Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

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Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。

多值Φ-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近

引理【设Ｅ是一实Ｂｎｃ间，２ａａｈ空则
ｌ－ ≤ ｌｌ＋（Ｊ＋，，ｘＹＥ，＿ｌｙｌＸｌｌ２）（））Ｙ，∈ ，）『（＋ｇ ∈，ｇ．）．＋）其中．Ｅ（， ’ 至：是卫够像。
设Ｅ是实Ｂｎｃ空间，ａａｈＤ是Ｅ的非空凸子集，
，：２是两个多值一强伪压缩映像，。 ∈Ｄ是任一给定的点，｛，｝且Ｏ｝｛是区间［，］ｔＯ１中的两个序列，ｕ｝｛｝｛，都是Ｄ中的有界序列。则由下式定义的序列｛｝：
关键词：多值；一强伪压缩映像；不动点
中图分类号：１７９０７．１
文献标识码：Ａ
文章编号：０４６２２００－０２０１０－０Ｘ（０７）２０２－４
１预备知识
本文始终设Ｅ是一实Ｂｎｃａａｈ空间，其范数为０・ｌ，是Ｅ的对偶空间，ｌＥ’ Ｄ是Ｅ之一非子空集，Ｊ为自然数集，（表示映像在Ｄ中所有不动点ＩｖＦ）
Ｊｎ．ｏ７ｕｅ２０
多值一强伪压缩映像公共不动点的Ｉｉａａ迭代逼近ｓｋｗｈ
冉凯惠存阳，，赵凤群２
（．西安文理学院数学系，１陕西西安７０６；２１０５．西安理工大学数学系，陕西西安７０４）１０８
：
（一７（））ｌ一一．一， ≤ ｌＹｌ（１－）ｌ－．，）ｌｌｙｌｌｙ１Ｉｌ
收稿日期：０６— １ —２２０１Ｏ

Hilbert空间中φ-强伪压缩映像的一个注记

ｗｉｔｈｏｕｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｒｅｖｅｎｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄｕｎｄｅｒｃｏｎｄｔｉｏｎｃ
文章编号：１００１－５０５１（２０１３）０１－００２８－０３
Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中一强伪压缩映像的一个注记
张树义，宋晓光
（渤海大学数理学院，辽宁锦州１２１０１３）
第３６卷第１期２０１３年２月
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖｏ１．３６，Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１３
ｎ＝１
∑ｃ２ＩｌＸｎ — ＴｘＩｌ＜∞，此时定理１就不易使用．本文的目的是：在Ｃｎｌｌ２Ｃｎ — ＴｘｌＩ一０（ｎ一∞）的条
必有界）．假设在Ｋ中有一个不动点，设｛ｃ｝为（０，１）中的数列，满足∑ｃ＝ ∞，对任意初值 ∈ ，
迭代地定义序列｛｝为
＋１＝（１一Ｃ）＋ｃＴｘ，ｎ ≥１．
中图分类号：０１７７．９１文献标识码：Ａ
ＡＮｏｔｅｏｎ－ｓｔｒｏｎｇｌｙｐｓｅｕｄ０ｃ０ｎｔｒａｃｔｉＶｅｍａｐｐｉｎｇｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅｓ

Banach空间中κ-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｔｒｔｏｎｍｅｈｏｏｉｅｏｉｓｏｆｑｕｓ— ｔｉｔｐｅ — ｏｒｃｉａｐｉｓｒｃ：ｓｄｏｈｅｉｅａｉｔｄｆｒｆｘｄｐｎｔａｉｓｒｃｓｄｏｃｎｔａｔｏｎｍｐｎｇ，ａｎ
２１拄０２
河北大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｂｉＵｎｖｒｉｙ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｆＨｅｅｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏ）Ｓ
２２０１
第３２卷
第２期
Ｖｏ．Ｏ１３２Ｎ．２
（）４２ｏｘ，）ｏ（２＋ｏｚ）２ — ｚ．一．．）（一ｘ，）（，＋＜，２，，＞
定义２１设Ｘ是实自反、＿］光滑、严格凸的Ｂｎｃａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的一个非空闭凸子集，义投影算子广
Ｉｃ＋ｐＩｃ）ｏｙ，，Ｃ．Ｉｚ）（Ｉｚ， ≤ （）ｙ∈
引理２７设Ｘ是自反的严格凸且光滑的Ｂｎｃ＿］ａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的非空闭凸子集， ∈Ｃ，。ｚ∈Ｘ，。ｚ一Ｉ（当且仅当（ｏ， —Ｊ０ ≥ＯＹ∈ＣＩ）ｃｚ— Ｊ＞，．
可得，，ｙ一Ｉ２Ｉ一【。（Ｊ）１７Ｉ．。ｌｌＩＹ定义３］称Ｔ： — Ｃ为渐近ｋ一伪压缩映像，果Ｖｚ［Ｃ拟如 ∈Ｃ， ∈Ｆ（ ≠ ，１ｌ，Ｅ（，）ｐＴ）电 ≥ ，ｍｋ一１ｋＯ１ｉ

banach压缩映像原理

banach压缩映像原理Banach压缩映像原理是数学中的一个重要定理，它在函数空间中寻找某个唯一的不动点，并且通过不断迭代逼近这个不动点。

这个原理常常用于证明某些方程或者问题存在唯一解，具有广泛的应用价值。

在数学中，函数空间是由一些满足特定条件的函数构成的集合。

Banach压缩映像原理主要适用于完备的函数空间，即满足柯西序列收敛的空间。

它的核心思想是通过构造一个压缩映像，即一个将函数映射到自身并且保持距离缩小的映射，利用这个映射不断逼近不动点。

具体来说，假设我们要解决一个方程f(x) = x，其中f是一个函数，x是未知量。

根据Banach压缩映像原理，我们可以找到一个压缩映像T，使得对于任意的x1和x2，有距离d(T(x1), T(x2)) < k * d(x1, x2)，其中k是一个小于1的常数。

然后，我们可以通过迭代逼近的方式，从一个初始的近似解x0开始，不断应用压缩映像T，即x_n = T(x_{n-1})，直到满足收敛条件为止。

通过Banach压缩映像原理，我们可以证明这个迭代过程收敛，并且收敛到唯一的不动点，即f(x) = x的解。

这是因为压缩映像的性质保证了距离的不断缩小，从而确保了迭代序列的收敛性。

而唯一性则是由于函数空间的完备性，确保了收敛序列的极限存在且唯一。

Banach压缩映像原理在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在微分方程的求解中，可以将微分方程转化为一个不动点问题，然后利用压缩映像原理求解。

此外，在优化问题、概率论、经济学等领域，Banach压缩映像原理也被广泛应用于求解问题的唯一解或最优解。

总结起来，Banach压缩映像原理是数学中一个重要的定理，它通过构造一个压缩映像来寻找函数空间中的不动点，并且通过迭代逼近的方式求解方程或问题的解。

它的应用广泛，并且在数学和应用领域中都有重要的意义。

通过掌握和理解Banach压缩映像原理，我们可以更好地解决各种数学和实际问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近何晓林【期刊名称】《泸州医学院学报》【年(卷),期】1999(022)006【摘要】目的：研究Ｂａｎａｃｈ空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近。

方法：运用不等式（２．５）分析带有误差项的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列在一定条件下的收敛性。

