常微分方程奇异解
线性微分方程的奇异性和特殊解
线性微分方程的奇异性和特殊解线性微分方程是数学研究的重要分支之一，它在物理、经济学、生物学等学科中都有广泛的应用。
在解决线性微分方程的过程中，我们常会遇到一些特殊的情况，如奇异性和特殊解。
本文将对这些问题进行探讨。
一、线性微分方程首先，我们来简单介绍一下线性微分方程。
线性微分方程通常具有如下形式：$$y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y' + p_0(x)y =f(x)$$其中，$y^{(k)}$表示$y$对$x$的$k$阶导数，$p_i(x)$和$f(x)$都是已知的函数。
如果$f(x)=0$，则称该方程为齐次线性微分方程；否则，称为非齐次线性微分方程。
二、奇异性在解决线性微分方程的过程中，我们会遇到一些特殊的情况，例如奇异性。
奇异性指的是当某些特定条件下，线性微分方程无法求出通解。
这种情况一般发生在系数函数中存在某些奇点的时候。
奇点指的是系数函数中的一个点，在此点处，方程系数函数的某些性质发生突变，从而导致方程无法求解。
常见的奇点有正则奇点、非正则奇点和正则奇异点。
非正则奇点比正则奇点更为普遍。
对于非正则奇点，如果它的存在导致线性微分方程的方程解单值不可能存在，那么就称之为本征奇异性。
三、特殊解除了奇异性之外，我们还会遇到另一个问题，那就是特殊解。
特殊解指的是在原线性微分方程的通解中，特定的一些参数值或条件下，得到的解。
特殊解与通解的主要区别在于前者是针对特定条件下，而后者是所有可能条件下的解，因此前者的形式更为确定和明确。
对于齐次线性微分方程来说，通解一般具有形如$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$，其中$C_i$为任意常数，而$y_i$为$n$个线性无关的解，通解形式是确定的，即使我们不知道某些常数的值，我们也知道它的形式。
但对于非齐次线性微分方程来说，则需要加上一个特殊解，才能完整地解出该方程。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法
以《一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法》为标题，本文主要探讨了一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法。
首先研究了常微分方程的定义和基本性质，然后介绍了奇异摄动问题特殊性，从而确定了有限元研究的主要方向。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法，是一种将常微分方程方法的有效方法与有限元方法的结合，针对特殊情况在系统性的推导中应用有效方法，可以达到理论与实际相结合的效果，并较快地求解。
在实际应用中，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法需要分解为一系列子问题，然后根据实际情况选择有效方法，将每个子问题分别解决。
除此之外，有限元方法还可以将多阶常微分方程简化为一阶问题，从而提高计算效率。
另外，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法在空间精度和时间精度上都有很好的表现，时间精度得到了很大的改善，其主要原因是利用有效方法减少错误，进而提高计算效率。
最后，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法是有效而稳健的解决方案。
在实际应用中，需要考虑合理的网格结构，确定有效的数值求解方案，以及合理的时间步长，在这些基础上可以做出满足要求的结果。
总之，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法对于科学研究和工程应用都有重要的意义，有助于我们更好地解决实际问题。
因此，未来的研究还需要深入探讨，以期在更多计算领域得到更多实用的成果。
- 1 -。
常微分方程 奇解与包络
y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
常微分方程34奇解
的通解 y cx f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
x f '( p) 0
x f '(c) 0
y xp f ( p) 或 y xc f (c)
20是19/1C0/1l4airaut方程的奇积分常曲微分线方程, 所对应的解是奇解.
例4:
求解方程
常微分方程
从而得到二元函数 c c(x, y), (x, y) l 使得
(x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l.
若 l 可用参数形式表示为:
x (t),
y
(t),
t (, )
记 c c((t), (t)) c(t), 则
((t), (t),c(t)) 0, t (, )
(x, y, c) 0
其c I是参数.
如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求?
根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的
x, y l, 存在唯一的 c I, 使得 x, y lc .
于是得到对应关系:
c:l I,
2019/10/14
(x, y) c(x, y).
曲线F(x, y) 0称为(3.23)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
2019/10/14
常微分方程
例1: 求曲线族 ( y c)2 2 (x c)3 0 的包络.
