(整理)西安交通大学电介质物理姚熹、张良莹课后习题答案第一章
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第二章 变化电场中的电介质2-1 什么是瞬时极化、缓慢极化？它们所对应的微观机制代表什么？极化对电场响应的各种情况分别对何种极化有贡献？ 答案略2-2 何谓缓慢极化电流？研究它有何意义？在实验中如何区分自由电荷、束缚电荷随产生的传到电流？ 答案略2-3 何谓时域响应、频域响应？两者的关系如何？对材料研究而言，时域、频域的分析各由什么优缺点？ 答案略2-4 已知某材料的极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，同时材料有自由电荷传导，其电导率为γ，求该材料的介质损耗角正切δtg 。
解 ：由弛豫函数 ττ/1)(t e t f -=可知 德拜模型极化损耗 P tg δ，漏导损耗 G tg δ 如果交变电场的频率为 ω； 则P tg δ=22)(τϖεεωτεε∞∞+-s s G tg δ=)11(220τωεεεωεγ+-+∞∞s 该材料的介质损耗正切为：δtg =P tg δ+G tg δ 2-5在一平板介质（厚度为d ，面积为S ）上加一恒定电压V ，得到通过介质的总电流为Vt e I -+=βα,已知介质的光频介电常数为 ∞ε，求单位体积内的介质损耗、自由电子的电导损耗、极化 弛豫与时间的关系。
若施加频率为ω的交变电场，其值又为多少？并求出介质极化弛豫函数f （t ）。
解 ：在电场的作用下（恒场）介质中的功率损耗即为介质 损耗电功 dt t VI Vdq dA )(==)1()()(0Vt ttVt e Vt Vdt e dt t VI A ---+=+==⎰⎰βαβαV t I Ve V tAW Vt )(=+=∂∂=-βα 单位体积中的介电损耗 ：)(1Vt Ve V ds ds W w -+==βα自由电子电导损耗 ： dsVw α=1极化弛豫损耗 ： Vte dsV w -=βα电导率 ：dsV R V I s d R ραρ====0, , 电流 ： Vt e I -+=βα 其中 α=R I 为传导电流 Vt r e I -=β为极化电流另一方面 dt dPs dt s d dt dQ I r r r r ===)(σ ττεεε/00)(t s r e E dt dP -∞-=故 Vt t sr e e E I --∞=-=βτεεετ/00)( 有 d sV d VE V s βεεετ=-==∞20)(,,120sVd s εβεε+=∞因而，加交变电场w 时 ：221)(τωεεεε+-+='∞∞s r极化损耗 ： 2211)(τωωτεεε+-=''∞s r电导损耗 ： sVdrωεαωεγε002=='' 单位体积中的极化损耗功率 ：)1(2)(21222220210τωτωεεεεωε+-=''=∞d V E W s r r 单位体积中的电导损耗功率 ：dsV W G α= G r W W W += 弛豫函数 ：Vt t Ve e f --==ττ/12-6若介质极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，电导率为γ，其上施加电场E(t)=0 (t<0);E(t)=at (t>0 , a 为常数) 求通过介质的电流密度。
电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律
第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A⨯∇⨯=∇-⋅∇解：矢量性为()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①()()()c a b b c a c a b⨯⨯=⋅-⋅②()()()a b c c a b c b a⨯⨯=⋅-⋅⋅③微商性()d d a dba b b a dtdt dt ⋅=⋅+⋅④()d d a db a b b a dt dt dt⨯=⨯+⨯⑤ 由②得()()()c c c B A B A B A⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑥()()()c c c A B A B A B⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑦ ⑥+⑦得()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为∴上式得()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇令B A =得22()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇ 21()()2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：()()()df f u u dxud AA u u du d AA u u du ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯解：①()()()()()()()()()()x y z x y zx y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇②()x y z y x z A u A A A x y zdA dA dA u u u du x du y du z d A u du∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=∇⋅③()()()()()()()x y z xyz yy x x z z x y zy y x x z z x y ze e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x ydA dA dA dA dA dA u uu u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯3.设2r ='x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从原点指向场点。
《物理光学》1章 光的电磁理论及课后习题答案
面e 积 上 的d 磁感 通 量d 的变化B 率d ， B d
d td t
t
感应电动势：单位正电荷沿闭合回路移动一周
时涡旋电场所作的功， e Edl
Edl
Bd
t
安培环流定则
H•dl I
随时间变化的电场 会产生涡旋磁场
I E
t
磁场强度H沿任意闭合回路的环流等于穿过 闭合回路所围曲面的全电流之和
一）积分形式的Maxwell方程
D:电感应强度(电位移矢量)
B:磁感应强度
E:电场强度
H:磁场强度
D E B H
D
d
Q
B d 0
E d l
H dl I
B
d
t
D t
d
、分别称为介电系数(或电容率)，磁导率
高斯定理——电和磁
D•d Q
B•d 0
1）E高斯(Gauss)定理： 通过任意封闭曲面的电感通 量等于曲面内所包含自由电荷 的代数和。
2）B高斯定律：通过任意封闭 曲面的磁感通量为零，说明穿 入与穿出任一封闭曲面的磁通 量永远相等，即磁场没有起止 点，磁力线是闭合曲线。
法拉第电磁感应定律
e
t 随时间变化的磁场会产生感生电动势
A）交变的磁场产生涡旋电场；
法拉第(Farady)电磁感应定律：变化电场中，
沿任一封闭路径的感应电动势e等于路径所包
《物理光学》1章 光的电 磁理论及课后习题答案
1.1 光的电磁波性质
一、麦克斯韦方程组
麦克斯韦(Maxwell)在法拉第(Faraday)、安 培(Anper)等人研究电磁场工作的基础上：于1864 年总结出了一组描述电磁场变化规律的方程组， 从而建立了经典电磁理论。 Maxwell方程两种等效的表达形式： 积分形式适用于解释物理现象；微分形式适用于 理论推导。
电介质物理及其应用-极化和介损部分
3.介质极化的宏观参数—介电常数
电介质的介电常数(εr)是描述电介质极化的宏观参数.
r
D
解： P cos
00
P
900 0
1800 P
0E
D、E——分别为电介质中电感应强度、宏观电场强度 介电常数的意义：用平板电容器为例进行说明
极化前
极化后
Dx = qEi / k
q Ei a Ei k
2
x
4 0 a 3 Ei Ze
a
Ei
qx
e 4 0 a 3
q2 k
e Zex 4 0 a 3 Ei
异性离子的相互作用势能为：
u x q2 b 4 0 x 4 0 x n
n 1 q 解得： k 3
4 0 a
∴离子极化率为： a E
、
i
q 2 4 0 a 3 k n 1
偶极分子位能大小：
u ql E 0 Ei 0 Ei cos
离子中心距离a可以认为是正、负离子的半径之和
a
4 0 r r n 1
α—极化率，单位是Fm2，
P Nμ i N E i
Cm Cm F m2 V/m V
2
所以极化强度P又可表示为：
P 0 r 1 E N Ei
⑤夹层（界面）极化 说明：在实际介质中，往往是多种机化并存！
r 1
N E i (克劳休斯Clausius 方程) 0E
建立时间约为10-12~10-13s,当交变电场的 特点： 频率f<红外光频率时，离子极化来得及建立。
电介质物理导论第一章1
五、电介质物理的发展与展望
独立学科：
电子信息功能材料：低频、高频、微波、毫米波
新型电子器件： 铁电存储器、MEMS、阵列电容器、EMI 、SMD、 LTCC
与其他学科交叉发展：晶体学、高分子材料学、电磁场与微波技术。。。。
应用：1。晶体电介质应用于光电子学器件
2。陶瓷体内晶粒间的晶界效应 晶界层电容器 超大容量
第一章 恒定电场中电介质的极化
重点研究电介质在恒定电场作用下，所发生 的电极化过程。
主要研究方法： 给出必要的静电学基本定律和公式; 从宏观和微观两种角度，分析与讨论电介质
极化的共同规律; 结合具体物质结构类型，分别讨论各种形式
极化的机理并导出各自所遵循的规律。
重点在于了解宏观极化特性与微观 物质结构及组成之间的联系以揭示相应 物理现象的本质。
dissipation factor ; 介电强度Eb ：breakdown field strength
三、电介质的分类
1。组成特性：无机电介质：云母、玻璃、陶瓷
