有余数的除法(教师)

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。

【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。

【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。

【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ． 【难度】★【答案】 a =43，r =14【解析】解：因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．【总结】分清“除”与“除以”的区别，易出错。

【检测1】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【难度】★★【答案】甲=1000，乙=88 【解析】解：（法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=【总结】带余除法算式的应用。

【检测2】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【难度】★★例题解析【答案】39 或91【解析】解：方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求两位数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【总结】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。

【例2】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【难度】★【答案】1968【解析】解：被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．【总结】带余除法算式的应用。

【检测】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【难度】★【答案】856,21【解析】解：本题为带余除法定义式的基本题型。

根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到40164016933x yx y=+⎧⎨+++=⎩,解方程组得85621xy=⎧⎨=⎩，即这两个自然数分别是856，21.【总结】直接根据题意列方程解即可。

【例3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【难度】★★【答案】523,631,847【解析】解：设所得的商为a，除数为b．(19)(23)(31)2001a b a b a b+++++=，7332001a b +=，由19b <，3027732001⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

【总结】根据题意结合带余除法算式列方程；注意余数是要比商小的。

【检测】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________． 【难度】★★ 【答案】84【解析】解：设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=⨯+，即37a b =，只有7a =，3b =，所以这个自然数为84712=⨯。

【例4】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【难度】★★ 【答案】15人【解析】解：由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人． 【总结】本题关键在于理解题意，应用余数的性质讨论人数，再结合条件解题即可。

【检测】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数． 【难度】★★ 【答案】83【解析】解：因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【总结】本题关键在于应用余数的性质讨论，再结合条件解题即可。

模块二：三大余数定理1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(mod m b .例如：)15(mod 434≡，)7(mod 61000≡，98(mod 2) 等等。

当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。

对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. 如果)(mod m b a ≡，那么)(|b a m -；如果整数a 和b 对于模m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除； 性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）)(mod m a a ≡；（2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；知识精讲（3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡；（4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±； （5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡；【例5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数. 【难度】★★ 【答案】2,7,14【解析】解：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【总结】同余定理性质1的应用，注意“除”和“除以”的区别。

【检测1】若有一个大于1的正整数除314、257、447所得余数相同，则2002除以这个数余数为 。

【难度】★★ 【答案】7【解析】解：根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．设该正整数为x ，则19)257314,257447,314447(=---=x ，2002除以19的余数为7 【总结】同余定理性质1的应用，注意“除”和“除以”的区别。

【检测2】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【难度】★★ 【答案】99个【解析】解：我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．例题解析1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【总结】本题的关键在于求18与33的最小公倍数的含义。