结果：得到了关于强伴伪压缩多值映象的Ｉｓｈｉｋａｗａ序列收敛于其相关点的一个定理，这一定理抗议了Ｊ．Ｃ．Ｄｕｎｎ等人的结果。

结论：设Ｘ是一致光滑的实Ｂａｎａｃｈ空间，映象Ｔ：Ｘ→２＾ｘ关于ｘ是强半伪压缩的，且Ｒ（Ｔ）＝∪ｘ∈ｘＴｘ有界，又设｛ａｎ｝，｛βｎδ＝「０，１」满足条件αｎ，βｎ→０，（ｎ→∞），∑ｎ＝１＾∞αｎ＝∞；序列｛ｕｎ｝，｛ｖｎ｝，＝Ｘ满足条件∑ｎ＝１＾∞｜｜ｕｎ｜｜〈∞，｜｜ｖａ｜｜→０（ｎ→∞），则发中下定义的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列｛ｘａ｝。

ｘ０∈Ｘｙｎ（１－βα）ｘａ＋βｎξｎ＋ｖｎ，ξｎ∈Ｔｘｎ，ｎ≥０ｘａ＋１＝（１－ａｎ）ｘａ＋ａｎηａ【总页数】4页(P471-474)【作者】何晓林【作者单位】泸州医学院数学教研室【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩型映象不动点的迭代逼近 [J], 谷峰;韩旸;刘彩平5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非线性算子的不动点的迭代逼近

非线性算子的不动点的迭代逼近
本文研究了Banach空间中非线性算子的不动点的迭代逼近问题.它一直是非线性逼近理论中所研究的最重要的问题之一.多年以来,有许多作者用Mann和Ishikawa迭代法去逼近非线性算子的不动点.本文一方面继续讨论了Banach空间中非扩张非自映象、渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近.另一方面,我们继续研究了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近问题.所得结果推广、改进与发展了许多作者的相应结果.全文共分为四章.第一章前言介绍了Banach空间中非线性算子不动点问题的研究简况及本文作者的主要工作.第二章讨论了渐近伪压缩映象的迭代序列强收敛的充要条件.第三章讨论了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近.第四章讨论了Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近.。

多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近冉凯【摘要】在一致光滑的实Banach空间中,研究多值φ-强伪压缩映像不动点的Ishikawa迭代逼近问题.给出了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点的强收敛定理,并得到了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强增生映像方程解的强收敛定理,改进了近期一些文献的相关结论.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)002【总页数】4页(P42-45)【关键词】φ-强伪压缩映像;φ-强增生映像;不动点;迭代序列【作者】冉凯【作者单位】西安文理学院数学系,陕西西安710065【正文语种】中文【中图分类】O1777.911 预备知识本文始终设 E是一实Banach空间,其范数为‖·‖,E＊是 E的对偶空间,F(T)表示映像T的所有不动点之集.〈·,·〉是 E与 E＊之间的广义对偶对,J:E→2E＊是由下式定义的正规对偶映像:J(x)={f∈E＊∶〈x,f〉=‖x‖·‖f‖,‖x‖=‖f‖},∀x∈E.若 E是一致光滑的,则 J是单值的,且在的任一有界子集上一致连续,用 j表示单值对偶映像.设D是 E的非空子集,T∶D→2D是一多值映像,称 T是多值φ-强增生的,如果存在严格增函数φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≥φ(‖X-y‖),称 T是多值φ-强伪压缩的;如果 I-T是多值φ-强增生的,其中 I是恒等映象.等价于存在严格增函数φ∶[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).近几年,许多学者对φ-强伪压缩映像不动点和φ-强增生算子方程解的 Ishikawa迭代逼近问题进行了广泛研究,如文献[1]-[8].受张石生教授文[1]启发,本文在一致光滑的实 Banach空间中研究具随机误差的 Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点和多值Φ -强增生映像方程解的问题,不要求算子的一致连续性,不要求E的非空凸子集D有界,论证方法也有所改进.下列引理在本文主要结果的证明中起到关键作用.引理 1[2] 设 E是一实 Banach空间,则有‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉,∀x,y∈E,j(x+q)∈J(x+q).其中J∶E→2E＊是正规对偶映像.引理 2 设 E是一实Banach空间,T∶D→2D是一多值φ-强增生映像,∀f∈D,定义映像S∶D→2D为 Sx=f-Tx+x,∀x∈D,则S∶D→2D是多值强φ-伪压缩的,即∀x,y∈D及∀ξ∈Sx,∀η∈Sy,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).证明∀ξ∈Sx,η∈Sy,∃ξ1∈Tx,η1∈Ty,使得ξ=f-ξ1+x,η=f-η1+x,因为 T是多值φ-强增生的,故对ξ1∈Tx,η1∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),使得〈ξ1-η1,j(xy)〉≥η(‖x-y‖).因而即S∶D→2D是多值φ-强伪压缩的.同理,若T∶D→2D是一多值φ-强伪压缩的,则如上定义的S∶D→2D是多值φ-强增生映像.2 主要结果定理 1 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强伪压缩映像,且值域 R(T)有界.{αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D 中的两个有界序列,满足条件:(1)定义如下的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}:证明设q∈F(T),则 F(T)={q}.若p∈F(T),有p∈Tp,故∃j(x-y)∈J(x-y),满足‖p-q‖2=〈p-q,j(p-q)〉≤‖p-q‖2-φ(‖p-q‖),即φ(‖p-q‖)≤0.由Φ的性质得 p=q,故 F(T)={q}.设 {xn},{yn}由 (IS)定义的迭代序列,则∃ξn∈Txn,ηn∈T yn,使得利用(1)式及引理 1,已知‖un‖=o(αn),设‖un‖=αnεn(∀n≥0),则εn→0(n→∞),不访设0≤εn≤1.T的值域 R(T)有界,令M1=sup{‖ξ-q‖∶ξ∈R(T)}+‖x0-q‖+1.下证:当 n=0时,(3)式显然成立.假设对某自然数 n,(3)式成立.对自然数 n+1,则又故在 D中有界.令因E是一致光滑的,则‖j(xn+1-q)-j(yn-q)‖→0(n→∞).令 en=〈ηn-q,j(xn+1-q)-j(yn-q)〉,有en→0(n→∞),则 (2)变成将(5)代入(4)得其中可以断言即∀n≥0,‖yn-q‖≥δ≥0,有φ(‖yn-q‖)≥φ(δ)>0.由于故存在N0∈N+,当 n>N0时,λn<φ(δ).由 (6)式,对一切 n>N0,有‖xn+1-q‖2≤‖xn-q‖2-αnφ(δ),所以φ矛盾.则存在的子列使‖由于得‖xn-q‖→0(i→∞).即∀ε>0,∃i0∈N+,∀i≥i0,使得‖xni-q‖<ε.因=0,故存在及下证:对所有的k∈N+,∀i≥i0,使ni≥N1,有当 k=1时,若‖xni+1-q‖≥ε,则∀ni≥N1,因此利用 (6)式及φ的定义,ε2矛盾.假设‖xni+k-q‖<ε,下证‖xni+k+1-q‖<ε.若‖xni+k+1-q‖≥ε,ε2矛盾.由 (8)式及ε的任意性,lim n→∞‖xn-q‖=0.定理 2 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx+ x,x∈D.设 R(S)有界.若 F(S)非空.则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx的唯一解.证明设q∈F(S).即q∈S(q)-f-Tq+q.故f∈Tq,即 q是方程f∈Tx的解.因 T是多值φ-强增生映像,由引理 2,如上定义的 S是多值φ-强伪压缩映像.S的值域有界,由定理 1,{xn}强收敛于 S在D中的唯一不动点 q,得{xn}强收敛方程f∈Tx的唯一解. 定理 3 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx,x∈D,设 R(S)有界.若 F(S)非空,则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx+x的唯一解.证明令T′=I+T,方程f∈Tx+x变成f∈T′x,由定理 2.即可得证.注定理 1在以下两个方面对文[1]的主要结论做了推广:1不要求是 E的有界子集,2不要求映像 T是一致连续的.[参考文献][1] ZAHNG S S.Ishikawa iterative approximations of fixed points and solutions formulti-valuedφ-strongly accretive and multi-valuedφ-strongly pseudo-contractive mappings[J].数学研究与评论,2002,22(3):447-453. [2] CHANG S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].NonlinearAnal.T MA,1997,30(7):4197 -4208.[3] ZHOU H Y.Some convergence theorems for Ishikawa iterationsequences of certain nonlinear operators in uniformly s mooth Banach spaces[J].Acta Appl.Math.,1989,32:183-196.[4] CHANG S S.On Chidumes open question and approximate salution of multived strongly accretive mapping equations in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,216:94-111.[5] DEND L,D INGX P.Iterative approximationsofLipschitz strictlypseudocontractivemappings in uniformly smoothBanach spaces[J].NonlinearAnal.T MA,1995,24:981-987.[6] NADLER SB.Jr.Multivalued contraction mapping[J].PacificJ.Math.,1969,30:475-488.。