有机电介质：矿物油、纸、有机高分子聚合物
2。聚集态：气体介质：空气
液体介质：电容器油
固体介质：陶瓷、纸
3。组成物质原子排列的有序化程度：晶体：石英
直（不平行）的表面上出现束缚电荷——不能离开电介质，束缚电荷也要产生自
己的电场，称为附加电场E’
E=E。+E’<E。
束缚电荷
-
+
- + - + - + -+
- + -+ - + - +
-+
-+
-+ -+
+ -+ -
电介质物理基础习题答案
参考答案第一章1、电介质在电场作用下,在介质内部感应出偶极矩、介质表面出现束缚电荷得现象称为电介质得极化。
其宏观参数就是介电系数ε。
2、在电场作用下平板介质电容器得介质表面上得束缚电荷所产生得、与外电场方向相反得电场,起削弱外电场得作用,所以称为退极化电场。
退极化电场:平均宏观电场:充电电荷产生得电场:3、计算氧得电子位移极化率:按式代入相应得数据进行计算。
4.氖得相对介电系数:单位体积得粒子数:,而所以:5.洛伦兹有效电场:εr与α得关系为:介电系数得温度系数为:6.时,洛伦兹有效电场可表示为:7、克莫方程赖以成立得条件:E”=0。
其应用范围:体心立方、面心立方,氯化钠型以及金刚石型结构得晶体;非极性及弱极性液体介质。
8.按洛伦兹有效电场计算模型可得:E”=0 时,所以9、温度变化1度时, 介电系数得相对变化率称为介电系数得温度系数、10、如高铝瓷, 其主要存在电子与离子得位移极化, 而掺杂得金红石与钛酸钙瓷除了含有电子与离子得位移极化以外, 还存在电子与离子得松弛极化。
极性介质在光频区将会出现电子与离子得位移极化, 在无线电频率区可出现松弛极化、偶极子转向极化与空间电荷极化。
11、极化完成得时间在光频范围内得电子、离子位移极化都称为瞬间极化。
而在无线电频率范围内得松弛极化、自发式极化都称为缓慢式极化。
电子、离子得位移极化得极化完成得时间非常短,在秒得范围内,当外电场得频率在光频范围内时,极化能跟得上外电场交变频率得变化,不会产生极化损耗;而松弛极化得完成所需时间比较长,当外电场得频率比较高时,极化将跟不上交变电场得频率变化,产生极化滞后得现象,出现松弛极化损耗。
12.参照书中简原子结构模型中关于电子位移极化率得推导方法。
13.“”表示了E ji得方向性。
14.参考有效电场一节。
15. 求温度对介电系数得影响,可利用,对温度求导得出:。
由上式可知,由于电介质得密度减小,使得电子位移极化率及离子位移极化率所贡献得极化强度都减小,第一项为负值;但温度升高又使离子晶体得弹性联系减弱,离子位移极化加强,即第二项为正值;然而第二项又与第一项相差不多。
大学物理(第四版)课后习题及答案电介质
电解质题8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1 = 5.0⨯10-4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径m 105.432-⨯=R 的同轴圆筒形阳极。
阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L = 2.5⨯10-2 m 。
假设电子从阴极射出时的速度为零。
求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。
题8.1分析：（1）由于半径L R <<1，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。
从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。
由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率。
（2）计算阳极表面附近的电场强度，由E F q =求出电子在阴极表面所受的电场力。
解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.417ep -⨯-=-=∆eV E由于电子的初始速度为零，故J 108.417ep ek ek -⨯=∆-=∆-E E E因此电子到达阳极的速率为17eks m 1003.122-⋅⨯===meVmE v （2）两极间的电场强度为r 02e E r πελ-=两极间的电势差 1200ln 2d 2d 2121R R r r V R R R R πελπελ-=-=⋅=⎰⎰r E 负号表示阳极电势高于阴极电势。
阴极表面电场强度r 121r 10ln 2e e E R R R VR =-=πελ电子在阴极表面受力N e E F r 141037.4-⨯=-=e这个力尽管很小，但作用在质量为9.11⨯10－31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5⨯1015倍。
题8.2：一导体球半径为R 1，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V 0。
求此系统的电势和电场的分布。
题8.2分析：不失一般情况，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。
静电场中的导体及电介质一章习题解答
