平面截正方体所得截面
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 25 立体几何中的截面问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）一、截面问题的理论依据(1)确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、截面问题的基本思路1.定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。
可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点一、知识点梳理方法：两点成线相交法或者平行法特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF （这类型的关键）；2.“第三点”是在外棱上，如C 1，注意：此时合格C 1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.四、正方体中的基本截面类型【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A ．直角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【分析】二、题型精讲精练根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC ．【典例2】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【典例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.连接,,,,AE EG GHHF FA ，易证因为4AB =，所以BE CE =中点，若平面α截三棱锥A BCD -和球O 所得的截面面积分别为1S ，2S ，则12S S =（）A ．8πB ．16πC ．38πD ．364π【题型训练-刷模拟】1.截面形状问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BB BC ==，点P ，Q ，T 分别在棱1BB ，1CC 和AB 上，且13B P BP =，13CQ C Q =，3BT AT =，则平面PQT 截长方体所得的截面形状为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，过点B 的平面α与直线1AC 垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形5．（2023·河南·模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AD ，11C D 的中点，过M ，N ，1B 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面形状为（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．不确定2.求截面的面积一、单选题A ．23B ．4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥ABC 被球O 截得的截面面积为A ．1B ．5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球E 在线段BA 上，3BA BE =A ．8π3B ．2π6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球在底面的射影为底面中心）的外接球，得截面面积的最小值是（A．π68．（2023·四川成都·校联考模拟预测）点F为棱AV上一点，二、填空题16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台为棱11B C的中点，当正四棱台的体积最大时，平面17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的动点，过点,,A P Q的平面截该正方体所得的截面记为题的编号）①当12CQ=时，S为等腰梯形；②当34CQ=时，S与11C D的交点③当314CQ<<时，S为六边形；3.求截面的周长一、单选题A．3225+B．22．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）AA的中点，则平面E是侧棱1A．32252++C．3252++3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体点，若点P∈平面α，且AC+B．A．35225．（2023·全国·高三专题练习）在正方体棱A D''的四等分点（靠近点A．9225+B．42A．2+25B7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体BC的中点，则平面1D EFA．6B二、填空题10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱棱1BB 、11AC 的中点，若过点11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为中点，则过线段AG 且平行于平面4.圆柱、圆锥、球的截面问题一、单选题1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（A ．8B ．2．（2023·广西·统考模拟预测）表面积为16π，O 到圆锥底面圆的距离为A ．6πB ．3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为A ．43π3C ．83π3．．．．2023秋·陕西西安高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（A．①②B．①③C．①④D．①⑤7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为π-A．448．（2023·全国·高三专题练习）B，C，D在圆锥底面上，A．22A ．2πB 10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体足平面BDE ⊥平面1A BDA ．136πB 的最大值为（二、填空题18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为柱体积的最大值为19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为个动点，绕着底面圆周转，则20．（2023·重庆·统考模拟预测）底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥面ABCD是等腰梯形，AD点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为22．（2023春·重庆万州·==，面上，PA PB PC平面截球O所得截面面积的最小值是【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）一、截面问题的理论依据(1)确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、截面问题的基本思路1.定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷 (302)
一、单选题1. “升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（）（精确到）A．B．C．D．2. 已知集合，1，2，，，，，则的子集个数A ．4B ．6C ．8D ．163. 已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足，则=A．B．C ．D．4.直线均不在平面内，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.则其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45.已知函数的图像相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数在上的最大值为（ ）A ．4B．C．D ．26.要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．8. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为线段上一个动点，则下列说法不正确的是（ ）二、多选题A ．存在点，使直线平面B ．存在点，使平面平面C ．三棱锥的体积为定值D ．平面截正方体所得截面的最大面积为9. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）A．B．C．D．10. 已知为虚数单位，复数，则的虚部为（ ）A．B．C．D．11. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．12.已知双曲线的左右焦点分别为，M 是双曲线C 左支上一点，且，点关于点M 对称的点在y 轴上，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（ ）A．B．C．D．14. 设，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）A ．1B．C．D ．215.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为A ．B．C．D．16. 已知集合，，则集合中必有的元素是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．617.若函数则（ ）A．的最小正周期为10B ．的图象关于点对称C ．在上有最小值D．的图象关于直线对称18. 复数，其中，设在复平面内对应点为，则下列说法正确的是（ ）A ．点在第一象限B．点在第二象限C．点在直线上D ．的最大值为19. 如图，已知点G为的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，，，记，，四边形BDEC 的面积分别为，，，则（）A．B．C．D．20. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）A ．点的纵坐标的取值范围是B ．等于点到抛物线的准线的距离C ．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2D．周长的取值范围是21. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）A ．如果θ是第一或第四象限角，那么B ．如果，那么θ是第一或第四象限角C ．终边在x轴上的角的集合为D ．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为222.设函数满足：①；②；③．当时，函数与函数交点的横坐标从左到右依次构成数列，则下列结论正确的是（ ）A ．函数的值域为B ．函数是偶函数C．对任意的，，数列的前项和D ．当，时，满足的的最小值为1723.若函数对任意的，都有，则（ ）A．的一个零点为B ．在区间上单调递减C．是偶函数D ．的一条对称轴为24. 小李经营的个体店在2020年各月份的收入和支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的有（ ）2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷三、填空题四、解答题A ．月支出最高值与月支出最低值的比是6:1B ．1至2月份的支出的变化率与3至4月份的收入的变化率相同C ．利润最大的月份是2月份和9月份D ．第三季度平均月利润为2000元25. 已知A 为双曲线的左顶点，F 为双曲线C 的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P （点P 在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.26. 已知（其中i为虚数单位），则___________；27. 已知向量，若，则实数______.28.若，则的最小值为_____．29. 已知圆内接四边形ABCD 中，，，，，则_________．30. 已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．31. 若为内一点，则__________．32. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是___________.33. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.34. 已知，求下列各式的值(1)；(2)五、解答题35.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.36. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.37. 化简：．38.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值39. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计该班级的平均分．40. 已知函数f （x）＝（1）在图中画出函数f （x）的大致图象；（2）写出函数f （x ）的最大值和单调递减区间．41. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.(1)求第三组的频率；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.42. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间人数1038321073(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．43. 年月日，电影《长津湖》在各大影院.上映，并获得一致好评.该片是以长津湖战役为背景，讲述了一个中国志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为长津湖战役胜利作出重要贡献的感人的历史故事.某同学看完电影后以抗美援朝时期的历史为内容制作了一份知识问卷，并邀请了该校名同学（男女各一半）参与了问卷的知识竞赛，将得分情况统计如下表：得分性别男生女生将比赛成绩超过分的考生视为对抗美援朝的历史了解.(1)从这名同学中随机抽选一人，求该位同学对抗美援朝的历史了解的频率；(2)能否有的把握认为对抗美援朝的历史了解与性别有关?附：，44. 已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面．六、解答题(1)作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；(2)求与该截面所在平面所成角的正弦值．（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）45. 已知实数，函数，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)求证：存在极值点，并求的最小值.46.如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面．47.如图在四棱锥中，底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知，，，E 是PB 中点.(1)求证：平面ACE ；(2)求四面体的体积.48.已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .(1)求椭圆的方程；(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.49. 已知函数过定点，函数的定义域为.（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；（Ⅲ）解不等式.50. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是矩形，底面ABCD，，且直线PD 与底面ABCD所成的角为．七、解答题(1)求证：平面平面PAC ；(2)求点C 到平面PBD 的距离．51. 某大型企业响应政府“节能环保，还人民一个蔚蓝的天空”的号召，对生产过程进行了节能降耗的环保技术改造.下表提供了技术改造后生产甲产品过程中记录的产量与相应的生产能耗标准煤的几组对照数据：123453681013(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（参考公式：，）(2)已知该企业技术改造前生产甲产品耗能为标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产甲产品的耗能比技术改造前降低多少标准煤？52. 为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？53. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买.（1）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；（2）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X 的数学期望；（3）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，共售出了730瓶，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损(每瓶的成本是2元).54. 某理财公司有两种理财产品A 和B ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A 投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率产品B 投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p q注：p ＞0，q ＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A 和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p 的取值范围；八、解答题（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？55. 射击比赛是群众喜闻乐见的运动形式之一，甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如下表所示：甲9106968乙510107106(1)分别求出甲、乙运动员6次射击打出的环数的平均数；(2)分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的发挥更稳定．56. 随着科技的进步，人民生活水平的提高，汽车业也迅猛的发展，居民更换汽车成了一件平常事，这也促进了二手车行业，某汽车交易网络平台对2020年在此平台成交的十万辆二手车使用年数进行了分析，随机抽取其中一千辆二手车的数据统计得到频率分布直方图.（1）求出这一千辆二手车使用年数的中位数：（2）通过这一千辆二手车的散点图，发现满足线性回归方程，表示二手车的使用时间(单位：年)，表示相应的二手车的交易价格(单位：万元/辆)，现知道的平均数为7，该汽车网络平台分别对使用0~5年，5~10年，10~15年，15~20年的二手车收取交易价格的2%，4%，6%，8%的佣金，求由2020年该平台售出的十万辆二手车，获取的佣金收入的均值.(在频率分布直方图中，以各组的中点值代表该组的取值)57.已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，若，求的值．58.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足.(1)求B ；(2)若的周长为6，，求的面积.59. 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列具有性质.（1）已知数列，，具有性质，求实数的取值范围；（2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”.60.已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.61. 如图，三棱台中，是的中点，E是棱上的动点．(1)试确定点E的位置，使平面；(2)已知平面．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最小值．62. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定从部门的11人中随机选派5人到相关单位进行宣讲，其中部门可选派的人数分别为．(1)求选派的5人中恰有1人来自部门的概率；(2)选派的5人中来自部门的人数分别为，记，求的分布列和数学期望．注.。
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
专题5 立体几何压轴小题(原卷版)
专题5 立体几何压轴小题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·全国·高三专题练习）直角ABC 中，2AB =，1BC =，D 是斜边AC 上的一动点，沿BD 将ABD △翻折到A BD '，使二面角A BD C '--为直二面角，当线段A C '的长度最小时，四面体A BCD '的外接球的表面积为（ ） A ．134πB ．143πC ．133πD ．125π3．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（ ）AB ．1C D 4．（2022·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（ ）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+5．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点M 在侧面11BCC B 上运动（包括边界），且12MB MB =，则1D M 与平面11ADD A 所成角的正切值的取值范围为（ ）A．⎡⎣B．⎤⎥⎣⎦ C．⎤⎥⎣⎦D．⎡⎣6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=8．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且6PA PB PC ===，M ､N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最小值为（ ）A．3 B．6 C．6- D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱BC 的中点，直线l 在平面1111D C B A 内．若二面角A l E --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）AB ．1121C D ．3510．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台111BCD B C D -中，1CC ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，12BC CD CC ===，111B C =．若A 是BD 中点，点P 在侧面11BDD B 内，则直线1DC 与AP 夹角的正弦值的最小值是（ ）A ．16B C D11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1||||5DP PB +=+1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为（ ） （参考数据：43sin53,sin37)55︒=︒=A ．[37︒，53]︒B ．[37︒，90]︒C ．[53︒，90]︒D ．[37︒，127]︒12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（ ）A B C D 13．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 是正方体ABCD A B C D ''''-上底面A B C D ''''上的一个动点，记面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，若αβ>，则下列叙述正确的是（ ） A ．APC BPD ∠>∠B ．APC BPD ∠<∠C ．{}{}max ,max ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠ D ．{}{}min ,min ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠14．（2022·全国·高三专题练习）如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（ ）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小 D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大17．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题18．（2022·福建泉州·模拟预测）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的球面上，11122,AB A B AA ==E 为1BDC 内部（含边界）的动点，则（ ）A ．1//AA 平面1BDCB ．球O 的表面积为6πC ．1EA EA +的最小值为D ．AE 与平面1BDC 所成角的最大值为60°19．（2022·河北衡水·高三阶段练习）在四棱锥P ABCD -中，已知1AB BD AD ===，BC CD ==PA PB PC PD ====） A ．四边形ABCD 内接于一个圆B ．四棱锥P ABCD -C ．四棱锥P ABCD -外接球的球心在四棱锥P ABCD -的内部 D ．四棱锥P ABCD -外接球的半径为71220．（2022·浙江·高三开学考试）如图，在ABC 中，AB AC =，BAC θ∠=，AB α⊂，设点C 在α上的射影为C '，将ABC 绕边AB 任意转动，则有（ ）A ．若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='B ．若θ为直角，则在转动过程中存在位置使12BC A BCA ∠∠='C ．若105θ=，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'D ．若120θ=，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'21．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．12μ=时，11A P ED ⊥ B ．14λ=时，1B P PD +C ．1λμ+=时，直线1A P 与面11BDE 的交点轨迹长度为2D ．1λμ+=时，正方体被平面1PAD 截的图形最大面积是22．（2022·福建省福州屏东中学高三开学考试）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 为空间中一点．下列论述正确的是（ ）A ．若112AP AD =，则异面直线BP 与1C D B ．若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．