φ-强伪压缩映像带误差隐迭代过程的收敛性分析

φ-强伪压缩映像带误差隐迭代过程的收敛性分析
王荣;刘丽梅;邱桂红;何震
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2009(33)1
【摘要】在任意Banach空间讨论了有限个φ-强伪压缩映射族隐迭代过程的收敛性问题.利用φ的性质和迭代过程本身的特性,得到了具有误差的隐迭代过程收敛于公共不动点的若干结果.研究了误差项为γnun和un的隐迭代过程.
【总页数】4页(P21-24)
【关键词】φ-强伪压缩映射;隐迭代过程;具有误差的隐迭代过程;公共不动点;收敛性定理
【作者】王荣;刘丽梅;邱桂红;何震
【作者单位】唐山师范学院基础教育部;承德民族师范高等专科学校数学系;河北大学数学与计算机学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.1
【相关文献】
1.Banach空间强伪压缩映象族和φ-强伪压缩映象族的隐迭代序列的收敛性 [J], 赵彦青
2.有限族严格伪压缩映象具误差的隐迭代序列的强收敛性 [J], 杨理平
3.具有强伪压缩映像的非线性方程的带误差迭代序列的稳定性 [J], 李军;兰恒友;
毕中胜
4.带误差的非扩张映象及强伪压缩映象的Ishikawa迭代序列的收敛性 [J], 尤翠莲;何震
5.Banach空间中有限族严格伪压缩映像隐迭代序列的收敛性问题 [J], 温丽诗;郝彦
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一致L-Lipschitz渐近Φ-半压缩映像不动点迭代逼近的充要条件

一致L-Lipschitz渐近Φ-半压缩映像不动点迭代逼近的充要
条件
冉凯
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2011(024)004
【摘要】在任意实Banach空间中,讨论一致L-Lipschitz渐近Φ-半压缩映像不动点的Ishikawa迭代逼近问题.利用一致L-Lipschitz有关不等式及新的分析方法,得到了具误差的修正的Ishikawa迭代序列逼近渐近Φ-半压缩映像不动点的充要条件,改进推广了一些文献的相关结论.
【总页数】5页(P521-524,529)
【作者】冉凯
【作者单位】西安文理学院数学系,陕西西安710065
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.渐近伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 姚永红;陈汝栋
2.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
3.严格渐近φ-拟伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.渐近伪压缩和渐近非扩张映像不动点的迭代逼近问题 [J], 姚永红;陈汝栋
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Hilbert空间中(Φ)-强伪压缩映像的一个注记

Hilbert空间中(Φ)-强伪压缩映像的一个注记张树义;宋晓光【摘要】Abstract; Iteractive approximation problem of fixed points for a class of φstrongly pseudocontractive maps without continuity or even without boundedness in Hilbert space were studied under condtion cn ‖xn - Txn ‖ 2→0(n→∞ ) , the strongly convergence theorem was established.%在cn||xn - Txn‖ 2→0(n→∞)的条件下,在Hilbert空间中研究了一类未必连续,甚至未必有界的(Φ)-强伪压缩映像的不动点的迭代序列逼近问题,获得了一个强收敛定理.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(036)001【总页数】3页(P28-30)【关键词】Hilbert空间;(Φ)-强伪压缩映像;Mann迭代序列;不动点【作者】张树义;宋晓光【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州 121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.91关于φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题已在Hilbert空间或Banach空间并在映像具有Lipschitz或有界条件下进行了广泛研究，获得了一系列重要的成果[1-5].文献[2]对既非Lipschitz也非有界的φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题进行了研究，其结果为以下定理:定理1 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,T:K→K为φ-强伪压缩映像(未必连续,未必有界).假设T在K中有一个不动点x*,设{cn}为(0,1)中的数列,满足对任意初值x1∈K,迭代地定义序列{xn}n≥1为若‖xn-Txn‖2<∞，则{xn}强收敛于T的唯一不动点x*.文献[2]指出：条件‖xn-Txn‖2<∞是可控的，特别当K为有界子集时，足以保证‖xn-Txn‖2<∞成立.一个问题是:当不收敛，但有cn→0(n→∞)时,就未必能保证‖xn-Txn‖2<∞，此时定理1就不易使用.本文的目的是:在cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)的条件下证明上述结果成立.此时,当K为有界子集时，cn→0(n→∞)足以保证cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞).本文的结果是定理1的一种推广. 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,称映像T:K→K为φ-强伪压缩的,如果存在一个严格增加的函数φ:R+=[0,+∞)→R+,满足φ(0)=0,使得对∀x,y∈K,恒有如果φ(t)=kt,k∈(0,1),则称相应的映像T为强伪压缩的;如果φ(t)=0,则称相应的映像T为伪压缩的.伪压缩映像的重要性在于它与增生算子之间的密切联系.记A=I-T,其中I:H→H为恒等映像,则T:K→K为伪压缩的(强伪压缩的,φ-强伪压缩的)当且仅当A:K→H是增生的(强增生的,φ-强增生的).引理1[2] 设H为实Hilbert空间,对于∀λ∈[0,1],∀x,y∈H,有‖x+y‖2=‖x‖2+2〈y,x〉+‖y‖2.定理2 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,T:K→K为φ-强伪压缩映像(未必连续,未必有界).假设T在K中有一个不动点x*,设{cn}为(0,1)中的数列,满足对任意初值x1∈K,Mann迭代定义序列{xn}xn≥1为若cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)，则{xn}强收敛于T的唯一不动点x*.证明由式(1)易知T有唯一不动点x*.由式(2)与引理1得‖xn+1-x*‖2=(1-cn)2‖xn-x*‖2+2cn(1-cn)〈Txn-Tx*,xn-x*〉+c2n‖Txn-Tx*‖2(4)将式(3)代入式(4)得‖xn+1-x*‖2≤(1-cn)‖xn-x*‖2-2cn(1-cn)φ(‖xn-x*‖)‖xn-x*‖+cn‖xn+1-x*‖2+c2n(1-cn)‖xn-Txn‖2.将式(5)中的cn‖xn+1-x*‖2移项后并约去公因子1-cn得令τ.下面证明τ=0.若τ>0,则对∀n≥1,有得φ(‖xn-x*‖)≥φ(τ)，∀n≥1.由cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)知，∃n1>0，对∀n≥n1，有cn‖xn-Txn‖2<τφ(τ), 从而由式(6)知，对∀n≥n1,有由此得进一步‖xn1-x*‖2<∞.与矛盾.故τ=0.从而必存在子列{xnj}⊂{xn}，使得断定{‖xnj-x*‖}有界.若相反,即{‖xnj-x*‖}无界,则必存在子列{‖xnjk-x*‖}⊂{‖xnj-x*‖},使‖xnjk-x*‖→0(k→∞).因此,→1(k→∞).与式(7)矛盾.故{‖xnj-x*‖}有界,从而由于因此,对∀ε>0,∃n2>n1,使得对∀n>n2,有cn‖xn-Txn‖‖xn+1-xn‖进而‖xn+1-xn‖<.又因为‖xnj-x*‖→0(j→∞),所以存在N>n2,使得‖xN-x*‖<ε.下面证明:对∀k≥N,有‖xk-x*‖≤ε.当k=N时,结论显然成立.假设当k≥N时,结论成立.下面证明对k+1时结论也成立.假设结论不成立,则有‖xk+1-x*‖>ε,从而由式(6)有得到矛盾.因此,对∀k≥N,有‖xk-x*‖≤ε.于是‖xk-x*‖≤ε.由ε的任意性知xn→x*(n→∞).定理2证毕.【相关文献】[1]Chang S S,Cho Y J,Zhou H Y.Iterative methods for nonlinear operator equations on Banach spaces[M].New York:Nova Sci Publishers,2002.[2]张明虎,周和月.Hilbert空间中φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近[J].河北师范大学学报:自然科学版,2006,30(5):516-521.[3]谷峰.关于φ-伪压缩型映像的具误差的Ishikawa和Mann迭代过程的收敛性问题[J].数学年刊,2002,23A(1):49-54.[4]张树义.Lipschitz φ-半压缩映像不动点的迭代逼近[J].鲁东大学学报:自然科学版,2007,23(1):14-18.[5]宣渭峰,王元恒.双复合修正的Ishikawa迭代逼近非扩张映像不动点[J].浙江师范大学学报:自然科学版,2009，32(4):401-405.。

