函数的单调性
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
首先对函
数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增
函数，小于零是减函数。
(1)证明一个函数的单调性的'方法：定义法，导数法；
(2)推论一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常用函数法，运用无机函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律：
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数，则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。
(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。
(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步：ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域；ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性，法则就是“同增异减至”，即为内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。
函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
《函数的单调性》知识点
一、函数单调性的定义如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数.二、单调性的定义的等价形式 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数.三、函数单调性的应用若()f x 在区间D 上递增且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 四、函数单调性的性质在公共定义域内，有:①增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；②减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；③增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；④减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.五、双勾函数及其性质 函数)0,0(>>+=b axbax y 叫做双勾函数. 双勾函数在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.六、复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：①若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数;②若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下:单性相异时递减． 七、用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形:作差变形(因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．。
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法判断函数的单调性是数学中常见的问题，对于函数的单调性，我们需要通过一定的方法进行判断，以便更好地理解和应用函数的性质。
下面，我们将介绍几种常用的方法来判断函数的单调性。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
如果在定义域内f'(x)恒大于0（或恒小于0），那么函数f(x)在该区间上是严格单调不减的（或严格单调不增的）。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负来判断函数的单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
如果在定义域内f'(x)≥0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
三、零点法。
利用函数的零点也可以帮助我们判断函数的单调性。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f'(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
四、拐点法。
函数的拐点也可以帮助我们判断函数的单调性。
如果在定义域内f''(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f''(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
五、特殊点法。
对于一些特殊的函数，我们也可以通过一些特殊点来判断函数的单调性。
比如对于一些周期函数，我们可以通过周期点来判断函数的单调性。
六、综合运用。
在实际应用中，我们往往需要综合运用以上方法来判断函数的单调性。
通过分析函数的导数、零点、拐点、特殊点等信息，结合函数图像，可以更准确地判断函数的单调性。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中的重要内容，它涉及到函数的增减性质，对于函数的研究具有重要意义。
在数学分析中，我们常常需要证明一个函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的。
下面，我将介绍几种常见的方法来证明函数的单调性。
1. 导数法。
导数法是证明函数单调性常用的方法之一。
对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上具有一阶导数，那么我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，如果在某个区间上f'(x)大于0，则函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于0，则函数在该区间上是单调递减的。
2. 函数的增减表。
函数的增减表是一种通过导数的符号来判断函数单调性的方法。
我们可以通过求出函数的导数，并列出导数的符号随着自变量的变化而变化的情况，从而得出函数在某个区间上的单调性。
通过增减表，我们可以清晰地看出函数的单调性，并进行证明。
3. 极值点和拐点。
对于一个函数f(x)，它的极值点和拐点也可以帮助我们证明函数的单调性。
如果在某个区间上f'(x)恒大于0，并且f''(x)恒大于0，那么函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)恒小于0，并且f''(x)恒小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。
通过分析极值点和拐点，我们可以得出函数的单调性。
4. 函数图像法。
最直观的方法是通过函数的图像来观察函数的单调性。
我们可以通过绘制函数的图像，并观察函数在某个区间上的变化趋势，从而得出函数的单调性。
通过观察函数的图像，我们可以直观地理解函数的单调性，并进行证明。
综上所述，证明函数单调性的方法有多种多样，我们可以根据具体的函数和问题选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，从而准确地判断函数的单调性，为数学分析和实际问题的解决提供有力的支持。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。
例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。
f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。
因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。
若函数$f(x)。
g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。
三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。
对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。
t=g(x)。
y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。
设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
函数的单调性
函数的单调性，是指函数在其定义域内某一区间上的取值是递增或递减的性质。
不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指，对于整个定义域而言，函数具有单调性。
单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法。
定义法利用的是函数的增减性，即如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在区间D上为增函数；如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在区间D上为减函数。
导数法则是利用函数的导数来判断其单调性，如果函数在某区间内的导数大于0，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；如果函数在某区间内的导数小于0，那么这个函数在这个区间就是单调递减的。
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
函数的单调性
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示． y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
判断下列说法是否正确
1、如果对于区间（a，b）上存在 x 1 x 2 ，使得 f ( x 1 ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。
函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于区间D内 的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调增函数，区间D称 y 为函数y=f(x)的单调增区间.
