高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用

重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型
——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型
【命题趋势】
函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型
【满分技巧】
一、求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)
n k k N *=∈其中
中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.
3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法
1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;
2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.
3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.
三、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题 （1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围； （2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；
（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得
()f x 。

3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式， 然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭
f x 、1⎛⎫
- ⎪⎝⎭
f
x ……的方程，
求()f x 解析式。

例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫
⎪⎝⎭
f x ）的条件，
可把x 代为-x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x 四、求函数值域的7种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． （2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． （3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而
利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如+=+ax b y cx d
或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域
可用此法以+=
+ax b
y cx d
为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=
+
+a e
y c cx d
的形式， 第二步，求出函数=
+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax b
y cx d
的值域。

6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：f
ex dx c
bx ax y ++++=22
将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域。

应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。

另外，此种形式还可使用分离常数法解法。

7、导数法：对可导函数()f x 求导，令()0f x '=，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

【热点题型】
第2天 掌握不等式性质应用和一元二次不等式的解法
【题型1 具体函数的定义域求解】
【例1】（2022·福建·泉州五中高三期中）已知集合{}2
45|A y y x x ==--，
(){}
2lg |1B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,+∞
C ．[)9,+∞
D ．[)()9,11,--⋃+∞ 【答案】D
【解析】()2
245299y x x x =--=--≥-，故{}|9A y y =≥-，210x ->，解得：1x >或
1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，所以[)
()9,11,A B =--+∞.故选：D
【变式1-1】（2022·安徽·高三阶段练习）函数()()
lg 12
x f x x +=
-的定义域是（ ） A ．()1,-+∞ B ．[)1,-+∞ C ．()()1,22,-⋃+∞ D ．[)()1,22,-⋃+∞ 【答案】C
【解析】由题可得+1>0
20
x x ⎧⎨-≠⎩解得1x >-且2x ≠.故选:C.
【变式1-2】（2022·北京通州·高三期中）函数1
()ln(1)f x x x
=+-的定义域是______. 【答案】(1,0)(0,)-+∞
【解析】函数1
()ln(1)f x x x =+-，定义域满足100x x +>⎧⎨≠⎩
，解得：1x >-且0x ≠
所以函数的定义域为：(1,0)(0,)-+∞.
【变式1-3】（2022·海南·高三阶段练习）已知正数a ，b 满足2
,log b a
a b a b
==，
则函数()f x =
___________. 【答案】(]0,2
【解析】由log b a
a b =可得a b b a =，即2a
b b b =，所以22a
a b b
=⇒=，代入2a b =
即22b b =，解得2b =或0b =（舍），则4a =，所以(
)f x =，40
1log 02
x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，
解得02x <≤，所以函数定义域为(]0,2
【题型2 抽象函数定义域的求解】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知2(1)f x -的定义域为[0，3]，则(21)f x -的定义域是（ ）
A ．90,2⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．90,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．31
11,022⎡⎤
⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， D ．9,2⎛
⎫
-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】∵2(1)f x -的定义域为[0]3，
，∴03x ≤≤，∴2118x -≤-≤，在(21)f x -中1218x -≤-≤，解得902x ≤≤
，所以函数(21)f x -的定义域为90,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．故选：B
【变式2-1】（2022·江苏·宝应县曹甸高级中学高三期中）已知函数(21)y f x =-的
定义域是[]2,3-，则
y =
的定义域是（ ） A ．[]2,5- B ．(]2,3- C ．[]1,3- D ．(]2,5- 【答案】D
【解析】因为函数(21)y f x =
-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，所以5215,x -≤-≤
所以函数()y f x =的定义域为[]5,5-，要使
y =
有意义，则需要55
20
x x -≤≤+>⎧⎨⎩，解得25x -<≤，所以
y =的定义域是(]2,5-.故选：D.
