2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案

专题03 三角函

数与解三角形

§3－1 三角函数的概念

【知识要点】

1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．

2．弧度rad 以及度与弧度的互化：οοο3.57)π180(rad 1,π180;≈===

r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==

αα⋅=x

y αtan

5．三角函数线：正弦线，余弦线OM ，正切线

6．同角三角函数基本关系式：⋅==+α

α

αααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2

π,

π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·

2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．

【复习要求】

1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】

例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；

(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且13

12

sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，

所以.2tan ,55cos ,5525

2sin ==-==-=-==

x y r x r y ααα

(2),13

12

3sin ,3||2

2=+=

+==y y y OP r α 得⎪⎩

⎪

⎨⎧=

+>1312

30

22y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．

例2 (1)判断下列各式的符号：

①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角

αα

2,2

的终边所处的位置．

解：如图3－1－1，图3－1－2

(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.

②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0

或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角

【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．

(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.

【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，

(3)分析：容易误认为

2

α

是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2

π(

α 是第二象限角，所以2k π＋

2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2

π

π2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3

，

可得

2

α

是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴

负半轴的角．

【评析】处理角的象限问题常用方法

(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π

180

(

rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2

ππ2π2Z ∈+

<

0<<α的错误写法．

例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知3

1

cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；

(3)已知tan α ＝－2，求值：①

α

αα

αcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．

解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0

⎪⎩⎪⎨⎧=+=1

cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=-=αα (2)因为03

1

cos <-

=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，

,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===

-=α

α

ααα 所以⋅-

=+3

24tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，

,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-

=--=α

α

ααα 所以⋅=

+3

24tan sin αα