高等数学上册知识点总结

高等数学上册知识点

高等数学上册知识点文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(00x f x f x=→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= 2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lima x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ）a) x e x ~1- （a x a xln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学(上册)重点总结

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

大一上学期高数知识点大全

大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。

希望对你的学习有所帮助！。

高数上册知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

高数上册知识点

高数上册知识点
1. 极限呐，这可太重要啦！就像你跑步要跑到终点一样，极限就是函数接近的那个值哟。

比如说，1/x 当 x 趋近于无穷大时，它的极限不就是 0 嘛！
2. 导数呀，不就是变化率嘛！就好比汽车的速度，速度快变化就大呀。

像求曲线 y=x^2 的导数，得到 2x，这就能知道它在各个点的变化快慢喽。

3. 连续可不能小瞧哦！可以想想水流，一直不间断就是连续呀。

比如函数 y=sinx 就是连续的嘛。

4. 微分呢，就有点像把一个东西拆得更细致呀。

比如说一个面包，微分就是把它分成很小很小的部分。

像 y=x^2 的微分就是 2xdx 呀。

5. 积分呀，不就是把那些小部分又合起来嘛！类似把面包碎块再拼成一个完整面包哟。

求曲线下的面积不就是用积分嘛。

6. 无穷小和无穷大就像两个极端呀！无穷小接近 0，无穷大就超级大嘛。

想想 1/x，当 x 很大很大时，不就接近无穷小啦。

7. 函数的单调性和极值也很有趣呀！就好像爬山，有上坡有下坡，还有山顶这个极值点。

比如 y=x^3-3x，就能找到它的极值点呐。

我觉得呐，高数上册的这些知识点真的很神奇，能让我们看到数学世界里好多奇妙的现象呢！。

高等数学(上)总结

高等数学(上)总结.doc高等数学（上）知识点总结第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：函数是定义域到值域的一种对应关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

1.2 极限定义：极限描述了函数在某一点或无穷远处的行为。

运算法则：加、减、乘、除、复合等。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：函数值趋于零的量。

无穷大：函数值趋于无穷的量。

1.4 连续性定义：函数在某一点的极限等于函数值。

性质：连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续的。

间断点：第一类间断点和第二类间断点。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：导数是函数在某一点处的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的切线斜率。

物理意义：速度、加速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于研究函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某一点处的线性主部。

几何意义：局部线性逼近。

第三章：积分3.1 不定积分定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

基本积分表：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

3.2 定积分定义：在区间上函数平均值的极限。

几何意义：曲线与x轴围成的面积。

3.3 积分技巧分部积分法、换元积分法、有理函数积分等。

第四章：级数4.1 数项级数收敛性：正项级数、交错级数、比值判别法等。

4.2 幂级数泰勒级数：函数在某点的幂级数展开。

4.3 函数项级数一致收敛性：函数序列的极限。

第五章：多元函数微分学5.1 偏导数定义：函数对某一变量的局部变化率。

5.2 全微分定义：函数在多元变量上的微分。

5.3 隐函数微分法定义：隐函数的导数和微分。

5.4 多元函数的极值拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。

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高等数学上册知识点第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限：右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。

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高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

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高等数学（上)重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则（1）＊夹逼准则（2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较＊高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系：连续，反之不然。

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永不改变年轻时的梦想
10 页共 19 页 3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的。 2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的； b) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的。 3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点。（五）不等式证明 1、利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）。（六）方程根的讨论
永不改变年轻时的梦想
7 页共 19 页（三） Taylor公式 n阶Taylor公式： 10)1(00)(200000)()!1()()(!)( )(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 在0x与x之间. 当00x时，成为n阶麦克劳林公式： 1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf 在0与x之间. 常见函数的麦克劳林公式： 1）12)!1(!1!211nnxxnexnxxe
永不改变年轻时的梦想
1 页共 19 页高等数学上册第一章函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0x连续 )()(lim00xfxfxx 第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限 1、定义 1）数列极限

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高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→间断点第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义1）数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c) x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +） e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- , 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1）导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） Taylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=，设特解)(*x Q e x y m xkλ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳

24、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义3、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价4、连续与间断点的分类1、连续的定义*在点连续)(x f a )()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(5、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理8第4章不定积分1、不定积分的概念*若在区间上，，I dx x f x dF x f x F )()(),()(=='亦则称.)()(的原函数为x f x F 称全体原函数F(x)+c 为f(x)的不定积分，记为.⎰dx x f )(2、微分与积分的互逆关系1、⎰⎰=⇔='dxx f dx x f d x f dx x f )()()(])([2、⎰⎰+=⇔+='cx f x df c x f dx x f )()()()(3、积分法*1、凑微分法*2、第二类换元法3、分部积分法* ⎰⎰-=du v uv udv4、常用的基本积分公式(要熟记).第5章定积分1、定积分的定义 ∑⎰=→∆∆=ni i i x ba x f dx x f 1)(lim )(ξ2、可积的必要条件有界.3、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.4、几何意义定积分等于面积的代数和.。

高等数学上册知识点[汇编]

高等数学上册知识点[汇编]一、初等数学1、代数式：代数式是由变量和常数组成的一组等式或不等式，通过研究其意义来求解变量的值。

代数式简化、消去、变形也是研究问题的重要方式之一。

2、有理式：有理式是由有理数组成的一组等式或不等式，以求得变量的值。

它对变量的特性有相当深入的研究，并且可以进行更精确的判断和有效的解决问题。

易于理解，所得结果具有数学上的理论性。

3、函数：函数，通常指的是从一个变量到另一个变量的变换，这种变换具有一定的函数关系，一般也可以称为函数式，Mode等。

4、分式：分式是两个或多个有理式的分数的乘积或除法，是用来求值的重要工具。

分式可以根据特定情况进行加减乘除法，以达到简化和消去目的。

二、集合1、集合：集合是任意一组任意一些元素构成的具有特性的全体，可以构成任意的集合。

集合可以理解为元素间具有某种规律性的一个整体，对元素的运算可以使用其它的定义及一些证明的定理。

2、集合运算：集合运算指的是在集合中进行的一系列运算，包括交集、并集、补集等，又称为逻辑学运算。

它可以把不同类型的集合以及它们之间的关系表示出来，以帮助剖析集合问题。

3、集合多重性：集合多重性可以定义并比较集合大小，从而可以判断两个集合是否有关联性，以及推断集合问题的结果。

集合多重性也可以求解一组有关集合或数据的性质，而不要求考虑内部数据的具体内容。

三、统计1、概率：概率是数学中计算某一事件发生的可能性。

概率可以用来预测某事情发生的可能性以及预测某事情发生的结果，它可以根据大量实验数据来推断与探索现象的规律。

2、概率分布：概率分布是指每一次试验的结果的分布，可以具体表示为概率质量函数及概率密度函数。

它不仅可以表示出所有可能结果的概率，而且可以有效地生成理想的结果，从而获得更准确的数据分析结果。

3、统计推断：统计推断是从一组已知统计数据中推断一个均值或中心值的过程，包括抽样统计、估计、预测及分析等多种方式，以期获得可靠的数据分析结果。

(完整版)高数知识点总结(上册)

xfdy)('
)('xfdxdy
xffxf)0()0()(' xnxn111
xxsin（x用弧度） xxtan（x用弧度）
xe12 xx)1ln(
)(xf满足下列条件
（1）在闭区间ba,上连续
（2）在开区间ba,内具有导数
（3）在端点处函数值相等，即)()(bfaf，则在ba,内至少有一点，使0)('f
x处有定义
（2）当
xx时，)(xf的极限)(lim
xfxx存在
（3）极限值等于函数)(xf在点
x处的函数值)(0xf
如果函数)(xf在点
x处连续，由连续定义可知，当0xx时，)(xf的极限一定存在，反
分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)
定理：如果函数)(xf、)(gx在点
如果（1）ax时，)(xf与)(x都趋于无穷大
（2）在点a的某领域（点a可除外）内，)('xf与)('x都存在且0)('x
（3）)()(lim''xxfax存在（或为），则则极限)()(limxxfax存在（或为），且)()(limxxfax
)()(lim''xxfax
2、x情形
x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在
x也连续
定理：如果函数)(xfy在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数
(yx
定理：设函数)(xf在闭区间ba,上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上必有最大值和最小
推论：如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上有界
结论：如果函数)(xf在某区间上连续，则在这个区间上)(xf必有原函数