【变式2-2】（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义
域为()1,+∞，则函数()()23x
F x f =- ）
A ．(]2,3
B ．(]2,3-
C ．[]2,3-
D ．(]0,3 【答案】A
【解析】由题可知，2
23123330x x x x x >⎧->⎧⇒⇒<≤⎨
⎨≤-≥⎩⎩
，故函数()F x 的定义域为(]2,3，故选：A ．
【变式2-3】（2022·河北·开滦第一中学高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，则函数()(
)2g x f x = ）
A ．[]1,2
B ．[]1,4
C ．1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】由题意得：22222+log 0
x x -≤≤≥⎧⎨⎩，解得：114x ≤≤，即()g x 的定义域为1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.故
选：D.
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 的定义域为(0,1)．若10,2
c ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
则函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为__． 【答案】(,1)c c -.
【解析】由题意可得0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，解得，11c x c c x c
-<<-⎧⎨<<+⎩，因为10,2c ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以
11c c c c -<<-<+，所以1c x c <<-．故函数的定义域(,1)c c -.
第3天 掌握其他不等式的解法和一元二次不等式恒成立问题模型
【题型3 已知函数定义域求参数】
【例3】（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）若函数
()ln 2y x +的定义域为[)1,+∞，则=a （ ）
A ．-3
B ．3
C ．1
D ．-1 【答案】A
【解析】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩
，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，
所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-，故选：A
【变式3-1】（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三阶段练习）“04a <<”是“函数()2
1
1
f x ax ax =
-+的定义域为R ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】因为函数()2
1
1
f x ax ax =
-+的定义域为R ，所以210ax ax -+≠对任意x ∈R 恒成立.i.0a =时，10≠对任意x ∈R 恒成立；ii. 0a ≠时，只需240a a ∆=-<，解得：04a <<；所以04a ≤<.记集合()0,4A =,[)0,4B =. 因为A B ,所以“04a <<”是“函数()21
1
f x ax ax =
-+的定义域为R ”的充分不必
要条件.
【变式3-2】（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习）若函数
()()23log 4f x ax ax =-+的定义域为R ，则a 的取值范围是______．
【答案】[)0,16
【解析】函数()()2
3log 4f x ax ax =-+的定义域为R ，即240ax ax -+>恒成立，
当0a =时，符合题意；当0a ≠时，有()2
Δ160
a a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得016a <<. 综上可得a 的取值范围是[)0,16.
【变式3-3】（2022·上海·同济大学第一附属中学高三阶段练习）已知函数
y R ，则实数m 的取值范围为___________.
【答案】01m ≤≤
【解析】由于函数y R ，则对R x ∀∈,2210mx mx -+≥恒成立，当0m =时，显然满足要求，当0m ≠时，则0m >且244001m m m ∆=-≤⇒<≤， 综上得：01m ≤≤.
【变式3-4】（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，
2()(23)g x f x mx =-+，若1a >且()g x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
【答案】m <
【解析】由题得22
()(23)log (23)a g x f x mx x mx =-+=-+，因为函数的定义域为R ，
所以2230x mx -+>的解集为R ，所以24120m -<，所以m <.
所以实数m 的取值范围为m <.
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足
()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()32f x x =+
B ．()32f x x =-
C ．()34f x x =-+
D ．()34f x x =-- 【答案】AD
【解析】设()f x kx b =+，由题意可知()()()2
98f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，
所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩
，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--.故选：AD.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数，且满足
()()13f x f x -=+，()01f =，()10f =，求函数()f x 的解析式.
【答案】()214133
f x x x =-+
【解析】设()()2
0f x ax bx c a =++≠，()()13f x f x -=+，f x 关于2x =对称，即
22b a -=；又()01f =，()10f =，102
2c a b c b
a ⎧⎪=⎪∴++=⎨⎪⎪-=⎩，解得：13431a
b
c ⎧=⎪⎪
⎪=-⎨⎪=⎪⎪
⎩
，
()214133f x x x ∴=-+.
【变式4-2】（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(1)4f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）当[]1,5x ∈-时，不等式()4f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2()25f x x x =-+；（2）12m <.
【解析】（1）依题意，设2(),0f x ax bx c a =++≠，
则221112()()()()()f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++，
于是得221
a a
b =⎧⎨+=-⎩，解得1,2a b ==-，有2()2f x x x
c =-+，(1)14f c =-=，解得5c =，
所以()f x 的解析式是2()25f x x x =-+.