静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如下图。
A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，那么AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A)S Q 012ε (B) SQ Q 0212ε- (C) S Q 01ε (D) SQ Q 0212ε+解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即SQS Q S Q E 01010122εεε=+=板间 所以，应该选择答案(C)。
习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。
把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，那么［ ］ (A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，那么有231221==C C V V ①100021=+V V ②联立①、②可得V 6001=V ， V 4002=V可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。
所以，应该选择答案(C)。
习题8—3 三个电容器联接如图。
电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别+Q 1 +Q 2A B习题8―1图为100V 、200V 、300V 。
那么此电容器组的耐压值为［ ］(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。
电动力学习题答案第一章 电磁现象的普遍规律
由（3）得
+ +
又
即 与 严格抵消。
（2）由
=
2 LE=
E=
J= -
解得
当t=0时
(3)t场对自由电荷所做的功率密度为
(4)
而长为L的一段介质总的静电能为
W=
所以能量耗散功率等于静电能减少率。
（ ）
的关系
（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）
⑵求 及 ，其中 及 均为常矢量。
解：⑴
⑵
4.4.⑴应用高斯定理证明
⑵应用斯托克斯（Stokes）定理证明
解：⑴
⑵
5.5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
利用电荷守恒定律
证明 的变化率为
解：
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的 ，则
。
6.若 是常矢量，证明除R=0点以外矢量 的旋度等于标量 的梯度的负值，即 ,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
解：⑴由
所以
所以
方向为
对区域Ⅱ
由
方向为
对区域Ⅲ有:
(2)(2)由
由
由
同理
由
得
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷密度 的 倍。即：
解：由均匀介质有
①
②
③
④
由①②得
两边求散度
由③④得
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）
第一章电磁现象的普遍规律
1.根据算符 的微分性与矢量性，推导下列公式：
解：矢量性为
①
②
③微商性
《大学物理AⅠ》静电场中的导体和电介质习题、答案及解法(2010.6.4)(推荐文档)
静电场中的导体和电解质习题、答案及解法一．选择题1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。
在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去。
选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ]（A ）aq 02πε； （B ）0 ；（C ）Rq 04πε-； （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。
参考答案：)11(4)11(440020Ra q a R q dl Rq Edl V R aRa-=--===⎰⎰πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。
设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。
[ B ]解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 1221d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为[ B ] （A ）204rq πε，0 ； （B ）0，204r q πε ；（C ）0，rq 04πε ； （D ）0，0 。
