几何证明中的反证法与逆否命题
数学推理与证明中的逆否命题和反证法总结
数学推理与证明中的逆否命题和反证法总
结
数学中的逆否命题和反证法是常用的推理和证明方法。
它们在
逻辑上是等价的，可以帮助我们得到结论或证伪一个陈述。
逆否命题
逆否命题是指将一个条件陈述的逆否形式作为新的命题。
例如，对于条件陈述"如果P，则Q"，其逆否命题为"如果非Q，则非P"。
逆否命题与原命题是等价的，即当原命题成立时，逆否命题也一定
成立。
逆否命题在数学推理中的应用十分广泛。
通过证明逆否命题为真，我们可以得到原命题的正确性。
这是因为逆否命题与原命题是
等价的，如果逆否命题成立，那么原命题也一定成立。
反证法
反证法是一种常用的证明方法，通过假设目标结论为假，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明目标结论为真。
反证法的基本思路是通过反设目标结论的否定形式，然后通过推理和推导，逐步得出与已知事实相矛盾的结论。
这样一来，我们就可以推断出目标结论的正确性。
反证法常用于证明一些不存在的情况或者证伪某些命题。
它是一种精巧而有效的证明方法，可以简化繁琐的证明过程。
总的来说，逆否命题和反证法是数学推理中常用的方法。
它们可以帮助我们得出结论或证伪一个命题。
在使用这些方法时，我们应该充分理解其原理和适用条件，并进行合理的推理和推导。
以上是关于数学推理与证明中逆否命题和反证法的总结。
高中数学中常用的推理方法
高中数学中常用的推理方法一、引言在高中数学学习中，推理方法是解决问题的重要手段之一。
合理运用推理方法不仅可以帮助我们理解数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力。
本文将介绍高中数学中常用的推理方法及其应用。
二、归纳法及其应用归纳法是一种从部分事实推断出整体结论的推理方法。
首先，我们根据已知的一些具体例子观察、分析、总结规律；然后，通过归纳得出结论。
例如，在学习等差数列时，可以通过观察数列的前几项，发现每一项与前一项之差相等，于是我们猜想该数列是一个等差数列；接下来，我们可以通过归纳法来证明这一猜想。
假设数列的前n项满足等差关系，那么我们可以将第n+1项表示为前n项加上一个常数差。
通过对前n项和第n+1项的差进行分析，可以得到结论：第n+1项与第n项之差也等于该常数差。
因此，我们可以确定该数列是等差数列。
三、演绎法及其应用演绎法是一种从一般规律推断出特殊结论的推理方法。
与归纳法不同的是，演绎法是从已知的前提出发，通过逻辑推理得出结论。
在几何证明中，我们常常运用演绎法。
例如，证明两条平行线夹角相等时，可以基于以下已知条件：一条横切线与两条平行线相交，根据横切线与平行线之间的夹角性质，我们可以推理出两条平行线的夹角相等。
四、逆否命题及其应用逆否命题是指一个命题的否定与其逆命题的否定等价的命题形式。
逆否命题在高中数学中常常用于证明条件命题。
以命题“如果两角互余，则它们的余角相等”为例，我们可以将其逆否命题表示为“如果两角的余角不相等，则它们不互余”。
通过证明逆否命题，我们可以得出条件命题的正确性。
五、反证法及其应用反证法是一种通过否定命题的否定来证明原命题的方法。
当我们无法用直接证明或其他推理方法得出结论时，可以尝试使用反证法。
例如，在证明“根号2是无理数”时，我们可以假设根号2是有理数，并进行逻辑推导。
通过运用整数的性质以及有理数的定义，我们可以得出矛盾的结论，即根号2不是有理数。
因此，我们可以反证得出根号2是无理数。
高中数学证明题的八种方法(一)
高中数学证明题的八种方法(一)八种高中数学证明题的方法高中数学中，证明题是一种十分重要的题型。
下面，我们将介绍八种常见的证明方法。
一、几何证明法几何证明法是基于几何图形的特性以及几何定理来进行推理的证明方法。
通过画图、连线、标记等操作对几何图形进行分析，利用几何定理进行推理，最终完成证明。
二、极限证明法极限证明法是通过构造某些数列或函数的极限，从而推断所需证明结论的成立。
这种证明法通常需要先对题目进行化简，然后构造极限来进行推导。
三、归纳证明法归纳证明法是通过对数学问题进行归纳分析，在已知某个条件成立的前提下，推出所需证明结论的成立。
这种证明法通常需要先进行基础情况的分析，然后通过归纳假设和证明来完成。
四、逆证法逆证法是通过证明原命题的否定命题成立，进而推出原命题成立的证明方法。
通常，逆证法需要运用基本逻辑规律，如转化为反证法、归谬法等。
五、背反证明法背反证明法是通过推导出目标结果的相反结果，从而推断目标结果的真实性。
这种证明方法通常需要将目标结果假设为不成立，然后推导到与已知条件不符的结论，最终达到证明目标结果成立的目的。
六、反证法反证法是通过假设所需证明的结论不成立，然后推导出与已知条件不符的结论，从而推断所需证明结论的成立。
这种证明方法的关键是在证明暴露出矛盾的同时，需要进行对假设的反证。
七、数学归纳法数学归纳法是通过对数列等问题进行递推来证明所需结论的成立。
这种证明方法需要先确定基础情况的成立，然后通过不断迭代、递推，来证明所需结论的成立。
八、构造法构造法是通过构造满足题目条件的数据或对象，来证明所需结论的成立。
这种证明方法通常需要具备创新性和灵活性，通过对题目的分析和设计，来得出满足条件的构造方法，进而完成证明。
总之，这八种证明方法各有其特点和适用范围，在解决高中数学证明题时，可以根据题目性质和自身能力进行选择和运用。
具体应用下面，我们将通过几个具体的例题来展示这八种证明方法的应用。
例一证明：对于任意正整数n，有n2+n是偶数。
