初中数学重点梳理：分式的化简与求值

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第9章分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册

=
1
1

(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3

4
−
1
−2
−2
4

=
= −2，所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1

【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，

5、有条件的分式的化简与求值-培优数学张老师

5、有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧： 1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代人；5．利用比例性质等．、【例l 】若,a d d c c b b a ===则dC b a d c b a +-+-+-的值是 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系．【例2】如果a+b+C=0，,0312111=+++++C b a 那么++++22)2()1(b a 2)3(+C 的值为( )． A ．36 B ．16 C ．14 D ．3(2005年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题) 思路点拨联想到(a+b+c)2的展开式，解题的关键是对条件a+b+c= 0的变形．【例3】已知xyz=1，x+y+z=2，,16222=++z y x 求代数式++z xy 21yzx x yz 2121+++的值．(北京市竞赛题)思路点拨直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2一x 一 Y ，x=2- Yz ，y=2一x —z ，从变形分母人手．【例4】已知,1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a 求a c c c b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题)思路点拨已知条件是⋅+-+-+-ac ac c b c b b a b a 、、三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出ac ac FC b c b b a b a +-+--++-的值是解本例的关键．【例5】(1)解方程：;81209112716512312222=+++++++++++x x x x x x x x(第19届江苏省竞赛题)(2)已知方程c c x x 11+=+(c 为不等于0的常数)的解是C 或,1c 求方程x+aa a x 2136412++=-的解(a 为不等于0的常数)．(第16届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨解分式方程涉及到分式的运算、化简，对特殊分式方程常需对方程进行拆项、拆分、分步计算等变形，运用巧取倒数、整体求解等策略．对于(1)，寻找．分母的共同特征；对于(2)，在阅读理解的基础上，把方程左、右两边拆分为倒数和．1．已知x2+x 一3=0，那么1332---x x x =(淄博市中考题)2．已知abc≠0，且,a c c b b a ==则=--++cb ac b a 3223 (第16届“希望杯”邀请赛试题)3．若a 、b 、c 满足a+b+C=0，abc>0，且x=++=++)11(,||||||cb a yc c b b a a ),11()11(b a c a c b +++ 则 x十2y+3xy=(“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知． x2—3x+1=0，则1242++x x x 的值为(2004年重庆市竞赛题)5．若,b a b a x +-=且以≠0，则a b等于( )． x x A +-11. x x B -+11. 11.+-x x C 11.-+x x D (2005年天津市竞赛题)6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果,abb ac b c a =+=-那么( )． A ．3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x 一3y -6z=0，x+2y 一7z=0(xyz≠O)，则代数式222222103225x y x z y x ---+的值等于 ( )。

新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版

内容基本要求略高要求较高要求分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，，【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义．所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【答案】12【例8】已知22a b ==a bb a-的值．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，．【考点】化简后直接代入求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==，【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=．【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=．【答案】145【例17】已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】已知123a b c a c ==++，求ca b+的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n．【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=．【答案】()312x y -【例21】已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。