若[]()110,12BP BC BB λλ=+∈，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB PD ．若[]()10,1AP AD λλ=∈，则异面直线BP 和1C D 所成角取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．BD =B ．三棱锥'A BCD -C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒24．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则（ ）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为1a ⎛ ⎝⎭C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为(212π4aD ．勒洛四面体的体积33V ⎫∈⎪⎪⎝⎭25．（2022·湖南·模拟预测）已知边长为2的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，连接AC ，BD ，设点O 为AC 的中点，点D 在平面ABC 上的投影为'D ，二面角D AC B --的大小为θ.下列说法正确的是（ ）A ．在翻折过程中，点'D 是直线OB 上的一个动点 B ．在翻折过程中，直线AD ，BC 不可能相互垂直 C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -D ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大值为426．（2022·湖南怀化·一模）如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为2⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的三等分点27．（2022·河北·模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =D 为棱1CC 上的动点，则（ ）A ．三棱锥D ABC -B ．存在点D ，使得平面1A BD ⊥平面11ABB AC ．A 到平面1A BDD ．1A BD 28．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，各棱长均为2，π3ABC ∠=，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1A ABC -外接球的体积为27B ．异面直线1AB 与1BCC ．当点M 在棱1BB 上运动时，1MD MA +最小值为D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 到直线1AA 与BC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线 29．（2022·广东·三模）在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1||DP A P +D ．当1λ=时，正方体经过点1A ､P ､C 的截面面积的取值范围为 30．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（ ）A ．平面α⊥平面11AB EB ．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C ．当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8D ．存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π331．（2022·河北唐山·二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1A ，B ，C 到α1，2，则（ ）A ．BC ∥平面αB ．平面1A AC ⊥平面αC ．直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D ．正方体的棱长为32．（2022·江苏南通·模拟预测）设正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则（ ） A ．存在点P ，使得A 1P ∥平面11B CDB ．当PC PD ⊥时，|A 1P |2的最小值是10-C ．若1APC 的面积为1，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分 D ．若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，则动点P 的轨迹围成图形的面积为π 33．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥A BCD -各顶点均在表面积为20π的球体表面上，2,120AB CB ABC ∠===，90BCD ∠=，则（ ）A ．若CD AB ⊥，则2CD = B ．若2CD =，则CD AB ⊥C ．线段AD D ．三棱锥A BCD -34．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合）．下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P －ABD 的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C ．异面直线P A 与BC 的距离为定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面P AB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为(2534π35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点PB ．若保持||PM =M 在侧面内运动路径的长度为3π C ．三棱锥1B C MD -的体积最大值为16D ．若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为抛物线36．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为侧面11BCC B （不含边界）内的动点，Q 为线段1A C 上的动点，若直线1A P 与11A B 的夹角为45，则下列说法正确的是（ ）A．线段1A PB 1A Q PQ +的最小值为1C ．对任意点P ，总存在点Q ，便得1⊥D Q CPD ．存在点P ，使得直线1A P 与平面11ADD A 所成的角为60°37．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 为圆台12O O 下底面圆2O 上的一点，S 为上底面圆1O 上一点，且11SO =，12OO 22O A =，则下列说法正确的有（ ） A ．直线SA 与直线12O O 所成角最小值为6πB ．直线SA 与直线12O O 所成角最大值为3πCD ．直线1AO 与平面12SO O 38．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11D AC P -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是[]30,90︒︒D ．直线1C P 与平面11AC D 三、填空题39．（2022·湖南·高三开学考试）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥P ABC -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为___________.40．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，若1ABA △绕1A B 旋转一周，则在旋转过程中，三棱锥1A BDC -的体积的取值范围为______．41．（2022·新疆·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 、N 分别为棱1AA 、11A D 的中点，P 为棱11A B 上的动点，Q 为线段11B D 的中点.则下列结论中正确序号为______.⊥MN CP ⊥；⊥//AQ 平面MNP ；⊥PDQ ∠的余弦值的取值范围是⎣⎦；⊥⊥1APC 周长的最小值为42．（2022·山东聊城·一模）在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，1,2AD AB ==，将ADE 沿DE 折起得到A DE '，设A C '的中点为M ，若将A DE '绕DE 旋转90，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为___________.43．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体表面上运动，且满足MP CN ⊥，点P 轨迹的长度是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知等边ABC 的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，将AMN 沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为________.45．（2022·河南·高三开学考试（理））如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD '△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．46．（2022·湖北·黄冈中学二模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，点P 沿正方形ABCD 按ABCDA 的方向作匀速运动，点Q 沿正方形11B C CB 按111B C CBB 的方向以同样的速度作匀速运动，且点,P Q 分别从点A 与点1B 同时出发，则PQ 的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.47．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．⊥当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；⊥当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；⊥当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形；⊥直线MN 与平面ABCD ⊥若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN ．48．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面SCD ⊥底面ABCD ，SAB △是边长为2的等边三角形，点,P Q 分别为侧棱,SA SB 上的动点，记s DP PQ QC =++，则s 的最小值的取值范围是_________.四、双空题49．（2022·全国·高三专题练习（文））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图⊥是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图⊥中的实线图形，两段曲线是椭圆22219x y a+=的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则2a =__________；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为__________50．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.____________. 51．（2022·全国·高三专题练习）斜线OA 与平面α成15°角，斜足为O ，A '为A 在α内的射影，B 为OA的中点，l 是α内过点O 的动直线，若l 上存在点1P ，2P 使1230APB AP B ︒∠=∠=，则12||P P AB 则的最大值是_______，此时二面角12A PP A '--平面角的正弦值是_______52．（2022·重庆南开中学模拟预测）正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，动点P 在对角线BD '上，过点P 作垂直于BD '的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设(0BP x x =∈，. （1）下列说法中，正确的编号为__________.⊥截面多边形可能为四边形；⊥f =⎝⎭⊥函数()f x 的图象关于x =.（2）当x =P ABC -的外接球的表面积为__________.。
千题百炼- 立体几何综合小题必刷100题(原卷版)
专题19 立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．83BCD ．436．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．907．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（ ）A ．1B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1C ．AC 1⊥BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为45°10．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且//a b ，则实数m 的值等于（ ）A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2 11．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．0 C D13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30 cm14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P -ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF （此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个15．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则//a bD ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是848,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，以下结论正确的是（ ）A ．直线1B D 与1BC 是异面直线B ．直线1A D 与1BC 平行C ．直线1BD 与1BD 垂直D ．三棱锥11A BC D -的体积为64318．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使//DP 面11AB DB ．二面角1P BB D --的平面角大小为60︒C ．1PB PD +D ．P 到平面11AB D19．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ） A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n α C ．若a n β⋂=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ20．在下列条件中，不能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM ＝2OA －OB －OC ；B ．111532OM OA OB OC =++； C ．0MA MB MC ++=；D ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0；21．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+23．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、BC 的中点，则三棱锥N DMC 1的体积为___________.25．已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60︒，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________________．27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．28．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为3，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC =__.29．如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则用向量,,a b c 表示向量MN =________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且P A⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为163，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在三棱锥P －ABC 中，3APB BPC CPA π∠∠∠===，△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别记为123,,S S S ，且123322S S S === ）A BC D 2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线//AD 平面α，直线//BC 平面α，F 是棱BC 上一动点，现有下列三个结论：⊥若,M N 分别为棱,AC BD 的中点，则直线//MN 平面α；⊥在棱BC 上存在点F ，使AF ⊥平面α；⊥当F 为棱BC 的中点时，平面ADF ⊥平面α.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB BC ⊥，点Р在上底面圆的圆周上，则222PA PB PC ++的最小值为（ ）A ．246B ．226C ．208D ．1984．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF A BEF -的体积为（ ）A ．112B ．14 C D ．不确定6．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB DC ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）A ．2BA •ACB ．2AD •BDC ．2FG •CAD ．2EF •BC8．如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD9．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA D D （包括边界）内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．⎣C ．D ．⎣10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（ ）①1//A M 平面1ACD ； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③AC ⊥平面11MB D 恒成立； ④三棱锥1D AMC -的体积不是定值． A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②④11．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，6BAC π∠=，SB =4,2SC SA ==，则该四面体的外接球的表面积是（ ）A ．253πB ．100πCD ．20π12．已知圆锥SO 的母线长为 ）A ．B ．24C ．36πD ．4813．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（ ）（1）//l 平面PAD ；（2）//AE 平面PCD ；（3）直线PA 与l （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的正三角形，ABCD 是正方形，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．293π B ．643π C ．263π D ．283π15．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 四面体内切球的体积为（ ）A B ．13πC ． D16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，11C D ，11A D 的中点，若平面//α平面EFGH ，且平面α与棱11A B ，11B C ，1B B 分别交于点P ，Q ，S ，其中点Q 是棱11B C 的中点，则三棱锥1B PQS -的体积为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1617．已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若点O 到该截面的距离是球半径的一半，且2AB BC ==，120B ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式24)S r π=A ．643π B ．83πC ．323π D ．169π18．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C D19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::h h h =（ ）A．2B ． C 2:2 D 6:620．如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A B C D二、多选题21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则四个推断正确的是（ ）A ．111AC AD ⊥B ．11AC BD ⊥C ．平面11//A C B 平面1ACD D ．平面11A C B ⊥平面11BB D D22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2323．正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（ ） A ．截面可以是三角形B ．PA 与底面ABCD 所成的角为60︒C ．PA 与底面ABCD 所成的角为45︒D ．当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：124．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥E BCD -B ．三棱锥E BCD -C ．存在某个位置，使得AE BD ⊥D ．设二面角D ABE --的平面角为θ，且0θπ<<，则DAE θ<∠25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC26．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为60C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A27．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.则下列结论中正确的有（ ）A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行 C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当a =MN28．(多选)如图，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论正确的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°29．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．DE ⊥BFB ．EF 与CH 所成角为3π C ．EC ⊥平面DBFD ．BF 与平面ACFE 所成角为4π30．下图中正方体1111ABCD A B C D -边长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．平面1C BD ⊥平面1A BDB ．正方体1111ABCD A BCD -外接球与正四面体11A DBCC ．正四面体11A DBCD ．四面体1A ADB第II 卷（非选择题）三、填空题31．空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为 __.32．如图，A 、B 、C 、D 、P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则P A 与CD 所成角的余弦值为______．33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图的棱长）.__________.35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为__________.36．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AA =M ，N 分别在棱DA ，DC 上.二面角1D MN D --的大小为30°.若三棱锥1D DMN -，则三棱锥1D DMN -的外接球的表面积为___________.37．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．38．已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为4的正方形，SD ⊥面ABCD ，点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，P 为SD 上一点，且SD ＝3PD ＝3，H 为正方形ABCD 内一点，若SH ∥面PMN ，则SH 的最小值为__．39．如图，在ABC 中，AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为___________.40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线,AC BF 上移动，若CM BN =，则MN 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为；④FMN 1． 其中正确结论的为（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）A ．(1B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．(3．