高考数学复习点拨 反证法要点解密
反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。
一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。
1．反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。
2．反证法解决的常见题型：（1）否定性问题：（2）存在性问题；（3）唯一性问题：（4）分类性问题。
例1 若,x y∈{正整数}，且2x y+>。
求证：12xy+<或12yx+<中至少有一个成立。
分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。
证明：假设12xy+≥与12yx+≥同时成立，又0,0x y>>，∴12, 12.x yy x +≥⎧⎨+≥⎩将以上两式相加得2x y+≤，这与已知条件2x y+>矛盾，因此假设不成立。
故12x y +<或12y x+<中至少有一个成立。
导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾。
例2 设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为整数，且()0f 、()1f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根。
分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。
证明：假设方程()0f x =有一个整数根k ，则20ak bk c ++=。
①∵()0f c =，()1f a b c =++均为奇数，∴a b +必为偶数，当k 为偶数时，令()2k n n Z =∈，则()224222ak bk n a nb n na b +=+=+必为偶数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令()21k n n Z =+∈，则()()2212ak bk n na a b +=+++为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。
高中数学中常见的证明方法
高中数学中常见的证明方法一、直接证明法直接证明法是最基本也是最常见的证明方法之一。
它通过对所要证明的命题进行逻辑推理和分析，直接给出证明的过程和结论。
要使用直接证明法，一般需要明确以下几个步骤：1. 提出所要证明的命题：首先，明确所要证明的命题，即要证明的结论。
2. 建立前提条件：在进行证明前，需要明确前提条件，即已知条件或已知命题。
3. 逻辑推理：通过逻辑推理和分析，根据已知条件和逻辑关系，逐步推导出结论。
4. 结论：最后，根据已有的证明过程，给出结论。
二、间接证明法间接证明法又称反证法，它是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。
间接证明法的一般步骤如下：1. 假设反命题：首先，假设所要证明的命题的反命题是正确的。
2. 推导过程：根据假设和已知条件，通过逻辑推理进行推导，尽可能多地得到信息。
3. 矛盾结论：最终推导出一个与已知事实矛盾的结论。
4. 否定假设：由于假设的反命题与已知事实矛盾，所以可以否定假设，即所要证明的命题是正确的。
间接证明法常用于证明一些数学定理、存在性证明和最大最小值的存在性等问题。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明一类命题或定理，如整数性质、等差数列的性质等。
它基于两个基本步骤：基本情况的验证和归纳假设的使用。
数学归纳法的一般步骤如下：1. 基本情况的验证：首先，验证当命题成立的最小情况，通常是n=1或n=0的情况。
2. 归纳假设的使用：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个特定的正整数k是成立的。
3. 归纳步骤的推理：在归纳假设的基础上进行推理和分析，证明当n=k+1时命题也成立。
4. 归纳法的结论：根据归纳步骤的推理和基本情况的验证，可以得出结论，即所要证明的命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法在数学推理和定理证明中有着广泛的应用，尤其适用于证明具有递推性质的命题。
四、逆否命题证明法逆否命题证明法是通过对命题的逆否命题进行证明，从而间接地证明所要证明的命题。
几何证明七种证明方法
几何证明七种证明方法1. 直接证明法直接证明法是几何证明中最基本的证明方法。
它是指通过已知命题的前提条件，推导出结论的证明过程。
这种方法常用于证明角度、线段、三角形及其性质等基本几何命题。
证明一个角等于另一个角时，可以使用直接证明法。
首先给定已知角，再通过几何定理或性质，推导出待证角等于已知角的过程，从而证明结论。
2. 反证法反证法是指假设命题的反命题为真，然后推导出与已知条件矛盾的结果，从而推翻假设，证明原命题为真的一种证明方法。
证明一个三角形为等腰三角形时，可以使用反证法。
假设这个三角形不是等腰三角形，那么它就不满足等腰三角形的性质，从而导致推导出与已知条件矛盾的结果，于是得出结论，该三角形是等腰三角形。
3. 归纳法归纳法是建立在归纳推理基础上的证明方法。
它是指通过证明某些基础情况成立，并证明当基础情况成立时，下一步情况也成立的方式，推导出全部情况都成立的结论。