一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近?

一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近？王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【摘要】本文在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的强收敛性问题。

在去掉有关文献的较强条件的情况下，证明了相关结果仍然成立。

所得结果不但改进和推广了一些文献的相关结果，而且也改进了定理的证明方法；也使定理的应用范围更为广泛。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】7页(P852-858)【关键词】一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象;Ishikawa迭代序列;不动点【作者】王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【作者单位】大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言文中处处设E是一实的Banach空间，其对偶空间记为E∗,(·,·)表示E与E∗之间的配对，F(T)表示T的不动点集．映象是由下式定义的正规对偶映象定义1 设D是E的非空集．T:D−→D是一映象．1) T称为一致L-Lipschitz的，如果存在L>0，使得2) T称为渐近非扩张的，如果存在一数列使得3) T称为渐近伪压缩的，如果存在一数列使得对任意的x,y∈D，存在j(x−y)∈J(x−y)，有由定义不难看出：若T是具数列的渐近非扩张映象，则T是一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象，其中渐近非扩张映象必是渐近伪压缩映象；而渐近伪压缩映象不一定是渐近非扩张映象．定义2 设D是E的非空闭凸集，是一映象，是任一给定的点，是D中的有界序列；都是[0,1]中的数列，则：1) 由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Ishikawa迭代序列特别地，当=0,∀n≥0．由(1)式定义的序列{xn}称为T的修正的Ishikawa迭代序列;2) 当=0,∀n≥0．由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Mann迭代序列曾六川在文献[1]中，在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象的不动点的强收敛性问题，其结果在许多方面改进和拓展了文献[2–6]中的相应结果．本文在去掉文献[1]中定理1.1至定理1.3中的条件(iii)：和条件(iv)：以及较强且较难验证的条件“T的值域D(T)有界”的情况下，得到了相同的结果．所得结果不但改进和推广了文献[1–6]的结果，而且也改进了定理的证明方法，使定理的证明更简洁和严谨．以下引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用．引理1[7]设E是一实的Banach空间，则有其中是正规对偶映象．2 主要结果定理1 设D是E的非空闭凸集，T:D−→D是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足下列条件：(iii) 若存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中，由xn+1和q所确定的元，则{xn}有界．证明已知都有界，设由(1)式及T的一致LLipschitz性有由于当时，故存在正整数n0，对任意的n ≥ n0，有从而，对任意的n ≥ n0，由(4)式有由(3)式有从而据ϕ的单调增加性有其中下面我们用数学归纳法证明，对任意的n≥n0，有事实上，n=n0时已经成立；假设对任意的有只需证对任意的n≥也成立．用反证法，设据ϕ的单调增加性有其中由(5)式，对任意的n≥n0，有由引理1及(1)式，有现在估计(9)式右边各项，由于设其中据(8)式，右边第四项对任意的n≥n0，应有其中右边第三项，由(3)式，有对于右边第二项，对任意的n≥n0，有而由(1)式及∥xn−q∥≤ 2ϕ−1(a0),∀ n ≥ n0，有将(13)代入(12)，对任意的n≥n0，有其中将(10),(11)及(14)式代入(9)式，则对任意的n≥n0，有由上式及可得，对任意的n≥n0，应有其中由于故不妨设由(7)式有从而由(15)式，对任意的n≥n0，有因为故存在使得于是，从(16)可得故从而有与条件相矛盾．故{xn−q}有界，从而{xn}有界．定理2[8]设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．由定理2立即可得：定理3 设D是E的非空闭凸集，是具数列1的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．定理4 设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(2)式定义的具误差的修正的Mann迭代序列，且满足下列条件：(iii) 存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中由xn+1和q所确定的元，则{xn}强收敛于q．参考文献：[1]Chang S S.Iterative approximation problem of f i xed points for asymptotically non-expansive mappings in Banach spaces[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2001,24(2):236-241[2]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2001,129(3):845-853[3]Zeng L C.On the strong convergence of iterative method for non-Lipschitzian asymptotically pseudocontractive mappings[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2004,27(3):230-239[4]Goebel K,Kirk W A.A f i xed point theorem for asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1972,35(1):171-174[5]Kirk W A.A f i xed point theorem for mappings which do not increase distance[J].The American Mathematical Monthly,1965,72(5):1004-1006 [6]Schu J.Iterative construction of f i xed points of asymptotically non-expansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991,158(2):407-413[7]Chang S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].Nonlinear Analysis-Theory,Methods&Applications,1997,30(7):4197-4208[8]王绍荣，等.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近问题[J].系统科学与数学，2010,30(9):1206-1213 Wang S R,et al.The Ishikawa iterative approximation problem of f i xed points for uniformly L-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2010,30(9):1206-1213。

Banach空间中非扩张映射的不动点逼近的Ishikawa迭代程序

Banach空间中非扩张映射的不动点逼近的Ishikawa迭代程序吴莉【摘要】设X为实一致凸Banach空间,其共轭空间X·具有KK性质,C为X的非空有界闭凸子集.若T为C到自身的非扩张映射,则对任给的x0∈C,Ishikawa迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn,n=0,1,2,…,定义的序列{xn}弱收敛到T 的某个不动点,其中{tn},{sn}满足一定的条件.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(021)006【总页数】4页(P91-94)【关键词】非扩张映射;Ishikawa迭代;不动点;一致凸Banach空间;KK性质【作者】吴莉【作者单位】南京工程学院,基础部,江苏,南京,210036【正文语种】中文【中图分类】O152.70 引言设C为Banach空间X的非空子集，T为C到自身的映射，如果对任何的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖成立，那么称T是非扩张的。

