人教版 八年级数学讲义 二次根式的计算 (含解析)

第12讲二次根式的计算

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初二，基础较好；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算。二次根式是中考考查的重点，也涉及到后面勾股定理的学习，本节课我们需要了解二次根式有意义，掌握二次根式的乘除和加减运算，熟练地进行二次根式的计算。

知识梳理

讲解用时：20分钟

二次根式

1、一般地，式子√a（a≥0）叫做二次根式

a称为是被开方数

（1）表示a的算式平方根

（2）a可以是数，也可以是式

（3）形式上含有二次根号

（4）a≥0 a≥0 （双重非负性）

2、最简二次根式：

必须同时满足下列条件：

（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

（2）被开方数中不含分母；

（3）分母中不含根式.

3、同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.

课堂精讲精练

【例题1】

分式有意义时，x 的取值范围是 ．

二次根式的加减

1.二次根式的化简：

（1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解.

解：2332661522222.⨯====⨯ 化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式.

（2）被开方数是分数的二次根式化简

解：211155512555555552525⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ （3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简

4816343=⨯=

将被开方数进行因数分解，是化简的基础.

2、同类二次根式：

化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. 例如：√3与2√3是同类二次根式

3、二次根式的加减法

二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变

【解析】要使代数式有意义时，必有x﹣2＞0，可解得x的范围．

解：根据题意得：x﹣2＞0，

解得：x＞2．

故答案是：x＞2．

讲解用时：2分钟

解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．

教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：博望区校级一模年份：2018

【练习1.1】

如果代数式有意义，那么x的取值范围是．

【答案】x≥﹣2且x≠1

【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，

解得x≥﹣2且x≠1．

故答案为：x≥﹣2且x≠1．

讲解用时：2分钟

解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数，要注意分母不能为0.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：东胜区一模年份：2018

【例题2】

实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．

【解析】直接利用数轴得出a＜0，a﹣b＜0，进而化简得出答案．

解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，

则原式=﹣a﹣（a﹣b）=b﹣2a．

故答案为：b﹣2a．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．

教学建议：利用二次根式的性质进行化简.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：成华区模拟年份：2018

【练习2.1】

已知，则a的取值范围是．

【答案】a≤

【解析】根据=|a|≥0，即可得到关于a的不等式求得a的范围．

解：根据题意得：3﹣2a≥0，

解得：a≤．

故答案是：a≤．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了二次根式的性质，正确理解=|a|≥0是关键．

教学建议：利用二次根式的性质进行化简.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰兴市期末年份：2017

【例题3】

计算：．

【答案】﹣

【解析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．

解：

=3×（﹣）×2

=﹣×5

=﹣．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．

教学建议：熟练掌握二次根式的乘除计算.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级月考年份：2016

【练习3.1】

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）﹣；（2）；（3）1

【解析】（1）根据二次根式的除法，可得答案；

（2）根据二次根式的除法，二次根式的乘法，可得答案；

（3）根据二次根式的除法，可得二次根式的乘法，根据二次根式的乘法，可得答案．

解：（1）原式==﹣；

（2）原式====；

（3）原式=

=

=1．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键，注意把带分数化成假分数再进行运算．

教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：广南县校级期中年份：2015

【练习3.2】

计算：

（1）（2x+y﹣1）•（2x﹣y+1）

（2）÷•

（3）÷×

（4）﹣．

【答案】（1）4x2﹣y2+2y﹣1；（2）

；（3）

；

（4）

【解析】结合二次根式的乘除法及分式的混合运算的运算法则进行求解即可．

解：（1）原式=[2x+（y﹣1）]•[2x﹣（y﹣1）]

=（2x）2﹣（y﹣1）2

=4x2﹣y2+2y﹣1．

（2）原式=

=．