参考答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==•+•=•=⎰⎰⎰⎰∞∞∞2020201411441222r Q rQdr r Q ld E l d E ld E U r r r rpp πεπεπε4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ]（A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。
介电测量技术试验指导书试验一铁电体介电常数与介电温谱测试一
介电测量技术实验指导书：实验一铁电体介电常数与介电温谱测试一、实验目的1．掌握介电常数的定义及测量原理；2．熟悉介电测量设备的使用方法；3．了解几种不同的铁电体的介电温谱及其相变行为；4．掌握数据处理方法和对数据的分析。
二、实验原理介电常数是表征介质极化能力的一个参数，它正比于单位电场在介质中诱导的电位移大小。
一般说来，固体介质中存在的极化机制有电子位移极化、离子位移极化、偶极取向极化和空间电荷极化四种类型。
决定于具体的极化机制，固体介质的介电常数可以处于从2到104的宽广范围内。
对于铁电体而言，极化的情况相比较于一般介质要复杂得多，既有极化的非线性，又有因为铁电畴的存在而带来的不可逆过程和滞后效应的影响。
根据测量时电场强弱与计算范围的大小，铁电体介电常数可以分为三种：小信号介电常数，交流介电常数以及微分介电常数。
如表1所示。
表1铁电体介电常数的分类测量电场计算范围公式测量方法小信号介电常数（可逆介电常数）小信号交变电场小信号范围ε＝ΔP/ΔE LCR交流介电常数（有效/等效介电常数）强交流电场大范围内平均量ε＝P/E电滞回线西林电桥微分介电常数强交变电场局部小范围ε＝dP/dE 电滞回线微分在本实验中只要求测量小信号介电常数及其温度依赖关系。
低频下测量铁电材料的小信号介电常数的方法主要是应用平行板电极电容器的测量原理，通过测量样品的电容量，经计算求得的。
若忽视平行板电容器的边缘效应，电容量与介电常数的关系如下：dA C rεε0=（1）式中C 为被测样品在低频下的电容量，A 为平行板重叠部分面积，d 为两平行板之间的距离，0ε＝8.85×10-12（F/m ）为真空介电常数，r ε为相对介电常数。
由ACdr 0εε=即可计算出相对介电常数。
平行板电容器一般要求样品的横向尺寸（直径/边长）要大于10倍样品厚度。
铁电体的介电常数温谱曲线携带了铁电相变的信息，对于一级相变和二级相变铁电体，其相变温度（T c ）以上的介温曲线满足居里外斯定律T T C r −=ε（2）其中，一级相变铁电体满足T 0<T c ，如钛酸钡（BT ），而二级相变铁电体满足T 0=T c ，如磷酸二氢钾（KDP ）。
1.电动力学课后习题答案_第一章
电动力学课后习题答案第一章 电磁现象的普遍规律1． 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(21∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）由∇的微分性质得()∇⋅A B 可以变成两项，一次对A 作用()∇⋅A A B ，一次对B 作用()∇⋅B A B 。
由∇的矢量性质，()=()()⨯∇⨯∇⋅-⋅∇B A B A B A B ，可得()=()+()∇⋅⨯∇⨯⋅∇B A B A B A B 。
同理()=()+()∇⋅⨯∇⨯⋅∇A A B B A B A ，则：()=()+()=()()()()∇⋅∇⋅∇⋅⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇A BA B A B A B B A B A A B A B综上，原式得证。
（2）在（1）的结论式里令=A B ，得A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，即： 21()()2A ⨯∇⨯=∇-⋅∇A A AA2． 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， u u u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 解：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）()///()()()xy z x y z u xy z A u A u A u ∇⨯=∂∂∂∂∂∂e e e Az x y y z x x y z yu A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= z x y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=d d u u=∇⨯A3． 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
西安交通大学姚熹
14．在32种点群中，有个点群可能具有压电效应。其中10种具有的点群有热释电效应。
15．晶体介电常数张量是一个二阶对称张量，只有个独立分量，而且独立分量个数还与有关。