分式-第03讲分式的化简及其应用

第三讲分式化简的应用分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是寒，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变, 这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.一.分式的化简与求值例1化简分式：2a 2 + 3a + 2 a 2 - a - 5 3a 2 -4a ~ 5 2a 2 - 8a + 5a +1 a + 2 a - 2 a ■-3分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多.2a 2 -b2a4-a + l + l a?十 2a - 3a - 6 + 1(2a +1) + - (a-3) + —J —a + 1 a + 2■J ■■1 1 1 ——-+ (2a-2) 一一- a-2 a - 3■I !■=[(2a+D- (a-3)・(3a+2) + (2a-2)] 1 1 1 1 1+ -------------- + --------------a + 1 a + 2 a- 2 a-3■1111= --- — --- 十 ----—---a + 1 a + 2 a -2 a-31 -1= -------------- b -------------(a + l)(a 4-2) (a-2)(a-3)_ (a-2Xa-3) -(a + l)(a + 2) (a-M)(a + 2)(a-2)(a-3)_ - 8a 十 4"(a+ l)(a + 2)(a-2)(a-3)'说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式. 例2求分式1 12 4 8 16-- 十 -- + --- 7" + ----- 7- + ---- O- + -----a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a '解原式= 3a2 - 6a + 2a -4 - 1 a 一 2 2a 2- 6a - 2a + 6 -1+ --------------------a 一 3当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式:a 2-b 3= (a+b) (a-b),可将分式分步通分，每一步只通分左边两项.百于 + 2 4 8 16 斥巩_ (1-勾(1斗勾TT? 乔孑 TTZ TT 評 2 2 4 816 1 - a 2 1 + a 2 1 + a 4 1 + a 8 1 + a 16 2(1 +a 2)+ 2(1-a 2)4 8 16 (l-a 2)(l + a 2) 1 + a 4 1 + a 8 1亠尹4 4 8 16l-a 4 + l + a 4 + l + a 8 + 1+ a 168 8 16 _ 16 1632 32a b----------- + ----------- 求 ab + a + 1 be + b + 1分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法.解法1因为abc=l,所以街b, c 都不为零.c ca + c + 1 a ab abc = ------------- + ------------- 4 -- -----------------ab + a + 1 abc + ab + a abca + abc + aba ab 1=十十「 ab + a + 1 1 + ab + a a + 1 + aba + ab + 1= ----------- =1.ab + a + 1 解法2因为abc=l,所以a^O, bHO, cH0・障式 = _______ ______ 十 _ _____ab + a + abc bc+b + 1betea +bc +b— 的值.[ b + 1 + be aab + a +1+b ab + — ■ be + b + 1 ab1b 十 1 +bbe十b十bc =1.1 + be + b解法3由遜=1,那詁，将之代入原式丄原式= ----- 虹~1— —• b + — + 1 be be 1 b be卜 -------- + ---------- =]. b + 1 + be be + b +1 1 + be + b例4化简分式:1 1+ 4- 1+ 3x + 2 玄? + 5辺十62+7N + 12分析与解三个分式一齐通分运算址大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.百十 1 1 1(x + 2)(x+l) (X + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4)1 1.1 1 1 1 z +1 x 十 2， x +2 M 十 3， z +3 x 十4丿1 1 3E +1 z + 4 X 2 + 5z + 4'说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有:斗J 亠1下的一般形式,与分式运算的通分思想方法相反，我们仗 + il)(N + 11+1) 将上式拆成丄与一1^两项，这样，前后两个分式中就有可以相x + n x + n. + 1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧.例5化简计算(式中r b, c 两两不相等)：2a - b - c 2b - c - a 2c - a - ba 2 - ab - ac + be b 2 - ab - be ■+• ac c 2 - ac - be *+ ab分析本题关犍是搞清分式仝缶去的变形’其他两项是类似的，对于这个分式, 显然分母可以分解因式为(a-b) (a-c),而分子又恰好凑成(a-b) + (a-c),因此有下面的解法.b--------- 4 be + b +1 CiC • - + C +1呼弋=@ - b)十Q-c) + (b - c)十(b - Q * (c-a) + (c -b) 臥厂_ @_b)(ic) (b _ c)(b _ a) (c-a)(c-b)111111c= --- + --- + ---- + --- 十 -- + --- = 0.a - c a -b b - a b -c c - b c-a丄+丄的变形技巧.说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用肚 A B 「例6已知：x+y+z=3a(a#0,且x, y, z 不全相等)'求a) + (y - a)(z ~ a) + (z - a)(x 一 a)的值O — a)(y - 分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a) + (y-a) + (z-a)=0,那么题目只与xm 为简化计算，可用换元法求解.x-a=u y-a=v z-a=wz-a 有关,变为 UV + VW + wu~2 -----2 ---- r ，且由己知有U + V + w = 0.将u+u + w= 0两边平方得U + V + wu a +v a +w 2+2 (uv+vw+wu) =0.由于x, y, z 不全相等，所以u, V, w 不全为零’所以u a +v 3+wV0,从而有2?即所求分式的值为-说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.y -|- 1 龙彳十［分析原式中只岀现了—和—的形式，而且X X X孑-2,因此可用换元法. (玄 a) 2 + (y 一亦2 + (z 疔例7化简分式:=1,所以a+b-c=c, a-b+c=b> ・a+b+c=a, 于是有(a + b)(a + c)(b + c) 2c • 2b * 2a ? abc abc⑵若a+b+c=O,则a+b=-c, b+c=-a, c+a=-br于是有(a + b)(a + c)(b + c) (_c)(_Q 〔_b) .-------------------- = ---------- - - =—1abc abc说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解. 解法2设参数法.令a +b -c a-b + c -a +b + c “-------- =— --- --- = ----------- =k,c b a则a+b=(k+l)c> ①a+c= (k+l)b> ②b+c= (k+l)a.③①+(D+(§)有(a 乜)(a +c)@ +c) abc的值.解法1利用比例的性质解决分式问题.(1)若a+b+c^O,由等比定理有(a + b - c) + (a - b 十 c)十(一玄 +b + c)2 (a+b+c) = (k+1)(a+b+c),所以(&+b+c) (k-l)=O,故有 k=l 或 a+b+c=O.当k=l 时，(a + b)(b 十 c)〔c + a) 2c * 2a * 2b abc abc@ + b)(b + c)(c+G _ (_c)(—a)(—b)abc abc当 a+b+c=O 时 9说明引进一个参数k 表示以连比形式出现的己知条件，可使已知条件便于使用.二.分式方程组的解法。

