高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用

重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型

——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型

【命题趋势】

函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型

【满分技巧】

一、求函数的定义域的依据

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)

n k k N *=∈其中

中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.

3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 二、抽象函数及定义域求法

1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;

2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.

3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.

三、函数解析式的四种求法

1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．

（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题 （1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围； （2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；

（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得

()f x 。

3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式， 然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．

4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭

f x 、1⎛⎫

- ⎪⎝⎭

f

x ……的方程，

求()f x 解析式。例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫

⎪⎝⎭

f x ）的条件，

可把x 代为-x （或者把x 代为

x

1

）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x 四、求函数值域的7种常用求法

1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．

（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． （2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． （3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．

2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．

（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而

利用图象求得函数的值域．

3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.

4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．

（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：

①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．

②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，

形如+=+ax b y cx d

或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域

可用此法以+=

+ax b

y cx d

为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=

+

+a e

y c cx d

的形式， 第二步，求出函数=

+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax b

y cx d

的值域。 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：f

ex dx c

bx ax y ++++=22

将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。