若X是一致凸Banach空间，则其每个有界闭凸子集C的非扩张自映射T都有不动点。

1974年，Ishikawa[1]首先在实Hilbert空间中对拟非扩张紧映射引入了迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn, n=0,1,2,…(1)并证明了{xn}逼近T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中满足某些限制条件的序列。

文献[2]证明了下面的定理。

定理1 设X为具Opial条件或具Frechet可微范数的一致凸Banach空间，C为X非空有界闭凸子集，T为C到自身的非扩张映射。

则对任何的x0∈C,由(1)定义的Ishikawa迭代程序{xn}弱收敛到T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中的序列且满足对的任何子列本文主要受文献[2]的启发，在共轭空间X*具有KK性质的一致凸Banach空间中证明了类似的收敛性定理。

具误差隐格式迭代逼近严格伪压缩映像族公共不动点 (英)

271Vol.27,No.1 20072JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION Feb.,2007 Article ID:1000-341X(2007)01-0098-09Document code:AImplicit Iteration Process with Errors for Common Fixed Points of a Finite Family of Strictly PseudocontractiveMapsSU Yong-fu1,LI Su-hong1,SONG Yi-sheng1,ZHOU Hai-yun2(1.Department of Mathematics,Tianjin Polytechnic University,Tianjin300160,China;2.Department of Mathematics,Shijiazhuang Mechanical Engineering College,Hebei050003,China)(E-mail:suyongfu@)Abstract:Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F= N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},{αn}⊂[0,1]be a real sequence,and{u n}⊂K be asequence satisfying the conditions:(i)0<a≤αn≤1;(ii) ∞n=1(1−αn)=+∞;(iii) ∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned byx n=αn x n−1+(1−αn)T n x n+u n−1,n≥1,where T n=T n mod N,then(i)lim n→∞ x n−p exists for all p∈F;(ii)lim n→∞d(x n,F)exists,where d(x n,F)=inf p∈F x n−p ;(iii)lim inf n→∞ x n−T n x n =0.Another result is that if{αn}∞n=1⊂[1−2−n,1],then{x n}is convergent.This paper generalizesand improves the results of Osilike in2004.The ideas and proof lines used in this paper arediﬀerent from those of Osilike in2004.Key words:strictly pseudocontractive mappings;implicit iteration process with error;com-monﬁxed points;convergence theorems.MSC(2000):47H05;47H10;47H15CLC number:O177.911.IntroductionLet E be a real Banach space and J denote the normalized duality mapping from E into 2E∗given by J(x)={f∈E∗: x,f = x 2= f 2},where E∗denotes the dual space of E and ·,· denotes the generalized duality pairing.A mapping T with domain D(T)and range R(T)in E is called strictly pseudocontractive in the terminology of Browder and Petryshyn[1] if there existsλ>0such thatT x−T y,j(x−y) ≤ x−y 2−λ x−y−(T x−T y) 2,(1)No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps99100Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27αn u n −(1−αn)λαnu n−1 .From condition(i),we havex n−p ≤ x n−1−p +1αu n−1 ,by Lemma OOA,we obtain conclusion(ii).It follows from conclusion(i)that,{x n}is bounded,then there exists a constant M>0, such that for any n≥1,we have x n−p ≤M.Therefore,it follows from Inequality(5)and condition(i)thatx n−p ≤ x n−1−p +1M(1−αn)λ x n−T n x n 2λan j=1u jNo.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps101M∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2≤ x0−p +1M∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2<+∞.(7)By condition(ii),we knowlim infn→∞x n−T n x n =0.This completes the proof of Theorem1.In Theorem1,let{u n}={0}and the condition(i)be substituted by the condition +∞n=1(1−αn)2<+∞,then the result of Theorem1is the theorem of Osilike-1[10].Theorem2Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F=∩N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},{αn}⊂[0,1]be a real sequence,and{u n}⊂K be a sequence satisfying the conditions:(i)0<a≤αn≤β<1;(ii) ∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned by(4).Then(i)lim n→∞ x n−p exists for all p∈F;(ii)lim n→∞d(x n,F)exists,where d(x n,F)=inf p∈F x n−p ;(iii)lim n→∞ x n−T n x n =0.Proof It follows from Condition(i)and Inequality(7)thatλM∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2<+∞.(8)Thus from Inequality(8)we have that lim n→∞ x n−T n x n =0.The proofs of conclusions(i) and(ii)are the same as Theorem1.This completes the proof of Theorem2.Theorem3Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F=∩N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},and let{αn}∞n=1be a real sequence satisfying the conditions:(i)0<α<αn<1;(ii) ∞n=1(1−αn)=+∞;(iii) +∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned by(4).Then{x n}converges strongly to a commonﬁxed point p∈F if and only if lim inf n→∞d(x n,F)=0.Proof Suppose that{x n}converges strongly to a commonﬁxed point p∈F.In view of the fact that0≤d(x n,F)≤ x n−p ,we see thatlim infn→∞d(x n,F)=0.102Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27u n+m−2 + x n−p nα1≤No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps1031−Lβn y n−1−x n−1 +γn M104Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.271−2βn x n−1−p 2−2λβn1−2βn=[1+αn2+2βn−11−2βn[αn x n−1−T n x n +γn u n−T n x n ]2+2γn M2+γn2M2λ] x n−1−p 2−λβn x n−1−T n x n 2+2γn M2+γn2M2λ<∞and ∞i=12γn M2+γn2M2λ.Hence∞n=1βn x n−1−T n x n 2<∞.(15) From implicit iteration process(9),we obtain thatx n−x n−1 ≤βn T n x n−x n−1 +γn u n−x n−1 .x n−x n−1 2≤βn2 T n x n−x n−1 2+2βnγn T n x n−x n−1 u n−x n−1 +γn2 u n−x n−1 2.(16) Since{x n}is bounded,it follows from(16)thatx n−x n−1 2≤βn2 T n x n−x n−1 2+γn M3+γn2M3.(17)Sincex n+m−x n−1 ≤n+m−1i=n−1x i+1−x i ,it follows from Lemma OAA thatx n+m−x n−1 2≤n+m−2i=n−12i x i+1−x i 2+2n+m−1 x n+m−x n+m−1 2.(18)Combining(17)and(18),we obtain thatx n+m−x n−1 2≤n+m−2i=n−12iβi+12 x i+1−x i 2+n+m−2i=n−1(γi+1M3+γi+12M3)+2n+m−1βn+m2 T n+m x n+m−x n+m−1 2+γn+m M3+γn+m2M3.(19)No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps105106Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27。

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用数学科学学院应数2班赵宇2011101020005引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。

在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。

这正是抽像的结果。

=的求解问题，是分析学的各不动点定理实际上是算子方程Tx x个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。

正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。

几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。

但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。

而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。

例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach 空间压缩映像定理。

定义（压缩映像）设T 是度量空间X 到X 中的映像，如果对都有（是常数）则称T 是X 上的一个压缩映像。

从几何上说：压缩映像即点x 和y 经过映像T 后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）定理1（Banach 压缩映像原理）1922年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d ）是一个完备度量空间，T 是X 上的一个压缩映像，则丅有唯一的不动点。