16．三阶张量有27个分量，列举三个四阶张量；四阶张量有81个分量，列举四个四阶张量。
三、证明题(20分，每题10分)
1.试证明在E中引入一偶极矩为 的分子，则该分子具有势能为 ， 为分子极化率。
2.证明介电常数 是一个二阶对称张量
四、半径为a的两个相同原子组成的非球状双原子分子模型，如图（a）和（b）所示，设每个原子的电子位移极化率为e，
1．导出电场E平行于分子长轴方向的电子位移极化率1
17．液体电介质的离子电导率γ=；杂质离子电导率比本征离子电导率。
二、简述题（15分，每题5分）
1．简述Lorentz模型、Lorentz有效场与克劳修斯-莫索缔方程和Onsager模型、Onsager有效场及它们的区别。
2．试叙述德拜弛豫复介电常数 的实部 和虚部 在一定频率下的温度特性。
3．简述压电效应、电致伸缩效应、热释电效应。
2．导出电场E平行于分子短轴方向的电子位移极化率2。（10分）
（a）(b)
(a)电场平行于分子长轴(b)电场平行于分子短轴
五、极化轴沿 轴的压电陶瓷的压电常数矩阵为
1．若要产生切向应变，如何施加电场 ？
2．若要产生法向应变，如何施加电场 ？（10分）
六、在某一种偶极子气体中，若每个偶极子的极化强度为1Debye ( )，计算在室温下（300K）使此气体达到 取向极化饱和值时所需要的电场。（10分）
共四页
3．诺伊曼法则表述为_______的对称素必须包含_______的对称素。
西安交通大学 电介质物理 2008年 考试试卷A参考答案
西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：电介质物理课时：64考试时间：2008年1月6日一、填空（50分，每空1分）1．电子位移极化率e α随原子或离子的半径增加而增大，随价电子数增加而增大。
2．离子位移极化率i α与离子间距立方成正比，随温度升高而增大。
3．气体介电常数随气体的压力和温度发生变化，这是因为当压力和温度发生变化时，极化子浓度发生变化。
4．实际电介质中的介电损耗的主要原因是极化损耗；和漏导损耗。
5．德拜弛豫函数f(t)=，弛豫时间τ随温度升高呈指数减小。
6．当温度升高时，频率弥散区域向高温方向移动，当频率降低时，"r ε的极值温度向高频方向移动。
7.固体电介质的击穿场强E B 比气体和液体介质高，固体电介质交变电场下的击穿场强E B小于直流电场下的击穿场强E B 。
8.在"r ε与频率的关系中，低频时，以漏导损耗为主，随频率升高，极化损耗增加并达极值，然后减少到零。
9.2n 极子的2n 极矩是一个n 阶张量，有3n个分量，四极子的四极强度为ql 1l 2。
10.极化粒子的偶极矩→u与局域场e ε 的关系为→u=极化强度→ρ=。
极化介质的宏观参量与极化粒子的微观参量的关系为rε=。
11.罗仑兹模型中的球内极化粒子产生的电场假定为、罗仑兹有效场e ε=。
则克劳修斯-莫索谛方程为。
在光频范围内。
Lorentz-Lorenz 方程。
12．Debye 方程偏离实际电介质的两个原因，其一漏导，其二多弛豫时间。
相应的修正结果，其一，)("ωεr =，其二)('ωεr =，)("ωεr =。
13．液体电介质的离子电导率γ=；杂质离子电导率比本征离子电导率。
14．在32中点群中，具有对称中心的点群没有压电效应，有20个点群可能具有压电效应。
15．压电常数ijk d 有18个独立组元，正压电效应D i =,电致伸缩常数Q ijkl 有21个独立组元，电致伸缩效应ij x =，压电效应所产生的应变与所加电场方向同向，而电致伸缩效应所产生的应变与所加电场方向无关。
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第一章 静电场中的电介质1-1 半径为a 的 球带电量为q ，电荷密度正比于距球心的居里。
求空间的电位和电场分布。
解： 由题意可知，可设kr =ρ再由于 ⎰=q dv ρ，代入可以求出常数k 即 ⎰=424ka krdr r ππ 所以 4a q k π= r a q 4πρ= 当 a r >.时 由高斯定理可知 024επqr E =⋅ ； 204rq E πε=⎰∞=⋅=rrq dr E U 04πε当 a r <<0时 由高斯定理可知 4042040024114aqr dr r r a q dv r E rrεππερεπ=⋅==⋅⎰⎰4024a qr E πε= dr r qr dr a qr dr E U a r ar⎰⎰⎰∞∞+=⋅=20240244πεπεaq r a a q 033404)(12πεπε+-=)4(123340r a a q -=πε1-2 电量为q 的8个点电荷分别位于边长为a 的立方体的各顶角。
求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。