第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)

第五讲有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等．例题求解【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系．注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ．－13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ，则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。

分式运算及化简求值

第一讲分式运算及化简求值一、知识提要1. 分式的运算与分数的运算相似，它是以分式的基本性质、运算法则、通分、约分为基础，以整式变形、因式分解为工具进行的一系列运算过程.2. 分式的加减运算是分式运算的重点及难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地进行通分.分式通分的常用方法及策略有：①将各分式因式分解；②先约分再通分；③找最小公分母3. 分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须化简成最简分式，而化简的目的也正是为了求值.4. 解有条件的化简求值问题是中考中常见的出题模式，解答这类问题需要仅仅抓住题目给定的条件，灵活选用方法，除了常见的整式化简求值方法外，还有：①取倒数和利用倒数关系；②拆项变形；③整体代入等.二、专项训练【板块一】分式的定义即简单应用1. 下列式子中2π，πx y x x --3,2,1b a b x x -,2,2，212x y +，223a b +中，整式有____________________，分式有______________.2. 对于分式2211x x x ++-，当x =_______时，分式无意义；当x =_______时，分式值为零.3. 已知b a a =+-11，用b 的代数式表示a ，得_____________. 4. 若一个矩形的面积是22288a ab b ++，它的一条边是b a 2+，则这个矩形的周长是（）A ．b a 66+B ．612a b +C ．126a b +D ．1212a b +5. 与分式1222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x b a 相等的分式是（）A ．x b a 222+ B ．222b a x +- C ．222b a x + D ．x b a 222+-【板块二】分式的基本性质和运算 6. ①bb a 1⋅÷ ②()212242-⨯-÷+-a a a a③43222)()()(a b a b b a -÷-⋅ ④x a b bx ay by ax 228932÷⋅⑤()1322342-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅x y xy⑥211339a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭⑦x x x x x x x 112122÷⎪⎭⎫⎝⎛+---+ ⑧22233(2)3m n m n --【板块三】化简求值7. （2011湖北）先化简，再求值：232244()()442x y y xy x x xy y x y -⋅+++-，其中2121x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8. （2011重庆）先化简，再求值：22122 121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x -1=0.9. 先化简：,22121222x x x x x x x ÷--++--再在x =0，1，2，3中取一个你喜欢的x 值代入求值.10. （2011四川）先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨<⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．【板块四】整体思想应用11. 若分式13x-的值为整数，则整数x =_______. 12. 已知111a b a b +=+，求a b b a+的值.13. 已知112a b -=，则232353a ab b a ab b--+-=______.14. 已知a 、b 为实数，且ab =1，设M =11+++b b a a ，11+=a N +11+b ，则M 与N 的大小关系是什么？。

化简求值(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)

化简求值--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测①分式的化简求值②整式的化简求值化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。

2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！一、分式1.分式的加减乘除运算，注意去括号，添括号时判断是否需要变号，分子计算时要看作整体。

2.分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.4．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.5．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．二、因式分解因式分解的方法：(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.化简求值的解法第一种是直接代入求值，已知给出了字母的值或通过已知能求出字母的值。

初中数学知识归纳分式的化简和运算

初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。

我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。

一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。

在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。

首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。

例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。

2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。

具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。

例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。

约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。

再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。

二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。

下面我们将分别介绍这些运算的方法。

1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。

例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。

最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。

2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

2020年中考数学高频重点《整式、分式的化简求值》专题突破精练精解(含答案)