Banach空间中可数无限族连续伪压缩映象公共不动点的强收敛定理

在适当的条件下证明了｛｝强收敛于Ｐ∈Ｆ（Ｔ）．于是，自然地提出一个问题：关于Ｍａｎｎ ’ ｓ显迭代序列＋１＝（１一）＋Ｔｘ，是否也有上面的结果？（３）
１预备知识

映象；如果对任意，Ｙ ∈Ｃ，存在（一Ｙ）ＥＪ（ｘ— Ｙ）
使得（Ｔｘ—ｚｙ，ｊ（ｘ—Ｙ））≤ Ｉｌ —Ｙｌ．ｌ（１）
有收敛定理并不知道？引入了Ｈａｌｐｅｒｎ型的隐迭代序列
ｏ∈ Ｃ，＝ Ⅱ＋ＪＢ一ｌ＋ｙＴｘ， ≥１，（５）
Ｃ是的一个非空子集．：Ｃ — Ｃ称为伪压缩
证明了｛｝强收敛于Ｐ∈Ｆ（Ｔ）．但序列（４）对Ｌｉｐ
一
伪压缩映象在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间或在Ｂａｎａｃｈ空间是否
在２００７年，Ｙ．Ｈ．Ｙａｏ等在Ｂａｎａｃｈ空间中
的逼近问题．并在适当的条件下证明了一个强收敛
伪压缩映象的不动点，对固定点，定义迭代序
＋１＝（１一ＯＬ）＋ＯＬｚ；Ｙ＝（１一卢）＋Ｔｘ．（２）
列｛｝为
定理．结果推广和改进了文献［３— ４］的主要结果．
第３６卷
第３期
Ｖｏ１．３６，Ｎｏ．３
Ｂａｎａｃｈ空间中可数无限族连续伪压缩映象公共不动点的强收敛定理