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（ ）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：⊥存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ⊥存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；⊥若1A DM 的周长为L ，则L⊥若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝． 则正确的结论为（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，若满足1PB PC d +=的点P 的个数为4，则d 的取值范围为（ ）A ．)2B ．C ．2,1⎡⎣D ．(16．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1AA 的中点，F 是棱BC 上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）A ．三棱锥11CB EF -的体积为定值16B ．存在点F ，使得直线EF 与直线1CD 相交C ．当F 是棱BC 的中点时，直线EF 与直线1CD 所成的角为π6D ．平面1D EF 截正方体所得的截面是五边形8．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）A ．ADB ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD 210．已知在Rt ABC △中，斜边2AB =，1BC =，若将Rt ABC △沿斜边AB 上的中线CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．13π3B ．20π3C ．10π3 D ．7π311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）A ．513BC D ．13512．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB内，且三角形PMN 的面积PMN S =△P 的轨迹长度为（ ）A B C D13．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D14．如图，等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，2PBA π∠=，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ； ③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④15．已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（ ）A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒B ．90BDC '∠=︒且60θ≤︒ C ．90BD C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒二、多选题16．如图，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A ，D 点)一动点．下列说法正确的是（ ）A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三棱锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（ ） A ．若112BF BC BD →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为4π B ．若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C ．若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一D ．若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图⊥，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图⊥.则下列结论正确（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．多面体ABCDEF 的体积为94D ．球离球托底面DEF 119．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '20．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，4CAD π∠=，3BCD π∠=.现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成△11(D AC D 不在平面ABC 内）.若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C -- D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为(,)63ππ21．已知边长为a 的菱形ABCD 中，π3ADC ∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ） A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 可能相互垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11B C 上一点（不与端点重合），则（ ）A ．平面OCP 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面一定是梯形 B ．存在点P ，使得三棱锥1P ABD -的体积为23C ．存在点P ，使得AP 与11CD 相交D ．当P 是棱11B C 的中点时，平面OCP 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得截面圆的面积269π23．在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A B ．52π C ．80π D ．208π第II 卷（非选择题）三、填空题24θ，则当tan θ等于______时，侧面积最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC ．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点若P ，Q 在赤道上，且PQ =，则球面NPQ △的面积为________；若NP PQ QN R ===，则球面NPQ △的面积为________．26．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段A B '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.27．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱两两垂直，AB 与底面BCD 成30角，P 是平面BCD 内任意一点，则AP BP的最小值是________.28．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是棱AD 的中点，点,F G 在平面1111D C B A 内，若EF =CE BG ⊥，则FG 的最小值为_________．29．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能为梯形； ②四边形1BFD E 有可能为菱形； ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面11BB D D ；⑤四边形1BFD E 其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
北师大版-数学-七年级上册-《截一个几何体》知识全解
1.3截一个几何体新知概览：知识要点课标要求中考考点用平面去截几何体所得截面的形状探索并理解几何体的截面形状。
截面的定义（掌握）几种常见几何体的截面掌握几种常见几何体的截面。
判断一个几何体的截面(应用)本节重、难点1.重点：截面的定义和形状．2.难点：利用截面解决实际问题．知识全解知识点1截面（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.知识警示：（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．知识拓展正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．知识方法：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．知识点2几种常见几何体的截面（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．图1-3-1A图1-3-2B C D（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.知识警示： (1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.(2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．图1-3-5图1-3-4 图1-3-6。
高中数学必修二 8 1 基本立体图形(精练)(含答案)
8.1 基本立体图形(精练)【题组一多面体】1．(2021·福建三明·高一期中)下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为( ) A．B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中正确的是( )A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱锥的各侧棱长一定相等C．棱台的各侧棱的延长线交于一点D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台【答案】C【解析】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，C正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确.故选；C.3．(2021·全国·高一课时练习)下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C 4．(2021·全国·高一课时练习)一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面的半径r、侧棱长l构成直角三角形得，222+=，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选：D.h r l5．(2021·安徽·六安一中高一月考)给出下列命题∶①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为棱柱的侧面不一定全等，所以①错，用不平行与棱锥底面的平面解棱锥时，截面与底面之间的部分不是棱台，②错，棱台的侧面不一定是等腰梯形，③错，所以正确的命题个数为0，故选：A.6．(2021·山西柳林·高一期中)下列关于棱台的说法中错误的是( )A．所有的侧棱所在直线交于一点B．只有两个面互相平行C．上下两个底面全等D．所有的侧面不存在两个面互相平行【答案】C【解析】由棱台的定义可知：A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.7．(2021·山西高平·高一期中)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是( )A．48 B．32 C．24 D．8【答案】A【解析】在正八棱柱的下底面中，根据正八边形的性质，其内接矩形共有6个，AHBG ADBC AFBE HDGC HFGE DFCE.分别为矩形,,,,,而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以这样的阳马个数是24，同理，以上底面中的矩形为底面的也有24个阳马，因此共48个不同的阳马．故选：A8．(2021·山西高平·高一期中)有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台其中的正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的．故选：B9．(2021·山西高平·高一期中)下面四个几何体中，是棱台的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．故选：B 10．(2021·全国·高一课时练习)(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：故选:AB.【题组二旋转体】1．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的有( )①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；②圆柱不是旋转体；③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；④圆台的轴截面是等腰梯形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；③半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故③错误；④圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，④正确.综上所述：正确的为①④故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中错误的是( )A ．圆柱的母线与轴平行B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形D ．圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面【答案】B【解析】A ：圆柱的母线即为圆柱的高线，与轴平行，即A 正确；B ：因为轴截面的顶角为α时，截面面积为21sin 2S l α=，当90α︒≤时，S 为最大的；当90α︒>时，S 不是最大的，因为存在不过定点的截面θ等于90︒，sin sin θα>，B 错误；C ：圆锥所有截面的顶角相等且两腰长均为母线，C 正确；D ：根据圆柱的性质可判断D 正确.故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱【答案】B【解析】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选：B.5．(2021·广西百色·高一期末)将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180，所得的几何体为( ) A．一个圆锥B．两个圆锥C．一个圆台D．一个圆柱【答案】C【解析】由题意根据旋转体的定义，可得将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180得到一个圆台.故选：C.6．(2021·安徽·高一月考)有以下命题：①以半圆直径所在的直线为旋转轴旋转一周，其形成的面围成的旋转体是球；②用任意平面去截圆锥，所得的截面图形为圆；③若某圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积为)(r r l π+；④以直角三角形的任意一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余两边形成的面围成的旋转体是圆锥． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由基本概念可知，①正确；用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得的截面图形不是圆，②错误；根据圆锥的表面积公式可知③正确；以斜边所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥，④错误， 故选B ．7．(2021·广东·西樵高中高一月考)(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是( )A ．圆柱的所有母线长都相等B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180︒所形成的几何体是圆柱【答案】ABD【解析】对于A ，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A 正确，对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确，对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180 所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选：ABD【题组三简单的组合体】1．(2021·全国·高一课时练习)如图的组合体是由( )组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C．圆柱和棱台D．圆锥和棱柱【答案】B【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B2(2021·全国·高一课时练习)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( )A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成【答案】D【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．3．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.【题组四立体图形的截面】1．(2021·山西灵丘·高一期中)如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．故选：A．2．(2021·全国·高一课时练习)如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中,经过折叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.故选：A3．(2021·全国·高一课时练习)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．9 C．快D．乐【答案】B【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9故选：B4．(2021·全国·高一课时练习)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】A【解析】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形， 再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”， 因此标“△”的面的方位是南. 故选：A5．(2021·贵州黔西·高一期末)在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为正方形11AA D D 和1111D C B A 的中心，3AB =，则平面CMN 截正方体所得截面的周长是( )A ．10B ．40CD ．【答案】D【解析】如图所示，延长CM ，11B A 交于点P ，连接PN 并延长，分别交11A D ，11B C 于E ，F ，连接CF ，连接EM 并延长，交AD 于点G ，连接CG ，则四边形CGEF 为所求截面，因为M 是正方形11AA D D 的中心，所以12ME EG =， 由题意易证四边形CGEF 为菱形，所以//EG CF ，EG CF =，所以//ME CF ，12ME CF =，则E 为PF 的中点，则111A E C F ==，从而CF = 故选：D.6．(2021·山西·高一月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】当10A F =，即F 与1A 重合时，如图1，取11B C 的中点，截面为矩形1AEGA ； 当101A F <时，如图2，截面为平行四边形AEGF ； 当112A F <<时，如图3，截面为五边形AEGHF ，当12A F =，即F 与1D 重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF ．故选：D7．(2021·河北·高一期中)如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过E ，F ，G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为( )A ．4B ．CD ．【答案】D【解析】如图，分别取BC 的中点H ，CD 的中点I ,1DD 的中点K ，连接,,,GH HI IK KE ，因为该几何体为正方体，所以EF ∥HI ,FG ∥IK ,GH ∥KE ,且EF HI FG IK GH KE =====所以E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为正六边形EFGHIK ，所以该正六边形的面积为26=故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截直三棱柱111ABC A B C -，交1111,,,AC B C BC AC 分别于点,,,E F G H .若111A A A C >，则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形. 【答案】②⑤【解析】由面111//A B C 面ABC 且111ABC A B C -为直三棱柱，易知截面中//EF HG ， 当1//FG B B 时，此时//EH FG ，四边形EFGH 为矩形； 当FG 不与1B B 平行时，四边形EFGH 为梯形. 故答案为：②⑤9．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①②【解析】如图：按图1所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图2所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①②10．(2021·福建·高一期中)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为111,CC B C 的中点，则过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为________．【答案】92【解析】如图所示：过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1AQPD ，因为11AQ PD PQ AD ===所以1,A D PQ 之间的距离为h所以梯形1AQPD 的面积为()(1119222S A D PQ h =⨯+⨯=⨯=， 故答案为；92．11(2021·全国·高一课时练习)一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_______．(只填写序号)【答案】① ② ③【解析】当截面与正方体的一个面平行时，截面图形如①，当截面不与正方体的一面平行时，截面图形可以为②③，对于④，四个顶点在球面上，且通过球心的截面只能为矩形，由于④中四边形为正方形，故④错误；故答案为：① ② ③【题组五 两点距离最短】1．(2021·河北张家口·高一期末)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )A B C ．1D ．3【答案】B【解析】连接1BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥. 当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：cos 2AC AB BC B ===,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，AB =12A B ===,且160AA B ∠=︒. 同理可求：12C B =因为11112A B BC AC ===，所以11A BC 为等边三角形，所以1160BAC ∠=︒， 所以在三角形1AA C '中，111120AAC AA B BAC ''∠=∠+∠=︒,111,2AA AC '==,由余弦定理得：AC '=故选B.2．(2021·上海中学高一期末)在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且DA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为( )A B C D 【答案】A【解析】因为,DA AB DA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=，所以DA ⊥平面ABC ，所以平面DAC ⊥平面ABC ，将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面DAC 与平面ABC 共面，如图，此时OD 的直线距离即为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则13==d ==OD . 故选：A3．(2021·河北·博野县实验中学高一期中)两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是( ) A ．7 B ．17 C ．5或12 D ．7或17【答案】D【解析】球的半径为13R =，设两个截面圆的半径别为1r ，2r ，球心到截面的距离分别为1d ，2d ； 球的半径为R ，由2125r ππ=，得15r =； 由22144r ππ=，得212r =；如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即211257d d --=； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即2112517d d ++=； 所以这两个平面间的距离为7或17． 故选：D ．4．(2021·贵州师大附中高一月考)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2PA PB PC PD ====．若点E 、F 、G 分别为棱PB 、PC 、PD 上的动点(不包含端点P )，则AE EF FG GA +++的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】把四棱锥P ABCD -沿PA 展开，得到如图所示图形：AE EF FG GA +++的最小时，点,,E F G 与,A A '共线时，所以求AE EF FG GA +++的最小值即求AA '的长度，因为2PA PB ==，AB ，所以在ABP △中，结合余弦定理得222cos 222AP BP AB APB +-==⨯⨯6APB π∠=，因为ABP BCP CDP DA P '≅≅≅，所以23APA π'∠=，在APA '中，AA '==故选：C.5．(2021·湖北黄冈·高一期末)如图，正三棱锥A BCD -中，20BAD ∠=，侧棱长为2，过点C 的平面与侧棱,AB AD 相交于11,B D ，则△11CB D 的周长的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．2【答案】D【解析】将正三棱锥A BCD -沿AC 剪开可得如下图形，∵20BAD ∠=，即3CAC π'∠=，又△11CB D 的周长为1111CD D B B C '++，∴要使△11CB D 的周长的最小，则11,,,C D B C '共线，即1111CD D B B C CC ''++=， 又正三棱锥A BCD -侧棱长为2，△CAC'是等边三角形， ∴1111min ()2CD D B B C '++=. 故选：D6．(2021·湖南·高一期末)已知，如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 为1A B 上的动点，则1AP PD +的最小值为__________.【解析】如图，将11D A P 沿1A P 翻转，使点1D 转到的对应点2D 在平面1ABB 内．则211190D A B D A B ∠=∠=︒．故121124590135AA D AA B BA D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．从而，122AP D P AP D P AD +=+≥==当且仅当P 为2AD 与1A B 的交点时，上式等号成立．7(2021·全国·高一课时练习)如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)【答案】．【解析】如图所示，根据题意可得ABC 为边长为6的正三角形，所以6BC =，所以圆锥底面周长236(m)ππ=⨯=， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得66180n ππ⨯=，故180n ，则90B AC '∠=︒，所以B P =='，所以小猫所经过的最短路程是．8．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，圆台母线AB 长为20cm ，上、下底面半径分别为5cm 和10cm ，从母线AB 的中点M 拉条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．【答案】50cm ．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中t R OPA 与t R OQB 相似，得510OA OA AB =+，可求得20cm OA =． 设BOB α∠'=，由于BB '的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为210cm π⨯,扇形OBB '的半径为202040cm OA AB +=+=，扇形OBB '所在圆的周长为24080cm ππ⨯=．所以BB '的长度20cm π为所在圆周长的14，所以OB OB ⊥'． 所以在Rt B OM '△中，2224030B M ='+，所以50cm B M '=，即所求绳长的最小值为50cm ．9．(2021·山西·岢岚县中学校高一月考)如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．【答案】；(2)30cm ．【解析】(1)将长方体与顶点,A B 相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：则AB 的长就为最短路线．若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，则经过的最短路程为)cm AB =，74<；(2)最长的路线应该是依次经过棱长为5,4,5,4,3,4,5的路线，由()545434530cm ++++++=，所以最长路程是30cm ．。
浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 设，是双曲线（）的左、右两个焦点，点为双曲线右支上的一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率等于A．B ．2C ．3D．2.设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）A ．60B ．80C ．90D ．1003. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A．B．C．D．4. 已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 为提升学校教职工的身体素质，某校工会组织学校600名教职工积极参加“全民健身运动会”，该运动会设有跳绳、仰卧起坐、俯卧撑、开合跳、健步走五个项目，教职工根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，参加各项目的人数比例的饼状图如图所示，其中参加俯卧撑项目的教职工有75名，参加跳绳项目的教职工有125名，则该校（ ）A ．参加该运动会的教职工的总人数为450B ．参加该运动会的教职工的总人数占该校教职工人数的80%C ．参加开合跳项目的教职工的人数占参加该运动会的教职工的总人数的12%D ．从参加该运动会的教职工中任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率为0.66. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为（ ）A．B．C．D．7. 有两条互相垂直的直线和，有一条定长的线段，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点是上的一个确定点，即点到点和点的距离的比值是一个定值．那么，随着线段的运动，点的运动轨迹及焦距长为（ ）A．椭圆，焦距长为B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为D．双曲线，焦距长为8.已知，设，则（ ）A．B．C．D．9. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的有（ ）浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(高频考点版)浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．f (x )的周期为πB ．f (x )的单调递减区间是(k ∈Z )C ．f (x )的图像的对称轴方程为(k ∈Z )D ．f (2020)+f (2021)=010. 已知高和底面边长均为2的正四棱锥，则（ ）A．B．与底面的夹角的正弦值为C．二面角的平面角的正切值为2D ．四棱锥的体积为11.已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）A．B ．函数在区间单调递增C ．函数是奇函数D．函数的一个解析式为12. 如图，在棱长为1的正方体中，E ，F 分别为棱的中点，G为线段上一个动点，则（）A ．存在点G，使直线平面B ．存在点G，使平面∥平面C ．三棱锥的体积为定值D ．平面截正方体所得截面的最大面积为13. 函数的值域是______．14. 已知函数，则=_______；设函数存在3个零点，则实数的取值范围是_______．15. 边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF的交点，则______．16.如图，在三棱柱中，，，、分别为和的中点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17. 如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.18. 某鲜花店每天制作、两种鲜花共束，每束鲜花的成本为元，售价元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：种鲜花日销量48495051天数25352020两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为束，求的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与之中选其一，应选哪个？19. 如图1，正方形，边长为，分别为中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中D点位置记为，如图2.（1）求证：；（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.20. 设，，甲、乙、丙三个口袋中分别装有、、个小球，现从甲、乙、丙三个口袋中分别取球，一共取出个球．记从甲口袋中取出的小球个数为．(1)当时，求的分布列；(2)证明：；(3)根据第（2）问中的恒等式，证明：．21. 如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2．(1)证明：．(2)已知，求四棱锥的体积．。
2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷 (228)
一、单选题1. 在中，若，则下列等式中一定成立的是A．B．C．D．2. 我国古代发明了求函数近似值的内插法，当时称为招差术．如公元一世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术”，即相当于一次差内插法，后来经过不断完善和改进，相继发明了二次差和三次差内插法．此方法广泛应用于现代建设工程费用估算．某工程费用利用一次差内插法近似计算公式如下：，其中为计费额的区间，为对应于的收费基价，x为某区间内的插入值，为对应于x的收费基价．若计费额处于区间500万元（收费基价为16万元）与1000万元（收费基价为30万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价估计为（）A．16.8万元B．17.8万元C．18.8万元D．19.8万元3. 已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．4. 以意大利数学家莱昂纳多·斐波那契命名的数列满足：，，设其前n项和为，则（）．A．B．C．D．5. 若复数表示的点在第三象限，则的取值范围为（）A．B．C．D．6. 已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（）A．B．C．D．7. 已知，且，则＝（）A．B．C．D．8. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示的是（）错误A．12-50B．2-50C．13-50D．32-509. 设是定义域为，最小正周期为的函数，且在区间上的表达式为，则（）A．B．C．D．10. 已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11. 已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：①；②；二、多选题③； ④．其中正确的命题序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④12. 已知点O 是原点，点F 是双曲线C ：的右焦点，过双曲线C 的右顶点且垂直于x 轴的直线与双曲线C 的一条渐近线相交于点A ，若，则双曲线C 的渐近线为（ ）A．B．C．D．13.已知函数，若所有点构成一个正方形区域，则（ ）A．B．C．D．14. 已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）A．B．C．D．15.如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（ ）.A ．17B ．13C ．5D ．116. 如图，在同一平面内，A ，B 为两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径都为r ，射线AB 交圆A 于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当r （）变化时，l 与圆B的公共点的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线17. 正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则（ ）A ．直线与直线垂直B．平面截正方体所得的截面面积为C ．三棱锥的体积为2D ．点与点G到平面的距离相等18. 如图是电灯挂在圆形桌面正中央上方的示意图，电灯在点O 处，桌面直径为2m ，点M 是桌面边缘上一点，电灯与M 之间的光线与桌面所成角为，电灯与M 之间的距离为l ．根据光学原理，M 点处的照度I满足关系式：（为常数，）．则下列说法正确的是（ ）三、填空题A ．记时的照度为，时的照度为，则B ．I 随l 的增大而减小C ．I先随的增大而增大，后随的增大而减小D ．当时，I 取得最大值19. 已知函数，则（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．直线是函数图象的一条对称轴C ．函数的值域为D ．方程最多有8个根，且这些根之和为20.已知函数，若，则（ ）A ．为偶函数B ．在上为增函数C．D．21. 设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.下列命题中正确的是（ ）A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 222.在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（）A ．存在点，使得面B ．存在点，使得面C ．当点不是的中点时，都有面D ．当点不是的中点时，都有面23. 设直线系，下列命题中的真命题有（ ）A ．中所有直线均经过一个定点B ．存在定点不在中的任一条直线上C ．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上D ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等24.若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则（ ）A．函数可能为奇函数B ．函数存在最大值C．函数存在最小值D ．函数有且仅有一个零点25. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个四、解答题截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．26.设函数的图象关于y 轴对称，当时，，则的值为______.27. 如图，已知直线，垂足为，在中，，，，该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：①，②则、两点间的最大距离为______.28.已知向量，若，则__________．29. 如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则的最小值为________．30.在的展开式中，的系数是________．31. 刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证，树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范．刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形（如图1），该圆的面积与等腰三角形的面积相等．即．运用这种积线成面的面积观，圆环面积也和一个等腰梯形的面积相等．若某圆环的内圆周长为，外圆周长为，半径差为d （如图2），则该圆环的面积________（用，，d表示）．32. 函数满足：（1）定义域为；（2）偶函数；（3）在上单调递增．则满足上述三个条件的一个函数式为_________．（答案不唯一，正确即可．）33.化简：．五、解答题34. （1）化简；（2）计算.35. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．36. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.37. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；(2)已知，先化简后计算求值：38. 已知圆．(1)证明：圆C 过定点；(2)当时，点P 为直线上的动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB 的方程．39. 某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第六组和第七组人数的比为．(1)补全频率分布直方图，并估计这50位男生身高的中位数；(2)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为6的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高不在同一组的概率．40. 2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业，因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生合计90分钟以上80x18090分钟以下y z220合计160240400(1)求x、y、z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82841. 为了调查某中学高三学生的身高情况，在该中学高三学生中随机抽取了名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：（I）估计该校高三学生的平均身高；（II）从身高在（含）以上的样本中随机抽取人，记身高在之间的人数为，求的分布列和数学期望.42. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.(1)求第三组的频率；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.43. 画出函数的图象，并写出该函数的单调区间与值域六、解答题44. 强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：7910111334567请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．参考数据：，，；参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．45. 已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.46.如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.47. 已知＝(cosx ＋sinx ，sinx)，＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量与向量不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝·，且x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值48. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.49.已知函数，函数.(1)当时，求的单调区间；(2)已知，，求证：；(3)已知n为正整数，求证：.七、解答题50. 已知数列、的前项和分别为和，数列满足，，，等差数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求证：，其中.51. 3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若三（7）获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的数学期望；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.52. 甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[85，90）[90，95）[95，100）[100，105）[105，110）甲机床81240328乙机床71840296（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元，假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.53. 某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目.(1)若，求的数学期望；(2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）.54. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数（单位：箱）与成本（单位：千元）的关系如下：1346756.577.58与可用回归方程（其中为常数）进行模拟．(1)若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）(2)据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较和时，此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设，则0.54 6.8 1.530.45线性回归直线中，．55. 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位：℃）对某种鸡的时段产蛋量（单位：t）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．17.4082.30 3.61409.72935.135.0其中.(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；(3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.②0.080.47 2.7220.091096.6356. 每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：八、解答题（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm 的概率；（2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m （元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量50070060040057. 已知焦点在轴上的椭圆C 1：=1经过A (1，0)点，且离心率为．（1）求椭圆C 1的方程；（2）过抛物线C 2：(h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与轴平行时，求h 的最小值．58. 1.已知函数.(1)若是的极值点，求t 的值，并讨论的单调性；(2)证明：当时，.59.已知数列满足，（），其中为的前n 项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若数列满足，设，求的值．60. 设是椭圆的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为，.椭圆的内接的重心(三条中线的交点)为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.61. 山东省教育厅颁布的《山东省普通中小学办学基本规范》中提到，保证学生在校期间每天校园体育活动时间不少于 1 小时，小明为了响应号召，缓解学习压力，计划每天利用课间进行3次体育锻炼，每次锻炼项目为跑步、跳绳、踢毽子三个项目之一，已知小明每次锻炼项目只与前一次锻炼项目有关，在前一次锻炼某项目的情况下，本次锻炼各项目的概率如下表：前一次本次跑步跳绳踢毽子跑步0.50.20.3跳绳0.30.10.6踢毽子0.30.60.1(1)已知小明在第1次锻炼时选择了跳绳，则他在第3次锻炼时选择哪个项目的可能性最大？2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷(2)已知小明选择各锻炼项目每次运动时间如下表：锻炼项目跑步跳绳踢毽子锻炼时间（分钟/次）648若当天小明除了3次体育锻炼和一节45分钟的体育课（户外运动）外，无其他校园体育活动时间．已知小明在第1次锻炼时选择了跳绳，求小明当天课间三次体育锻炼总时间的分布列和当天总运动时间的期望，并根据运算结果说明小明当天的运动时间是否符合《山东省普通中小学办学基本规范》的要求．62. 已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．Array（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM（O 为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷。
2022届湖南省高三下学期4月第二次联考试题数学含答案