解:
记
(x,
y,
c)
(
y
3
c)2
2
(x
c)3
0,
3
常微分方程特解
常微分方程特解常微分方程特解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一种重要的分支，它是描述自然现象的重要工具。
在实际问题中，有很多方程的解不能很容易地用初值问题求得，这时需要使用特解。
这篇文章将从常微分方程特解的定义、分类和求解方法等方面进行探讨和解释。
一、定义在微分方程中，特解是指某些微分方程中的解，它们具有特别的形式和特性。
有时，微分方程的一般解涉及到一些参数，对于特定的问题，我们希望这些参数的取值能够使解满足一定的条件，这时候就需要找到特解。
二、分类常微分方程的特解可以分为几类，常见的有常数变易法、待定系数法、变量分离法、特解积分法等。
1. 常数变易法常数变易法是求非齐次线性微分方程的特解方法之一。
其基本思想是假设特解是一个未知的函数与多项式的乘积，然后通过逐项求导及代入微分方程求出特解中多项式的系数。
2. 待定系数法待定系数法是求非齐次线性微分方程特解的一种方法，它利用非齐次项的形式来猜测特解的形式，并通过逐项求导及代入微分方程求出待定系数的值。
对于不同类型的非齐次项，我们需要选择不同的猜测形式。
3. 变量分离法变量分离法是一种常见的求解一阶常微分方程的方法，它将微分方程转化为变量间的相等式，从而易于求解。
4. 特解积分法特解积分法是求非齐次线性微分方程特解的一种方法，它把非齐次项看作是已知函数的积分形式，通过求这个积分来找到特解。
三、求解方法求解常微分方程特解的方法不尽相同，需要根据不同情况采取不同的方法。
1. 常数变易法的求解方法设非齐次线性微分方程为$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$，对应的齐次方程为$y''+p(x)y'+q(x)y=0$。
设方程的特解为$y_p(x)$，通解为$y_c(x)$。
（1）当$f(x)$为常数时，$y_p(x)$形如$k$。
（2）当$f(x)$为$e^{ax}$时，$y_p(x)$形如$Ae^{ax}$。
§3.3 奇解 常微分方程课件 高教社
• 消去c得到的曲线是包络，积分曲线是奇解。
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c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
例1 解方程
•
令 pdy
dx
方程变为
y
d d
y x
2
x
d d
y x
x2 2
.
y p2 xp x2
• 两边求导
2
p 2 p d p x d p p x, dx dx
但过包络曲线的每一点有曲线族中的一条曲 线在该点与其相切。
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曲线族的包络 (x,y,c)=0,
c’(x,y,c)=0
• 单参数曲线族 (x-c)2+(y-c)2=R2
其包络为y=R和y=-R
• 一般的曲线族不一定有包络:同心园族平行线族。
• c-判別曲线
(x, y,c) 0, 'c (x, y,c) 0.
• 得通解 y x2 cx c2
2
• 另由 2 p x 0 得
y x2 4
• 此为奇解
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（续）例1
y
dy dx
2
x
dy dx
x2 2
• 用c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
•
由通解 y x2 cx c2
2
•得
y
x2
cx
c2,
2
0 x 2c.