证明一个多边形的内角和公式对于任意的n边形都成立时，可以使用归纳法。
先证明n=3时公式成立，再证明当n=k时公式成立，则根据归纳法可以得出，对于任意的n边形，公式都成立。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种比普通归纳法更为严谨的证明方法。
它要求在归纳推理基础上，必须满足以下两个条件：（1）基础情况：证明当n等于某个正整数时，结论成立。
（2）归纳步骤：证明若当n等于k时结论成立，则当n等于k+1时结论也成立。
证明若干正整数的和大于等于它们的积时，可以使用数学归纳法。
首先证明当n=2时结论成立，即a1+a2>=2a1a2。
然后假设当n=k时结论成立，即a1+a2+...+ak>=ka1a2...ak。
再证明当n=k+1时结论也成立，即a1+a2+...+ak+ak+1>=（k+1）a1a2...akak+1，即得证。
5. 可逆推理法可逆推理法是一种利用“等价命题”的方法推导出结论的证明方法。
它是指若命题A等价于命题B，则命题B成立时命题A也成立。
初中几何证明题的解题思路
初中几何证明题的解题思路初中几何证明题是初中几何中很重要的一部分，加强知识储备和运用技能也必须掌握几何证明题的解题思路和方法。
解决几何证明题，除了要掌握基础的定理、定义、规则和基本的计算技巧外，还应注意以下几点：一、熟练掌握几何证明的基本方法1.逆否命题法：当一个命题成立时，其逆命题不成立，反之亦然，因此，可用该法证明：先把命题的否定形式表达出来，然后用简单的数学推导证明它是有悖常理的，从而由“逆否律”证明原命题的正确性。
2.抽象法：有时可通过抽象的方法，让问题变得更容易解决。
比如，将几何问题抽象成代数问题，或者将几何图形抽象成抽象的风范，可以使得问题变得更加容易理解。
3.反证法：即依据一定的前提，证明假设不符合要求，即可以知识前提及充分条件，利用反证法，证明假设是错误的。
反证法按逻辑关系可分为“反证正确”和“反证错误”两类。
通过反证法，我们可以得到几何定理证明的结论，从而解决几何证明题。
4.归纳法：归纳法也称归绕法，是几何证明题的解决方法之一，是依据一个事实、一个特性或一个定理，从而推出其他一些事实或定理的过程。
它的解法具有一般性，可以应用在各种形式的几何证明题中。
二、逐步解决几何证明题1.第一步：识别几何图形：首先要明确几何图形的形状、大小、位置等特征，然后把图形上的角、弧、线段和点等标出来，注明它们的名称和特点，以及它们之间的关系。
2.第二步：分析题意：要弄清题目所提出的问题，明确要证明的是什么，并对问题和其它已知条件进行分析，总结出题目的本质，找出和解决问题的重点。
3.第三步：确定证明步骤：根据题目的条件和要证明的内容，结合定义、定理和基本性质，确定出证明步骤，并画出证明图形，默写证明式。
4.第四步：设立并证明中间结论：根据证明步骤，依次针对每一步进行证明，首先得出一个中间结论，然后按定义、定理及基本性质等，写出证明式，再根据前一步得出的中间结论，将其作为充分条件，以此推出下一步的中间结论，依次重复反复证明，最终推出原结论。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
简述如何用同一法做几何证明题
D 简述如何用同一法做几何证明题陈平在整个中学数学学习过程中，几何证明题是无法逾越的一个重点和难点，而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法，所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要。
中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种，有些题目，如果直接去证明，不但关系复杂，而且思路繁琐，在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题，但当你换一种思路，用间接的方法去考虑，往往能够达到意想不到的效果。
间接的证明方法一般又分为两种，一种是反证法，另一种称为同一法（又称统一法），两种方法各不相同，反证法在教科书中有较为完整的学习体系，但同一法却没有给出明确概念和用法，但教科书中的例题却时不时地用到同一法，现就同一法的用法做简单概括说明。
要想用好同一法，就必须先对同一法有较为明确的概念区分，虽然学界对同一法一直存在争议，但王学贤老师就曾用集合的观点很好的解释过同一法的实质，大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的，一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a ，那么（则）它们就具有某种性质b ，在这里，条件是“某些对象具有性质a ”，结论是“它们具有性质b ”，如果我们把具有性质a 的对象的集合记作A ，把具有性质b 的对象的集合记作B ，把“某些对象中任一对象记作x ，则x ∈A 。
若原命题是真命题，则x ∈B 。
因此，命题用集合描述为就是：A 是B 的子集，即A ⊆ B 。
同样，其逆命题就是A B ⊆ 。
显然A 不一定等于B ，即原命题成立，逆命题不一定成立，但当集合A 仅含有一个元素m,集合B 也仅含有一个元素n 时，A ＝B ，此时，原命题成立，其逆命题也必然成立。
因此，我们得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，则原命题、逆命题等价，这个基本原理叫做同一原理，例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理。