（2）由（1）知，不等式2()465f x x m m x x >+⇔<-+，令2()65g x x x =-+，
依题意，存在[]1,5x ∈-，()m g x <成立，而2()(3)4g x x =--，则当=1x -时，
max ()12g x =，即12m <，所以实数m 的取值范围是12m <.
【变式4-3】（2020·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足
()()12f x f x x +-=，()01f =
（1）求()f x 的解析式；
（2）当[]1,1x ∈-，求()f x 的值域．
【答案】（1）()2
1f x x x =-+；（2）3
,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）设二次函数()2
()0f x ax bx c a =++≠，由()01f =，可得=1c
()()()()()2
2111f x f x a x b x c ax bx c +-=++++-++22ax a b x =++=，则2=2+=0a a b ⎧⎨⎩，解之
得=1=1
a b -⎧⎨⎩，则二次函数的解析式为()2
1f x x x =-+ （2）由（1）得，()2
1f x x x =-+，[]1,1x ∈-，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,12⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
单调递增，又()13f -=，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f =，则当[]1,1x ∈-时()f x 的值域为3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足()19f =-，且不等式()30f x x +<的解集为()1,4-． （1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 在[]0,x t ∈时的值域为[]13,4--，求t 的取值范围，
【答案】（1）()264f x x x =--；（2）[]3,6
【解析】（1）因为()f x 为二次函数，所以()30f x x +<为一元二次不等式，
故可设()()()314f x x a x x +=+-，所以()()2
314f x ax a x a =-+-，
由()19f =-，得639a --=-，所以1a =，所以()2
64f x x x =--；
（2）因为()()2
264313f x x x x =--=--，所以当3x =时，()f x 取最小值13-，
又由()4f x =-，得0x =或6x =，所以结合()f x 的对称性，可知[]30,t ∈，且6t ≤， 所以36t ≤≤，所以t 的取值范围为[]3,6
第4天 掌握基本不等式求最值和基本不等式恒成立问题模型
【题型5 换元法与配凑法求解析式】
【例5】（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数()f x 满足
()2243f x x x +=+-，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()27f x x =-
B ．()27f x x =+
C ．()2
1f x x x =+- D ．()22f x x x =-+
【答案】A
【解析】22(2)43(2)7f x x x x +=+-=+-，所以2()7f x x =-，故选：A ．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知()1ln f x x +=，则()f x =（ ） A ．()ln 1x + B ．()ln 1x - C ．ln 1x - D ．()ln 1x - 【答案】B
【解析】因为()1ln f x x +=，所以0x >，令()11t x t =+>，则1x t =-， 所以()()ln 1f t t =-，因此，()()ln 1f x x =-.故选：B.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知24
2
41
1f x x x x ⎛⎫+
=+ ⎪⎝
⎭
，则()f x =__________.
【答案】22x -，[)2,x ∞∈+
【解析】2
2422421112f x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，又2212x x +≥=当且仅当
221x x =
，即1x =±时等号成立.设221
t x x
=+，则2t ≥，所以()()222f t t t =-≥ 所以()()2
22f x x x =-≥
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2
2
23lg 4
x f x x -=-，求()
f x 的解析式． 【答案】()()3
lg
11
x f x x x +=>- 【解析】由题意知2
204
x x >-，即2x >或<2x -，令23t x =-，则1t >．① 则23x t =+（1t >），代入函数式得()3
lg 1t f t t +=-，由301
t t +>-，得3t <-或1t >．②由①②知，
1t >，所以()()3
lg
11
x f x x x +=>-．
【题型6 方程组法求解析式】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知1
2()(0)f x f x x x ⎛⎫
+=≠ ⎪⎝⎭
，求()f x 的解
析式___________. 【答案】()21
33x f x x
=
-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 【解析】因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫
+=≠ ⎪⎝⎭
，所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，消去1
f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭解
得()21
33x f x x
=-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )满足3f (x ﹣1)+2f (1﹣x )=2x ，则f (x )的解析式为___________. 【答案】f (x )=2x 25
+
【解析】根据题意3f (x ﹣1)+2f (1﹣x )=2x ，用x +2代替x 可得3f (x +1)+2f (﹣1﹣x )=2x +4，…①用﹣x 代替x 可得3f (﹣x ﹣1)+2f (1+x )=﹣2x …②，①②消去
f (﹣1﹣x )可得：5f (1+x )=10x +12，∴f (x +1)=2x 125+
=2(x +1)25+，f (x )=2x 2
5+
.
