高中数学 数形结合思想

第二讲 数形结合思想

知识整合

数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

1.数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用

典题例析

例1 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx

－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( D )

A ．[0，1

2)

B ．[1

2，＋∞)

C ．[0，1

3

)

D ．(0，1

2

]

[解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1．

而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1

x ＋1－1(x ∈(－1,0])．

如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图象，

而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图象交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图象为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．

如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12，直线PO 的斜率为k 2

＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图象有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2

]．

规律总结

利用数形结合求方程解应注意两点

1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．

2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

|2x ＋1|，x <1，log 2

(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1

＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为__1__.

[解析] 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1

2对称，所以x 1＋x 2＝－1．又1

x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1．

2．(2019·辽宁模拟)f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

[解析] 令2sinπx －x ＋1＝0，则2sinπx ＝x －1，令h (x )＝2sinπx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sinπx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (5

2)，

g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.故选B.

2.数形结合化解不等式问题

典题例析

例2 (1)(2019·四川模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)

D ．(－1，＋∞)

[解析] 方法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <(1

2)x .在同一平面直角坐标系内作出

直线y ＝x －a 与y ＝(1

2)x 的图象，如图，由题意，知在(0，＋∞)上，直线y ＝x －a 有一部分

在曲线y ＝(1

2

)x 的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，故选D.

方法二：不等式2x (x －a )<1可变形为a >x －(12)x .记g (x )＝x －(1

2)x (x >0)，易知g (x )为增函

数，又g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞)．故a >－1．故选D.

(2)已知关于x 的不等式x >ax ＋32的解集为{x |4

2 .

[解析] 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋3

2

(x ≥0)．

因为x >ax ＋3

2

的解集为{x |4

所以两函数图象在4g (x )，如图所示．

当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩

⎨

⎧

4＝4a ＋3

2

，

b ＝ab ＋3

2

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝18，

b ＝36，

所以ab ＝1

8

×36

＝92

. 规律总结

1．数形结合思想解决参数问题的思路

(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解． 2．常见的数与形的转化