高数重要知识点

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小;3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：10)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达H L 'ospital 法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 1∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法则时必须注意以下几点： 1洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； 2只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；3洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆如果存在8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 如果存在三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f x 的间断点;如果f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 是f x 的第一类间断点;第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点; 2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点;常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点;四．闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质;这些性质以后都要用到;定理1．有界定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则f x 必在a ,b 上有界;定理2．最大值和最小值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m ;定理3．介值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于m 和M 之间的任何实数c ,在a ,b 上至少存在一个ξ ,使得f ξ = c推论：如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且f a 与f b 异号,则在a ,b 内至少存在一个点ξ ,使得f ξ = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1.复合函数运算法则设y = f u ,u = x ,如果 x 在x 处可导,f u 在对应点u 处可导,则复合函数y = f x 在x 处可导,且有)('))(('x x f dxdudu dy dx dy φφ==对应地dx x x f du u f dy )('))((')('φφ==,由于公式du u f dy )('=不管u 是自变量或中间变量都成立;因此称为一阶微分形式不变性; 2.由参数方程确定函数的运算法则设x = t ,y =)(t ϕ确定函数y = yx ,其中)('),('t t ϕφ存在,且)('t φ≠ 0,则)(')('t t dx dy φϕ= 二阶导数3.反函数求导法则设y = f x 的反函数x = gy ,两者皆可导,且f ′x ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g4 隐函数运算法则可以按照复合函数理解设y = yx 是由方程Fx , y = 0所确定,求y ′的方法如下：把Fx , y = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y ′ 的表达式允许出现y 变量 5 对数求导法则指数类型如x x y sin =先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y ′; 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数注意定义域 P106 例6关于幂指函数y = f xg x 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行; 6 可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在0x 处可导;7 求n 阶导数n ≥ 2,正整数先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性,然后写出yn ,最后用归纳法证明;有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=5x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；3 f a = f b 则存在ξ ∈a ,b ,使得f ′ξ = 0二 ★拉格朗日中值定理证明不等式 P134 9、10设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；则存在ξ ∈a ,b ,使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f x 在a ,b 内可导,且f ′x ≡ 0,则f x 在a ,b 内为常数;推论2．若f x , gx 在a ,b 内皆可导,且f ′x ≡ g ′x ,则在a ,b 内f x = gx + c ,其中c 为一个常数; 三柯西中值定理设函数f x 和gx 满足：1在闭区间a ,b 上皆连续；2在开区间a ,b 内皆可导；且g ′x ≠0则存在ξ ∈a ,b 使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形gx = x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;四 ★泰勒公式① 估值 ② 求极限麦克劳林 P145 T10 定理 1．皮亚诺余项的n 阶泰勒公式设f x 在0 x 处有n 阶导数,则有公式,称为皮亚诺余项对常用的初等函数如x e ,sin x ,cos x ,ln1+ x 和α)1(x + α 为实常数等的n 阶泰勒公式都要熟记;定理2拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f x 在包含0 x 的区间a ,b 内有n +1阶导数,在a ,b 上有n 阶连续导数,则对x ∈a ,b ,有公式,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式;当0x =0 时,也称为n 阶麦克劳林公式;导数的应用一基本知识设函数f x 在0x 处可导,且0x 为f x 的一个极值点,则0)('0=x f ;我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然;极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断; 极值点判断方法)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点；②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点.② 第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点.二凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x ,恒有则称f x 在I 上是凸凹的;在几何上,曲线y = f x 上任意两点的割线在曲线下上面,则y = f x 是凸凹的;如果曲线y = f x 有切线的话,每一点的切线都在曲线之上下则y = f x 是凸凹的; 2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点; 3 凹凸性的判别和拐点的求法设函数f x 在a ,b 内具有二阶导数)(''x f ,如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f > 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凹的；如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f < 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凸的; 求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数)(''x f ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标; 四渐近线的求法五曲率第四章不定积分一基本积分表：二换元积分法和分部积分法换元积分法1第一类换元法凑微分：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2第二类换元法变量代换：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律;记住口诀,反对幂指三为)(x u ,靠前就为)(x u ,例如xdx e x arcsin ⎰,应该是x arcsin 为)(x u ,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他; 三有理函数积分有理函数：)()()(x Q x P x f =其中)()(x Q x P 和是多项式; 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=⑵))(()()(b x a x x P x f ++=⑶ba x x P x f ++=2)()()(1、“拆”；2、变量代换三角代换、倒代换、根式代换等.第五章定积分一概念与性质1、定义：∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：10条（3）3 基本定理变上限积分：设⎰=Φxadtt f x )()(,则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ N —L公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰4 定积分的换元积分法和分部积分法第六章定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积： a 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba xdx x f V )(2πb 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=baydx x xf V )(2π 柱壳法2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=,两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=,设x y u =,则dxdux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =,两边积分n 次；2、),(y x f y '=''不显含有y ,令p y =',则p y '=''；3、),(y y f y '=''不显含有x ,令p y =',则dy dppy =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ,特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=,其中 } ,max{n l m =,⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