【变式6-2】（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））已知函数f （x ）满足
()()2232f x f x x x +-=-．
（1）求f （x ）的解析式；
（2）若关于x 的方程()()12f x m x n =-++有3个不同的实数解，求m 的取值范围．
【答案】（1）()22f x x x =-；（2）(0,)+∞
【解析】（1）由22()()32f x f x x x +-=-①，可得()()2
232f x f x x x -+=+②，
联立①②可得()2
2f x x x =-；
（2）由题可知22(|1|2)x x m x n -=-++，令t ＝x －1，则()2
120t m t n --+-=，
设()()2
12g t t m t n =--+-，则
()()()()()2
21212g t t m t n t m t n g t -=----+-=--+-=，所以函数
()()212g t t m t n =--+-为偶函数，又已知关于t 的方程()2120t m t n --+-=有3
个不同的实数解，由对称性可得0为方程()2
120t m t n --+-=的解，所以()00g =，
可得210m n ++=，所以20t m t -=有3个不同的实数解，又不等式2
0t m t -=可化
为2
0t m t -=，所以0t =或t m =，所以t m =有两个根，所以0m >，所以m 的取
值范围为(0,)+∞．
【变式6-3】（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数()f x
的定义域为[]1,2，且满足()()()2361f x f x x --=-． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的值域．
【答案】（1）()()212f x x x =≤≤；（2）153,8⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）由题意得：()()()2362f x f x x --=-，
由()()()
()()()2361
2362f x f x x f x f x x ------⎧⎪⎨⎪⎩
得：()()212f x x x =≤≤.
（2）t ，则[]0,1t ∈，2
1x t =+，
()()2
22
115
2122248f t t t t t t ⎛⎫∴=-+=-+-=--- ⎪⎝⎭
，
∴当14
t =
时，()max 15
8f t =-；当=1t 时，()min 91523168f t =-⨯-=-；()f x ∴的值域为
153,8⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
.
第5天 掌握复数的简单运算和复数的几何意义及应用
【题型7 函数值域的常用求法】
【例7】（2022·河北·模拟预测）已知13m <≤，则23244
m m m m m ++++的取值范围为
（ ） A ．31,134⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．31,134⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】∵13m <≤∴原式()()()232221441414
m m m m m
m m m m m m m ++===+++++++
令()2
4m f m m =+，则
()()()()
2
2
2
2
2
2
2
42444m m m f m m m +--'==++，
当()1,2m ∈时，()0f m '>，()f m 在区间()1,2上单调递增， 当()2,3m ∈时，()0f m '<，()f m 在区间()2,3上单调递减， 又∵()211
1145
f =
=+，()23333413f ==+，()()13f f <，()2212244f ==+，
∴当(]1,3m ∈时，()11,54f m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴当13m <≤，2
3244
m m m m m ++++的取值范围是11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选：D.
【变式7-1】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；②()21y f x =-；③
()12f x y -=；④()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】B
【解析】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；
对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件；对于④，因为()12f x ≤≤，
()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件.故选：B.
【变式7-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设定义在
R 上的函数()f x 满足()01f =，且对任意的x 、R y ∈，都有
()()()()21f xy f x f y f y +=⋅-26x -+，则函数()g x x = ）
A ．[)1,+∞
B ．[)1,-+∞
C ．[)0,∞+
D ．1,2
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】令0x y ==，得()()()()21000206f f f f =⋅--⨯+，即()13f =；
令0y = ，则()()()()210026f f x f f x =⋅--+，即()21f x x =+； ()g x x =
1
()),g 2x x x =≥-∴0t ≥，则21
2
t x -=，2211(1)1122t y t t -=
-=--≥-
所以()g x x =[)1,-+∞.故选：B.