若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题解 ：由电矩的定义 ∑∑==ii i ii i r q r q μ（一）八个电荷均为正电荷的情形（1）立方体的在中心： 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为∑==810i i r ，故0==∑ii i r q μ（2）某一面心： 该面的四个顶点到此面心的矢量和∑==410i i r ，对面的四个顶点到此点的矢量和∑==854i i a r故qa 4=μ；（3）某一顶角 ：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：∑==7534i ia r故qa 34=μ；（4）某一棱的中心 ；八个顶点到此点的矢量和为∑==7524i i a r故qa 24=μ；（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似； 1-3 设正、负电荷q 分别位于（0，0，l /2）、（0，0，－l /2），如图所示。
求场点P 处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，l 23），（0，0，l 25）处电势的近似值，并与实际值比较 解：P 点的电势可以表示为： ϕ =-++ϕϕ=)11(40-+-r r q πε其中2cos θl r r -=+, 2cos θl r r +=- 204cos rql πεθϕ=取场点分别为P 1 (0,0,l 23) P 2(0,0,l 25)则对于P 1点来说 l r =+, l r 2=- 1ϕ =l ql l q008)211(4πεπε=- 对于 P 2来说 l r l r 3,2==-+ 2ϕ =)3121(40l l q -πε =lq024πε 多极展开项去前两项ϕ=)]2cos 32cos 5(cos 2cos 2[3432θθθθ-'+'rr q r r q 其中 θθcos ,0==1 ， 2l r =' 把P 1 (r=23l )点和P 2 (r=25l)点代入上式可得 )81494(4101lql q +=πεϕ =l q πε8110)6254254(4102lql q +=πεϕ =l q πε62526比较可得 P 1点 ， 实际值lqlq 0081108πεπε>近似值 P 2点 ， 实际值 lqlq 006252624πεπε>近似值1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶极子强度，电四极子强度，电八极子强度。
解 ： 参考课本P 21 图1-10偶极子强度 ql ; 四极子强度21l ql ; 八极子强度321l l ql1-5 试证明位于（0，0，l ）的点偶极子（方向沿Z 轴）μ在场点的r 的展开式为 ),(θϕr =)(cos 411θπεμPn r l n n n n +-∞='∑解 ： 点电荷的多极展开式为)(r 'ϕ =[ )21cos 23(cos 2322-''+''+'r z q r z q r q θ+......]对于正电荷+q 来说 z '=l 3/2+ϕ =[ )21cos 23()2/3(cos )2/3(2322-'+'+'r l q r l q r q θ+......] 对于负电荷-q 来说 z '=l /2-ϕ =[ )21cos 23()2/(cos )2/(2322-'-'-'-r l q r l q r q θ+......] -++=ϕϕϕ= )21cos 23(2cos [42320-'+'r l r l qθπε+......]=)21cos 23(2cos 1[4230-'+'r l r θπεμ+......] = )21cos 23(2)(cos 0[422121************-'+'+'+-+-+-P r l P r l P r l θπεμ+...]=)(cos 411θπεμPn r l n n n n +-∞='∑证毕1-6 （1）试证明电偶极子μ（＝ql ）在电场E 中的转矩M 势能W 分别为：E M ⨯=μ ； W =-E ⋅μ（2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。
（3）当μ和E 的夹角从1θ变到2θ时，求电场力所做的功和偶极子的势能变 化。
解 （1）转矩 -+⨯-⨯=f r f r M = )(qE r qE r -⨯-⨯= 2q E r ⨯ = q E l ⨯ = E ⨯μ 势能 W = -q -++ϕϕq =-q l E ⋅ =-E ⋅μ （2）M=0 ,θ=0, π 平衡位置θ=0, W = -μE 能量最低，稳态平衡 θ=π, W = μE 能量最大，不稳定 （3）电场力做功，是θ减少 因此 d θ为负A=⎰⎰=-=-12sin θθθθμθd E Md )cos (cos 12θθμ-E势能变化 △W = W 2- W 1 = )cos (cos 21θθμ-E 因此 ： 保守力做功等于势能增量的负值 A = -△W1-7 两个电偶极子1μ、2μ相距R ，讨论两偶极子间的相互作用能。
