯韦-亥姆霍兹
方程。

混合物的电导率是指混合物中的电荷在外电场下的移动性，通常用电导率（σ）来表示。

电导率与物质中的自由电离子浓度
和电离子的迁移率有关。

对于一个混合物而言，其电导率可以通过以下公式计算：
σ = ∑(ni * zi * μi)
其中，ni表示第i个离子的浓度，zi表示第i个离子的电荷数，μi表示第i个离子的迁移率。

通过对所有离子进行求和，可以
得到混合物的总电导率。

需要注意的是，混合物中可能包含各种离子和分子，每个离子和分子的浓度和迁移率都可能不同，所以计算混合物电导率时需要考虑到所有成分的贡献。

实际计算中，可以通过实验测量电导率来确定混合物的电导率值，或者通过离子和分子的性质来估算电导率。

不同混合物的电导率数值和特性也会有所差异。

光纤光学2-1

S(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
根据光线理论的几何光学近似条件，有
，则
——光程函数方程
若已知折射率分布，可由上述方程求出光程函数S，则可确定光线的轨迹。
8 刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程
射线方程的推导
n（2）射线方程（光线方程）
由光程函数方程可推得光线方程：
物理意义： • 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; • 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; • dr/dS=cosθ,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播 ; 对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,这表明光线将发生弯曲。 • 可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。
e＝e0n2
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续： E1t＝E2t; H1t＝H2t; B1n＝B2n; D1n＝D2n
5 刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程
分离变量：电矢量与磁矢量分离
n
得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：波动方程
光线总是向折射率高的区域弯曲
n由光线方程可以证明下列关系式成立：
课后作业题：证明上式。提示：
12 刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程
典型光线传播轨迹
13
刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程
§2.4 波导场方程
分离变量：空间坐标纵横分离：
n
前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波”，场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；
纵模

绝对原创 Maxvell麦克斯韦方程组总结

5
E .d l
s
B .dS 6 t

B 0 7
v

D
s
dV
8
1 和 5 是修正后的麦克斯韦方程，表明电流和时变电场都可以激发磁场。2 和 6 是法拉第电磁感应定律，表明时变磁场产生电场。这 4 个公式是麦克斯韦方程的核心，说明时变电场和时变磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在空间形成电磁波。
利用哈密顿微分算子，可以证明，散度运算符合以下： A B A B 斯定理）
矢量场 A 的散度代表的是其通量的体密度，矢量场 A 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量，即

A dS S
A dl
l

它将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分，将矢量 A 的线积分转换为该矢量旋度的面积分。
六．亥姆霍兹定理
散度表示矢量场中各点场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与漩涡源的关系。故场的散度和旋度一确定，则通量源和漩涡元也就是确定的。既然场是由源激发的，通量源和漩涡源的确定便意味着场也确定，则亥姆霍兹定律成立。亥姆霍兹定律的简答表达是：若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一有界函数的梯度和一个矢量的旋度之和，即：

s 0
A dl lim
l
s
此极限值的意义是环量的面密度，称为环路强度。为此引入如下定义，称为矢量场 A 的旋度，记为 rotA;
l A dl max rotA n lim s 0 S

《电动力学》公式推导荟萃

1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。

************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。

注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。

3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。

亥姆霍兹方程

, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球心的距离成反比当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称为平面波如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)

光波的亥姆霍兹方程在多数情况下

~ E

Eeikr
全解为
~ E(r,t )

Eei ( kr t )
(1－18) (1－19)
式中 k kk0 k0—— 光波传播方向上的单位矢量；
r ——光源至空间某点的矢量。
k 称之为波矢量。
（1－19）式为单色平面波在各向同性均匀介质中传播时的电场矢量的解析表达式。
2、单色球面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
除磁性物质外，大多数物质 r 1 ，
故 n r
（1－12）
三、光波的亥姆霍兹方程
在多数情况下，电磁波的激发源以大致确定的频率作正弦
振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这种以一定频率作正弦振荡的波称为定态波（单色波）。单
色光波为定态波，则；

~ E(r，t)

E~(r)e i
ts2
R p rp 2
Tp

n2 cos I2 n1 cos I1
tp2
（1－40）
根据能量守衡定律，应有
RS TS 1 RP TP 1
对于自然光
1 R 2 (RS RP );
同样根据能量守恒定律，有
RT 1
（1－41）
1 T 2 (TS TP )
（1－42）
任意点，r在分界面上是任意的。
E2s
由边值条件（1－27）式中的第三式，
n
~ E1