当一个命题符合同一原理，且直接证明比较困难时，可转而证明它的逆命题，这种证明方法就是同一法，具体的做法是：当我们欲让某个图形A 具有某种性质B 时，先构造一个具有性质B 的图形A ′，然后证明图形A ′就是图形A ，实质上是证明逆命题来间接证明原命题的正确。
反证法
初中数学竞赛辅导资料反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。
2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B⇔例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1 当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴ m 2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：2不是有理数 是互质的整数），∵ba ∵a 2设∵由那么 ∴例分子与分母, 且k,a,b 都是正整数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎭⎬⎫=+=+143214314421bk n ak n bk n ak n 143-bk ， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立 因此分数314421++n n 是既约分数丙练习3411.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB<AC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上（福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）参考答案练习341. ① a 和b 相交 ②m>n 或m<n ④∠A 是直角或钝角⑤点A 在⊙O 外或在⊙O 内 ⑥∠A ，∠B ，∠C 都小于60 ⑦m=5k ±1，5k ±2（k 是整数） ⑧方程有理数根ab (a 是整数，b 是正整数，a,b 互质)⑨没有一个方程是两根不相等2. 设A ，B ，C 三点不在同一直线上，证明AB ＋BC ＞AC4.设有两个圆心O 和O 1，经过O 和O 1的直线和圆交于A ，B 则……5.5. ①设33k ±16. ∵7. 设a,b 11.13.那么x 1＋x⎧0m －mn （n 是整数，m 是正整数且m,n 是互质的）mn )+c=0, m,n 不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐2. 设点A 和其他6个点B ，C ，D ，E ，F ，G 的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60 ………这与1周角＝360 相矛盾……16.设……则△1≤0且△2≤0……。
【创新设计-课堂讲义】2022-2021学年高中数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 4
明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相冲突，或与命题中的已知条件相冲突，或与假定相冲突，从而说明命题结论的反面不行能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出冲突；(3)否定假设，确定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小伴侣们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子肯定是苦的．”这就是有名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最终得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出冲突．反证法引出的冲突有几种状况？答(1)与原题中的条件冲突；(2)与定义、公理、定理、公式等冲突；(3)与假设冲突．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清楚；②假如从正面证明，需要分成多种情形进行分类争辩，而从反面进行证明，只要争辩一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1已知直线a，b和平面α，假如a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明由于a∥b，所以经过直线a，b 确定一个平面β.由于a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．由于bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P 是直线a与b的公共点，这与a∥b冲突．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论假如难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，由于b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a∩α＝A相冲突；②如图所示，假如b∥α，则a，b确定平面β.