• 有包络
y x2 4
• 它是解(积分曲线) ，故是奇解。
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例2 求直线轴 xcosa+ysina-p=0 的包 络
两类一阶常微分方程有奇解的条件_何永葱
收稿日期：２００７－０６－１２作者简介：何永葱（１９５７－），男，四川宜宾人，重庆教育学院编审，从事常微分方程及其应用研究。
Ｎｏｖｅｍｂｅｒ，２００７第２０卷第６期重庆教育学院学报Ｖｏｌ．２０Ｎｏ．６２００７年１１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ求一阶常微分方程的奇解是非常困难的。
通常是利用奇解存在的必要条件求出可能是奇解的函数；验证这些函数是不是微分方程的解；如果有函数是微分方程的解，再求微分方程的通解；最后验证解是不是通解的包络。
其中求通解与验证特解是不是通解的包络是不容易实现的。
最近文献［１］或［２］给出了一个不用求通解而判断微分方程的解是奇解的一个充分条件。
定理对于一阶微分方程Ｆ（ｘ，ｙ，ｄｙｄｘ）＝０（１）设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是二阶连续可微的。
又设其ｐ－判别式Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０（消去ｐ后）得到的函数ｙ＝ψ（ｘ）（ｘ∈Ｊ）是微分方程（１）的解。
而且设条件Ｆｙ′（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））≠０Ｆｐｐ″（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））≠０以及Ｆ′ｐ（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））＝０对ｘ∈Ｊ成立。
则ｙ＝ψ（ｘ）是微分方程（１）的奇解。
用该定理来一般性地研究一阶微分方程的奇解作者还未见到。
下面用该定理研究两类一阶微分方程ａ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋１－ｙ（ｄｙｄｘ）ｎ＋ｂ（ｘ）＝０（Ⅰｎ）ｙ＝ａ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋１＋ｂ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋ｃ（ｘ）（Ⅱｎ）存在奇解的条件，得到的结论简明实用。
１微分方程（Ⅰｎ）存在奇解的条件对于微分方程（Ⅰｎ），其中ａ（ｘ），ｂ（ｘ）在区间Ⅰ上是连续可导的，且ａ（ｘ）≠０，ｂ（ｘ）≠０。
这时Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝ａ（ｘ）ｐｎ＋１－ｙｐｎ＋ｂ（ｘ）＝０Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝（ｎ＋１）ａ（ｘ）ｐｎ－ｎｙｐｎ－１＝ｐｎ－１（（ｎ＋１）ａ（ｘ）ｐ－ｎｙ）＝０消去ｐ得到的函数ｙ#＝ｎ＋１ｎａ（ｘ）・ｄ（ｘ），其中ｄｎ＋１（ｘ）＝ｎｂ（ｘ）ａ（ｘ）≠０。
四阶常微分方程奇周期解的存在性
四阶常微分方程奇周期解的存在性四阶常微分方程奇周期解的存在性摘要：本文讨论了四阶常微分方程中奇周期解的存在性问题。
首先介绍了四阶常微分方程的一般形式和一些基本概念，然后探讨了奇周期解的定义和形式。
接着，使用变换方法和奇偶性分析的思想给出了判断奇周期解存在性的条件，并通过具体的例子来进行说明。
最后，总结了本文的研究结果，并指出了进一步研究的方向。
关键词：四阶常微分方程；奇周期解；存在性1. 引言四阶常微分方程在科学和工程中有着广泛的应用，研究其解的性质对于理解和探索自然界的规律具有重要意义。
其中奇周期解作为特殊的解形式，在一些特定的问题中具有独特的物理意义和应用背景，因此其存在性的研究具有一定的理论和实际价值。
2. 基本概念和定义四阶常微分方程的一般形式为：y^(4)(x) + f(x, y, y', y'', y''') = 0其中，y^(4)(x)表示函数y(x)对x的四阶导数，f(x, y, y', y'', y''')为已知函数。
对于一个四阶常微分方程，如果存在一个非平凡的解y(x)，使得y(x + T) = -y(x)，则称该解为奇周期解，其中T 为奇周期。
奇周期解的存在性问题即为研究在给定的四阶常微分方程中是否存在奇周期解的问题。
3. 奇周期解的存在性判断为了判断在给定的四阶常微分方程中是否存在奇周期解，可以采用变换方法和奇偶性分析的思想。
首先，考虑变换y = z + g(x)，其中g(x)为待定函数。
将变换后的y带入原方程，得到：z^(4)(x) + f(x, z+g(x), z'+g'(x), z''+g''(x),z'''+g'''(x)) = 0若存在一个g(x)，使得上式等号右侧为奇函数，即满足f(x, -z-g(x), -z'-g'(x), -z''-g''(x), -z'''-g'''(x)) = -f(x, z+g(x), z'+g'(x), z''+g''(x), z'''+g'''(x))，则可以得到一个奇周期解。
关于奇解的若干探讨
关于奇解的若干探讨摘要：对于一阶常微分方程奇解的有关问题，本文针对有关一阶常微分方程奇解的定义和求法进行了系统的归纳和总结，列举了求奇解的两类方法；并根据p-判别曲线求奇解的方法，讨论了克莱罗（Clairaut）微分方程和两类特殊类型的一阶常微分方程的奇解以及奇解存在的充分条件。