2022届湖南省高三下学期4月第二次联考数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}3,A x x x =<∈R ，{}1,2,3B =，则A B ⋂= A.{}1 B.{}1,2,3C.{}1,2D.{}1,0,1-2.已知34i z =+，则()i z z -= A.1117i + B.1917i +C.1117i -D.1923i +3.，母线长为 A.4πB.34π C.2πD.π4.下列直线中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴是 A.3x π= B.23x π=C.6x π=D.2x π=5.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 均在椭圆上，且均在x 轴上方，满足条件12PF QF ∥，132PF =，则2QF =A.12B.43C.32D.1276.设sin 20m ︒=，cos20n ︒=，化简1tan102cos701tan10cos50+︒︒-=-︒︒ A.n m B.m n - C.mnD.n m -7.已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线.则下列结论中正确的是 A.18m -<< B.07m <<C.35m -<<D.27m -<<8.甲、乙两个质地均匀且完全一样的正方体骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这两个骰子在水平桌面上，记事件A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是 A.()()()P A P B P C == B.()()()P BC P AC P AB == C.()()()18P A P B P C ⋅⋅=D.()18P ABC =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i =组成的一个样本，得到回归直线方程为20.4y x =-，且2x =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的回归直线的斜率为3，在下列说法正确的是 A.相关变量x ，y 具有正相关关系 B.去除歧义点后，样本()4,8.9的残差为0.1 C.去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-D.去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小10.设点O 是ABC △的外心，且(),CO CA CB λμλμ=+∈R ，下列命题为真命题的是 A.若1λμ+=，则2C π=B.若OA OB ∥，则221λμ+= C.若ABC △是正三角形，则23λμ+=D.若1λμ+>，()2,1AB =-，()2,4CO =，则四边形AOBC 的面积是511.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点.则A.直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D.四面体11A BC D 与四面体11AB CD 的公共部分的体积是4312.已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则A.点P 到直线AB 的距离最大值为225B.满足AP BP ⊥的点P 有2个C.过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M 、N ，则直线MN 的方程为1y =D.2PA PB +的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()1221x x f x a +=+-是奇函数，则a =___________.14.若A 、B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点()4,0P ，则弦AB 中点的横坐标为____________.15.函数()1ln f x x x=+的极值点为_____________.16.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第()*n n ∈N次得到的数列的所有项的积记为na，令2log n n b a =，则3b =___________，n b =__________.（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()2122n n n S S a n -+=+≥，其中nS 是数列{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()112nn n b a --=，求数列{}n b 的前100项和.18.（12分）3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作.（1）若每名志愿者在5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列.19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB CD ∥，90BCD ∠=︒，且2PD AD DC ===，3AB =，E 为PC 中点，13PF PB =，2PG GA =.（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面；（2）求二面角F DE P --的正弦值.20.（12分）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos 23sin a B C A b C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .（1）求A ； （2）若3a =123O O O △73，求ABC △的周长.21.（12分）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点.①求证：点M 与点N 的横坐标的积为定值； ②求OMN △周长的最小值.22.（12分）已知函数()2ln f x ax x =-，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2e x x xf x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】因为33A x x =-<<，1,2,3B =，所以1,2A B ⋂=，故选C.2.B 【解析】i 5i z -=-，则()()()i 34i 5i 1917i z z -=+-=+，故选B.3.C 【解析】圆心角22ππ⨯==，故选C.4.B 【解析】2sin 136ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故选B. 5.C 【解析】设()00,P x y ，∵1013222PF x =+=，∴01x =-，1PF x ⊥轴，∴2132QF PF ==. 6.C【解析】sin1011tan102cos702sin 20cos10sin101cos10sin101tan10cos50sin 40cos10sin10cos 201cos10︒++︒︒︒︒+︒︒-=-=-︒-︒︒︒︒-︒︒-︒()222cos10sin1011sin 201sin 20cos 10sin 10cos 20cos 20cos 20cos 20mn︒+︒+︒︒=-=-==︒-︒︒︒︒︒.7.D 【解析】设切点为()3000,x x x -，()231f x x '=-，∴切线斜率为2031x -，∴切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--，将()2,m 代入得方程()()()320000312m x x x x --=--，即32002620x x m -++=，由题设该方程有3个不等实根.令()32262u x x x m =-++，()()261262u x x x x x '=-=-，由三次函数图象知()()00,262720u m m u >⎧⎪⇔-<<⇒-<<⎨<⎪⎩，故选D.8.D 【解析】()3162P B ==，()3162P C ==，()1111122222P A =⨯+⨯=，()()()111224P AC P AB P BC ===⨯=，()()14P ABC P BC ==，故D 错.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.代入20.4y x =-，得 3.6y =，所以去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的210582x ⨯==， 3.610982y ⨯==，因为得到新的回归直线的斜率为3，所以由9533322y x -=-⨯=-，所以去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-，故选项C 正确；由于斜率为31>，故相关变量x ，y 具有正相关关系且去除歧义点后，由样本估计总体的y 值增加的速度变大，故选项D 错误；由333439i y x =-=⨯-=，得8.990.1i i i e y y =-=-=-，故选项B 错误；综上，答案选AC.10.ACD 【解析】对选项A ：因为1λμ+=，则A 、O 、B 三点共线，易知ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，故A 对；对选项B ：因为OA OB ∥，则A 、O 、B 三点共线，易知ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，且O 为AB 的中点，则12λμ==，2212λμ+=，故B 错；对选项C ：因为ABC △是正三角形，故1133CO CA CB =+，则23λμ+=，故C 对；对选项D ：因为1λμ+>，故O 在ABC △外，又0CO AB ⋅=，∴CO AB ⊥，又25CO =，5AB =，则152CAOB S CO AB =⨯=，故D 对.11.BCD 【解析】根据题意，∵1AD EF ∥，∴面AEF 即面1AEFD ，故A 选项错误.∵11AG D F ∥，1AG ⊄面1AEFD ，∴1AG ∥面1AEFD ，故B 选项正确.面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形1AEFD ，易知梯形面积为92，故C 选项正确. 四面体11A BC D 与四面体11AB CD 的公共部分是以正方体六个表面中心为顶点的正八面体，，所以其体积为2142133⨯⨯⨯=，故D 正确. 12.ABCD 【解析】易知选项A 、B 、C 均正确，对选项D ：即122PA PB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，设存在定点()0,C t ，使得点P 在圆O 上任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，则有=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，∵224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，∴1t =，()0,1C ， 所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1-【解析】由题意可知函数()f x 为定义域上的奇函数，则有()()0f x f x +-=，∵()()1112222222221212112x x x xx x xf x f x a a a +-++-+-=++=++=+----，∴1a =-. 14.2【解析】设点A 、B 的坐标分别是()11,x y 、()()2212,x y x x ≠，则2114y x =，2224y x =，两式相减得()()()1212124y y y y x x +-=-.因为12x x ≠，所以120y y +≠. 设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是(),M M M x y ，则12121242My y k x x y y y -===-+.从而AB 的垂直平分线l 的方程为()2MM M y y y x x -=--， 又点()4,0P 在直线l 上，所以()42MM M y y x -=--，而0M y ≠，所以2M x =. 15.1 【解析】当0x >时，()1ln f x x x =+，()22111f x x x x x-=-+='，易知1为极值点；当0x <时，()()1ln f x x x =+-，()2110x f x x-'=+<，()f x 无极值点，综上所述，()f x 的极值点为1.16.14，312n +【解析】设第n 次构造后得到的数列为1，1x ，2x ，…，k x ，2.则122n k a x x x =，则第1n +次构造后得到的数列为1，1x ，1x ，12x x ，2x ，…，1k k x x -，k x ，2k x ，2. 则()33311214422n n k na a x x x a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴312121log log 132n n n nb a a b ++⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭， ∴111322n n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵212log 22b ==，∴数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，∴11333222n n n b --=⨯=，312n n b +=，314b =.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）由11a =，22122S S a +=+，且20a >，解得21a =，由()21 22n n n S S a n -+=+≥，得2112n n n S S a +++=+，两式相减得()22112n n n n n a a a a +++=-≥.∵10n n a a ++>，∴()112n n a a n +-=≥，所以数列{}n a 从第二项起构成公差为1的等差数列，∴()()12112n a n n n =+-⨯=-≥，又11a =，所以数列{}n a 的通项公式为：1,1,1,2,n n a n n n +=⎧=⎨-∈⎩N ≥. （2）∵()1,1120,nn n ⎧--=⎨⎩为奇数为偶数， ∴()()()399121001399494929811245122a ab b b a a a ⨯+⨯++++=+++=+=+=.18.【解析】（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有35种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A ，则该事件共包括333A 种不同的结果，所以()3333A 185125P A ==.答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为18125.（2）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，()()()324325C 270125C P ξ===，()()()2112344325C C C 541125C P ξ===， ()()()2212344325C C C 362125C P ξ===，()()()314325C 83125C P ξ===. 随机变量ξ的分布列为：解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为425C 2C 5P ==， 则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数2~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()3323C 55iii P i ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3i =， 随机变量ξ的分布列为：19.【解析】（1）解法1：取FB 中点H ，∵13PF PB =，则2PH HB =，F 为PH 的中点，连接CH 、GH ，∴在PAB △中，2PG PH GA HB ==，∴GH AB ∥，23GH AB =， 又CD AB ∥，2CD =，3AB =，∴23CD AB =，∴CD GH ∥且CD GH =，∴DG CH ∥，又E 为PC 的中点，∴EF CH ∥，∴DG EF ∥，∴D 、E 、F 、G 四点共面.解法2：由题设，1122DE DC DP =+， ()()1111333332DF DP PB DP DB DP DP DA AB DP DP DA DC DP ⎛⎫=+=+-=++-=++- ⎪⎝⎭112323DA DC DP =++， ()11213333DG DA AP DA DP DA DA DP =+=+-=+.令DF xDE yDG =+， 则1121121232322333223y x x y DA DC DP x DC DP y DA DP DA DC DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴12,331,222,323y x x y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面. 解法3：以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为X 、Y 、Z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1 DE =-，24,,333DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,333DG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG=+，则()242222,1,0,1,,333333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴22,33,3342,33x y y x y ⎧-=-+⎪=⎪⎪=+⎪⎩∴1,1,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面. （2）以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()1,0,1E，44,333F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()1,0,1DE =-，24,,333DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,,0,22400,332x z x y n DE x y z n DF z y ⎧-+=⎧=-⎪⎧⋅=⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨-+=⋅=⇔⎪⎪⎪⎩=-⎩⎪⎩令2y =，则(3,2,n =-.取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,n CB ==， ∴二面角F DE P --的正弦值为5. 20.【解析】（1）由()()cos cos sin a B C AC a -=-， 得()cos cos sin cos a B C a A C A-+=， 即()()cos cos sin cos a B C a B CC A --+=，即2sin sin sin cos a BC C A =，∵sin 0C ≠，∴sincos a B A =， 由正弦定理得sin sin cos A BB A =，∵sin 0B ≠，∴sin A A =，∴tan A = ∵0180A ︒<<︒，∴60A =︒.（2）如图，连接1AO 、3AO ，则133AO c =，333AO b =，正123O O O △面积2213131373sin 6024S O O O O =⋅⋅︒==，∴21373O O =， 而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=︒，∴13O AO △中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则227b c bc ++=， ABC △中，60A =︒，3a =，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠，则223b c bc +-=，∴2bc =，225b c +=，∴3b c +=，所以ABC △的周长为33+21.【解析】（1）设双曲线C 的半焦距为c ，由点(),0A a 在圆22:3O x y +=上，得3a =由()()2123,03,031AF AF c c c ⋅=-⋅=-=-，得2c =，所以2221b c a =-=，所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=. （2）①当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，联立方程221,3,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222316330k x kmx m -+++=，由直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l与双曲线的渐近线不平行，所以2310k -≠，且0m ≠，于是得()()2222236123110310k m k m k ⎧∆=--+=⎪⎨-≠⎪⎩得22310m k =->，法1：双曲线C 的渐近线方程为223033x y x y =±⇔-= 联立方程2203x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()22231630k x kmx m -++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则21223331m x x k ==-. 法2：联立方程y kx my =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得1x =联立方程3y kx my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得23x = ∴221222331313m m x x k k ===--， 当直线l的斜率不存在时，12x x ==123x x =， 综上所述，点M 与点N 的横坐标的积为定值3.②法1：由①123x x =，∴12OM ON MN ++=+)12x x =++=，当且仅当12x x =时取等号，所以OMN △周长的最小值为6.法2：由①123x x =，∴1212443OM ON x x ⋅===，又21223031m x x k =>-，60MON ∠=︒，在OMN △中，由余弦定理MN ==∴OMN △的周长为OM ON MN OM ON++=++6=≥，当且仅当OM ON =时取等号，∴OMN △的周长的最小值为6.22.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1212ax f x a x x-'=-=； 当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，解得102x a=>，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 单调递减； 当1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x 单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减， 当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）法1：不等式()22222e 1ln ee2ln 2x x x xx xf x x ax x x a x x x---+⇔+-⇔++≥≥≥.令()22e 1ln x xg x x x x-=++，则()()232e ln x x x x g x x ---'=. 令()e xh x x =，则有()()()32ln h x h x g x x--'=， ()()1e x h x x '=+，当(),1x ∈-∞-时()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈-+∞时()0h x '>，()h x 单调递增. 令()2ln u x x x =--，则()111x u x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0u x '<，()u x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0u x '>，()u x 单调递增，又()110u =-<，22110e eu ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()422ln 20u =->，∴()u x 在()0,+∞上有两个零点，设为1x 、2x ，且12x x <， 由1110e e u ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()31ln30u =-<，∴1211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()23,4x ∈，且112ln x x -=，222ln x x -=，当()10,x x ∈时，()0u x >，即12ln x x ->->，∴()()2ln h x h x -<，∴()0g x '<，∴()g x 单调递减；当11,ex x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0u x <，即2ln 1x x -<-≤，∴()()2ln h x h x ->，∴()0g x '>，∴()g x 单调递增；当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()()()22ln 2e ln x s x h x h x x x x -=--=--，()()()21e 1ln 0x s x x x -'=--+<，∴()s x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又由上知10e s ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()11e 0s -=-<，∴()s x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，当01,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >，∴()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x x ∈时，()0s x <，∴()0g x '<，()g x 单调递减；当()21,x x ∈时，()0u x <，即12ln x x -<-<，∴()()2ln h x h x -<，∴()0g x '<，∴()g x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0u x >，即2ln 1x x ->>-，∴()()2ln h x h x ->，∴()0g x '>，∴()g x 单调递增.综上所述，()g x 在()10,x 上单调递减，在()10,x x 上单调递增， 在()02,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， ∴()()()121111222min111111ln 2111x x x x e g x g x g x x x x x x x --===++=++=，∴对任意()0,x ∈+∞，不等式()2e x x xf x -+≥恒成立12a ⇔≥，∴12a ≤.法2：不等式()222ee 2ln x x x xf x x ax x x --+⇔+-≥≥222ln ln e e 1ln 1ln e 1ln 222e x x x x x x x x x a a a x x x----++++++⇔⇔⇔≥≥≥. 令()e 1h t t '=--，()e 1h t ''=-，当(),0t ∈-∞时，()0h t '<，()h t 单调递减， 当()0,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 单调递增，∴()()00h t h =≥， ∴e 1tt +≥，当且仅当0t =时取等号. 令2ln t x x =--，则有2ln e 2ln 1x xx x ----+≥，即2ln e1ln x xx x ----≥，∴2ln e1ln x xx x --++≥，∴2ln e 1ln 1x x xx--++≥， 令()2ln u x x x =--，∵()110u =-<，()422ln 20u =->，∴()u x 在()1,4内必有零点，即2ln 0x x --=能成立，∴2ln e 1ln x x x x --++的最小值为1，∴12a ≥，∴12a ≤.法3：不等式()()222e e e112ln 0x x x x xf x f x ax x x x---+⇔+⇔+-+≥≥≥，当12a ≤时，22e e 12ln 1ln x x ax x x x x x --+-++-+≥.令()2e 1ln x g x x x x -=+-+，()()()()22221e1e 11x x x x x g x x x x -----'=-+=.令()()2e 0x u x x x -=->，()2e 1x u x -'=-，当()0,2x ∈时，()0u x '<()u x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()0u x '>，()u x 单调递增，()20e 0u -=>，()1110eu =-<，()24e 40u =->，∴()u x 在()0,+∞有两个零点，设为1x ，2x ，则1201x x <<<，当()10,x x ∈时，()0u x >，()0g x '<，()g x 单调递减，()1,1x x ∈时，()0u x <，()0g x '>，()g x 单调递增，当()21,x x ∈时，()0u x <，()0g x '<，()g x 单调递减，()2,x x ∈+∞时，()0u x >，()0g x '>，()g x 单调递增，且12111e 2ln x x x x -=⇔-=，22222e 2ln x x x x -=⇔-=，∴()()()12112111111e 1ln 120x x g x g x g x x x x x x x -==+-+=+-+-=≥，符合题意；当12a >时，∵()111111111e 212ln 122120x x ax x ax x a x x x -+-+=+-+-=-<，不合题意； 综上所述，12a ≤. 