明显α与β相交，设α∩β＝c，由于b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⃘α，cα，则a∥α，这与a∩α＝A相冲突．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n ，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质冲突．由上述冲突可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不行能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故a，b，c不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．由于α≠β，不妨设α<β，又由于函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，留意精确写出命题的假设．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0冲突，故a、b、c中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假如方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.由于x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知冲突，故假设错误． 所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设动身，经过规律推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突；(推缪) (3)由冲突判定假设不正确，从而确定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到冲突即可，可以与题设冲突，也可以与假设冲突，还可以与定义、定理、公式、事实冲突．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是( )①与已知条件冲突 ②与假设冲突 ③与定义、公理、定理冲突 ④与事实冲突A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④答案 D2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根． 证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则 ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，明显与①式冲突；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式冲突，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、力量提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相冲突，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1. 11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ， 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2， ∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0， 即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0冲突，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不行能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又由于0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②冲突，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.证明(1)由于a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)冲突，所以假设不正确，所以原命题成立．。
几何证明的基本方法与策略总结
几何证明的基本方法与策略总结几何证明作为数学中重要的一部分，是培养学生逻辑思维和创造性思考能力的重要途径。
在几何证明中，不仅需要掌握几何基本知识，还需要灵活运用各种证明方法与策略。
本文将总结几何证明的基本方法与策略，帮助读者更好地理解如何进行几何证明。
一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，通过已知条件和几何定理进行逻辑推理，最终得到所要证明的结论。
具体步骤为：先根据已知条件画出几何图形，然后根据几何定理进行逻辑推导，最后得出证明结论。