问题：
f(x1) f(x2)
如何定义单调减函数和单调减区间呢？
0
x1
x2
x
函数y＝f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于区间D 内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调减函数， y 区间D称为函数y=f(x)的单调减区间.
f(x1) f(x2) x
2
0 x1
x
如果函数
y f (x )
在区间D上是增函数或减函数，那么
就说函数 y f ( x )
在这一区间具有（严格的）单调性，区
2
在 （ ０ ， ＋ ） 上 函 数 值 随 ｘ 的 增 大
在ｙ轴的右侧是上升的。
而增大。
对于（0，≦）上的任意x1，x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
问题：
设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI,在区间D上，y 随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
函数的单调性
x y' y
(,1)
(1,2)
－
(2,)
+
+
例2.
y ( x 1) 2 ( x 2)3 .
y f ( x) ( x 1)( x 2) 2 (5 x 7).
解：定义域是 R. 由
令 f ( x) 0 解得 x 1,
7 和 2. 5
现列表讨论如下：
Th.3 （极值的必要条件）
若x0 是f ( x)的极值点 则x0只可能是 ( x)的零点 , f
或f ( x)的不可导点 .
由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定 它是取极大值还是极小值呢？
y
y
o
x0
x
o
x0
x
图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.
Th. 4 （极值判别法之一）
x O( x0 , ) 都有
f ( x) f ( x0 )
(或 f ( x) f ( x0 ))
则称f ( x)在x0取（局部）极大值（或 极小值） x0 称为极大 , 点（或极小点）统称为极值、极值点若上述两不等式 , . 中等号不成立 则称为严格意义下的极 . , 值
y
o a
有f ( x0 ) 0, 即x0 是方程f ( x) 0的解, 称为f ( x)的
稳定点或驻点.
(2) 若f ( x)在x0 不可导, 则x0也可能是极值点 例如, .
f ( x) | x | 在x 0不可导, 但x 0是其极小值点 .
稳 f 结论 f ( x)的 极 值 点 只 可 能 是 它 的 定 点 （ 即 ( x)的 零 点) 和f ( x)不 存 在 的 点 但f ( x)在 其 稳 定 点 和 不 可 导 点 . 不 一 定 就 取 局 部 极 值例 如 ： .
函数的单调性(定义法)
函数的单调性
知识点：
1.函数单调性定义
(1).定义法,对任意的若则称在D 内是单增，若则称在D内是单减.
对定义在D上的函数,设, ,,则有：①是D上的单调递增函数；②是D上的单调递减函数.
注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.
2.复合函数的单调性：
递增递减
递增递减递增递减
递增递减递减递增
3.几种常见函数的单调性：);
例1.多种方法判断下列函数的单调性：
（0，+∞）; .;
，x∈（-1,1）（a≠0），
例2..已知（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a 的取值范围. 若,与在区间上都是减函数，求a 的取值范围.已知函数f（x）= （a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则实数a的取值范围.已知函数f（x）=–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性
函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。
函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。
② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。
(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。
区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。
若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。
(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性
数f(x)为单调增函数；如果f′(x)＜0，则函数f(x)为单调减函数；
⑤性质法： 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5．函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合法：对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调 性相同， 那么 y＝f[g(x)]为 ________， 如果内、 外层函数单调性相反， 那么 y＝ f[g(x)]为 __________． (4) 导 数 法 ： 设 y ＝ f(x) 在 定 义 域 的 给 定 区 间 上 可 导 ， 如 果 ________，那么 f(x)为增函数；如果________，那么 f(x)为减函数． (5)性质法： ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数， 则 f(x)＋g(x)为 ______ 函数；若 f(x)为增函数， g(x)为减函数，则 f(x)－ g(x)为 ________； 若 f(x)为减函数， g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为 ________函数． ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性；偶函数 在两个对称的区间上具有 ________的单调性． ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性．