法4：不等式()()222e e e 112ln 0x x x x xf x f x ax x x x---+⇔+⇔+-+≥≥≥，当12a ≤时，2222ln ln e e e 12ln 1ln 1ln e 1ln ex x x x x x ax x x x x x x x x x -----+-++-+=+-+=+-+≥. 令()e 1th t t =--，()e 1th t '=-，当(),0t ∈-∞时，()0h t '<()h t 单调递减，当()0,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 单调递增，∴()()00h t h =≥， ∴e 1tt +≥，当且仅当0t =时取等号. 令2ln t x x =--，则有2ln e 2ln 1x xx x ----+≥，即2ln e1ln x x x x ----≥，∴2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，∴此时不等式恒成立，符合题意.当12a >时，令()2ln u x x x =--，∵()110u =-<，()422ln 20u =->， ∴()u x 在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，020ex x -=，∴()0200000000e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x -+-+=+-+-=-<，不合题意.综上所述，12a ≤.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(二)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=≤，(){}2log1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A.[)1,+∞B.[)0,∞+C.（0，1）D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{}2A x x x=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2.已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （）A.12-B.23-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】()()()2i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=，因为复数z 为纯虚数，所以2020a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-.故选：D3.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD =（）A.43m n -B.43m n+ C.34m n -D.34m n+【答案】C 【解析】【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到2()22BC AC AM m n =-=-和AB AC BC =- 222m m n n m =-+=-，进而利用BD BC CD BC AB =+=- ，可得答案.【详解】如图，AC m =，AM n =，且在正方形ABCD 中，AB DC=12AC AM MC BC -==，2()22BC AC AM m n ∴=-=- ， AC AB BC =+，AB AC BC ∴=- 222m m n n m =-+=- ，∴BD BC CD BC AB =+=-= 22234m n n m m n--+=- 故选：C4.已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c >>B.a c b >>C.c a b >>D.a b c>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值0,1，使其和,,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值域可知，()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4 B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为32，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为a 3a =，根据该正四面体积的可得2163334a a ⨯⨯=21334324a ⨯⨯⨯，解得a =.所以该正四面体的高的最小值为66633a =⨯=.故选：B6.现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）A.514 B.314C.27D.17【答案】D 【解析】【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为284482-=-，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C 28=种情况所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287=.故选：D7.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11AD 上一点，且112A P PD =，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A. B.C.+D.+【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为112A P PD =，即11113D P A D = ，取11113D H D C =uuuu r uuuu r，连接11,,PH HC A C ，则11//HP AC ，又11//AC AC ，所以//HP AC ，所以,,,,A O C H P 共面，即过A ，P ，O 三点的正方体的截面为ACHP ，由题可知APCH ===，PH =，11A C =，所以过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为+.故选：D.8.不等式15e ln 1-≥+x a xx x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(,1e]-∞- B.(2,2e⎤-∞-⎦C.(,4]-∞- D.(,3]-∞-【答案】C 【解析】【分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x xa x x---≤>，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式15e ln 1-≥+x a xx x 对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x >，可得41e ,1ln x x xa x x---≤>恒成立，令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x---=>的最小值或范围问题；令1()e x g x x -=-，则1()e 1x g x -'=-，当1x <时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，所以4411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()*，当且仅当4ln 1x x -=时取等号，令()4ln 1h x x x =--，则44()1x h x x x-'=-=，当4x <时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，故min ()(4)34ln 40h x h ==-<，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值，即4ln 1x x -=在1x >时有根，即()*等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x---≥--=-，则41e 4ln x x xx---≥-，故4a ≤-，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为22210x y y +--=，若直线1y x =-上存在一点M ，使过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.1- D.【答案】AC 【解析】【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点M 、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC =以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210x y y +--=化为标准方程为：()2212x y +-=，圆心()0,1C ，，因为过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M 、圆心以及两个切点构成正方形，2MC =，因为M 在直线1y x =-上，所以可设(),1M a a -，则()22224MCa a =+-=，解得：2a =或0a =，所以()2,1M 或()0,1M -，故点M 的纵坐标为1或1-.故选：AC.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A.34a =B.221n n a a n +=++C.221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D.数列(){}1nn a -的前2n 项和的最小值为2【答案】ACD 【解析】【分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+,当21n k =-时，2212k k a a k -=+,联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，在逐项判断即可.【详解】令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k k k+++-==+++=⨯=+ .令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=.当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=.当n 为奇数时，()21112n nn aa n ++=++=，所以22n n a =，其中n 为偶数.所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确.所以233142a -==，故A 正确.当n 为偶数时，()22222222n nn n aa n ++-=-=+，故B 错误.因为()()222212211222n n n n a a n ----=-=，所以(){}1nna -的前2n 项和21234212nn nSa a a a a a -=-+-++-+()()121222212n n n nn +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ ，令()1n c n n =+，因为数列{}n c 是递增数列，所以{}n c 的最小项为1122c =⨯=，故数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2，故D 正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12.已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（）A.点F 到直线1l 的距离为655B.2p x +=C.221p px y ++的最小值为1 D.PA PB +的最小值为655【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，用点到直线的距离公式即可判断；对于B ，利用抛物线的定义即可判断；对于C ，利用基本不等式即可判断；对于D ，利用抛物线的定义可得到PA PB PF PB BF +=+≥，接着求出BF 的最小值即可【详解】由抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-可得抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0F ，对于A ，点F 到直线1l的距离为655d ==，故A 正确；对于B ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2P PF x =+，即2p x +=，故B 正确；对于C ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以28,0p p p y x x =≥，所以211221144111818888p p p pp p p p x x x x y x x x +=+=+=+++++1788≥=，当且仅当38p x =时，取等号，故C 错误；对于D ，由抛物线的定义可得PA PF =，故PA PB PF PB BF +=+≥，当且仅当,,P B F 三点共线时，取等号，此时1BF l ⊥，由选项A 可得点F 到直线1l的距离为5d =，故PA PB +的最小值为655，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin 3cos 0αα+=，则tan 2α=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用已知等式可求得tan α，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由sin 3cos 0αα+=得：sin 3cos αα=-，sin tan 3cos ααα∴==-，22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--.故答案为：34.14.函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()()0,0f 处的切线方程是______．【答案】310x y --=【解析】【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】()()ln 211f x x x =++-，∴2()121f x x '=++，则(0)213f '=+=，又()ln 201(0)011f =⨯++-=-Q ，∴切点为()0,1-，∴函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()0,1-处的切线方程是()130,y x +=-即310x y --=.故答案为：310x y --=.15.2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛，先要选4人站成一排拍照，且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答）【答案】3024【解析】【分析】分两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照；②若2名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照，则只选3名学生拍照，此时共有134284C C A 2688=种排列方法；②若2名老师都拍照，则只选2名学生拍照，先将学生排序，然后将2名老师插入2名学生所形成的空位中，此时，共有222823C A A 336=种排列方法.综上所述，共有26883363024+=种排列方法.故答案为：3024.16.已知A ，B 是双曲线22:124x y C -=上的两个动点，动点P 满足0AP AB += ，O 为坐标原点，直线OA 与直线OB 斜率之积为2，若平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为______．【答案】【解析】【分析】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,根据0AP AB += 得到122x x x =-，122y y y =-，根据点A ,B 在双曲线22124x y -=上则22212212416,248y x y x -=-=，代入计算得22220x y -=，根据双曲线定义即可得到12PF PF -为定值.【详解】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,则由0AP AB += ,得()()()112121,,0,0x x y y x x y y --+--=，则122x x x =-，122y y y =-，点A ,B 在双曲线22124x y -=上,222211221,12424x y x y ∴-=-=，则22212212416,248y x y x -=-=()()222212122222x y x x y y ∴-=---()()()2222121212121212828442042x x x x y y y y x x y y =+--+-=--，设,OA OB k k 分别为直线OA ,OB 的斜率,根据题意,可知2OA OBk k ⋅=,即12122y y x x ⋅=，121220y y x x ∴-=22220x y ∴-=，即2211020x y -=P ∴在双曲线2211020x y -=上,设该双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可知||12||||PF PF -为定值，该定值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()0a c a c b b a -++-=．（1）求C ；（2）若c =ABC 的面积是2，求ABC 的周长．【答案】（1）π3.（2）.【解析】【分析】（1）将()()()0a c a c b b a -++-=化为222a b c ab +-=，由余弦定理即可求得角C .（2）根据三角形面积求得2ab =，再利用余弦定理求得3a b +=，即可求得答案.【小问1详解】由题意在ABC 中，()()()0a c a c b b a -++-=，即222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，由于(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题意ABC 的面积是32，π3C =，即133sin ,2242ABC S ab C ab ab ===∴= ，由c =2222cos c a b ab C =+-得2223()6,3a b ab a b a b =+-=+-∴+=，故ABC 的周长为a b c ++=.18.已知数列{}n a 满足，()*1232311112222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >．【答案】（1）2nn a =（2）()12326n n S n +=-+【解析】【分析】(1)利用递推式相减得出2n n a =，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前n 项和【小问1详解】1232311112222n n a a a a n ++++= ，①则()12312311111122222n n a a a a n n --++++=-≥ ，②①-②得11(2)2n n a n =≥，则2(2)n n a n =≥，当n =1时，由①得1112a =，∴1122a ==，∴2n n a =.【小问2详解】易得()212nn b n =-，()123123512222n n S n =⋅+⋅+∴+-⋅+ ，①()21341232522212n n S n +=⋅+⋅+⋅+∴+- ，②②-①得()()34112122222n n n S n ++=--++++- ()()21228212n n n +++=----()12326n n +=-+，故()12326n n S n +=-+，当2n ≥时，()12320n n +->6n S ∴>19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）π4【解析】【分析】（1）先用几何关系证明π3A ∠=，然后根据余弦定理求出BD ，结合勾股定理可得BD AD ⊥，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，结合面面垂直的性质先说明可以在G 处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【小问1详解】取AB 中点E ，连接CE ，根据梯形性质和2AB CD =可知，CD //AE ，且CD AE =，于是四边形ADCE 为平行四边形，故2CE AD BE CB ====，则CEB 为等边三角形，故π3A CEB ∠=∠=，在ABD △中，由余弦定理，222π2cos 1648123BD AB AD AB AD =+-⨯⨯=+-=，故BD =，注意到22212416BD AD AB +=+==，由勾股定理，π2ADB ∠=，即BD AD ⊥，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，根据面面垂直的性质定理可得，BD ⊥平面APD .【小问2详解】过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，连接EG ，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PG ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理，PG ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，PG AD ⊥，故AG GD =（三线合一），由AE EB =和中位线性质，GE //BD ，由（1）知，BD ⊥平面APD ，故GE ⊥平面APD ，于是,,GA GE GP 两两垂直，故以G 为原点，,,GA GE GP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，BD ⊥平面APD ，又BD //y 轴，故可取(0,1,0)m =为平面APD的法向量，又P，(B -，根据题意，2BF FP = ，设(,,)F x y z，则()()1,2,,x y z x y z +-=--，解得12323,,333F ⎛- ⎝⎭，又(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(2,0,0)DA = ，42323,,333FA ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面FAD 的法向量(,,)n a b c = ，由00n DA n FA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0423230333a a =⎧⎪⎨--=⎪⎩，于是(0,1,1)n =- 为平面FAD 的法向量，故2cos ,2m n m n m n⋅=== ，二面角大小的范围是[]0,π，结合图形可知是锐二面角，故二面角F AD P --的大小为π420.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得，2 6.92s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在[]12.14,22.66以外的人数为Y ，求()1P Y ≥．2.63≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈．【答案】（1）17.4（2）0.3723【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式,即可求解.(2)根据已知条件,可知，217.4, 6.92μσ==，即可求出212.14,222.66μσμσ-=+=，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式,即可求解.【小问1详解】估计样本中女生短跑成绩的平均数为:()120.02140.06160.14180.18200.05220.03240.02217.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；【小问2详解】该校女生短跑成绩X 服从正态分布()17.4,6.92N ,由题可知217.4, 6.92μσ==， 2.63σ=≈，则212.14,222.66μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在[]12.14,22.66以外的概率为：1(12.1422.66)10.95450.0455P X -≤≤=-=，由题意可得,~(10,0.0455)Y B ,10(1)1(0)10.954510.62770.3723P Y P Y ≥=-==-≈-=.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为22，B 为椭圆C 上一动点，FAB 面积的最大值为212+．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于M ，N 两点，x 轴上点P 满足PM PN =，若MN FP λ=，求λ的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）λ=.【解析】【分析】（1）由题意可得22c e a ==，121()22a c b ++=，再结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，设0(,0)P x ，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由PM PN =可得0212x t =-+，再根据MN FP λ=可求得结果.【小问1详解】因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==，因为FAB面积的最大值为12+，所以121()22a cb ++=，因为222a bc =+，所以解得1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】(1,0)F -，设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，不妨设12y y >，设0(,0)P x ，由22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty +--=，则12122221,22t y y y y t t -+==++，所以12y y -==，因为PM PN =，所以2222101202()()x x y x x y -+=-+，所以222212102012220x x x x x x y y --++-=，所以12120121212()()2()()()0x x x x x x x y y y y +---+-+=，所以12120121212(11)()2()()()0ty ty ty ty x ty ty y y y y -+----+-+=，因为120y y -≠，所以12012(2)2()0t ty ty x t y y +--++=，所以20222222022t t t x t t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，所以20222222022t x t t --+=++，解得0212x t =-+，因为MN FP λ=，所以222MN FP λ=，0λ>，所以222212120()()(1)x x y y x λ-+-=+，222212120()()(1)ty ty y y x λ-+-=+2222120(1)()(1)t y y x λ+-=+，所以22222222288(1)(1)(2)(2)t t t t t λ+++=++，化简得28λ=，解得λ=±，因为0λ>，所以λ=22.已知函数()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+．（1）当1m =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,∞+上是单调递增的（2）2m ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导，从而确实()f x '为正及()f x 的单调性；（2）令()()()1(m )ln 1R x x x m x g =+--∈，然后分2m ≤和m>2两种情况讨论()g x 的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当1m =时，()1ln 1x f x x x -=-+，定义域为()0,∞+()()()()()2222212111121x x x f x x x x x x x +-+'=-==+++，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上是单调递增的.【小问2详解】当1x >时，()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+，()0f x >等价于()()()()1ln 1g m x x x m x R =+--∈，则()0g x >，1g ()ln 1x x m x '=++-，令()1ln 1m h x x x =++-，则22111()x h x x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，则()g x '在()1,+∞上是单调递增的，则()(1)2g x g m ''>=-①当2m ≤时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上是单调递增的，所以()(1)0g x g >=，满足题意．②当m>2时，(1)20g m '=-<，(e )e 1e 10m m m g m m --'=++-=+>，所以0(1,e )mx ∃∈，使00()g x '=，因为()g x '在()1,+∞上是单调递增的所以当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上是单调递减的，又(1)0g =，即得当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不满足题意．综上①②可知：实数m 的取值范围2m ≤.。