这种方法简单明了，适用于大部分几何证明。
二、间接证明法间接证明法是通过反证法来证明所要证明的结论。
具体步骤为：先假设所要证明的结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
这种方法可以通过推理的过程找到错误之处，有助于更深入地理解几何问题。
三、等价证明法等价证明法是通过将所要证明的结论与一个已知为真的命题相等价，从而间接证明所要证明的结论。
具体步骤为：将所要证明的结论转化为与其等价的另一个几何命题，然后通过已知条件和几何定理进行推导，最终得到与原结论相等价的命题。
这种方法有助于将复杂的证明问题转化为简单直观的证明。
四、逆否命题证明逆否命题证明是通过对所要证明的条件进行否定，然后再对否定条件进行证明，最终得到所要证明的结论。
具体步骤为：先对所要证明的条件进行否定，得到一个新的命题，然后通过已知条件和几何定理进行推导，最终得到新的结论。
这种方法可以将证明问题转化为更容易解决的问题。
五、对偶命题证明对偶命题证明是通过将命题中全称量词与存在量词互换位置，然后进行证明。
具体步骤为：对所要证明的命题进行对偶处理，得到一个新的命题，然后通过已知条件和几何定理进行推导，最终得到新的结论。
这种方法可以帮助我们从不同的角度理解几何命题。
总之，几何证明的基本方法与策略有直接证明法、间接证明法、等价证明法、逆否命题证明和对偶命题证明等。
在实际中，我们可以根据不同的问题选择合适的方法与策略来进行几何证明。
初中几何证明题常用的分析方法
初中几何证明题常用的分析方法几何证明题是初中数学中的重要内容之一，它要求学生通过逻辑推理和几何知识的运用，证明给定的几何命题。
在几何证明题中，常常会用到一些分析方法帮助我们更好地理解和解决问题。
以下将介绍常用的几何证明题分析方法。
1. 直接证明法：直接证明法是最常见和基础的证明方法，也是其他证明方法的基础。
它要求我们根据已知条件和几何基本定理，通过逻辑推理直接得出所要证明的结论。
直接证明法通常适用于证明结论较为简单明了，推理过程较为直接的几何问题。
在进行直接证明时，我们可以灵活运用几何基本定理、定义和已知条件来推导和证明结论。
这种方法简单直接，易于理解和掌握，是初学几何证明的良好入门方法。
2. 反证法：反证法是一种常见的几何证明方法，它通过否定所要证明的结论，假设其反命题成立，然后通过推理和逻辑演绎推出矛盾的结果，从而证明原命题的正确性。
反证法常用于证明一些矛盾和矛盾结论，或者难以直接证明的几何问题。
在进行反证时，我们要灵活运用反证法的逻辑思维，以及几何基本定理和定义，合理地假设反命题成立，并从中推导出矛盾的结果，从而证明原命题。
3. 构造法：构造法是一种通过主动构造图形或者添加一些辅助线段、点等辅助构造来推导证明结论的方法。
通过构造合理的图形，使得给定条件和已知条件更好地利用起来，从而得出所要证明的结论。
构造法常用于证明一些等式、比例关系、垂直、平行等关系问题。
在进行构造过程中，我们需要根据给定条件和已知条件，设计合适的构造方法，合理运用几何基本原理和性质，通过推理和论证得出结论。
4. 分类讨论法：分类讨论法是一种将问题按照不同情况和条件进行分类、讨论的证明方法。
通过对问题的不同情况进行分析和比较，找出不同情况下的规律，从而得出结论。
分类讨论法常用于解决一些具有多个条件和情况的几何问题。
在进行分类讨论时，我们需要将问题分为几个互斥的情况，对每种情况分别讨论，找出规律和结论，最终得出全部结论。
5. 可逆推理法：可逆推理法是一种通过逆向推理的方法来证明结论的正确性。
初三数学教学中的几何推理与证明方法探究
初三数学教学中的几何推理与证明方法探究引言：在初中数学的课堂上，几何是一个重要的内容。
而其中的几何推理与证明方法更是需要我们去关注和探究。
本文将针对初三数学教学中的几何推理与证明方法进行深入分析和实践探讨。
一、几何推理方法1. 直觉法在解决某个问题时，可能会通过直观感受或简单思考得出结论。
这种直觉法常用于一些简单且易于理解的图形特征分析，可以作为其他详细推导及论证过程之前的开展。
例如，在矩形ABCD中，若AD=BC，则该矩形一定是正方形。
2. 反设法反设法也叫反设否定法，它通过先假设其逆否命题成立从而导致结果悖论来间接地推求原命题成立。
比如，已知：如果两角互补，则这两个角必有一个锐角一个钝角；那么基于反设法：若两个角不属于上述范围，则这两个角就不能互补。
3. 数量关系变化法利用数量关系进行变化操作以测定未知量，并加以论证。
例如，某几何图形的一边长度已知，需要求另一边的长度。
可以通过变化其中一个角度或者长度并观察对应的变量关系来得到结论。
二、几何证明方法1. 直接证明法通过利用已有条件及定理直接推导出问题目标。
以“给定两条相等线段，那么这两条线段是平行的”为例，根据定义和同位角性质可以直接进行推导和证明。
2. 间接证明法先假设所要证明的命题不成立，并引出矛盾来推求它成立。
比如，在六经图中找到重心G后判断是否共线时，我们可以采用反设法进行间接推导与论证。
3. 数学归纳法针对集合中所有情况逐个验证或只验证部分情况而得到普遍结论。
例如，“当n=1时, 等腰三角形必定存在”，之后再检验其他值时是否也适用于该规律。
三、实践应用举例在初三数学教学中，我们可以通过以下实际示例来探究几何推理与证明方法：1. 结合实际生活应用：以计算身高为例，在身高测量过程中使用齐次相似原理，通过推理和计算得出结果。
同时可以利用直觉法去判断身高与体重的关系是否成正比。
2. 概率与统计问题：以色子点数概率为例，在进行一定次数投掷后，通过归纳总结可以得到色子各面点数的分布规律。