【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）函数(
))R f x x =∈的值域
为______.
【答案】⎣⎦
【解析】R x ∈，
30x ∴+>，设(
)y f x ==
()
312sin x y x -=--
，即()
312sin x y x =+
，化得：
312sin cos sin()y x x x ϕ-=+
sin()x ϕ=+
，
sin()1x ϕ=+≤
（其中tan ϕ=.化得：24630y y --≤，解此不等式
y ≤
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）
求函数21y x =-______． 【答案】(,0]-∞
0t ≥，则221x t =-，所以2
2
11
24
y t t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--=-++．
又0t ≥，所以0y ≤
，即函数21y x =-(,0]-∞．
【题型8 根据最值求解参数范围】
【例8】（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数12
(32)4,1()log ,1
a x a x f x x x --<⎧⎪
=⎨≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．22,3⎡
⎫
-⎪⎢⎣
⎭
B ．2,23
⎛⎤- ⎥⎝⎦
C ．2,3⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭ D ．20,3⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】当1x ≥时，()12
log f x x =，其值域为(],0-∞，当1x <时，()()324f x a x a
=--的值域应包含()0,∞+，所以()f x 为减函数，所以320a -<，且()32140a a -⨯-≤，解得223
a -≤<.故选：A
【变式8-1】（2022·浙江·高三专题练习）已知函数
()cos cos 2sin 44f x x x a x b ππ⎛⎫⎛⎫
=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为[]1,4-，则a b +=（ ）
A ．
134 B ．94 C ．134或3
4
D ．134或94
【答案】C
【解析】∵()cos cos 2sin 44
f x x x a x b ππ
⎛⎫⎛⎫
=-+++ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，∴
()()22211
cos sin 2sin sin 2sin 22
f x x x a x b x a x b =
-++=-+++，令sin ,[1,1]t x t =∈-，设()21
22
g t t at b =-+++
，则()g t ∈[]1,4-，当1a ≤-时，()g t 在[1,1]-上单调递减， ∴()()11242
11212g a b g a b ⎧
-=--+=⎪⎪⎨⎪=-++=-⎪⎩，解得542a b ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩，∴34a b +=，当1a ≥时，()g t 在[1,1]-上单调递增，∴()()11212
11242g a b g a b ⎧
-=--+=-⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩
，解得542a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴134a b +=，
当10a -<<时，()()()()2
max min 142
1121
2g t g a a b g t g a b ⎧==++=⎪⎪⎨⎪==+-=-⎪⎩
，无解，
当01a ≤<时，()()()()2
max min 142
1121
2g t g a a b g t g a b ⎧==++=⎪⎪⎨⎪=-=-+-=-⎪⎩
，无解.综上，34a b +=或134a b +=.
故选：C.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2
2f x x x =-，
()()20g x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．132⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
C ．(]0,3
D ．[)3,+∞ 【答案】D
【解析】∵函数()2
2f x x x =-的图象是开口向上的抛物线，且关于直线1x =对称
∴[]11,2x ∈-时，()f x 的最小值为()11f =-，最大值为()13f -=，可得()1f x 值域为
[]1,3-，又∵()()20g x ax a =+>，[]21,2x ∈-，∴()g x 为单调增函数，()2g x 值域为
()()1,2g g -⎡⎤⎣⎦即()[]22,22g x a a ∈-+，∵[]11,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =， ∴21
3223a a a -≤-⎧⇒≥⎨
+≥⎩
，故选：D.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2lg 22y ax x =-+的值域为R ，
则实数a 的取值范围为________． 【答案】10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】令()222g x ax x =-+，函数()2lg
22y ax x =-+的值域为R ，R x ∴∈，
()222g x ax x =-+要取遍所有正数.当0a =时，()22g x x =-+，符合题意，故0a =可
取；当0a ≠时，0Δ480
a a >⎧⎨=-≥⎩解得102a <≤，综上所述a 的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
【变式8-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．
【答案】0⎡⎢⎣
⎦
【解析】当0m =时，()f x ==[0，+∞），满
足条件；令()()2
21g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥ 当m ＜0时，()g x 的图象开口
向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象
开口向上，只需()2
210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0，
∴m ≤≤0m > ，所以0m <≤综上，0m ≤≤
∴实数m 的取值范围是：0⎡⎢⎣
⎦.