E~1
~ n E2
（1－29）
图 1-1
将（1－28）式中各项代入上式，并根据 1 1 2，得
k1 r k1 r k2 r
即
(k1 k1) r 0

光纤通信第5章-光纤波导-模式与场

2、分离变量
令
(x, y, z) (x, y)eiz
代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0

————即光纤中的波导场方程
其中：横向拉普拉斯算符
t2

2

2 z 2
光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为零级，临界传播角模式级别最高；
横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
（2）旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
1、模式数量：光纤的结构参数决定了光纤中允许存
在的导模数量。

M

g （2 g
Байду номын сангаас2）V
2
其中g为折射率分布参数
光纤的结构参数由归一化频率V表征：
V

2 0
a
n12 n22 k0an1
2
V越大，允许存在的导模数就越多。模式数量与光纤直径和数值孔径成正比，和波长成反比。
3．简谐时变场的波动方程— —亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。

麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程

麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程是电磁学中的两个重要方程。

麦克斯韦方程描述了电磁场的行为和相互作用，而亥姆霍兹方程则描述了电磁波的传播和态度的变化。

这两个方程在电磁学领域的研究中有着广泛的应用和影响。

麦克斯韦方程由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中期首先发现，并在之后的研究中不断完善。

麦克斯韦方程分为四个部分，分别描述了电场和磁场的产生、变化和相互作用。

其中，高斯定理描述了电荷对电场的产生和作用，法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的变化和作用，安培环路定理描述了电场对磁场的变化和作用，而麦克斯韦方程的最后一部分描述了电磁场对电荷的行为和相互作用。

亥姆霍兹方程是以德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹的名字命名的，它描述了电场和磁场波的传播和态度的变化。

亥姆霍兹方程描述了电场和磁场在空间中的传播，并且可以得到它们的速度、波长和能量等重要参数。

亥姆霍兹方程的形式具有旋转不变性，因此它是研究电磁波行为的基本工具。

麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程在现代科学技术中应用广泛。

随着科学技术的快速发展，人们对电磁场的研究和应用也在不断升级。

电磁波
的应用包括通讯、雷达、医学、能源和交通等领域。

在这些应用中，
麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程被广泛应用和改进。

总之，麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程是电磁学领域最基本的公式，它
们描述了电磁场的行为和相互作用，以及电磁波的传播和态度的变化。

这两个方程在现代科学技术的应用中发挥着重要的作用。

电磁波波动方程——亥姆霍兹方程

我的笔记：电磁波波动方程——亥姆霍兹方程
数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！ December 18, 2012
在没有电荷及电流分布的自由空间（或均匀介质）中电场和磁场满足的的麦克斯韦方程组为： ⃗ ∂B , ∂t ⃗ ⃗ = ∂D , ∇×H ∂t ⃗ = 0, ∇·D ⃗ = 0. ∇·B ⃗ =− ∇×E (1a) (1b) (1c) (1d)
(4)
⃗ 满足的椭圆形偏微分方程结合(2)及(4)，我们可以一个E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E ⃗ ∂E = 0. ∂t2 (5)
⃗ 满足的方程又可以写为注意到ϵ0 µ0 = 1/c2 ，c为光速，E ⃗− ∇2 E ⃗ 1 ∂E = 0. c2 ∂t2 (6)
2
介质情况
Hale Waihona Puke ⃗ = ϵ0 E ⃗ +P ⃗ ，其中P ⃗ 为电极化强在介质中电位移矢量与电场强度满足关系D ⃗ = µ0 H ⃗ 依然成立。此时(2)从度矢量。同时我们假设介质的磁化不明显，B 新写为 ( ) ) ∂ ( ⃗ ⃗ ∇× ∇×E =− ∇×B ∂t ) ∂ ( ⃗ ∇×H = −µ0 ∂t (7) ⃗ ∂ 2D = −µ0 2 ∂t ⃗ ⃗ ∂ 2E ∂2P = −ϵ0 µ0 2 − µ0 2 . ∂t ∂t ⃗ 满足的微分方程为结合(6)及(4) 我们得到介质中E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E 或者写为 ⃗− ∇2 E ⃗ ⃗ ∂2P 1 ∂E = µ . 0 c2 ∂t2 ∂t2 (9) ⃗ ⃗ ∂E ∂ 2P = µ . 0 ∂t2 ∂t2 (8)
2
1
真空情况
⃗ = ϵ0 E ⃗ ,B ⃗ = µ0 H ⃗ 。取(1a)式的旋度，同时考在真空情况下，我们有D 虑(1b)式， ( ) 2⃗ ⃗ =−∂ ∇×B ⃗ = −µ0 ϵ0 ∂ E . ∇× ∇×E (2) ∂t ∂t2 利用相关的矢量分析知识 ( ) ( ) ⃗ ⃗ =∇ ∇·E ⃗ − ∇2 E, (3) ∇× ∇×E ⃗ = 0, (3)简化为考虑限制条件∇ · E ( ) ⃗ ⃗ = −∇2 E. ∇× ∇×E 1

亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程(Helmholtz equation)是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。

亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。

因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。

如:电磁场中的
▽^2 E+k^2 E=0，
▽^2 H+k^2 H=0，
称为齐次亥姆霍兹方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。

此时，根据麦克斯韦方程组，有:
▽×E=iωB ①
▽×B=-iωμεE+σμE ②亥姆霍兹对①式两边求旋度，再代入②式，便可求得亥姆霍兹方程。

其中:k^2=μω^2(ε+iσ/ω) 为波数，当忽略传导电流时(忽略②中σμE项)，k^2=μεω^2;以上^2为平方。

相关书籍数学上具有(▽2+k2)ψ=f形式的双曲型偏微分方程。

式中▽2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为;ψ为待求函数;k2为常数;f为源函数。

当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。

在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。

大学物理二第二篇麦克斯韦方程组

r R 0.05m
2 dt
§2 麦克斯韦方程组
一积分形式
静电场
D0 dS Qi
S i
E0 dl 0
L
稳恒磁场
B0 dS 0
S
H0 dl Ii
L
i
涡旋电场
D/ dS 0
S E / dl
B
dS
L
S t
“位移磁场”
B/ dS 0
S
（1）Z轴上各点 = 0或，E=H=0
（2）XY平面上 = /2
Eo
2 po 4 oc2r
Ho
o E o
~
pe
Z u
H
r E
pe
Y
X
Eo、Ho 最大
E(r
)
2 po sin 4 oc2r
cos (t
r) c
辐射强度
S
1 2
Eo Ho
产生电场的原因
产生磁场的原因
1、电荷
2、变化的磁场 1、电流
? 2、变化的电场
麦克斯韦理论肯定了这一点！
§1 位移电流
一安培环路定理失效
稳恒磁场
H dl Ii
L
i
I（t） S2 S1
非稳恒时
R H dl ?
L
0 S1 I(t) S2
任意时刻空间每一点的磁场都
是确定的，对于确定的回路积
H / dl
L
S
D t
dS
I
D
二两类场同时存在
D D0 D/ B B0 B/
E E0 E/
H H0 H /
D dS Qi
B dS 0
S

电动力学中的麦克斯韦方程组

电动力学中的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组在电动力学中占据着重要的地位，它们是描述电磁现象的基本方程。

本文将详细介绍麦克斯韦方程组的各个方程及其物理意义，以及其在电动力学中的应用。

麦克斯韦方程组是由四个基本方程组成，分别是麦克斯韦-亥姆霍兹方程、高斯定理、法拉第电磁感应定律和安培定理。

这四个方程统一了电场和磁场的描述，并揭示了它们之间相互作用的规律。

麦克斯韦-亥姆霍兹方程是麦克斯韦方程组的核心方程之一，它表达了电场和磁场的传播规律。

具体而言，麦克斯韦-亥姆霍兹方程将电场的旋度和磁场的变化率联系到彼此，描述了它们在空间中的传播和相互转换。

麦克斯韦方程组的第二个方程是高斯定理，它描述了电场和磁场的起源和分布对电荷和磁荷的影响。

该定理表明，电场或磁场通过一个封闭曲面的通量与该曲面内的电荷或磁荷成正比。

法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组的第三个方程，它描述了磁场的变化对电场的影响以及电场的变化对磁场的影响。