2024届河北省高三下学期省级联测考试数学试题及答案
2023—2024高三省级联测考试数学试卷班级__________姓名__________.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}{}210,2,3A x x x B =∈+-=N ∣…，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2,3B.{}0,2,3C.{}1,2,3D.∅2.已知复数z 满足()1i 1i z -⋅=+，则z =（ ）B.+ D.3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60 得到OB ，则OA AB ⋅=（ ）A.1B.-1C.2D.-24.已知π1cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.325-B.325C.2325-D.23255.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为,l P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为150 ，则PF =（ ）A.2B.43 C.13D.36.甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（）A.118 B.332 C.29 D.897.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于,P Q两点，若213PF PQ =，且212PF F F = ，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.4C.6D.38.设()2ln 10.1,sin0.1,21a b c =+==，则下列大小关系正确的是（ ）A.a b c << B.a c b <<C.c a b <<D.c b a<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（ ）A.111a b += B.25ab b+…C.4a b +…D.228a b +…10.下列说法正确的是（）A.若数据1,3,4,4,m 的极差和平均数相等，则174m =B.数据1,3,7,7,9,12,16的第80百分位数为10.5C.若()260,5X N ~，则()600.5P X =…D.若24,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，随机变量31Y X =-，则()7E Y =11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是,AB AD 的中点，P 为线段11C D 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，使得直线PM 与直线1AD 为异面直线B.存在点P ，使得MN PN⊥C.若P 为线段11C D 的中点，则三棱锥1P MNC -与三棱锥1C MNB -体积相等D.过,,M N P 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，若7m a m =+，则m =__________.13.已知圆22:2O x y +=，过点()1,3P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2PB PA=，则满足上述条件的一条直线l 的方程为__________.14.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若在区间[]0,π上有且仅有两个不相等的实数12,x x ，满足()()124f x f x +=，则ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos B b A b -=.（1）求A ；（2）若2a =，求2b c -的范围.16.（本小题满分15分）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人购车种类性别新能源汽车传统燃油汽车合计男20女50合计30100（1）补全上面的列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的A 型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A 型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.82817.（本小题满分15分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为113,60A AB A AD DAB ∠∠∠===.（1）证明：1BD AA ⊥；（2）延长1CC 到E ，使11C E C C =，求直线1AC 与平面BDE 所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知函数()e sin 1xf x a x =---在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极值点1x ，其中,e a ∈R 为自然对数的底数.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点.19.（本小题满分17分）信息熵是信息论之父香农（Shannon ）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X 所有可能的取值为()*1,2,,n n ∈N，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（1）当1n =时，计算()H X ；（2）若()11,2,,i p i n n== ，判断并证明当n 增大时，()H X 的变化趋势；（3）若()*2n m m =∈N，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+= ，证明：()()H X H Y >.2023—2024高三省级联测考试数学参考答案1.A 解析：因为()(){}{}2100,1A x x x =∈+-=N ∣…，又{}2,3B =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=.故选A.[命题意图]本题考查知识点为集合的运算､解不等式，考查了学生的数学运算素养.2.A 解析：因为1i +=，所以z ====，所以z =.故选A.[命题意图]本题考查知识点为复数的运算､共轭复数的概念，考查了学生的数学运算素养.3.B 解析：因为OA == ，且OB = ，所以()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选B.[命题意图]本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.4.C 解析：因为25πππππsin 2sin 2cos22cos 166266αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以5π123sin 2162525α⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选C.[命题意图]本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.5.B 解析：过点F 作PQ 的垂线，垂足为H ，则60QFH ∠= ，设FH x =，因为2QH =，所以2tan60x =，所以x =114,1333P PF ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选B.[命题意图]本题考查知识点为抛物线的定义，直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.6.C 解析：设A =“甲同学报的活动其他同学不报”，B =“4位同学所报活动各不相同”，由题得()()4333,4321n A n AB =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以()()()4321243339n AB P BA n A ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯∣.故选C.[命题意图]本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.7.D 解析：因为2122PF F F c == ，所以122PF a c =+ ，又213PF PQ =，所以24QF c = ，所以124QF a c =+ ，在12F PF 中，22222122(2)(2)(22)484cos 2228c c a c c ac a F F P c c c∠+-+--==⋅⋅，在12FQF 中，22222122(4)(2)(24)4164cos 24216c c a c c ac a F F Q c c c ∠+-+--==⋅⋅，因为1212cos cos 0F F P F F Q ∠∠+=，所以22222248441640816c ac a c ac a c c----+=，整理得()()330c a c a +-=，故3c a =，故离心率3ce a==.故选D.[命题意图]本题考查知识点为双曲线的离心率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.8.C 解析：令()()πln 1sin 02f x x x x ⎛⎫=+-<<⎪⎝⎭，则()1cos 1f x x x =-+'，令()()()21,sin (1)g x f x g x x x '++'==-.当π02x <<时，()g x '单调递增，()2π1πsin 0,01022π12g g ⎛⎫=-+>=-< ⎪⎝⎭⎛⎫'+ ⎪⎝⎭'，所以存在π0,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0g t '=，且当()0,x t ∈时，()()()0,g x g x f x ='<'单调递减；当π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()0,g x g x f x ='>'单调递增.又()π100,0π212f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭+''，所以存在π0,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f m '=，且当π,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；当()0,x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.又()ππ00,ln 11022f f ⎛⎫⎛⎫==+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当π02x <<时，()0f x <，即()ln 1sin x x +<.当0.1x =时，则()ln 10.1sin0.1+<，即a b <.令()()()2222114(1)ln (1),01(1)(1)x x h x x x h x x x x x x --=->=-=+'>++，所以()()10h x h >=，当 1.1x =时，则2ln1.121>，即a c >，故c a b <<.故选C.[命题意图]本题考查知识点为利用导数比较大小，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.9.ACD 解析：对于A ，由题可得ab a b =+，即111a b+=，故A 正确；对于()1B,221221a b b b b +=+-+-…，当且仅当1b =时，等号成立，故B 不正确；对于C ，()112224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭…，当且仅当2a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，2222()4822a b a b ++=……，当且仅当2a b ==时，等号成立，故D 正确.故选ACD.[命题意图]本题考查知识点为基本不等式，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.10.CD 解析：对于A ，当4m …时，1215m m +-=，解得174m =，当14m <…时，12415m+-=，解得3m =，当1m <时，1245mm +-=，无解，故A 不正确；对于B ，由于780% 5.6⨯=，所以数据1,3,7,7,9,12，16的第80百分位数为12，故B 不正确；对于C ，()260,5X N ~，则()600.5P X =…，故C 正确；对于D ，若24,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()28433E x =⨯=，所以随机变量Y 的期望()()()3131817E Y E X E X =-=-=-=，故D 正确.故选CD.[命题意图]本题考查知识点为数据的平均数､极差､百分位数以及正态分布､二项分布的计算，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.11.BCD 解析：对于A ，如图，连接11,AD BC ，由正方体的性质知，AB ∥11C D ，所以11,,,A B C D 四点共面，1,PM AD ⊂平面11ABC D ，故A 不正确；对于B ，如图，设CD 的中点为Q ，连接,,MQ PQ NQ ，若P 为11C D 的中点，则PQ ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以PQ MN ⊥，在NMQ 中，1MN NQ MQ ====，所以222MN NQ MQ +=，故MN NQ ⊥，又,,PQ NQ Q PQ NQ ⋂=⊂平面NPQ ，所以MN ⊥平面NPQ ，又PN ⊂平面NPQ ，所以MN PN ⊥，故B 正确；对于C ，如图，取11B C 的中点F ，连接,PF FM ，设AC BD O ⋂=，连接1,,NO MO OC ，则几何体1PC F NOM -为斜三棱柱，从而1111111113322224P MNC PC F NOM V V --==⨯⨯⨯⨯=，又1111111322224C MNB V -=⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D ，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，MN 看作弦），故过MN 的截面经过正方体的对称中心时所得截面面积最大，此时截面交棱1111,,DD BB B C 于中点，P 也为中点，取1DD 的中点11,E B C 的中点1,F BB 的中点G ，连接,,,,NE EP PF FG GM ，所以过,,M N P 三点的平面截正方体所得截面面积最大时，截面形状为正六边形，面积为21662NM ==D 正确.故选BCD.[命题意图]本题考查知识点为立体几何中线面位置关系，截面面积､锥体体积计算，考查了学生的直观想象､数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.12.8 解析：由题意得()1217m a m m =+-=+，解得8m =.[命题意图]本题考查知识点为等差数列的定义，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.13.1x =（或4533y x =+） 解析：由题意得圆心()0,0O，半径r PO ==>，故点P 在圆O 外，设点O 到直线l 的距离为d ，由2PB PA=，得PA AB =，即=，即=，解得1d =，当直线l 的斜率不存在时，即1x =，此时1d =，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为()13y k x =-+1，解得43k =，故直线l 的方程为4533y x =+.综上，直线l 的方程为1x =或4533y x =+.[命题意图]本题考查知识点为直线与圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.14.1325,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 解析：()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令π3t x ω=+，因为0πx ……，所以πππ33t ω+……，所以5π9πππ232ω+<…，解得132566ω<…，故ω的取值范围为1325,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.[命题意图]本题考查知识点为三角函数图象的性质，考查了学生的直观想象､謾辑推理与数学运算素养.15.解：（1sin sin cos sin A B B A B -=，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠cos 1A A -=，则π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，所以π3A =.（2）因为sin sin sin b c a B C A ====)2sin 2sin b c B C -=-，因为π1sin sin sin 32B C C C ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.所以3π2sin 4sin 26b c C C C ⎫⎛⎫-=-=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.因为2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π1sin ,162C ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π24sin 4,26b c C ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭.[命题意图]本题考查知识点为解三角形中的求角和取值范围问题，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.16.解：（1）单位：人购车种类性别新能源汽车传统燃油汽车合计男202040女501060合计7030100零假设0H ：购车种类与性别无关，220,001100(20105020)80012.69810.8284060703063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）由题得ξ的可能取值为0,2,3，()()()1213143344333C C C A C 3910,2,348416416P P P ξξξ⨯⨯=========，所以ξ的分布列为ξ023P 38916116因此，()391210238161616E ξ=⨯+⨯+⨯=.[命题意图]本题考查知识点为独立性检验､离散型随机变量的分布列及期望，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.17.解：（1）证明：如图，连接AC ，与BD 交于点O ，连接111,,A B A D AO ，由题意可得，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11A B A D =，所以1BD AO ⊥，因为ABD 是等边三角形，所以BD AO ⊥，又因为1AO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AO .因为1AA ⊂平面1A AO ，所以1BD AA ⊥.（2）过点1A 作12A A AC ⊥，垂足为2A ，由（1）可知，BD ⊥平面1A AO .因为12A A ⊂平面1A AO ，所以12BD A A ⊥.因为AC BD O ⋂=，所以12A A ⊥平面ABCD ，因为三棱锥1A ABD -为正四面体，所以2A 为ABD 的重心，则221223AA A O A A =====.以O 为原点，,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 垂直于底面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则133,,,0,,0,0,,022A A C B D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭，则(1AA = ，因为11C E C C =，所以(1122CE CC AA ===- ，所以E ⎛ ⎝，所以(()13,0,3,0,,2A C DB DE ⎛=-== ⎝ ，设平面BDE 的法向量为(),,n a b c =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以30,30,2b b =⎧⎪⎨++=⎪⎩令2a =，则n ⎛= ⎝ ，设直线1AC 与平面BDE 所成角为θ，则111sin cos ,n A C n A C n A Cθ⋅=== 所以直线1AC 与平面BDE.[命题意图]本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角，考查了学生的直观想象､逻辑推理与数学运算素养.18.解：（1）()e cos x f x a x =--'，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0,1x ∈，①当0a …时，()()0,f x f x '<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，没有极值点，不合题意；②当0a <时，e x y a =-与cos y x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上分别单调递增，显然()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()π2π01,e 02f a f a ⎛'⎫=--=-'> ⎪⎝⎭，所以()010f a =--<'，得1a >-，此时()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点1x ，所以当()10,x x ∈时，()0f x '<；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极小值点1x ，符合题意.综上，实数a 的取值范围为()1,0-.（2）证明：由（1）知10a -<<，所以当π3π,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x =-->'，所以当()10,x x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当13π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当()10,x x ∈时，()()010f x f a <=--<，则()10f x <，又因为3π23πe 02f a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 在13π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点，即()f x 在3π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点.[命题意图]本题考查知识点为导数与极值点､零点，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.19.解：（1）当1n =时，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=.（2）()H X 随着n 的增大而增大.当()11,2,,i p i n n == ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，设()*2log ,f n n n =∈N ，则()()()22211log 1log log 0n f n f n n n n ++-=+-=>，因此()H X 随着n 的增大而增大.（3）证明：若()*2n m m =∈N ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+= .2222111()log log m mi i i i i i H X p p p p ===-⋅=⋅=∑∑.122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --⋅+⋅++⋅+⋅ .()()()()122221212122311111log log log n m m m m n m m H Y p p p p p p p p p p p p -+-+=+⋅++⋅+++⋅=+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---⋅+⋅++⋅+⋅++++ .由于()01,2,,2i p i m >= ，所以21110i i m i p p p +->>+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >.[命题意图]本题考查知识点为对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析､思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养.。