【中考数学】专题04 整式、分式的化简求值【达标要求】1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的四则运算.2.理解运用完全平方公式和平方差公式，了解其几何背景.3.了解整数指数幂的意义和基本性质，能用幂的性质解决简单问题.4.掌握因式分解方法并能解决问题.5.掌握分式成立的条件、最简分式的概念与化简，会利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算.【知识梳理】知识点一整式的有关概念1. 整式：（1）单项式：数与字母的的代数式叫做单项式.单独一个数或也是单项式.（2）多项式：叫做多项式.（3）整式：和统称为整式.单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数.一个多项式含有几项，就叫，次数最高的项的就是这个多项式的次数，不含字母的项叫 .2. 同类项：（1）定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项.（2）合并同类项法则：把同类项的相加，所得结果作为，字母及字母的指数 . 知识点二因式分解的概念1.把一个化为的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．２．因式分解与整式乘法是方向相反的变形.知识点三因式分解的两种基本方法１．提公因式法：=++mc mb ma２．公式法：（１）平方差公式：=-22b a（２）完全平方公式：=+±222b ab a知识点四分式的有关概念1.如果A,B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

(1) 分式有意义：分母不为0，即B ≠0；(2) 分式无意义：分母为0，即B=0；(3) 分式的值为0：分子为0且分母不为0，即2.分子与分母没有的分式叫最简分式.知识点五分式的基本性质1. A B =A×M B×M ; A B =A÷M B÷M ; 其中M 是不等于0的整式.2. 约分、通分的依据是分式的知识点六分式的运算1.分式的乘除法：a b ×c d =ac bda b ÷c d =a b ×d c =ad bc2.分式的加减法a b±c b =a±c b ; a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad±bc bd ;3.分式的乘方(b a )n =b n a n4.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，遇到有括号的应先算括号里面的.【精练精解】1.如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．32.当a ＝2018时,代数式()211111a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+的值是______. 3.当x ＝1，y ＝﹣31时，代数式x 2+2xy +y 2的值是．4.单项式x -|a -1|y 与2是同类项，则a b =__________．5.若m ﹣m 1＝3，则m 2+2m1＝ 11 ． 6.化简：（a +b ）2﹣b （2a +b ）．7.先化简，再求值：（a +3）2﹣（a +1）（a ﹣1）﹣2（2a +4），其中a ＝﹣21．8.先化简：（1－32x +）÷244x x x －1++，再将x=－1代入求值．9.先化简，再求值：（x ﹣2）（x +2）﹣x （x ﹣1），其中x ＝3．10.先化简，再求值：211(1)222m m m m ++-÷++，其中2m =.11.化简式子aa a a a a a +-÷++--22221)1442（，并在-2，-1,0,1,2中选取一个合适的数作为a 的值代入求值.12先化简，再求值：212)1232(2-+-÷---x x x x x ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．13.先化简再求值：24)44222(22--÷+----+x x x x x x x x ,其中x=4tan45°+2cos30°．14..如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．15.先化简（x+373x--）2283x xx-÷-，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．16.先化简，再求值：（a ba b+-）2·222224333a b a aa b a b b--÷+-，其中a=b=17.先化简2221(1)369xx x x-+÷--+，再从不等式组24324xx x-<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x的值代入求值．18.先化简，再求值：2212(1)244x x x x x x +--÷--+，其中x19.先化简，再求值：219x x --÷（3x x -﹣2519x x --），其中x ＝27﹣（﹣13）2﹣（2017﹣2）0﹣3tan60°．20.先化简，再求值：(1－1m －1)÷m 2－4m ＋4m 2－m，其中m ＝2＋ 2.21.先化简，再求值：（11x -﹣11x +）÷222x x -，其中x=tan60°﹣1．22.先化简，再求值：22221111a a a a +÷----（），其中2022sin603a -=-+︒-π-（）（）．23.先化简：22222392x x x x x x x-÷++--，再从﹣3，﹣2，0，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．24.先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭.其中a 满足a 2+3a -2=0.专题04 整式、分式的化简求值【达标要求】1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的四则运算.2.理解运用完全平方公式和平方差公式，了解其几何背景.3.了解整数指数幂的意义和基本性质，能用幂的性质解决简单问题.4.掌握因式分解方法并能解决问题.5.掌握分式成立的条件、最简分式的概念与化简，会利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算.【知识梳理】知识点一整式的有关概念3. 整式：（1）单项式：数与字母的积的代数式叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.一个多项式含有几项，就叫几项式，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫常数项 .4. 同类项：（3）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项.（4）合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变 . 知识点二因式分解的概念1.把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．２．因式分解与整式乘法是方向相反的变形.知识点三因式分解的两种基本方法３．提公因式法：=++mc mb ma ().m a b c ++４．公式法：（３）平方差公式：=-22b a ()().a b a b +-（４）完全平方公式：=+±222b ab a 2().a b ±知识点四分式的有关概念1.如果A,B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。

