2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案

专题03 三角函
数与解三角形
§3－1 三角函数的概念
【知识要点】
1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．
2．弧度rad 以及度与弧度的互化：οοο3.57)π180(rad 1,π180;≈===
r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==
αα⋅=x
y αtan
5．三角函数线：正弦线，余弦线OM ，正切线
6．同角三角函数基本关系式：⋅==+α
α
αααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2
π,
π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·
2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．
【复习要求】
1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】
例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；
(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且13
12
sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，
所以.2tan ,55cos ,5525
2sin ==-==-=-==
x y r x r y ααα
(2),13
12
3sin ,3||2
2=+=
+==y y y OP r α 得⎪⎩
⎪
⎨⎧=
+>1312
30
22y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．
例2 (1)判断下列各式的符号：
①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角
αα
2,2
的终边所处的位置．
解：如图3－1－1，图3－1－2
(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.
②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0
或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角
【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．
(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.
【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，
(3)分析：容易误认为
2
α
是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2
π(
α 是第二象限角，所以2k π＋
2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2
π
π2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3
，
可得
2
α
是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴
负半轴的角．
【评析】处理角的象限问题常用方法
(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π
180
(
rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2
ππ2π2Z ∈+
<<k k k α，注意防止2π
0<<α的错误写法．
例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知3
1
cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；
(3)已知tan α ＝－2，求值：①
α
αα
αcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．
解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0
⎪⎩⎪⎨⎧=+=1
cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=αα (2)因为03
1
cos <-
=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，
,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===
-=α
α
ααα 所以⋅-
=+3
24tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，
,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-
=--=α
α
ααα 所以⋅=
+3
24tan sin αα
综上所述：当α 为第二象限角时，32
4tan sin -
=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+3
24tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：
(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断
(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论
(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以
.cos 2sin ,2cos sin ααα
α
-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=α
α
αααα，
②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ， 因为⎩⎨
⎧=+-=1
cos sin cos 2sin 2
2ααα
α，得到51cos 2=
α，所以⋅=+5
2cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1
cos sin 2
=--+-=-+=-+=ααα
ααα
②原式⋅=+-=++=++=
5
2
14241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：
(1)可以利用α
α
αcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，α
α
αcos sin tan =，将弦化为切．
例4 求值：
(1)tan2010°＝______； (2))6
π
19sin(-＝______； (3)
⋅+---+-)
2
π
cos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα
解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3
3
30tan =ο (2)21
6πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-
或:2
1
6πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-
【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6
π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π
的
－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6
π
π--为第二象限角，正弦值为正．
(3)原式)
2
π
cos()πsin()]2π(πsin[)
cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅
⋅-=-=--=
αααααααααsin 1
sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin
【分析】αα-⨯=-2
π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π
3为第三象限角，正弦值为负，
2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2
πcos(=+-，所以原式αα
αααααcsc sin 1
sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.
【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要
灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．
例5 已知角α 的终边经过点)5
π
sin ,5
πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25
π4Z ∈+k k
解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5
π
sin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，
5
πtan 5πcos 5πsin tan -=-=
=x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25
π
4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，
所以，)(,π25
π
4Z ∈+=k k α，选D ．
例6 化简下列各式：
(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2
sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +
(3)化简)4πcos(4sin 21--
解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθ
θθθθ=
==， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθ
θ
sin cos cos sin ==⋅，
(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθ
θθθθθθθθθ
当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ
，
当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θ
θ
.
(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=
+=.
4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．
【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：
(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；
(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；
(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．
例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)2
0(L
r r <
<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以4
4214421)2(2121ππ2,22222222
++=++=+==⋅=+=θ
θθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844
244
=+⨯
≥++
θ
θθ
θ，当且仅当θ
θ4
=
，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．
此时16
812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162
L .