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
第9讲 立体几何截面和交线问题(解析版)
第9讲 立体几何截面和交线问题1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 2413【解答】解：如图，延长EF ，FE ，分别交11B C ，11B A 的延长线于点H ，G 连结BG ，BH ， 分别交1AA ，1CC 于点I ，J ，则五边形BIEFJ 为所求截面．平面1//B C 平面1A D ，∴平面BGH 与之交线//IE BJ ，棱长为2的正方体1111ADCB A D C B -中，可得2242132()3BI GJ ==+，222131()3EI FJ ∴==+=2EF ，∴则过D ，E ，F 三点的平面截该正方体， 1321322(2213C ．2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．3225B ．442+C ．2225D ．2【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理）， AM ∴⊥平面DBE ， 取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ， 易求周长为3225， 故选：A ．3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为1053++． 【解答】解：如图所示：过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，由题意可得AE == 易知11D H =，可得HF =所以点H 为11A D的四等分点，可得5AH ===， 所以11114D H A D =， 过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ， 则△1AA H PCE ∆∽， 所以11AA CP A H CE =，解得83CP =， 所以截面与11BCC B的交线段长为103PE =，PF ，可得截面的周长10105533L AE EP PF FH HA =++++==++故答案为：1053+4．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为 2532 ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点， ∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面为梯形1APQD ， 22122222AD PQ ==+， 221215AP D Q ==+∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为：11532L AP PQ QD AD =+++=故答案为：2532．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 3225 ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ， 取11A D 中点F ，则α即为截面BEFD ，易求周长为3225故答案为32252．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与O 的距离为，∴2=， ∴最小截面的面积为224ππ=， 故选：B ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为2162⨯⨯=故选：D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A 33B 23C 32D 3【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大， 22， α截此正方体所得截面最大值为：232336()． 故选：A ．6．体积为183的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A ．[4π，12]πB ．[8π，16]πC ．[8π，12]πD ．[12π，16]π【解答】解：设3BC a =，则2R a =，体积为183的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，∴21391833a h =224h a ∴=， 222()(3)R h R a =-+，2222244(2)3a a a a∴=-+，2a ∴=，6BC ∴=，4R =， 点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，ODB ∴∆中，4OD OB ==，6DB =，3cos 4ODB ∠=， 31616244224OE ∴=+-⨯⨯⨯，截面垂直于OE 时，16822-，截面圆面积为8π， 以OE 所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π， ∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16]π． 故选：B ．7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是( ) A ．[2,2)ππB ．[2]ππC ．{2}πD ．2[)ππ 【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 设轴截面的中心角为2α，由条件得：42ππα<，2sin 22r r l α==， 解得2r，22222r l ππθπ==，∴22πθπ<， θ∴的取值范围是[2,2)ππ．故选：A ．8．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．14B 2C 3D ．1【解答】解：补成正方体如图：由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得1KL KN +=；又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥；KN KL ∴⊥，(2MNKL NK KL S NK KL +∴=⋅四边形21)4=， 当且仅当NK KL =时取等号．故选：A ．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 12π ． 【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为x ， 则由28x =，解得22x =222 其表面积为：222(2)22212S S S πππ=+=⨯⨯+=侧圆柱表底．故答案为：12π．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为162⨯⨯=．故答案为：．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为23π． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切，则球O 的半径为1，如图，设E 、F 、G 分别为球O 与平面ABCD 、平面11BB C C 、11AA B B 的切点， 则等边三角形EFG 为平面1ACB 截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF EG GF ===∴平面1ACB 截此球所得的截面圆的半径r =．∴截面的面积为223ππ⨯=． 故答案为：23π．9．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得：1111////A B m D C ，1111////A D n B C ， 从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当1x =；②当12x =；③当2x ①当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；②当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当2x =．以A 2其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；对照选项，B 正确． 故选：B ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条． 在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为：5326πππ+=． 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π【解答】解：如图，AP 1AN =，6APN π∠=，12NPM π∠=，∴2126MN ππ=⨯=．同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，2233GM ππ=⨯=，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于2366232πππππ+++=． 故选：D ．13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A ．29π B ．89πC ．169πD ．43π 【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，各侧棱长均为以O 为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体；而以O 为球心，2为半径的球正好在正方体的内部；则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的16； 因此以O 为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是314162639V ππ=⨯⨯⨯=，故选：C ．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O【解答】解：连结OE ，OF ，取EF 的中点M ，连结OM ． O 是正方体的中心，E ，F 是AD ，1CC 的中点，OE OF ∴=OM EF ∴⊥．又EF ==OM ∴． 球O 的半径为1r =，EF ∴被球O 截得弦长为23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN ⊥平面11BB D D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线1BD 上从点B 向1D 运动时，x 变大y 变大，直到P 为1BD 的中点时，y 最大为AC ； 然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样． 故答案为：②．24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于56π．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为5326GF EF πππ+=+=． 故答案为：56π．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A表面相交所得到的曲线的长等于． 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A的大圆上，因为AE =，11AA =，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF6π=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半，2FBG π∠=，所以弧FG2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为． 【解答】解：设以顶点A线是EFNM ，如图所示．则AE AF AM AN ====， 在直角三角形APE中，cos PAE ∠=，6PAE π∴∠=，∴()46ME ππ=-=，同理NF =； 在直角三角形PBC 中，2BPC π∠=，PE PF ==∴2EF π==在等边三角形ABC 中，MN AM ==，3MAN π∠=，∴3MN π==．则这条封闭曲线的长度为ME NF EF MN +++=．．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为半径的球与正方体表面的交线长为． 【解答】解：依题意，球心O 到正方体表面的距离为1， 设正方形ABCD 的中心为1O ，正方形ABCD 所在平面裁球O 所得的圆的半径1r =>． 故球O 与每一个面的交线均为四段圆弧，且13EO F π∠=．故四段圆弧的圆心角之和为2()4233πππ-⨯=，故一个面上的交线长23l π==，则66⨯=，29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 6π ．【解答】解：如图，不妨以D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以4为半径的四分之一圆周， 则弧长：111824AC ππ=⨯=． ∴该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为6π．故答案为：6π．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S【解答】解：如图当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，1AP QD ==，故可得截面1APQD 为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ <<，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故①正确；③当34CQ =时，如图，延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113C R =，故③正确；④由③可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当1CQ =时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，可证1//PC AF ，且1PC AF =，可知截面为1APC F 为菱形，故其面积为112AC PF ⋅，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 3(4，9]8．【解答】解：在1CC 上取点M 使得2CM CQ =，在1DD 上取点N ，使得DN CM =，连接BM ，AN ，MN ，CN ，AP ，则PQ 为BCM ∆的中位线，//PQ BM ∴，//DN CM =，CD CM ⊥，∴四边形CDNM 是矩形， ////MN CD AB ∴==，∴四边形ABMN 是平行四边形，//AN BM ∴，//AN PQ ∴，故截面多边形为梯形APQN ， 设CQ x =，则PQ =，2AN BM PQ ===， 取AD 的中点O ，过O 作OE AN ⊥，过D 作DF AN ⊥，则可证PE AN ⊥，则DF =，12OE DF ∴=，PE ∴∴梯形APQN的面积为S =102x<，∴3948S <．故答案为：3(4，9]8．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为．【解答】解：当1CQ =时，1C 与Q 重合，取11A D 中点E ，则菱形1APC E 就是过点A ，P，Q 的平面截正方体所得的截面， 1AC =PE =∴过点A ，P ，Q的平面截正方体所得的截面为：112S AC PE =⨯⨯=．．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC 中点E ，1CC 中点F ，则有六边形MQNPEF 为正六边形， 对于A ，根据正方体的对称性，可得点1C ，1D 到平面MQNPEF 的距离相等，A ∴正确； 对于B ，PN 与QM 为共面直线，故B 错；对于C ，在正六边形MQNPEF 中，设1PN =，则2PM =，MN =222MN PN PM ∴+=，则MN PN ⊥，故C 正确；对于D ，平面PMN 截该正方体的截面为正六边形，故D 正确． 故选：ACD ．15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球O 2D ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O ，1R =， 对于A ，当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1BB EG ⊥， 1BB BD B =，EG ∴⊥平面1BB D ，而1B D ⊂平面1BB D ，则1EG B D ⊥， 同理，FG ⊥平面1B CD ，可得1FG B D ⊥，EG FG G =，1B D ∴⊥平面EFG ，即OD 垂直于平面EFG ，故A 正确；对于B ，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ， OA ∴与平面EFG 相交，此时//OA 平面EFG 不成立，故B 错误； 对于C ，22516EF EC FC =+=+=EF 的中点M ， 由对称性可知，OE OF =，OM EF ∴⊥， 2OE =2222OM OE EM ∴=-O 到EF 的距离为22， ∴直线EF 的被球O 截得的弦长为22221()22R OM -=-故C 正确； 对于D ，设截面圆的半径为r ，O 到平面的距离为d ，则222r d R +=， 当O 到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小， O 到平面的距离小于等于O 到EF 的距离，∴当22d =时，2221()2min r =-= ∴半径最小的圆的面积为22r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．。
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破含详解
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破一、单选题1．下列命题错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是等腰三角形2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D ．截面面积最大值为24．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3O 的体积为( )A ．16πB ．163πC ．323πD ．5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．46V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，过点A 作截面则截面AEF ，则截面AEF 的周长的最小值为（ ）A B ．2 C ．3 D ．47．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形①截面的形状可能是正方形①截面形状可能是正五边形①截面面积最大值为则正确结论的编号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 8．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30，则截面的面积是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．10．直三棱柱111ABC A B C -中，若22BC AB ==，1AA AC ==M 是11B C 中点，过AM 作这个三棱柱的截面，当截面与平面ABC 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）A ．2BC D11．在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 上的点，3AB =，4BC =，5AC =，17CC =，过三点A 、M 、1C 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（ ）．A ．34B ．45C ．910D ．101112．已知球O 是正三棱锥P ABC -的外接球，3,AB PA ==点E 在线段AC 上，且3AC AE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是（ ） A ．2π B ．π C ．94π D ．74π 13．下列说法正确的是A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形14．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为（ ）A B C ．2 D 15．用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是2225cm π，则球心到截面的距离是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm 16．如图1-1-4所示的几何体：将它们按截面的形状分成两类时，下面分类方法正确的是（ ）A ．截面可能是圆和三角形两类B ．截面可能是圆和四边形两类C ．截面可能是圆和五边形两类D ．截面可能是三角形和四边形两类 17．在侧棱长为的正三棱锥中，，过 作截面，则截面的最小周长为（ ）A ．B ．4C ．6D ．1018．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，侧棱1AA ⊥底面ABC ，P ，Q ，R 分别在棱1AA ，AB ，11B C 上，2AP AQ ==，13B R =，过P ，Q ，R 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）A．截面是五边形B ．截面面积为C ．截面将三棱柱体积平分D ．截面与底面所成的锐二面角大小为π3 19．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75︒，这样的截面有（ ）A ．6个B ．12个C ．16个D ．18个 20．如图，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱,SA SC 作截面SAC ，则截面的面积为A ．232a B ．2a C ．212a D ．213a 21．棱长为a 的正方体，过上底面两邻边中点和下底面中心作截面，则截面图形的周长等于（ ）A ．2a + BC +D +b 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．35B ．35C ．92D ．98 23．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为S 1、S 2、S 3，则（ ）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 2<S 1<S 3D ．S 2>S 1>S 324．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 25．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A ．2BCD ．126．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A ．2BC ．4D ．32π 27．已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且3BD DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,4ππC ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．如图所示，在棱长为 6的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,A E F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A ．18+B ．C ．D ．10++二、多选题 29．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为30．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a 31．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V32．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A D 的中点，F 为1CC 上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则（ ）A ．平面α截正方体的截面可能是三角形B．当点F 与点1C 重合时，平面α截正方体的截面面积为C ．点D 到平面α D ．当F 为1CC 的中点时，平面α截正方体的截面为五边形33．正方体的截面可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．菱形D ．正六边形三、双空题34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A K KB =_______35．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 与1B 重合，此时截面把正方体分成体积之比为(01)λλ<<的两部分，则λ=______；若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为________．36．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是11A B ，AD ，11B C ，11C D 的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE 和该截面所成角的正弦值为______．37．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则球O 的表面积为________；若D 是AB 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的范围是________．四、填空题38．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则截面的面积为__________.39．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，截面的面积为3π，则球心O 到该截面的距离为______40．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；①截面形状可能为正方形；①截面形状不可能是正五边形；①截面面积最大值为其中所有正确结论的编号是______．41．体积为12的四面体ABCD 中，E F G 、、分别是棱AB BC AD 、、上的点，且2AE EB =，BF FC =，2AG GD =.过点E F G 、、作截面EFHG ，且点C 到此截面的距离为1.则此截面的面积是______.42．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为____．43．在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过点A 作截面AEF ，则截面最小的周长为______.44．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75。