初中数学人教版八年级上册分式的化简求值与证明讲义

分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1．【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（）A ．－1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（） A ．－7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（） A ．－2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（） A ． 0 B ． 1 C ．－1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

分式化简求值的七种类型

分式化简求值的七种类型分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析.㈠与因式分解相结合的单一化简例1、先化简：22221224323a a a a a a a -+-÷---,再求当3a =-时分式的值。

思路分析：题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法,一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式.如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来.解：原式=()()()()()()()()()()()()()()()()21121211131313321222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+-+÷=•=-+---++ 当a=-3时，原式=()()()23142233263-+==⨯-⨯-+ 点评：注意特殊的二次三项式()()()2x a b x ab x a x b +++=++因式分解的方法,以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用,比如2221222333a b b a b a b a b-+--+÷+-+的化简，应注意分组.2221222333a b b a b a b a b -+--+÷+-+()()22133321a b a b a b a b --+=•+--+ ()()()()113121a b a b a ba b a b +--++=•+--+6a b +=。

㈡巧变幻求值型例2：设abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。

思路分析:第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc,第3个分式的分子,分母同时乘b. 解：原式=1a b bc ab a abc bc b abc bc b++++++++ 1111111b bc bc b b bc bc b bc b bc b ++=++==++++++++ 点评：仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。