Banach空间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近

Banach空间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近虞懿;曾六川【摘要】研究Banach空间中一类伪压缩型变分包含问题.在实的自反Banach空间中,给出了用于寻求这类变分包含问题解的带误差的Ishikawa迭代程序的收敛性分析.分析结果改进和发展了文献中早期与最近的结果.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)005【总页数】7页(P457-463)【关键词】变分包含;伪压缩映象;带误差的Ishikawa迭代程序;强收敛性【作者】虞懿;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设X是一个实Banach空间，X*是X的对偶空间．正规对偶映象J:X→2X*定义如下：J(x)={f∈X*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈X,其中，〈·,·〉表示X和X*间的广义对偶对．设T,A:X→ X, g:X→ X*是3个映象，φ:X*→ R∪{+∞}是真凸的下半连续泛函． 1999年，张石生教授[1]在Banach空间中引入与研究了下列变分包含问题V VIP(T,A,g,φ)：对给定的f∈X，求u∈X使得(1.1)其中∂φ为φ的次微分．其定理2.1[1]中，他在X是实的一致光滑Banach空间的框架下，建立并证明了变分包含问题(1.1)解的存在唯一性及其Ishikawa迭代序列的收敛性．进一步，张石生教授等人[2]仍在实的一致光滑Banach空间的框架下，把定理2.1[1]从强增生映象推广到了φ-强增生映象的情况．特别地，当X是实的Hilbert空间时，则问题(1.1)就化为Hilbert空间中的变分包含问题，它曾在Ding[3,4]，Chang[5]，Kazmi[6]，及Zeng[7]中研究过．易见，通过适当地选择算子T,A,g及点f与泛函φ，若干熟知的变分不等式类问题，如，在Noor[8,9]，Siddiqi-Ansari[10]，及Zeng[11] 中研究过的变分不等式类，都可得到．最近，受张石生教授[1,2,5]的启发，曾六川[12]引入和研究了下列Banach空间中变分包含问题：设T,A:X→ X, N(·,·):X× X→ X, g:X→ X*是4个映象，φ:X*→ R∪{+∞} 是真凸的下半连续泛函．对给定的f∈X，求u∈X使得(1.2)其中，∂φ表示φ的次微分．特别地，当N(x,y)=x-y, x,y∈X时，问题(1.2)化为问题(1.1)．在实的自反的光滑Banach空间的的框架下，他给出了变分包含问题(1.2)解的存在唯一性及其带误差的 Ishikawa迭代序列的收敛性．随后，谷峰教授[13]把问题(1.2)及其收敛性定理推广到了k-次增生型变分包含问题的情况．本文作者在实的自反Banach空间的框架下，研究当变分包含问题(1.2)中的映象能复合成伪压缩型算子时，用于寻求这类变分包含问题解的带误差的Ishikawa迭代程序的收敛性．所得结果改进，补充和发展了已有的相应结果[1～10, 12，13]．文中将用到下列定义与结论．定义1.1 设T:D(T)⊂ X→ X是一映象，其中，D(T)是T的定义域．(1)T称为强伪压缩映象，若对任意x,y∈D(T)，存在j(x-y)∈J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤ k‖x-y‖2,其中，k∈(0,1)是一常数．(2)T称为φ-强伪压缩映象，若对任意x,y∈D(T)，存在j(x-y)∈J(x-y)及严格增加函数φ:[0,∞)→[0,∞)且φ(0)=0使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖)‖x-y‖.(3)T称为Φ-强伪压缩映象，若对任意x,y∈D(T)，存在j(x-y)∈J(x-y)及严格增加函数Φ:[0,∞)→[0,∞)且Φ(0)=0使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-Φ(‖x-y‖).(4)T称为伪压缩映象，若对任意x,y∈D(T)，存在j(x-y)∈J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.注1.1 (1) 与伪压缩映象类密切相关的一类算子是增生算子类．众所周知，若I-T是强伪压缩映象、φ-伪压缩映象、Φ-伪压缩映象或伪压缩映象，则T分别是强增生算子、φ-强增生算子、Φ-强增生算子或增生算子．(2) 据定义1.1，若T是强伪压缩映象或φ-强伪压缩映象，则T是Φ-强伪压缩映象，也是伪压缩映象；其逆不真．定义1.2[5] 设T,A:X→ X, N(·,·):X× X→ X是3个映象．(1) 映象x︳→N(x,y)称为关于映象T是μ-Lipschitz连续的，如果存在常数μ>0使得，对任给的x1,x2∈X，有‖N(T x1,y)-N(Tx2,y)‖≤μ‖x1-x2‖, y∈X.(2) 映象y︳→N(x,y)称为关于映象A是ξ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ>0使得，对任给的y1,y2∈X，有‖N(x,Ay1)-N(x,Ay2)‖≤ξ‖y1-y2‖, x∈X.引理1.1[3] 设及是非负实数列，且满足不等式:an+1≤(1+bn)an+cn, n≥0.如果且则存在．另外，当有一个子列收敛到零时，引理1.2[1] 设X是一实Banach空间，J:X→2X*是正规对偶映象，则对任给的x,y∈X，下列不等式成立：‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈 y,j(x+y)〉, j(x+y)∈J(x+y).引理1.3[12] 设X是一实的自反Banach空间，则下列结论等价：(i) x*∈X是变分包含问题(1.2)的解；(ii) x*∈X是映象S:X→2X: S(x)=f-(N(Tx,Ax)+∂φ(g(x)))+x的不动点；(iii) x*∈X是方程f∈N(Tx,Ax)+∂φ(g(x))的解．2 主要结果定理2.1 设X是一实的自反Banach空间，T,A:X→ X, N(·,·):X× X→ X, g:X→ X*是4个连续的映象，φ:X*→ R∪{+∞}是具有连续的Gateaux微分∂φ的泛函，且满足下面的条件：(i) 映象I(·)-N(T(·),A(·))-∂φ g(·):X→ X是伪压缩算子；(ii) 映象x︳→N(x,y)关于T是μ-Lipschitz连续的，映象y︳→N(x,y)关于A是ξ-Lipschitz连续的；(iii) ∂φ g:X→ X是ζ-Lipschitz连续的．设是[0,1]中的序列，是X中的序列，满足下列条件：对任给的f∈X，定义映象S:X→ X如下：Sx=f-N(Tx,Ax)-∂φ(g(x))+x, x∈X．对任给的x0∈X，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}：(2.1)假定序列{xn}有界，且变分包含(1.2)有解，并记其解集为Ω，则下列结论成立：(1) 对每个存在；存在，其中，证明先证，当序列{xn}有界时，对每个存在．事实上，注意到，{xn}是有界的．故对任给的x*∈Ω，存在常数M>0，使得‖xn-x*‖≤ M, n≥0．利用(2.1)与引理1.2，可得‖xn+1-x*‖2= ‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Syn-Sx*)+un‖2≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈 Syn-Sx*, j(xn+1-x*)〉+2〈 un,j(xn+1-x*)〉≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈 Sxn+1-Sx*, j(xn+1-x*)〉+2αn〈 Syn-Sxn+1,j(xn+1-x*)〉+2‖un‖·‖xn+1-x*‖≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈 Sxn+1-Sx*, j(xn+1-x*)〉+2αndnM+2M‖un‖,(2.2)其中， j(xn+1-x*)∈J(xn+1-x*)，dn=‖Syn-Sxn+1‖．由于映象I(·)-N(T(·),A(·))-∂φ g(·):X→ X是伪压缩算子，故对任给的x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得〈 Sx-Sy,j(x-y)〉=〈(x-N(Tx,Ax)-∂φ g(x))-(y-N(Ty,Ay) -∂φ g(y)),j(x-y)〉≤‖x-y‖2,亦即〈N(Tx,Ax)+∂φ g(x))-N(Ty,Ay) -∂φ g(y),j(x-y)〉≥0.于是，存在j0(xn+1-x*)∈J(xn+1-x*)使得〈 Sxn+1-Sx*,j0(xn+1-x*)〉≤‖xn+1-x*‖2.(2.3)下面估计dn:dn= ‖Syn-Sxn+1‖=‖N(Tyn,Ayn)-N(Txn+1,Axn+1)+∂φ(g(yn))-∂φ(g(xn+1))+xn+1-yn‖≤‖N(Tyn,Ayn)-N(Txn+1,Axn+1)‖+‖∂φ(g(yn))-∂φ(g(xn+1))‖+‖yn-xn+1‖≤‖N(Tyn,Ayn)-N(Txn+1,Ayn)‖+‖N(Txn+1,Ayn)-N(Txn+1,Axn+1)‖+‖∂φ(g(yn))-∂φ(g(xn+1))‖+‖yn-xn+1‖≤(1+μ+ξ+ζ)‖yn-xn+1‖.(2.4)由(2.1)，S的定义及条件(ii)，有:‖yn-xn+1‖≤ ‖yn-xn‖+‖xn-xn+1‖=‖yn-xn‖+‖αn(xn-Syn)-un‖≤‖yn-xn‖+αn‖xn-Syn‖+‖un‖,(2.5)‖xn-Syn‖≤ ‖Sx*-Syn‖+‖xn-x*‖≤‖N(Tyn,Ayn)-N(Tx*,Ax*)‖+‖∂φ(g(yn))-∂φ(g(x*))‖+‖yn-x*‖+‖xn-x*‖≤‖N(T yn,Ayn)-N(Tx*,Ayn)‖+‖N(Tx*,Ayn)-N(Tx*,Ax*)‖+‖∂φ(g(yn))-∂φ(g(x*))‖+‖yn-x*‖+‖xn-x*‖≤(1+μ+ξ+ζ)‖yn-x*‖+M,(2.6)‖yn-x*‖≤ (1-βn)‖xn-x*‖+βn‖Sxn-Sx*‖+‖vn‖≤(1-βn)‖xn-x*‖+βn‖N(Txn,Axn)-N(Tx*,Ax*)‖+βn‖∂φ(g(xn))-∂φ(g(x*))‖+βn‖xn-x*‖+‖vn‖≤(1-βn)‖xn-x*‖+(1+μ+ξ+ζ)βn‖xn-x*‖+‖vn‖≤(1+(μ+ξ+ζ)βn)M+‖vn‖,(2.7)‖yn-xn‖= ‖βn(Sxn-xn)+vn‖≤βn‖Sxn-xn‖+‖vn‖≤βn‖Sxn-Sx*‖+βn‖xn-x*‖+‖vn‖≤βn‖N(Txn,Axn)-N(Tx*,Ax*)‖+βn‖∂φ(g(xn))-∂φ(g(x*))‖+2βn‖xn-x*‖+‖vn‖≤(2+μ+ξ+ζ)βn‖xn-x*‖+‖vn‖≤(2+μ+ξ+ζ)βnM+‖vn‖.(2.8)令h=μ+ξ+ζ，则‖yn-xn+1‖≤ ‖yn-xn‖+αn‖xn-Syn‖+‖un‖≤(2+h)Mβn+‖vn‖+αn[(1+h)((1+hβn)M+‖vn‖)+M]+‖un‖.于是，由上述不等式有:dn≤ (1+h)‖yn-xn+1‖≤(1+h)(2+h)Mβn+(1+h)‖vn‖+αn[(1+h)2(1+hβn)M+(1+h)M]+(1+h)‖un‖.因而，即得:‖xn+1-x*‖2≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈 Sxn+1-Sx*, j0(xn+1-x*)〉+2αndnM+2M‖un‖ ≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn‖xn+1-x*‖2+2(1+h)(2+h)M2αnβn+2M[(1+h)2(1+hβn)M+(1+h)M] +2M(1+h)αn(‖un‖+‖vn‖)+2M‖un‖.令δ=2(1+h)(2+h)M2, γ=2M2(1+h)(1+(1+h)2)．则有:(1-2αn)‖xn+1-x*‖2≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+δαnβn+γ +2M(1+h)αn(‖un‖+‖vn‖)+2M‖un‖.(2.9)由于1-2αn→1 (n→∞)，故存在自然数n0，使得因此，由(2.9)即知，对一切n≥ n0，有：4M(1+h)αn(‖un‖+‖vn‖)+4M‖un‖.(2.10)令则由(2.10)即得an+1≤(1+bn)an+cn, n≥ n0.由于条件(iv)～(vi)成立，所以，于是，据引理存在，即，对每个存在.下证，存在，其中，事实上，由(2.10)即得[d(xn+1,Ω)]2≤(1+bn)[d(xn,Ω)]2+cn, n≥ n0.于是，据引理1.1，即知存在．证毕．定理2.2 设X是一实的自反Banach空间，T,A:X→ X, N(·,·):X× X→ X, g:X→ X*是4个连续的映象，φ:X*→ R∪{+∞}是具有连续的Gteaux微分∂φ的泛函．假定定理2.1中的条件(i)～(vi)成立，且由(2.1)定义的序列{xn}有界，则{xn}强收敛到变分包含(1.2) 的一个解当且仅当，且证明首先，由(2.10)，为简便起见，不妨设对一切n≥0，‖xn+1-x*‖2≤(1+λn)‖xn-x*‖2+λn, x*∈Ω,(2.11)其中，今置则1≤ M<∞．设{xn}强收敛到变分包含(1.2)的一个解则由于且利用S的连续性，即知且反之，设且则据定理2.1的 (2)，即得于是，对任给的ε>0，存在自然数N0，使得n≥ N0.又由推得，存在自然数N1，使得n≥ N1.令N*=max{N0,N1}．则据(2.11)即有‖xn+1-x*‖2≤(1+λn)(1+λn-1)‖xn-1-x*‖2 +(1+λn)λn-1+λn≤(2.12)由于且)，故对一切n,m≥ N*及一切x*∈Ω，据(2.12)即有‖xn-xm‖2≤(‖xn-x*‖+‖xm-x*‖)2≤2‖xn-x*‖2+2‖xm-x*‖2≤].(2.13)关于x*∈Ω取下确界，即得)=ε2.故有‖xn-xm‖≤ε．由此即知，{xn}是X中的Cauchy序列．所以，可令于是，据Sxn-xn→0及S的连续性，即有从而，即知，证毕．推论 2.1 设X是一实的自反Banach空间，T,A:X→ X, N(·,·):X× X→ X, g:X→ X* 是4个连续的映象，φ:X*→ R∪{+∞}是具有连续的Gteaux微分∂φ的泛函，且满足下面的条件：(i) 映象I(·)-N(T(·),A(·))-∂φ g(·):X→ X是伪压缩算子；(ii) 映象x︳→N(x,y)关于T是μ-Lipschitz连续的，映象y︳→N(x,y)关于A是ξ-Lipschitz连续的；(iii) ∂φ g:X→ X是ζ-Lipschitz连续的．设是[0,1]中的序列，是X中的有界序列，满足下列条件：(v) 存在0>0使得⊂[0,1]；对任给的f∈X，定义映象S:X→ X如下：Sx=f-N(Tx,Ax)-∂φ(g(x))+x, x∈X．对任给的x0∈X，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}：(2.14)假定序列{xn}有界，且变分包含(1.2)有解，并记其解集为Ω，则{xn}强收敛到变分包含(1.2) 的一个解当且仅当，且证明由于且是X中的有界序列，故有及因此，定理2.2中的条件皆满足．据定理2.2即知，{xn}强收敛到变分包含(1.2)的一个解当且仅当，且今断言，Sxn-xn→0⟺yn-xn→0．事实上，由于yn-xn=βn(Sxn-xn)+vn,因此，当Sxn-xn→0时，由vn→0即得，yn-xn→0．反之，当yn-xn→0时，利用vn→0及不等式0‖Sxn-xn‖≤βn‖Sxn-xn‖=‖yn-xn-vn‖≤‖yn-xn‖+‖vn‖,得知，Sxn-xn→0．证毕．参考文献:[1] CHANG S S. On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J]. Comput Math Appl, 1999, 37 (9): 17-24.[2] 张石生, 谷峰. Banach 空间中φ-强增生型变分包含问题解的Ishikawa迭代逼近[J], 应用数学,2000, 13 (2): 1-8.[3] DING X P. Perturbed proximal point algorithms for generalized quasivariational inclusions[J]. J Math Anal Appl, 1997, 210 (1): 88-101. [4] DING X P. Generalized strongly nonlinear quasivariational inequalities[J]. J Math Anal Appl, 1993, 173 (2): 557-587.[5] CHANG S S. Set-valued variaonal inclusions in Banach spaces[J]. J Math Anal Appl, 2000, 248 (9): 438-454.[6] KAZMI K R. Mann and Ishikawa type perturbed iterative algorithms forgeneralized quasivariational inclusions[J]. J Math Anal Appl, 1997, 209 (2): 572-584.[7] ZENG L C. Iterative algorithms for finding approximate solutions for general strongly nonlinear variational inequalities[J]. J Math Anal Appl, 1994, 187 (2): 352-360.[8] NOOR M A. General variational inequalities[J]. Appl Math Lett, 1994,187 (2): 352-360.[9] NOOR M A. An iterative algorithm for variational inequalities[J]. J Math Anal Appl, 1994,158 (3): 446-455.[10]SIDDIQI A H, ANSARI Q H. Ansari, General strongly nonlinear variational inequalities[J]. J Math Anal Appl, 1992,166 (2): 386-392. [11]ZENG L C. Iterative algorithm for finding approximate solutions to completely generalized strongly nonlinear quasivariational inequality[J]. J Math Anal Appl, 1996, 201 (11):180-194.[12]曾六川.一类φ-强增生型变分包含问题解的存在性与迭代逼近[J]. 数学研究与评论, 2004, 24 (5): 297-304.[13]谷峰.一类k-次增生型变分包含问题解的迭代构造[J]. 系统科学与数学, 2008, 28 (2): 144-153.。