用反证法证明几何问题
65yttrgoi用反证法证明几何专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
下面我们对反证法作一个简单介绍。
一、反证法的概念：（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
二、反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
三、反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
归缪法穷举法四、适用范围“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。
五、反证法在平面几何中的应用例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。
反证法 逆否命题
反证法逆否命题
反证法（proof by contradiction）是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明原始假设为真。
这个方法的基本思想是通过反证法来证明一个命题，首先假设它的否定，然后通过逻辑推导导出一个矛盾，从而证明原命题成立。
逆否命题（contrapositive）是一个命题的逻辑等价形式，对于命题"如果P，则Q"，其逆否命题是"如果非Q，则非P"。
在逆否命题中，原命题的条件和结论都被否定，并且这两者的关系保持不变。
在证明过程中，有时会将反证法与逆否命题结合使用。
具体步骤如下：
1. 反证法的步骤：
-假设原命题的否定为真。
-推导出一个矛盾。
-得出结论：原命题为真。
2. 逆否命题的应用：
-将原命题表示为"如果P，则Q" 的形式。
-将其逆否命题表示为"如果非Q，则非P" 的形式。
-在证明过程中，有时会转而证明逆否命题，因为逆否命题的证明可能更容易。
总体而言，反证法是一种更宽泛的证明方法，而逆否命题则是一种特殊的逻辑形式，两者在某些情况下可以相互补充使用。
在证明中选择使用哪种方法通常取决于具体问题的性质和证明的难易程度。
“反证法”与“逆否命题”的争端
“反证法”与“逆否命题”的争端“反证法”与“逆否命题”的争端“反证法"与“逆否命题”是数学家族中的一对好兄弟,但最近两人为了一个问题,引起了争端。
究竟是什么回事呢？原来，“逆否命题”发现“反证法”往往利用自己来证明一些结论，所以认为反证法的实质就是证明一个命题的逆否命题。
而“反证法”并不认帐。
两人找来“逻辑”与“推理”两位法官主持公道.“逆否命题”说：“反证法是间接证法中的一种,从命题的角度来看，由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以反证法的证明思路是证明原命题的逆否命题成立。
”“反证法”微微一笑，说：“反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性， 从逻辑角度看,命题:“若p 则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝”，而命题“若q ⌝,则p ⌝”的否定是“若q ⌝，则p "，由此推理，如果发生矛盾，那么就说明“若q ⌝则p ”为假,即命题“若q ⌝，则p ⌝”为真,从而可以导出“若p 则q ”为真,从而达到证明的目的. …”还没等“反证法”说完，“逆否命题”就打断了他的话：“两位法官听听，“反证法”现在已经承认了。
” “反证法"笑着说：“别急，我还没说完呢。
我的理论基础是互为命题的等价性,但是我们证明的思路并不完全是证明一个命题的逆否命题。
"法官“逻辑”说：你说来听听。
“反证法"说：“从逻辑形式上来说，反证法的理论依据在于矛盾律和排中律（矛盾律:对于同一事物的两个矛盾的判断不能同时为真,其中至少有一个是假的；排中律:对于同一事物的肯定判断与否定判断不能同时进行）；其矛盾的种类可以有:与题设矛盾，与假设矛盾，写定义、定理、公理、公式矛盾或自相矛盾等等。
由此可知，反证法证明的思路是只要找到矛盾即可,不一定是与题设矛盾。
这说明，反证法与证明逆否命题是不一样的。
”“逻辑"与“推理”两位听完之后，点了点头，赞许地说:“你说的非常正确，还有其他理由吗？”“反证法"说：“还有。
反证法与逆否命题一样吗？
反证法与逆否命题一样吗？1．定义理解（1）反证法：就是通过沦证与原命题相矛盾的命题为假，从而肯定原命题是正确的证明方法．不少数学命题的证明，当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时，若能恰当使用反证法，往往有较好的效果．反证法在证题开始时是否定“q p ⇒”这个命题本身，真正的步骤是“q p ⌝∧”习惯上只写“q ⌝”．然后由“q p ⌝∧”得到“p p ⌝∧”、 “q q ⌝∧”、与公理、定理等矛盾且必须强调这一矛盾，才能肯定原命题成立．反证法证明的基本步骤可以简单地概括为“否定—推理一反驳一肯定”四个步骤．即所证命题的真假与运用反证法否定后的真假是相反的．（2）逆否命题：是原命题结论的否定作为条件，原命题条件的否定作为结论而得到的一新命题，其真假与原命题的真假一致．因此，当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时，也可以考虑证其逆否命题．用逆否证法证明命题“q p ⇒”时，开始的步骤是否定命题的结论，即“q ⌝”；在否定结论得到“q ⌝”后，直接推出“p ⌝”就可以了，在书写形式上不要写“与p 矛盾”之类的话．用逆否命题证明的基本步骤可以简单地概括为“否定结论—推理—否定条件”三个步骤．即原命题的真假与逆否命题的真假是一致的．2．区别与联系（1）联系：①依据相同：都是利用命题的等价性；②起步相同：都是从“q ⌝”出发；③思想相同：都是“正难则反”思想的体现。