分式的化简与计算

分式的化简与计算分式，在数学中是指一个数与另一个数的比值。

分式的化简与计算在数学中扮演着重要的角色。

本文将探讨分式的化简和计算方法，并介绍一些实际应用。

一、分式的化简方法1. 相约分相约分是化简分数的基本方法之一。

当分数的分子和分母有公约数时，可以通过把这些公约数约去，化简分数。

2. 基本化简规则根据基本化简规则，我们可以将分式的分子与分母同乘/同除一个相同的数或变量，从而简化它们。

3. 分式的分解对于复杂的分式，我们可以将其拆分为更简单的分式相加或相减，从而进行化简。

4. 利用因式分解当分式的分子和分母都是多项式时，我们可以先进行因式分解，再化简分式。

二、分式的计算方法1. 分数的加减法分数的加减法是常见的分式计算方法。

当两个分数的分母相同时，将它们的分子相加/相减，并保持分母不变。

当分母不同的时候，需要找到它们的最小公倍数，将分子按照最小公倍数的比例扩展，再进行加/减运算。

2. 分数的乘法分数的乘法是将两个分数的分子相乘，分母相乘。

乘法计算后再进行化简。

3. 分数的除法分数的除法是将一个分数的分子与另一个分数的倒数相乘。

倒数即将分子与分母互换位置。

4. 分数的混合运算分数的混合运算指的是将加减乘除运算结合起来进行计算。

根据运算法则，按照先乘除后加减的顺序进行计算，最后化简分数。

三、实际应用分式的化简与计算在实际应用中具有广泛的用途。

1. 商业折扣在商业活动中，折扣常以分数的形式表示。

我们可以通过分式的计算，来计算商品的折扣价格。

例如，7折商品的价格可以通过将商品原价乘以0.7来得到。

2. 食谱计算在烹饪中，我们经常会遇到需要按照比例来计算食材的情况。

通过分式的计算，可以根据需要的食材数量与原始食谱的比例，来计算所需的材料量。

3. 比例问题在日常生活中，比例问题也经常需要使用分式的计算方法。

例如，我们可以通过分式的计算来解决人们之间身高、体重等比例关系的问题。

综上所述，分式的化简与计算是数学中重要的概念和技巧。

中考复习分式整式化简求值初三

一.教学目标：1、分式的化简求值,理解分式的化简步骤,以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值,了解整式化简的步骤,以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：1分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧2整式幂的运算,合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫作分式．分式会AB中A叫作分子,B叫作分母．注意：1判断一个式子是否为分式,关键是看分母中是否有字母．2分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母,如12,2x是整式,而2x是分式．3分式有无意义的条件：①若0B≠,则分式AB有意义；②若0B=,则分式AB无意义．4分式的值为零的条件：若{00A B=≠,则分式A B的值为零,反之也成立．二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M⋅=⋅,()0A A MMB B M÷=≠÷,其中A,B,M是整式．课题分式整式的化简求值学生姓名年级初三日期注意：1分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质,可以在不改变分式的值的条件下,对分式作一系列的变形．2当分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子或分母用括号括上．再将分子与分母同乘或除以相同的整式．三、约分、最简分式及通分的概念1．约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式,找公因式的方法：1当分子和分母都是单项式时,先找出它们系数的最大公约数,再确定相同字母的最低次幂,它们的乘积就是分子与分母的公因式．2当分子、分母是多项式时,先将分子、分母因式分解,把分子、分母化为几个因式的积后,再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽,还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时,要用分子、分母的公因式去除整个多项式,不能只除某一项,更不能减去某一项．例如2233a x a b x b+=+是错误的． 2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式,关键是确定其分子与分母是否有公因式1除外．分式的约分,一般要约去分子和分母的所有公因式,使所得结果成为最简分式或整式．注意：1最简分式与小学学过的最简分数类似．2最简分式是对一个独立的分式而言的,最大的特点是只有一条分数线．形如322x y ++,233ax y ++的分式都不是最简分式． 3.通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母．注意：确定最简公分母的一般方法：1如果各分母都是单项式,确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．学科网2如果各分母都是多项式,就要把它们分解因式,再按照分母是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧一应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法根据定义判定式子A B 是否为分式要注意两点：一是A ,B 都是整式,二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式,还应注意不能把原式变形如约分等,而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++,判定()222a b a b -+不是分式,这是错误的． 2．对分式有无意义或值为0的条件判断二分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形,化简分式,简化计算等．1．约分参考三12．通分参考三3三分式值的特殊情况拓展1．分式的值为1或1-的讨论若分成()10A B B =≠,则A B =,反之也成立；若分式()10A B B=-≠,则A 与B 互为相反数,反之也成立．2．分式的值为正数的讨论分式的值为正数时,分式的分子与分母同号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论分式的值为负数时,分式的分子与分母异号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数,则分母必为分子的约数,利用这一关系可对分母进行讨论．四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似,法则如下：1乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子表示是：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． 2除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,用式子表示是：ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方,用式子表示是：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n 是正整数．注意：1法则中的字母a ,b ,c ,d 所代表的可以是单项式,也可以是多项式． 2运算的结果必须是最简分式或整式．五、分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似,同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减．用式子表示是：a b a b c c c ±±=．注意：1“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应将各分子加括号,括号不能省略,2运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似,异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减．用式子表示是：ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=．六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方,再乘除,最后算加减；遇到括号,先算括号内的；在同级运算中,从左向右依次进行．注意：1实数的运算律对分式同样适用,注意灵活运用,提高解题的质量和速度．2结果必须化为最简分式或整式．3分子或分母的系数是负数时,要把“－”提到分数线的前边．4对于分式的乘除混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算,分子、分母是多项式时,可先将分子、分母分解因式,再相乘．方法技巧归纳方法技巧一分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算,分式的乘法一般情况下是先约分再相乘,这样做省时简单易行,又不易出错；当除式或被除式是整式时,可以看作分母是1的式子,然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时,一是注意养成先确定结果的符号,再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序,先乘方,再乘除,最后加减．二分式加减运算的解题技巧分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的,分为同分母加减法和异分母加减法,所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多,它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识,运算步骤增多,符号变换复杂,解题方法灵活多样．