题型一：利用函数图像求函数单调性
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 A．y＝－ x＋1 B．y＝ x 2 2 C．y＝x －4x＋5 D．y＝ x 解析：∵函数y＝ x的单调增区间为[0，＋∞)， ∴函数y＝ x在(0,2)上为增函数． 答案：B 2．函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 1 1 A．k ＞ B．k ＜ 2 2 1 1 C．k ＞－ D．k ＜－ 2 2 解析：∵函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数， 1 ∴2k ＋1＜0，∴k ＜－ . 2 答案：D ( ) ( )
函数的单调性
函数单调性一：知识点回顾1.增函数与减函数的定义在函数)(x f y =的定义域内的一个区间A 上(1)如果对于任意两数1x ,2x ∈A ，当1x ＜2x 时都有)(1x f < )(2x f ，那么就称函数)(x f y =在区间A 上是增加的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A 上是递增的。
(2)如果对于任意两数1x ,2x ∈A ，当1x ＜2x 时都有)(1x f >)(2x f ，那么就称函数)(x f y =在区间A 上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A 上是递减的。
2、函数单调性的证明与判断（定义法，图像法，直接法） 根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：(1)取值：即设1x ,2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；(2)作差变形：即作差)(1x f -)(2x f ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；(3)定号：即确定)(1x f -)(2x f 的符号；(4)判断：即根据定义得出结论.注：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的单调性， 二：例题讲解题型一：函数单调性的判定或证明1、证明x x f =)(在],0[+∞上是增函数练习：1、证明函数11)(--=x x f 在区间(－∞，0)上是增函数. 2、判断函数1)(-=x x x f 函数在x ∈［2,5］上的单调性.3、证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数. 4、证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数题型二：求函数单调区间1、求函数32)(2+--=x x x f 的单调区间练习：1、求函数32)(2-+=x x x f 的单调区间. 2、函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是 ，单调增区间是 。
题型三：函数单调性的应用1、已知函数]4,(2)1(2)(2-∞+-+=在a x x f 上是减函数，求a 的取值范围。
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函数的单调性
一、函数单调性的定义
1.增函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1〈x2时，都有f(x1)〈f(x2)，那么就说f(x)这个区间上是增函数．
2.减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1〈x2时，都有f(x1)〉f(x2)，那么就说f(x)这个区间上是减函数．
3.单调性和单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数；那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
4.特别提醒：
函数奇偶性是函数的整体性质，函数的单调性是函数的局部性质．讨论函数的单调性（或增减性）离不开单调区间．
二、函数单调性的证明和单调区间的确定
(一)利用定义证明函数在区间I上单调增（或单调减）的一般步骤：
1.设值：设x1，x2∈I，且x1〈x2，则：；.
2.作差：f(x2)-f(x1)=……（或f(x1)-f(x2)=……）；
3.变形：转化为几个因式的积或完全平方式的和；
4.定号：确定f(x2)-f(x1)〉0（或f(x2)-f(x1)〈0)；
5.结论：若f(x1)〈f(x2)，则f(x)在I上是增函数（若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上是减函数）
注意：在作差、定号有困难时，可改为作商、定值；变形（因式分解、配方等）一定要变到位．
(二)利用图象确定函数的单调区间
1.能连的单调区间一定要连；
2.不连续的单调区间绝对不能并．
三、有关函数单调性的几个结论
1.奇函数在其对称区间上有相同的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性相反；
2.增函数与增函数的和仍为增函数，减函数与减函数的和仍为减函数．
3.复合函数的单调性：
已知函数y=f(u),u∈[m，n]，u=g(x)，x∈[a，b]，y=f[g(x)]，x∈[a，b]的单调性为：若函数f(u)与g(x)具有相同的增减性，则y=f[g(x)]在区间[a，b]上单调增；
若函数f(u)与g(x)具有相反的增减性，则y=f[g(x)]在区间[a，b]上单调减．。