解直角三角形在实际生活中的应用

解直角三角形在实际生活中的应用

山东 李浩明

在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．

一、航空问题

例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B

1.414 1.732==）

分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得

60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.

解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以

APB A ∠=∠，所以AB =PB .

在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以

PB

=

450sin 60==︒.

所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题

例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，

Q

B C

P A 450

60︒

30︒

图1

用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．

分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.

解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DE

AE

. ∵DE =10，∠ADE =40︒.

∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.

答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题

例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.

解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．

DC AB Q ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．

F

E

D C

B

A

45°

37°

H

G

图3 ∴DC GB =，11GD BC ==．

∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，

sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=o ， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯o ≈≈．

在Rt ADH △中，

2 1.41 6.609.31AD DH =⨯≈≈．

6.60AH DH =≈．

∴(9.3111)(6.608.80) 4.9(km)AD DG AG +-=+-+≈． 即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题

例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．

分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、

CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．

解：由已知OC DE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=o

．

图4

1:0.75i =Q ，4

3

CH EH ∴

=． 在Rt HEC △中，2

2

2

EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>， 又5CE =Q ，得2

2

2

(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =． ∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+．

在Rt ODH △中，222

OH DH OD +=，∴2

2

2

(4)7(7)r r ++=+．

解得83

r =．

航海中的安全问题

船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.

例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60o 的方向上．该货船航行30分钟后到达

B 处，此时再测得该岛在北偏东30o 的方向上，已知在

C 岛

周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．

分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.

解：由已知，得AB=24×

2

1

=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.

在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=

CB

CD

，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936>