练习3－1
一、选择题
1．已知3
2
cos -
=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．5
5
±
2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4
π
π2α”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要不而充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )
A ．)4π
5,π()4π3,
2π(Y B ．)4π
5,
π()2π,4π(Y
C ．)2
π3,4π5()4π3,2π(Y
D ．)π,4
π3()2π,4π(Y
4．化简=+ο
ο
170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°
D ．－sin10°－cos10°
二、填空题
5．已知角α ，β 满足关系2
π
0;<
<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．
7．若2π
3π,sin <
<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2
π
4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．
三、解答题
9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求
(1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2
cos sin 22-－的值
10．已知2
1
tan =
α，求值： (1)α
αααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．
11．化简α
αααααααtan 1
tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k
§3－2 三角变换
【知识要点】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；
⋅+-=--+=
+β
αβ
αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(
2．正弦、余弦、正切的二倍角公式
sin2α ＝2sin α cos α ：
cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；
⋅-=
α
α
α2
tan 1tan 22tan 【复习要求】
1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】
例1 (1)求值sin75°＝______；
(2)设54sin ),π,2
π(=∈αα，则=+)4
πcos(α______； (3)已知角2α
的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；
(4)求值=+-ο
ο
15tan 115tan 1______．
解
：
(
1
)
=
︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 2
2
2322+
⨯
2
1
⨯
426+=
． (2)因为5
3cos ,54sin ),π,2π
(-==
∈ααα所以， 102
7)5
453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα
(3)由三角函数定义得，34
2
tan 12
tan
2tan ,22
tan
2-=-=
=αα
αα
， 所以7
1tan 1tan 1tan 4
πtan 14π
tan
tan )4πtan(-=-+=-+=
+ααααα. (4)
3
3
30tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-
⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1ο
οοοοοοοo
【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=
+
和α
α
αtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12
π
sin 12πcos
3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++ο
ο
ο
37tan 23tan 337tan 23tan o
______． 解：(1)原式)12
π
sin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(
2-=-= 24
π
sin 2)12π3πsin(2==-=.
【评析】辅助角公式：
,cos ),sin(cos sin 2
2
22b
a a x
b a x b x a +=
++=+ϕϕ
⋅+=
2
2sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12
π
sin 2112πcos 23(
2 -12πcos 6π(cos 2.24
π
cos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=
(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，
原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°
＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-
2
1 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=
+β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(
∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒
︒-︒
+︒=
+=οοο
∴,37tan 23tan 3337tan 23tan ο
οοο-=+
∴337tan 23tan 337tan 23tan =++ο
οοo ．
【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α
＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．
例3 41
)tan(,52)tan(=-=
+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知13
12)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4π
cos(+α的值．
解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，
=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 18
13
4
15214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+
=-+--++βαβαβαβα，
(2)∵)π,4
π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π
∈-∈+ββα，
又∵5
3)sin(-=+βα，∴54
)cos(=+βα；
∵1312)4πsin(=-β，∴135
)4πcos(-=-β．
)
4π
sin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65
561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关
系
，
如
α
ββαααββα2)(,4
π
)4π()(，+-=+=--+++=)(βα
)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．
例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为
5
52,
102.