解： 先假定 两个偶极子均与R 成θ角，其他情形与此类似 W μ=-121E ⋅μ=⋅1μ▽12ϕ 偶极子2μ在1μ处的电势为 12ϕ=3024R R πεμ⋅ ∴ ▽12ϕ=5023024)(34R RR R πεμπεμ⋅-W μ= ⋅1μ▽12ϕ=]))((3[415213210R R R R ⋅-⋅μμμμπε=]cos )cos(32cos [433021RR θθπθπεμμ--- =)2cos cos 3(423021θθπεμμ-R=)cos 1(423021θπεμμ+R1-8 什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？ 答案略1-9 什么叫退极化场？试用极化强度P 来表示一个介电常数的为r ε的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。
解 ： 极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场 0/εp E P -= P E E E +=0=)1(0-r Pεε=0E )1(0-r Pεε-P E =)1(0-r r Pεεε1-10 在均匀电场0E 中放一个半径为a 的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。
由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。
并求出导体球的极化率。
解： 导体球外 ▽2ϕ = 0 r>a )(cos )(10θϕn n nn n n P rB r A +∞=+=∑ 边界条件为 ：（1）由于导体球为一个等势体 因此 ϕr=a=0ϕ（2）ϕ∞→r =θcos 0r E -有 A 1=-E 0 A n = 0 (n 1≠) 代入边界条件可知： B 0 = a 0ϕ Bn ≅0 (n 1,0≠) -E 0a + B 1/a =0 因此 B 1=30a E所以 θθϕϕcos cos 23000ra E r E r a +-= 如果导体球接地 则00=ϕ 从而有θθϕcos cos 2300ra E r E +-=所以 极化电荷产生的电势，电场为θϕcos 230ra E P = P E =-▽ϕPθϕcos 2330r a E r E rP =∂∂-= θθsin 0E E P =导体球的偶极矩为：0304E a πεμ= 导体球的极化率为：304a πεα=1- 11 试证明在电场0E 中引入一偶极矩为0μ的分子，则该分子具有的极化势能为200021E E W ⋅-⋅-=αμ，其中α为分子的极化率。
解 ：假定 分子固有偶极矩0μ沿分子长轴取向分子在电场0E 感生偶极矩μ的长轴和短轴方向上的分量分别为 θααμcos 01111E E ==θααμsin 02222E E == 其中 21E E E += 21μμμ+==2211E E αα+ E μθμθμsin cos 21+== （θαθα2221sin cos +）0E = （△22cos αθα+）0E分子的势能为固有偶极矩势能（-00E ⋅μ）和感生偶极矩（-021E E ⋅μ）之和E E W ⋅-⋅-=μμμ21001-12 H 2O 分子可以看成是半径为R 的-2O 离子与两个质子（+H ）组成，如图所示，其中R l >，+H -2O +H 间夹角为2θ，试证明分子偶极矩值为μ=)1(cos 233lR el -θ解 ： 分子的 固有偶极矩为： θμcos 20el =由于O 2-受到H ++H +的作用，使之发生位移极化,使O 2-的正负电荷中心发生位 移为x原子核的库仑吸引力 F '=-x R e R x q 302302444πεπε-= 2H +产生的电场力 为： 2024cos 4le F πεθ-= 由于F '=F 所以 233cos lR x θ= 此时的分子偶极矩为 ：μ=)1(cos 2)cos (233lR el x l e -=-θθ感生偶极矩为 e e e E ∂=μ 由于 204cos 2le E e πεθ-=，304R e πε=∂ 所以 23cos 2leR e θμ-= 总的偶极矩为 μ=0μ+e μ1-13 在无限大电介质（1ε）中有均匀电场0E ，若在该介质中有一半径为a 、介电常数为2ε介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩μ。
讨论介质球带来的影响，并将结果推广到 ： （1）1ε＝1 （2）2ε＝1 解 ： 由题意可解得：θεεεεϕcos )12(03321121r E r a -+-=θεεεϕcos 2302112r E +-==1E -▽1ϕ θεεεεθcos 2)(2cos 033121201E r a E E r +-+=θεεεεθθsin 2sin 033211201E ra E E +-+-= =2E -▽2ϕ =021123E εεε+（1）当 11=ε时 ； 空腔球θεεϕcos )121(033221r E ra -+-= θεϕcos 23022r E +-= 032201214E a +-=εεπεμ （2）当 12=ε时 ；θεεϕcos )1221(033111r E r a -+-= θεεϕcos 1230112r E +-= 0311021214E a +-=εεπεμ 1-14 （1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为S ，长度为l ，极化强度为P ，如图（a ）所示。