关键词：一阶常微分方程；奇解；包络；C-判别曲线；P-判别曲线1.引言求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解，也可以由通解的表达式了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。
当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。
因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。
因此，存在唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
而奇解是微分方程的一种特殊的解，类似微分几何中的包络，奇解对应的积分曲线上每一点还有方程的另一个解存在，则存在唯一性定理被破坏。
但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的条件还有待进行更深入的探讨和研究。
2.奇解的定义及求法2.1 奇解的定义我们知道对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
定义1：微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一个点唯一性都不成立。
或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
常微分方程通解和特解
常微分方程通解和特解常微分方程（Ordinary differential equation，简称ODE）描述一类函数在数学上的变化规律，是研究动力系统行为的重要工具，是应用数学中最重要的一部分。
常微分方程求解的方法有很多，其中最常用的是通解和特解两种方法。
一、常微分方程的通解通解的概念是指满足方程的所有解的集合，也就是说，通解是指某个微分方程所有解的总和。
一般来说，通解一定存在，即使方程不存在解，也可以定义出一个通解。
在求解常微分方程的通解时，首先要寻找方程的积分因子，若存在积分因子，可以用积分因子法求解，即把方程化简为恰当的积分形式，然后求解出积分，从而求得通解。
如果方程不存在积分因子，则可以采用其它的求解方法，比如齐次线性常微分方程的通解就可以用矩阵的特征值分解法求解，一般的非齐次常微分方程可以用解析法求解，或者采用数值法求解。
二、常微分方程的特解特解的概念是指满足方程的某一种解，也就是说，特解是指某个微分方程的某一个解。
特解往往是通解的一个子集，即特解是通解中的一个确定值，是通解的一种特例。
在求解常微分方程的特解时，首先要分析方程，找出方程的特征，然后根据特征分析方程，求出通解，最后用特定的条件，求出特解。
常见的特解有初值问题和边值问题，可以用数值法或者解析法求解。
三、通解和特解的区别通解和特解的区别主要在于：通解是指某个微分方程的所有解的总和，而特解是指某个微分方程的某一个解，即特解是通解中的一个确定值，是通解的一种特例。
四、通解和特解的应用通解和特解都是求解常微分方程的重要方法，它们的应用非常广泛，主要应用于物理、化学、力学、生物学等多个领域。
常微分方程的通解可以描述物理系统的全局行为，而特解可以描述物理系统的局部行为，在物理系统的研究中，这两种方法都有重要作用。
总结：常微分方程是应用数学中最重要的一部分，求解常微分方程的方法有很多，其中最常用的是通解和特解两种方法。
通解是指某个微分方程的所有解的总和，而特解是指某个微分方程的某一个解。
一阶常微分方程的奇解
摘要 (4)1.何谓奇解 (5)2.奇解的产生 (5)3.包络跟奇解的关系 (6)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7)4.1 克莱罗微分方程 (11)5.奇解的基本性质 (14)5.1 定理１ (14)5.2 定理２ (16)5.3 定理３ (16)6.小结 (17)参考文献： (17)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程)xF=0有一特解y,,(,y)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
议常微分方程奇解的定义
点 Ｐ ， 得 ｅ 与 Ｅ在这个 点 Ｐ 相切． 有这种性质的曲线 Ｅ叫做给定的 曲线族 的包络 （ 图 １ ． 使 口 具 如 ）
定 义 ２［ ｂ
定义 ２［５ ｃＩ ４
所谓 曲线族 的包 络是这样 一条 曲线 ， 这 曲线 上所 有 的各个 点 ， 与 曲线 族 中各 在 它
曲线族
ｙ＝ ０ 或 ｙ一 ｚ． 。 易证 Ｙ＝ ０ 是方程（ ） ｂ 的解． 直线 ｙ一 ０ 凹 轴 ， 是 它包含在积分 曲线族 （） ５ 中． 由定义 ２ ， ｃｙ＝ ０是
∞（ ｙ， ｚ， Ｃ）一 ０
不 同的 曲线相切 ， 就是说 ， 这 在这 曲线 上每 一点 ， 曲线与 曲线族 中通过这 点 的曲线有公 共切 线． 这
’
（） ２
的包 络是 指这样 的 曲线 ， 它本 身并不包 含在 曲线族 （ ）中 ， ２ 但过这 曲线 的每一点 ， 曲线族 （ ）中 的 有 ２
通常 教科书 对奇解 的定义 往往采 用两种 方式 ： 种是用 积分 曲线族 的包 络 （ 一 以下 简称 包 络 ） 定 义奇解 ； 一种是 用解 的唯一性被 破坏定 义奇解 ． 另 前者将 会 引起 混乱 ， 甚至导 致不相 容 的情 形 出现 ， 后者则 源 于微 分 方程本身 内容 ， 准确 而不会产 生歧义． 为了便 于讨论 ， 先将 第一种定 义写 出． 定义 １ ［ 方程
是 以坐标 轴 为对称 轴 ， 半轴 长分别 为√ ２与 １的椭 圆（ 如图 ２ ． ）
荽＋：ｌ ｖ ：
Ｚ 、 ＼