（2）区别：①目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“p ⌝”； ②本质不同：反证法是把否定的结论作为新条件连同原有条件进行逻辑推理，逆否法实质是证明一个新命题成立；由上述可以看出，反证法不是证明原命题的逆否命题．虽然它们的证明过程非常相似，但逆否证法和反证法各自的逻辑等价式不同，在具体运用证题时的方式也不同．下面举例说明．3．举例题目：已知1=-bc ad ，求证：12222≠+++++cd ab d c b a ．证法1 反证法假设12222=+++++cd ab d c b a ，又1=-bc ad ，由此，得bc ad cd ab d c b a -=+++++2222，从而有0)()()()(2222=-++++++d a d c c b b a ，于是0====d c b a ，因此，1≠-bc ad ，这与已知条件矛盾，故原命题得证．注 运用反证法即否定结论，然后从否定出发，运用条件推出矛盾．矛盾可以是与条件矛盾、与否定矛盾、与已知定理、公理矛盾等．反证法开始时的步骤是“q p ⌝∧”，否定结论的同时又肯定条件，因此证明的过程中可以用已知条件．证法2 逆否命题法设12222=+++++cd ab d c b a ，则 222222222222222=-+-++++++bc ad ad cd bc ab d c b a ，即222)()()()(2222=-+-++++++bc ad d a d c c b b a ，若0)()()()(2222=-++++++d a d c c b b a ，则0====d c b a ，于是1<-bc ad ；若0)()()()(2222≠-++++++d a d c c b b a ，则2222)()()()(d a d c c b b a -++++++为正数，所以必有1<-bc ad ， 即1≠-bc ad ，从而原命题得证．注 逆否证法证明的是“p q ⌝⇒⌝”，证明开始时仅否定结论，没有肯定条件，因此在证明过程中不用已知条件．由上可知，反证法不是证原命题的逆否命题，两者不一样，不能将两种方法混淆．。
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几何证明中的反证法与逆否命题几何证明是数学中的一个重要部分，它通过推理、论证和证明来得
出结论。
在几何证明中，有两种常用的推理方法，即反证法和逆否命题。
本文将详细介绍和比较这两种方法，并探讨它们在几何证明中的
应用。
一、反证法
反证法是一种证明方法，它通过假设命题的否定，然后推导出矛盾
的结论来证明原命题的正确性。
在几何证明中，反证法常常被用来证
明两点、两线、两角之间的关系。
例如，我们要证明一个三角形的三条边满足某个条件，可以先假设
三角形的三条边不满足该条件，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
反证法有时也用于证明一些定理的逆否命题。
逆否命题是指将一个
命题的否定和逆命题互换的命题。
通过使用反证法，我们可以证明原
命题的逆否命题的正确性。
二、逆否命题
逆否命题是指将一个命题的否定和逆命题互换得到的命题。
在几何
证明中，逆否命题常常被用来简化证明过程或推断结论。
逆否命题常用于证明一些条件性的命题。
例如，当我们需要证明一
个线段的长度等于另一个线段的长度时，可以使用逆否命题的推导。
首先，我们假设线段的长度不相等，并推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
逆否命题还可以用于证明两个几何图形的相似性。
通过对几何图形
的边长、角度等进行逆否命题的推导，我们可以判断出两个几何图形
是否相似。
三、反证法与逆否命题的比较
反证法和逆否命题都是常用的证明方法，它们在几何证明中发挥着
重要的作用。
然而，它们的应用范围和推理过程有一些区别。
反证法的优点在于可以直接证明原命题的正确性，尤其适用于证明
两点、两线、两角之间的关系。
但反证法的推理过程相对复杂，需要
假设并推导出与已知事实相矛盾的结论。
逆否命题的优点在于可以简化证明过程或推断结论，尤其适用于证
明条件性的命题和相似性的问题。
逆否命题的推理过程相对简单，只
需要得到与已知条件相反的结论即可。
四、几何证明中的应用
在几何证明中，反证法和逆否命题经常被用于证明定理、推断结论
和解决问题。
它们可以通过不同的推理过程来确保几何图形的性质和
推论的正确性。
例如，我们可以使用反证法来证明“两条平行线被截取成相等线段
的直线也是平行线”的定理。
假设直线不是平行线，然后推导出矛盾的
结论，从而证明原定理的正确性。
另外，我们可以使用逆否命题来证明“在等腰三角形中，底边上的一条角平分线也是底边上的一条中线”的结论。
通过推导逆否命题，我们可以得到与已知事实相反的结论，从而证明原结论的正确性。
总之，反证法和逆否命题是几何证明中常用的推理方法。
它们通过推导和证明来确定几何图形的性质和推论的正确性。
对于不同类型的几何问题，我们可以根据需要选择合适的方法来进行证明和推理，以确保准确性和逻辑性的同时，美观整洁地呈现证明过程。