三分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题,一是化简要求值的分式,只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件,化到最简后,再考虑代入求值．四分式混合运算的解题技巧分式的混合运算,除了掌握运算顺序外,在运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化,值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．五分式通分的解题技巧分式的加减运算,分同分母分式相加减和异分母分式相加减,对于异分母分式的加减法,有时直接通分会很繁琐,我们可以根据式子的特点,灵活的采用不同的方法通分,从而起到事半功倍的效果．1．分组通分2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用核心考点分式的化简求值分式化简求值是中考的热点,常以解答题的题型进行考查,主要考查分式的运算能力．在考查时经常运用分式的基本性质进行运算,解题时要充分运用分式运算法则进行求解．经典示例化简分式：2223442x x x x x ---+-÷234x x --,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．答题模板第一步,化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变．第二步,运算：由已知条件,根据分式的基本性质,适当把分式进行变形,使变形后的分式出现已知条件的形式,然后把已知条件代入变形后的分式,来求分式的值．第三步,求解：分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值．四步,反思：查看关键点、易错点,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算．．模拟训练先化简,再求值：22214()244a a a a a a a a +--+÷--+,其中011(3)()2a -=π+. 1．2017·湖南常德先化简,再求值：243133x x x x -+---22212322x x x x x -+--+-,其中x =4． 2．2017·湖北襄阳先化简,再求值：2111()x y x y xy y +÷+-+,其中x 52,y 5－2.3．2017·吉林某学生化简分式21211x x ++-出现了错误,解答过程如下：原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-第一步 =12(1)(1)x x ++-第二步 =231x -．第三步 1该学生解答过程是从步开始出错的,其错误原因是； 2请写出此题正确的解答过程．4．先化简,再求值：22124)(1)442a a a a a a a -+-÷--+-,其中a 满足不等式组7223a a ->⎧⎨>⎩的整数解.5．先化简,再求值：221a a +－2142a a +÷1－2414a a +,其中a 是不等式x －413x -＞1的最大整数解．6．已知1A x +－3B x -＝5(1)(3)x x x ++- 其中A ,B 为常数,求A 2 018B 的值．整式的化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式1单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或字母也叫做单项式,如0,1,a …2单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；3单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；注①单个字母的系数是1,如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或1,如ab 的系数是1,a 3b 的系数是1． 4多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；5多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项；6多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学科网 7常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项,如6x 22x 7中的常数项是7． 2. 同类项多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项1定义：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变． 2理论依据：逆用乘法分配律．3法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变．注①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项,准确找出同类项,项数比较多时,不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律,把同类项的系数加在一起用小括号,字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑,做到要变都变；要不变,则谁也不变；法则顺口溜：去括号,看符号,是“+”号,不变号；是“-”号,全变号．另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项．注如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项,若有括号,要先用“去括号法则”去掉括号,然后合并同类项．注1两个整式相减时,减数一定要先用括号括起来；2整式加减的最后结果中：不能含有同类项；一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数,带分数要化成假分数．2．幂的运算1同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数m 、n 均为正整数．学科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即 ()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ,2121()()n n b a a b ++-=--注同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算．2幂的乘方的运算性质运算性质：幂的乘方,底数不变,指数相乘,即()m n mn a a =m 、n 均为正整数．注幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．3积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方,把积中各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即：()n n n ab a b =n 为正整数．补充：()p m n mp np a b a b = m 、n 、p 是正整数．注运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除1 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.注计算时要运用乘法交换律,乘法结合律2单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘,因单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加注运用乘法分配律转化成单项式乘单项式3多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项,再把所得的积相加．4．乘法公式1完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2, ab2=a22ab+b2解读：()222首尾首首尾尾,公式中的a、b可以是单独的数字,字母,单+=+⨯⨯+2项式或多项式2平方差公式：a+bab=a2b2核心考点整式的化简求值1．整式化简求值在广东省中考中,在解答题部分,大多以先化简再求值的题型出现,要求熟悉乘法公式的特点,看清项数及公式形式中的a、b,准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式,可以结合面积法证明这两个公式,这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时,代入后应加上括号；当字母是分数时,遇到乘方也要加括号．经典示例先化简,再求值：2()()2a b a b a +-+,其中1a =,2b =．答题模板第一步,计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步,化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简．第三步,求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步,反思：反思回顾,查看关键点、易错点,对结果进行估算,检查规范性．模拟训练1.计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．2. 先化简,再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-,其中3x =-．1．2017·浙江宁波先化简,再求值：2215x xx x ,其中32x . 2．2017·湖南怀化先化简,再求值：2212112a a a a a ,其中21a .3．2017·江苏无锡计算：a +ba ﹣b ﹣aa ﹣b4．2017·浙江嘉兴化简：(2)(2)33m m m m +--⨯． 5．2017·河南先化简,再求值： 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--,其中21x =,21y =．。