【变式8-5】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21x f x a =--的值域为[1,)-+∞，则实数a 的一个取值可以为___________. 【答案】1
【解析】如果0a ≤ ， ()2121x x
f x a a =--=--，其值域为()1,a --+∞ ，
11a --≥- ，不符合题意；如果0a > ，当2log x a = 时，20x a -= ，
2x a - 就是把函数2log x a <的部分 以x 轴为对称轴翻折上去，∴此时2x
a -的最
小值为0，()21x
f x a =--的最小值为-1，值域为[)1,-+∞ ，所以()0,a ∈+∞ ，不
妨取1a =.
【变式8-6】（2022·北京师大附中高三阶段练习）已知函数()3213
f x x x =-． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在区间(]1,m -上的取值范围是4
,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，求m 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为(),0∞-，()2,+∞；单调递减区间为()0,2；（2）[]2,3
【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为R ，()()222f x x x x x '=-=-，
∴当()(),02,∈-∞+∞x 时，0f
x
；当()0,2x ∈时，()0f x '<；∴()f x 的单调递
增区间为(),0∞-，()2,+∞；单调递减区间为()0,2.
（2）由()321
433
f x x x =-=-得；()()2
3234120x x x x -+=+-=，解得：=1x -或2x =；
由()32103f x x x =-=得：0x =或3x =；()121133
f =-=-；①当()1,2m ∈-时，
()()4
23f x f >=-，不合题意；②当[]2,3m ∈时，()()()20f f x f ≤≤，即()f x 值域
为4
,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，满足题意；③当()3,m ∈+∞时，()()30f m f >=，不合题意；综上所述：实数m 的取值范围为[]2,3.
第6天 融会贯通限时训练（1）
1．（2021·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高三阶段练习）函数()12f x x
=-的定义域为（ ）
A ．()(),22,-∞+∞
B ．()(),22,2-∞-⋃-
C ．(),2-∞-
D ．(),2-∞ 【答案】D
【解析】由函数()1
2f x x
=
-有意义，则20x ->，即2x <， 所以函数()f x 的定义域为(),2-∞.故选：D.
2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知集合{}{23},1ln A x x B x y x =∈-<==-Z
∣∣，则A B =（ ）
A ．{}2,1,0,1,2--
B ．{}1,2
C ．[]2,e -
D ．(]0,e 【答案】B
【解析】{}{}{Z
23}2,1,0,1,2,ln 1{0e}A x x B x x x x =∈-≤<=--=≤=<≤∣∣∣， 所以{}1,2A B =.故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数
()()212
f x
g x x +=
+的定义域是（ ）
A ．()(],22,3-∞--
B ．[)(]8,22,1---
C ．9,22⎡⎤--⎢⎥
⎣
⎦
D ．(]9
,22,02⎡⎫
---⎪⎢⎣
⎭
【答案】D
【解析】因为函数()y f x =的定义域为[]8,1-，对于函数()()212
f x
g x x +=
+，则有
821120
x x -≤+≤⎧⎨
+≠⎩，解得9
22x -≤<-或20x -<≤.因此，函数()g x 的定义域为
(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭
.故选：D.