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高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→间断点第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义1）数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c) x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +） e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- , 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1）导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） Taylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=，设特解)(*x Q e x y m xkλ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

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高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

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高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

大学高数上册知识点总结

大学高数上册知识点总结第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求*面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的'基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

4.掌握不定积分的换元积分法。

第五章：定积分1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。

2.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。

高等数学上册知识点总结

高等数学上册知识点总结第五章定积分一、用定积分的几何意义和性质计算定积分1.计算下列定积分（1）42(3)d ;2x x -+⎰ （2）21||d ;x x -⎰ （3）3;x -⎰ 2.设1331113()d 18,()d 4,()d 3.f x x f x x g x x ---===⎰⎰⎰求（1）11()d ;f x x -⎰（2）31()d ;f x x ⎰ （3）13()d ;g x x -⎰ （4）311[4()3()]d .5f xg x x -+⎰第二节微积分基本公式二、积分上限的函数的导数3.计算下列各导数（1）20d ;d x t x ⎰ （2）32d d x x x ⎰ （3）cos 2sin d cos()d ;d x x t t x π⎰ （4）0()sin d ;xy x t t t =-⎰（5）1()d ;y f tx t =⎰4.设f (x )在[0,+∞)内连续且f (x )>0.证明：函数00()d ()()d xx tf t t F x f t t=⎰⎰在（0，+∞）内为单调增加的函数。

三、和积分上限的函数有关的极限问题5.求（1）21cos 2d lim.t xx e tx-→⎰（2）2220020(d )lim.d xt xx t e t te t→⎰⎰四、牛顿—莱布尼茨公式6.计算（1）21d ;1xx -+ （2）121d ;x x--⎰ （3）2()d ,f x x ⎰其中21,1;()1, 1.2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩第三节定积分的换元积分法和分部积分法五、换元积分法一）根式代换法（换元必换限，换限必对限）（当被函数含有根式，且根式下的式子为关于x 的一次函数或一次函数的分式时） 7.计算（1）4;x ⎰（2）1;x -⎰ （3）41;x ⎰（4）1;x （5）112.x ⎰二）线性代换法8.计算（1）3sin()d ;3x x πππ+⎰ （2）132d ;(115)x x -+⎰ 9.设函数21,0,1cos (), 0.x x x f x xe x π-⎧-<<⎪+=⎨⎪≥⎩计算41(2)d .f x x -⎰三）和三角函数有关的定积分10.计算（1）52cos sin d ;x x x π⎰（2）0;x π⎰（3）22cos cos 2d .x x x ππ-⎰（4）31sin d ;x x π-⎰（5）226cos d ;x x ππ⎰四）三角代换11.计算（1）;x ⎰（2）1六、分部积分法（反对幂三指）12.计算120arcsin d .x x ⎰13.计算1.x ⎰结论：定积分公式22001331........, ;2422sin d cos d 1342......., 1.253n nn n n n n n I x x x x n n n n n πππ--⎧⎪⎪-===⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰为正偶数为大于的正奇数14.计算41.x ⎰第四节反常积分七、无穷限的反常积分15.计算反常积分2d .1x x +∞-∞+⎰16.计算反常积分d .pt te t +∞-⎰17.证明：反常积分d .paxx +∞⎰（a >0）当p >1时收敛；当p ≤1时发散.(记住结论)八、无界函数的反常积分18.计算反常积分0).aa >⎰19.讨论反常积分121d xx -⎰的敛散性.20.求反常积分+∞⎰第六章定积分的应用第二节定积分在几何学上的应用九、平面图形的面积一）利用直角坐标计算平面图形的面积21.计算由两条抛物线：y 2=x ,,y =x 2所围成的平面图形的面积. 22.计算抛物线y 2=2x 与直线y =x-4所围成的平面图形的面积.二）由曲线的参数方程计算平面图形的面积23.求椭圆22221x y a b+=所围成的平面图形的面积.十、利用极坐标计算平面图形的面积24.计算阿基米德螺线(0)a a ρθ=>上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积.25.计算心形线ρ=a (1+cos θ)（a >0）所围成的图形的面积.十一、旋转体的体积26.连接坐标原点O 及点P （h ,r ）的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形.将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体.计算这个圆锥体的体积.27.计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.28.计算由摆线x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )相应于0≤t ≤2π的一拱与直线y =0所围成的图形，分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.十二、平行截面面积为已知的立体的体积29.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成α角.计算这平面截圆柱体所得立体的体积。