(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．
解：由三角函数定义可得55
2cos ,10
2cos ==
βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==
βα，因此tan α ＝7，2
1
tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=
+β
αβ
αβα；
(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2
=-=
βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+β
αβ
αβα， ∵α ，β 为锐角，∴4
π
32,2π320=
+∴<
+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌
握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．
例5 化简(1)
1
2
cos
2
sin
22
sin 22cos 2
-+α
α
α
α
；(2).2sin 3)4
π
cos()4πcos(2x x x +-+
解：(1)原式⋅+-=--=--=-=
)4
π
sin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 2
2
cos 22)(sin 22cos 22(
2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=
⋅+=+=+=)6
π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x
法二：,2π
)4π()4π(=--+
x x 原式x x x 2sin 3)4
π
cos()]4π(2πcos[2+--+=
x x x x x 2sin 3)2
π
2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=
⋅+=+=)6
π
2sin(22sin 32cos x x x
【评析】
在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注
意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．
例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求1
2cos 2sin )
4π
sin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62
-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =
α，所以4
1cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 22
1)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=
α
αααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．
(2)因为32sin 32cos 32sin 32
2cos 16+-=-+⋅
x x x x
3233)6
π
2cos(323)2sin 212cos 23(
32-=++=+-=x x x 所以0)6
π
2sin(,1)6π2cos(=+-=+
x x 2
1
6πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x
【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α
ααα-=
+=
和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．
练习3－2
一、选择题
1．已知53sin ),π,2
π(=∈αα，则)4
π
tan(+α等于( ) A ．
71 B ．7 C ．7
1
-
D ．－7
2．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．2
3-
B ．
2
1 C ．
2
3 D ．2
1-
3．=-o
30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°
4．若
22
)
4
π
sin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( )
A ．2
7-
B ．2
1-
C ．
2
1 D ．
2
7 二、填空题 5．若5
3
)2πsin(
=+θ，则cos2θ ＝______． 6．
=-ο
ο10cos 310sin 1______．
7．若5
3
)cos(,51)cos(=-=
+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知3
1
tan -=α，则
=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2
tan cos 1cos .2cos 12sin α
αααα
10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求α
αcos )4π
2sin(21--的值．
11．已知α 为第三象限角，且3
3cos sin =
-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；
(2)求α
α
α
α
α
cos 8
2
cos 112cos
2sin
82
sin 52
2
-++的值．
§3－3 三角函数
【知识要点】
1
2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．
3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=
T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：|
|π
ω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．
【复习要求】
1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．
2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．
3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】
例1 求下列函数的定义域
(1)x
x
y cos 2cos 1+=
；(2)x y 2sin =.
解：(1)cos x ≠0，定义域为},2
π
π|{Z ∈+
≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象
(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2
π
ππ|{Z ∈+
≤≤k k x k x
例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(
x y -=；(2))4
π
2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．
解：(1)π|
2|π2=-=
T ．(2)22
ππ
==T ．
(3)2
14cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .
(4)1)4
π
2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．
(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．
【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=
T (正余弦)或|
|πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．
例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为
2
π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2
π
2π(lncos <<-
=x x y 的图象( )
解：(1),,4
4cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x
x x x x x x f 周期为
2
π
，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立，
即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，
即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．
【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．
(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，
2
π
)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．
例4 求下列函数的单调增区间
(1))3
π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π
2sin(2-∈+
=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23
π
sin(2x y -=
解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，
由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π
14π43π8π4+
≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3
π
14π4,3π8π4[，
(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6
π
π,3ππ[
然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6
π5,π[--和]0,3π
[-，
(3))3
π
2cos(2)2sin 232cos 21
(2+=-
=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6
π
5π,3ππ[
(4)原函数变为)3π2sin(2-
-=x y ，需求函数)3
π
2sin(-=x y 的减区间， 2
π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π
11π12π5π+≤≤+
k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12
π
11π,12π5π[Z ∈++k k k
【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．
求三角函数单调区间的一般方法：
(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．
例5 求下列函数的值域
(1)函数1)6
π
21cos(2++
-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合
(2))3
π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3
π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x
解：(1)当
Z ∈+=+k k x ,ππ26
π21时，1)6π
21cos(-=+x ，函数的最大值为3，
此时x 的取值集合为},3
π
5π4|{Z ∈+=k k x x
(2)结合正弦函数图象得：当)3π
2,6π(-∈x 时，1sin 2
1≤<-x
该函数的值域为(－1，2]
(3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．
)6π
,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，
,3π
23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x Θ
设3π2+=x t ，则原函数变为3
π
23π,cos 2<<-=t t y ，
结合余弦函数图象得：1cos 2
1
≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．
(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，
设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅+
+-=2
3)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为2
3
，所以函数的值域为].2
3
,3[-
【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法： (1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理． (2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )
A ．3π,1=
=ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6
π
,21-==ϕω
解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ
2π4=
=T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3
π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6π
πω，选C
例7 (1)将函数x y 2
1sin =的图象如何变换可得到函数)6π
21sin(+=x y 的图象
(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3
π
2sin(2-=x y 的图象