法拉第电磁感应定律表明，磁场的变化率引起感应电场的产生，而电场的变化率引起感应磁场的产生。

麦克斯韦方程组的最后一个方程是安培定理，它描述了电场的旋度和电流的关系。

安培定理指出，电场的旋度与通过一个闭合回路的电流成正比，从而揭示了电场和电流之间的相互作用。

麦克斯韦方程组不仅仅是电动力学的基础，也广泛应用于其他领域，如无线通信、光学和天体物理学等。

在无线通信中，麦克斯韦方程组被用于描述电磁波的传输和接收，实现信息的传递。

在光学中，麦克斯韦方程组被应用于描述光的传播和干涉，研究光学现象。

在天体物理学中，麦克斯韦方程组被用于研究电磁辐射和引力的相互作用，揭示宇宙的奥秘。

总之，麦克斯韦方程组是电动力学中的基本方程，它们描述了电场和磁场的相互作用规律，揭示了电磁现象的本质。

这些方程不仅仅在电动力学中具有重要的应用，还被广泛应用于其他领域，推动了科学和技术的发展。

通过深入理解和应用麦克斯韦方程组，我们可以更好地理解和掌握电磁现象，推动科学的进步和技术的创新。

麦克斯韦方程组和电磁波

1 w = ( DE + B H ) 2
b. 单位体积的场的质量：（电磁场不为零）
w 1 m = 2 = 2 ( DE + BH ) c 2c
c. 对于平面电磁波，单位体积的电磁场的动量 p 和能量密度 w间的关系是：
w p= c
2. 场物质与实物物质的不同
a. 电磁场以波的形式在空间传播，而以粒子 (光子)的形式和实物相互作用。光子没有静止质量，而电子、质子、中子等基本粒子却具有静止质量。
运动
电流激发磁场
变化变化
5. 麦克斯韦电磁场理论的局限性
（1）麦克斯韦方程可用于高速领域。
（ 2 ）麦克斯韦电磁理论在微观区域里不完全适用，它可以看作是量子电动力学在某些特殊条件下的近似规律。
四、电磁场的物质性
1. 电磁场具有实物物质的基本特性: 能量,质量和动量
a. 电磁场的电磁能量密度为:
(
)
(
)
(*1) (*2)
r r r r 2 2 ∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇ E = −∇ E
r r ∇⋅D ∇⋅E = =0 ε0
(
) (
)
令c=
r 比较 (*1) 和 (*2) 得电场 E 的偏微分方程 : r r 2 2 r r ∂ E 1 ∂ E 2 2 ∇ E − µ 0ε 0 2 = 0 ⇒∇ E− 2 =0 2 ∂t c ∂t r 同理得到磁场B的偏微分方程 : r r 2 r 2 1 ∂ B r 2 ∂ B 2 ⇒∇ B− 2 2 =0 ∇ B − µ 0ε 0 2 = 0 c ∂t ∂t
小结：
实物和场都是物质存在的形式，它们分别从不同方面反映了客观真实。同一实物可以反映出场和粒子两个方面的特性。

光强和振幅的公式推导

光强和振幅的公式推导光的强度和振幅是描述光波特性的重要参数。

以下是光强和振幅的公式推导：首先，我们从电磁波的基本方程出发。

电磁波的传播可以用麦克斯韦方程组来描述，其中包括麦克斯韦方程的四个基本方程。

1.法拉第电磁感应定律：根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场会产生感应电场。

在一个匀强磁场中，磁感应强度B保持不变，那么感应电场E的大小与时间的关系为：∂B/∂t=-∇×E2.安培环路定理：根据安培环路定理，磁场的变化率等于电场沿着闭合路径的环路积分除以空气中的磁导率μ0。

∮B·dl=μ0I3.麦克斯韦-亥姆霍兹方程：将安培环路定理代入法拉第电磁感应定律中，并忽略非静态情况下的电场变化，则有：∇^2E-(1/c^2)∂^2E/∂t^2=04.平面电磁波的传播：假设电磁波在真空中传播，即没有任何介质的影响，我们可以得到平面电磁波的解。

平面电磁波的解可以表示为：E(x,t)=E0sin(kx-ωt)其中，E0是电场振幅，k是波矢量，ω是角频率。

现在，我们来推导光强和振幅的公式。

光强是单位面积上通过的光功率，可以用电场的能量密度和传播速度来描述。

光的能量密度与电场的振幅的平方成正比，传播速度即光速c。

1.光强（I）的公式推导：光强可以定义为单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积上的光功率。

光功率可以用能量密度乘以传播速度来表示：P=(1/2)ε0c|E|^2其中，ε0是真空中的介电常数。

考虑到光的传播速度为光速c，则光强可以表示为：I=P/A=(1/2)ε0c|E|^2/A其中，A是单位面积。

2.振幅（E0）的公式推导：我们知道，光的振幅（E0）表示电场的最大值。

根据上述平面电磁波的解，电场可以表示为：E(x,t)=E0sin(kx-ωt)将其取绝对值，我们得到电场振幅（|E|）的表达式：|E|=|E0sin(kx-ωt)|=|E0|因此，光的振幅就是电场振幅（E0）的值。

通过以上推导，我们得到了光强（I）和振幅（E0）的公式。