4．（2022·重庆一中高三期中）下列函数的最大值为1的函数是（ ）
A ．2
3
1y x -=- B ．222=++y x x C ．13ln ln y x x =-- D ．sin 0,22x y x π⎛⎫⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
【答案】C
【解析】对于A ，
23
11y x -
==-{}0x x ≠0>，
故
11y =<，故A 选项错误；对于B ，()2222111y x x x =++=++≥，即函数的
最小值为1，故B 选错误；对于C ，因为1ln 2ln x x +
≥=，当且仅当1ln ln x x =
，即ln 1x =±时等号成立，所以11
3ln 3ln 1ln ln y x x x x ⎛⎫
=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝
⎭
，当且ln 1x =±时等号成立，故C 选项正确；对于D ，0,,0,242x
x ππ⎡⎤⎡⎤
∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
sin 2x y ⎡
⎛⎫=∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，故D 选项错误.故选：C
5．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数(),[,]f x a x m n ∈的值域为
[],()m n m n <，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．11,4⎛⎫--
⎪⎝
⎭ C ．[10,)4 D ．3
(,0]4- 【答案】C
【解析】由题意得()f x a =
在[m ，]n 上单调递减，因为函数的值域为[m ，]n ，
所以()
()f m a n
f n a m
⎧==⎪⎨==⎪⎩，=，
m n <，
0，∴1，∴1
2211
1)24
a n ∴==--+，
m n <，
1[0，1)2
，
[0a ∴∈，1
)4
．故选：C ．
6．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）“关于x 的方程
(
)
212x
x
a +=没有实数解”的一个必要不充分条件是（ ）
A ．1
2
a ≤ B ．1a > C ．12
a ≤或1a ≥ D ．12
a <或1a ≥ 【答案】C
【解析】()212x
x
a +=，因为210x
+>，所以2
1
121
21
x
x
x
a =
=-
++，因为0221x ≥=，所以212x +≥，
110221x
<≤+，1111221
x ≤-<+，要想()
212x x
a +=没有实数解，则12a <
或1a ≥，由于12a <或1a ≥⇒12a ≤，故A 不成立；由于12
a <或1
a ≥⇒1a >，故B
不成立；由于1
2
a <或1a ≥⇒12
a ≤或1a ≥，且12
a ≤或1a ≥⇒1
2
a <或1a ≥，C 正确； D 选项为充要条件，不合要求.故选：C
7．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）设2112
f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭
，且函数1
2f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的
定义域为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．()()13
122
f f +=
B ．函数()f x 的定义域为()0,∞+
C ．函数()f x 的值域为[)1,-+∞
D ．函数()f x 在定义域内为增函数 【答案】ABD
【解析】因为2
1111222f x x ⎛
⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10,2x -∈+∞，
所以()2
112f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，()f x 的定义域为()0,∞+，故B 选项对；则
()()5211312442
f f +=
+=，故A 选项对；由二次函数性质可知()f x 在定义域()0,∞+内为增函数，()f x 的值域为3
,4
⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，故C 选项错，D 选项对.故选：ABD.
第7天 融会贯通限时训练（2）
8．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A ．若()f x 的定义域为[]22-,
，则()21f x -的定义域为13
,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．函数1x
y x
=
-的值域为()(),22,-∞+∞
C ．函数2y x =17,
8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．函数()2
24f x x x =-+在[]22-,
上的值域为[]4,12 【答案】AC
【解析】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤，解得1322
x -≤≤， 即()21f x -的定义域为13
,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故A 正确；对于B ，
111
11111x x x y x x x x -+=
=-=-=------，所以1y ≠-，即函数1x y x
=-的值域为()(),11,-∞--+∞
，故B 不正确；对于C ，令t =
21x t =-，0t ≥，
所以()2
2
2
117
2122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭
，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得
最大值，最大值为
178，所以函数21y x x =-17,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，故C 正确；
对于D ，()()2
22413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，
()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,
上的值域为[]3,12，故D 不正确． 故选：AC ．
9．（2022·全国·高三专题练习）函数2
1x y -=________．
【答案】30⎡⎢⎣
⎦
，
【解析】设函数()2
1x f x -=，令21y x -()M x y ，位于一个单位圆x 轴
的上半部分，如图所示．将函数()2
1x f x -=改写为()()02y f x x -=--， 则表示定点()20A -，
与点()M x y ，所连直线MA 的斜率． 当直线MA 与上半单位圆相切时，
在直角三角形MOA 中，1,2,30MO OA MAO ==∴∠=︒， 所以3tan30MA
k =︒=0AO k =，所以()30f x ⎡∈⎢⎣⎦
，． 即函数2
1x y -=30⎡⎢⎣⎦
，． 10．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）若函数()y f x =的定义域是[]4,3-，则函数()()2g x x
=
-______．
【答案】[)3,2-
【解析】函数()y f x =的定义域是[]4,3-，函数()
g x =
有意义，
必有43
20x x -≤-≤⎧⎨
->⎩
，解得32x -≤<，所以函数()g x 的定义域为[)3,2-．
11．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知函数()f x =定义域为R ，则实数a 的取值范围是__． 【答案】[1，+∞）
【解析】函数()f x R ，即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立；当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0，解得a ≥1； 当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立．综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 12．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数()2f x x a =+，
()261g x x x =-+，对于存在[]11,1x ∈-，存在[
]21,1
x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的
取值范围是__________． 【答案】[]6,10-
【解析】设函数()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，则[]2,2A a a =-++，[]4,8B =-， 若存在[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则A B ⋂≠∅，当A B ⋂=∅时，
28a -+>或24a +<-，解得10a >或6a <-，所以当A B ⋂≠∅时，610a -≤≤.