解：(1)x y 2
1sin =−−
−−−−−−→−个单位
图象向左平移
3π
)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−
−−−−→−个单位
图象向右平移
3π)3
πsin(-=x y −−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来
图象上点的纵坐标不变21
,)3π
2sin(-=x y
−−−−−−−−−−−−−−−→−倍
纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3
π2sin(2-=x y
法二：y ＝sin x −−
−−−−−−−−−−−−→−倍
横坐标变为原来
图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin = −−−−−−−−→−个单位图象向右平移
6π
)6
π
(2sin -=x y
−−−−−−−−−−−−−−−→−倍
纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3
π2sin(2-=x y
【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的
先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．
例8 (1)函数)3
π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3
π4-
=x B ．6
π5-
=x C ．3
π-
=x D ．3
π2=
x (2)函数)3
π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标
解：(1)法一：)3
π21
sin(2-=x y 的对称轴为
Z ∈+=-k k x ,2
π
π3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3
π
-=x ，选C
法二：将四个选项依次代入)3
π
21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项
当3π-
=x 时，22
π
sin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C (2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π
2π
对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12
π
52π
所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12
π
52π(
【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．
例9 已知函数)0(),2
π
sin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3
π
2,
0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．
(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x x
x f ωωωcos sin 32
2cos 1)(+-=
2
1)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=
x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π
2=ω
，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π
76π26π≤-≤-x ，
结合正弦函数图象，得1)6
π
2sin(21≤-≤-x
因此23
21)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]2
3,0[
(3)由(1)得)6
π
2sin(21)(2-=-=x x f y
(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．
【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．
练习3－3
一、选择题
1．设函数),2
π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为
2π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π
2sin(
C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(
D ．R ∈+=x x y ),32π
2sin(
3．函数)3π
2sin(+=x y 的图象( )
A ．关于点(3π，0)对称
B ．关于直线4π
=x 对称
C ．关于点(4π，0)对称
D ．关于直线3
π
=x 对称
4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2
π
3,2π(内的图象大致是( ）
二、填空题
5．函数)2
πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2
πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．
7．函数)2
π
0,0)(sin(<
<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．
8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题
9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34
sin 324cos 4sin
2)(2+-=x
x x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3
π
()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．
11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2
ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜
x 1－x 2｜的最小值为2
π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3
π
,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．
§3－4 解三角形
【知识要点】
1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝π
A C
B -=+π,
2
π
222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理
正弦定理：
r C
c
B b A a 2sin sin sin ===，(r 为△AB
C 外接圆的半径)． 余弦定理：ab
c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+
=
-+=-+=&. a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．
3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：
2
1
=
∆ABC S ×底×高.
21=
∆ABC S ab sin .sin 2
1
sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．
【复习要求】
1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；
2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】
例1 (1)在△ABC 中，3=
a ，
b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )
A ．60°
B ．30°
C ．120°
D ．60°或120° (2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若3
1
tan =
A ，C ＝150°，BC ＝1，则A
B ＝______． 解：(1)∵
,23
sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a ο
又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，
(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，
∴,120,2
1
22cos 222ο=∴-=-=-+=
C ab ab ab c b a C (3)∵
C
c
B b A a sin sin sin =
=，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴2
1
852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=
ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于3
1
tan =
A 求sin A 210
,150
sin 10
101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A οΘΘ. 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．
例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
解：(1)法一：B
b
A a sin sin =
Θ
，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，
∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，
∴A ＝B 或2
π
=
+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，
∴ac
b c a b bc a c b a 2)
(2)(222222-+=-+，
整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．
所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．
(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，
∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．
【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑
(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，
(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．
例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；
(2)若△ABC 的面积为C sin 6
1，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得
⎪⎩⎪⎨
⎧=++=++AB
AC BC AC BC AB 21
2，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 6
1sin 21=⋅=，得31
=⋅AC BC ，
因为2=
+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，
可得3
4
2
2
=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=
⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．
例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和
b c ＝32
1
+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．
在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，
因为B
B
B B B B
C b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin οοο+⋅=+==
.32
1
21tan 123+=+=
B
所以⋅=
2
1tan B 【评析】体现了将已知条件(边
32
1
+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．
例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3
π
=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．
解：(Ⅰ)由余弦定理ab
c b a C 2cos 2
22-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，
又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 2
1
=C ab ，得ab ＝4．
联立方程组⎩
⎨⎧==-+,4,
422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．
(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，
(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6
π,2π====
b a B A ，
当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，
联立方程组⎩⎨⎧==-+,
2,422a b ab b a 解得3
3
4,332=
=b a . 所以△ABC 的面积332sin 2
1==
C ab S .
