初中数学重点梳理：分式的化简与求值

分式的化简与求值

知识定位

分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解

知识梳理

分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。又要抓住条件，既要根据目标变换条件。又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：

1、恰当引入参数；

2、取倒数或利用倒数关系；

3、拆项变形或拆分变形；

4、整体代入；

5、利用比例性质等。

例题精讲

◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题

【题目】若，则的值是 。

【答案】0或2- 【解析】设

k a

d

d c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。 【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。【答案】

【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，

所以:x=，y=，z=.

评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。【知识点】分式的化简与求值

【适用场合】当堂练习

【难度系数】2

◆专题二：取倒数或利用倒数关系

【试题来源】

【题目】若，，求的值1

【答案】

6

【解析】解

,,,

,

,

(1)

得:

,

故,

则.

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4

【试题来源】

【题目】已知 ,求.

【答案】

3

1 【解析】解:由整理变形,转化为21=+x

x ,分式

.

因此，本题正确答案是3

1.

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】 求证 无论ａ为什么整数，分式均不可约。

【答案】 见解析

【解析】分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。

证明：设和的公因子为p 那么

又由于

所以公因子为1或-1，也就是说原式不可约。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3

◆专题三：拆项变形或拆分变形

【试题来源】

【题目】若x 取整数，则使分式1

23

6-+x x 的值为整数的x 的值有 个 【答案】 4 【解析】

，

根据题意，得

，

， ， ，

得

，

，

，

，

，

，

，

，

取整数，

，，，．共个．

故本题答案为：4．

【知识点】分式的化简与求值

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】化简分式：

【答案】

【解析】分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】化简分式：

【答案】

【解析】分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

说明：本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有

()()

11

+++n x n x 的一般形

式，与分式运算的通分思想相反，可以将上式分成相减的两项，可以消去一些项，这种方法叫“裂项相消”是分式化简中常用技巧。 【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：

【答案】0

【解析】分析：本题的关键是搞清分式

bc

ac ab a c

b a +----22的变形，其他两项是类似的，对于这

个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．

解

说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用的变形技巧。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

◆专题四：整体代入 【试题来源】

【题目】若3819-=x ，求分式15

82318262

234+-++--x x x x x x 的值。 【答案】5

【解析】分析：直接将x 的原值代入原式求值，计算繁琐，可将3819-=x 适当变形，化简分式后计算求值。

(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．

原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10 =10，

原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，