13．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：
（1）已知()2
1sin cos f x x -=，求()f x 的解析式；
（2）已知211
2
f x x x x
⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭
，求()f x 的解析式；
（3）已知()f x 是一次函数且()()3121217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式； （4）已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.
【答案】（1）()2
2f x x x =-，[]0,2x ∈；（2）22f x x ，(][),22,x ∈-∞-+∞
（3）()27f x x =+；（4）()3f x x =
【解析】（1）设1sin x t -=，[]0,2t ∈，则sin 1x t =-∵()221sin cos 1sin f x x x -==-
∴ ()()2
2112f t t t t =--=-，[]0,2t ∈ 即()2
2f x x x =-，[]0,2x ∈
（2）∵2
22111()2f x x x x x x ⎛⎫
+=+=+- ⎪⎝⎭
，由勾型函数1y x x =+的性质可得，其值域为
(][),22,-∞-+∞ ，所以()(][)22,22,f x x x ∞∞=-∈--⋃+， （3）由f (x )是一次函数，可设f (x )=ax +b (a ≠0)，∴
3[a (x +1)+b ]-2[a (x -1)+b ]=2x +17，即ax +(5a +b )=2x +17，∴2,
517,a a b =⎧⎨
+=⎩解得2,7,
a b =⎧⎨=⎩∴f (x )的解析式是f (x )=2x +7.
（4）∵2f (x )+f (-x )=3x ，①∴将x 用x -替换，得()()23f x f x x -+=-，② 由①②解得f (x )=3x .
14．（2022·河北保定·高三阶段练习）已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，函数()g x 的
图象与()f x 的图象关于点π3,82⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，把()g x 的图象向右平移π6个单位得到函数
()h x 的图象.
（1）求()h x 的解析式；
（2）设函数()()(),
0log 2,0a
h x x t x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩（0a >，且1a ≠），若()t x 的值域是[)1,+∞，
求a 的取值范围.
【答案】（1）()32cos2h x x =+；（2
）⎤⎦
【解析】（1）设(),x y 是()g x 图象上任意一点，设(),x y ''是点(),x y 关于点π3
,82⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点，则4x x π
'+=，3y y '+=，所以4x x π'=
-，3y y '=-，由已知π,34x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在()f x 图象上，所以ππ32sin 23
4y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，π32sin 26y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()π32sin 26g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，把()g x 图像向右平移π6个单位，得()πππ32sin 232sin 232cos 2662h x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，所以()32cos2h x x =+； （2）因为当0x ≤时，()32cos2h x x =+，[]cos21,1x ∈-，所以()[]1,5h x ∈，当0x >时，()()log 2a t x x =+，当01a <<时，函数()()log 2a t x x =+在()0+∞，上单调递减， ()t x 在()0+∞，的取值范围为(),log 2a -∞，所以()t x 的值域为()[],log 21,5a -∞，与已
知矛盾，当1a >时，函数()()log 2a t x x =+在()0+∞，
上单调递增，()t x 在()0+∞，的取值范围为()log 2a +∞，，所以()t x 的值域为()[]log 2,1,5a +∞， 要使()t x 的值域为[)1,+∞，则11log 25a a >⎧⎨≤≤⎩
2a ≤≤，故所求a
的取值范围为⎤⎦.。