Ｙ ＞７
、
．
（－．） ０３
图 １ 曲 线族 的 包络 图
一
＝ ． ０９
（．，） ０８
＝ ，６ ０３
微分方程的奇解
微分方程的奇解
【原创版】
目录
1.微分方程与奇解的概念
2.奇解的性质
3.奇解的求解方法
4.奇解在实际问题中的应用
5.总结
正文
一、微分方程与奇解的概念
微分方程是一种数学模型，用来描述自然界和工程技术领域中的许多变化过程。
在微分方程中，奇解是指当自变量 x 取值为 0 时，因变量 y 的值为 0 的解。
也就是说，奇解是微分方程在原点附近的特殊解。
二、奇解的性质
奇解具有以下性质：
1.奇解是微分方程的解，满足微分方程的所有条件。
2.当自变量 x 取值为 0 时，因变量 y 的值为 0。
3.奇解的函数图像过原点 (0,0)。
三、奇解的求解方法
求解微分方程的奇解，通常采用以下方法：
1.常数变易法：假设奇解为 y=C，其中 C 为常数，然后代入微分方程求解。
2.变量代换法：引入一个新的变量，将原微分方程转化为关于新变量
的微分方程，然后求解新变量的奇解。
3.反演法：通过求解微分方程的反问题，得到原问题的奇解。
四、奇解在实际问题中的应用
奇解在许多实际问题中都有重要的应用，例如：
1.在物理学中，奇解可以用来描述自由落体运动的初始状态。
2.在生物学中，奇解可以用来描述生物种群的数量模型。
3.在经济学中，奇解可以用来描述经济系统的初始条件。
五、总结
微分方程的奇解是一种特殊的解，具有重要的性质和应用。
常微分方程的奇解的求法
2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解，判别式，包络线。
1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。
那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。
方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
微分方程的奇解定义
微分方程的奇解定义英文回答：In the theory of differential equations, a singular solution is a solution to a differential equation that does not satisfy the initial conditions of the equation. In other words, a singular solution is a solution that is not continuous at the initial point.Singular solutions can occur for a variety of reasons. One reason is that the differential equation may have a singularity at the initial point. A singularity is a point where the equation is not defined. For example, the differential equation.y' = 1/y.has a singularity at y = 0.Another reason why singular solutions can occur is thatthe initial conditions may not be consistent with the differential equation. For example, the differential equation.y' = y.has the general solution.y = Ce^x.where C is an arbitrary constant. However, if the initial condition is y(0) = 1, then the solution is.y = e^x.which is not a singular solution.Singular solutions can be important in applications. For example, in the study of fluid dynamics, singular solutions can be used to model shock waves.中文回答：微分方程的奇解是指不满足微分方程给定初值的解。
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。
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常微分方程奇异解
常微分方程的奇异解是一种非通解的特殊解，通常在有限奇点附近定义。
奇异解不满足一般积分形式的解法，且具有特殊的性质。
奇异解的性质：
1.奇异解的存在性不是由初始条件唯一确定的，需要额外的信息。
2.奇异解通过常微分方程的解析解法无法得到。
3.奇异解的存在使得常微分方程的解不唯一，解的数量可以大于初始条件的数量。
4.奇异解的存在使得直接数值求解常微分方程变得更加困难。
5.奇异解的存在与常微分方程的物理意义和几何结构有密切关系。
奇异解的例子包括：对于y'' + y/x = 0，解为y = c_1 x ln(x) + c_2 x，且c_2可以取为任意实数，因此解的数量可以大于初始条件的数量。
对于y'' + 4y/x^2 = 0，解为y = c_1 x^2 + c_2 x^(-2)，且c_2可以取为任意实数，因此也存在奇异解。