【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．
例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．
解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBD
CD
BDC BC ∠=∠
所以)
sin(sin sin sin βαβ
+=∠∠=
⋅s CBD BDC CD BC ．
在Rt △ABC 中，⋅+=
∠=⋅)
sin(sin tan tan βαβ
θs ACB BC AB
例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，
sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，
所以tan A ＝1，4π=
A ，可得
B
C +=4π3， 所以02sin sin )22
π
3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，
sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12
π
,3π2,21cos ==-=C B B .
【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用．
练习3－4
一、选择题
1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3
B ．2:3:1
C ．1∶4∶9
D ．3:2:
1
2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3
π
==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1
B ．2
C ．13-
D ．3
3．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 2
5
=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．
3
5
B ．
4
5 C ．
5
5 D ．6
5
二、填空题
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3
π
,3=
=C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(2
22=
-+，则角B 的值为______．
7．设△ABC 的内角6
π
=
A ，则2sin
B cos
C －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题
9．在△ABC 中，5
3tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．
10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的
小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．
11．在三角形ABC 中，5522
cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．
专题03 三角函数与解三角形参考答案
练习3－1
一、选择题：
1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π
(-
6．16 7．
21m
m - 8．23- 三、解答题
9．解：(1)⋅-=+=-
=>5
5cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=
⋅+
=-=-=5
5
21sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=
αα(2)原式.0tan 1tan 212
=+-=α
α
11．解：当k 为偶数时，原式
.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=ααααα
ααα
αααααα 当k 为奇数时，原式01cos sin )
cos (sin =+-=α
ααα，综上所述，原式＝0．
练习3－2
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-
6．4 7．21 8．6
5- 三、解答题 9．解：左边===
==
2tan 2cos 22cos
2
sin
22
cos
2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααα
α
αα
ααααα右边.
10．解：原式)sin (cos 2cos 1
cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααα
αααααα-=-+-=--=
， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以5
3
cos =α， 所以原式5
14
=
. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2
-=-＝
31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2
+=+＝3
5，
因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0，
所以3
15cos sin -
=+αα. (2)原式α
α
αα
α
αα
α
αcos cos 3sin 4cos )
12
cos 2(3sin 4cos 82
cos 6sin 452
2
+=
-+=
-++=
3tan 4+=α，
因为
51tan 1
tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531
515tan -=+-=α， 所以原式.52932
5
34-=+-⨯
= 练习3－3
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题
5．2 6．2 7．)3π
2sin(+=x y 8．]2,8
9[- 三、解答题
9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2
-=+-=＝)4
π
2sin(2-x . (1)Z ∈+=-
k k x ,2π
π4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8
π
7π8π3π，
f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π
7π,8π3π[．
10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3
π
2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f
∴f (x )的最小正周期.π42
1π
2==T
当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3
π
2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．
(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π
()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又
⋅=+=++=∴2
cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(x
x x x g
).(2
cos 2)2cos(2)(x g x
x x g ==-=-Θ
∴函数g (x )是偶函数．
11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯
=a x x a x x
x f ωωωω
,1)6
π
2sin(2+++=a x ω
由满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2
π
，可得的最小正周期为π，所以ω ＝1．。