Banach空间中一类变分包含解的迭代逼近

Banach空间中一类变分包含解的迭代逼近
刘江蓉
【期刊名称】《长春师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(025)005
【摘要】研究Banach空间中一类ψ-强增生型变分包含问题解的存在性、唯一性及带误差的三步迭代程序的收敛性问题,所得结果改进和推广了近期的一些相关成果.
【总页数】3页(P16-18)
【作者】刘江蓉
【作者单位】武汉工业学院数理科学系,湖北武汉,430023
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近 [J], 谷峰
2.Banach空间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近 [J], 虞懿;曾六川
3.迭代逼近Banach空间中一类拟变分包含的解 [J], 王元恒;傅俊义
4.Banach空间中一类变分包含解的迭代逼近 [J], 刘江蓉;
5.Banach空间中一类变分包含解的迭代逼近 [J], 刘江蓉
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实Banach空间中渐近半压缩映象的不动点

实Banach空间中渐近半压缩映象的不动点
倪仁兴
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2004(17)1
【摘要】证明了Osilike和Aniagbosor最近的有关q 一致光滑实Banach空间中渐近半压缩映象的不动点的迭代逼近的一主要结果 (它本身也是 1 998年Osilike的一定理的一般化 )能被延拓至任意实Banach空间上 ,且所用证明方法比已有的简单 .
【总页数】6页(P49-54)
【关键词】实Banach空间;渐近半压缩映象;迭代逼近;正规对偶映射;不动点理论【作者】倪仁兴
【作者单位】绍兴文理学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2;O177.91
【相关文献】
1.一致光滑Banach空间中φ-半压缩映象不动点的Noor迭代逼近 [J], 赵亚莉
2.实Banach空间中一致L-Lipschitzian 渐近半压缩映象具误差的迭代序列的收敛性 [J], 倪仁兴;章月红
3.Banach空间中定点非扩张随机半闭1-集压缩映象的随机不动点定理 [J], 杨云苏
4.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵
5.一致光滑Banach空间中渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 曾六川
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Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近
刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(30)1
【摘要】在一般Banach空间中,利用多值映像一致连续的性质,研究了多值Φ强伪压缩映像不动点的具误差的Ishikawa及Mann迭代逼近问题,得出了Ishikawa,Mann迭代序列强收敛的一个充分条件.由于单值映像是多值映像的特殊情况,故该结果改进和推广了近期相关结果.
【总页数】4页(P10-12)
【关键词】多值Ф-强伪压缩映像;具谩差的Ishikawa迭代序列;具谩差的Mann迭代序列
【作者】刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【作者单位】河北建筑工程学院数学物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群
2.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义
3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群
5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。