八年级数学上册第十五章分式专题课堂八分式的化简求值课件

6．有这样一道题：“计算x2－x2－2x＋1 1 ÷xx2－＋1x －x 的值，其中 x＝2020”甲同学把“x＝2020”错抄成“x＝2002”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？于是甲同学认为无论 x 取何值，代数式的值都不变，他说得对吗？解：对．∵原式＝xx－＋11 ·x（xx－＋11）－x ＝x－x＝0，∴把 x＝2020 错抄成 x＝2002，他的计算结果也正确
第十五章分式
专题课堂(八) 分式的化简求值
类型一化简后直接代入 1．(河南中考)先化简，再求值：(x＋1 1 －1)÷x2－x 1 ，其中 x＝ 2 ＋1.
解：当 x＝ 2 ＋1 时，原式＝x－＋x1 ·（x＋1）x（x－1）＝1－x＝－ 2
2．(2019·黄冈)先化简，再求值．
5a＋3b ( a2－b2
解：原式＝(2xx－－23 －xx－－22 )÷（xx－－12）2 ＝xx－－12 ·（xx－－12）2 ＝x－1 1 ，当 x＝0 时，原式＝－1
5．(2019·安顺)先化简(1＋x－2 3 )÷x2－x2－6x＋1 9 ，再从不等式组
－2x＜4， 3x＜2x＋4
的整数解中选一个合适的 x 的值代入求值．
解：原式＝x－x－3＋3 2 ×（x＋（1x）－（3）x－2 1）＝xx－＋31 ，解不等式组
－2x＜4①， 3x＜2x＋4② 得－2＜x＜4，∴其整数解为－1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，∴x 可取 0，2.∴当 x＝0 时，原式＝－3(或当 x＝2 时，
原式＝－13 )
类型四分式化简说理
解：原式＝[（a＋（2a）－（2）a－2 2）＋a－1 2 ]·a（a－2 2）＝(aa＋－22 ＋
1 a－2

分式的化简求值-初中数学知识点

分式的化简求值
1．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为时，原式=”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
1 / 1。

初中数学专题1：数与式分式化简求值

数学中考专题一：分式化简求值一、考纲要求（分值范围17-20分）（一）、有理数部分1.了解部分：|a|的含义。

2.理解部分：有理数的概念、相反数、绝对值、乘方的意义、有理数的混合运算、有理数的运算律。

3.掌握部分：用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小、相反数、绝对值、有理数的加减乘除乘方运算、有理数的混合运算、有理数的运算律。

4.运用部分：相反数、绝对值、理数的混合运算、有理数的运算律。

（二）、实数部分1.了解部分：平方根、算术平方根、立方根的概念、利用乘方和开方互逆求百以内整数的平方根和立方根、无理数和实数的概念及其与数轴上的点的对应关系、近似数的概念、二次根式及最简二次根式的概念、二次根式（根号下仅限于数）加减乘除及四则运算法则。

2.理解部分：平方根、算术平方根、立方根的概念、利用乘方和开方互逆求百以内整数的平方根和立方根。

3.掌握部分：求实数的相反数与绝对值、用有理数估计一个无理数的大致范围、用计算机进行近似计算。

4.运用部分：二次根式（根号下仅限于数）加减乘除及四则运算法则（三）、代数式1.了解部分：无。

2.理解部分：用字母表示数的意义、求代数式的值。

3.掌握部分：简单数量关系的分析与表示、求代数式的值。

4.运用部分：求代数式的值。

（四）、整式与分式1.了解部分：整数指数幂的意义和基本性质、分式和最简分式的概念。

2.理解部分：科学记数法、整式的概念、乘法公式（平方差和完全平方公式）3.掌握部分：整式的加减乘法（多项式限一次与二次式）运算、乘法公式（平方差和完全平方公式）、用提公因式法公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解、公式的基本性质、约分和通分、分式的加减乘除运算。

4.运用部分：科学记数法、乘法公式（平方差和完全平方公式）、用提公因式法公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解、公式的基本性质。

5.经历部分：乘法公式（平方差和完全平方公式）。

6.探索部分：乘法公式（平方差和完全平方公式）。