高中一年级上学期数学知识点总结(含答案)
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高一上学期数学知识点归纳
新人教版高中数学知识点总结 高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，*或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或)AB⊇A中的任一元素都属于B(1)A⊆A(2)A∅⊆(3)若BA⊆且B C⊆，则A C⊆(4)若BA⊆且B A⊆，则A B=A(B)或B A N N N+Z QRa M a M∈a M∉x x x∅真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A）B A ⊆，且B中至少有一元素不属于A （1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C≠⊂集合相等A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆A （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A= （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ 并集{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A= （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ 补集(1)∅=⋂A C AU (2)UA C AU =⋃【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x x a <-或}x a >A (1)n n ≥2n 21n -21n -22n -把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法〖〗函数及其表示（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法A B f A x B ()f x A B A B f A B :f A B →①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．,a b a b <a x b ≤≤x [,]a b a x b <<x (,)a b a x b ≤<a x b <≤x [,)a b (,]a b ,,,x a x a x b x b ≥>≤<x [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞{|}x a x b <<(,)a b a b a b <()f x ()f x ()f x tan y x =()2x k k Z ππ≠+∈()f x ()f x [,]a b [()]f g x ()a g x b ≤≤（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念()y f x =y x 2()()()0a y x b y x c y ++=()0a y ≠,x y 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．〖〗函数的基本性质（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．A B f A B A B A B f A B :f A B →A B ,a A b B ∈∈a b b a a byxo③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．（2）打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法[()]y f g x =()u g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()(0)af x x ax=+>()fx (,-∞)+∞[()y f x =I M x I ∈()f x M ≤0x I ∈0()f x M =M ()f x max ()f x M =()y f x =I m x I ∈()f x m ≥0x I ∈0()f x m =m ()f x max ()f x m =如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则．③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图()f x 0x =(0)0f =y y对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图第二章基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的是偶数时，正数的正的次方次方根用符号的次方根是0；负数没有次方根．叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当；当为偶数时，．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①,,,1n x a a R x R n =∈∈>n N+∈x a n n a n n a n nn a n n a n a n 0a ≥n a =n a =n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩0,,,m na a m n N +=>∈1)n >1(0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈1)n >(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②③（4）指数函数〖〗对数函数（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．（2）几个重要的对数恒等式，，．()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈(0,1)x a N a a =>≠且x a N log a x N =a N log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>log 10a =log 1a a =log b a a b =（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．（4）对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：（5）对数函数(6)反函数的概念lg N 10log N ln N log e N 2.71828e =0,1,0,0a a M N >≠>>log log log ()a a a M N MN +=log log log a a a MM N N-=log log ()n a a n M M n R =∈log a N a N =log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分()y f x =A C ()y f x =x ()x y ϕ=y C ()x y ϕ=x A ()x y ϕ=x y ()x y ϕ=()y f x =1()x f y -=1()y f x -=()y f x =1()x f y -=1()x f y -=1()y f x -=()y f x =1()y f x -=y x =()y f x =1()y f x -=(,)P a b ()y f x ='(,)P b a 1()y f x -=()y f x =y x α=x αy布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．(0,)+∞(1,1)0α>[0,)+∞0α<(0,)+∞x y ααqpα=,p q p q Z ∈p q qp y x =p q qp y x =p q q py x =,(0,)y x x α=∈+∞1α>01x <<y x =1x >y x =1α<01x <<y x =1x >y x =2()(0)f x ax bx c a =++≠2()()(0)f x a x h k a =-+≠12()()()(0)f x a x x x x a =--≠③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．③二次函数当时，图象与轴有两个交点（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号．①k＜x 1≤x 2x ()f x 2()(0)f x ax bx c a =++≠,2bx a=-24(,24b ac b a a--0a >(,2ba-∞-[,)2b a -+∞2b x a=-2min 4()4ac b f x a -=0a <(,]2ba -∞-[,)2b a -+∞2bx a=-2max 4()4ac b f x a -=2()(0)f x ax bx c a =++≠240b ac ∆=->x 11221212(,0),(,0),||||M x M x MM x x =-20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠12,x x 12x x ≤2()f x ax bx c =++a 2bx a=-∆⇔②x1≤x2＜k③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．（Ⅰ）当时（开口向上）①若，则②若，则③若，则x叫做函数))((Dxxfy∈=的零点。
数学高一上期中知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．(0分)[ID ：11800]设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．(0分)[ID ：11779]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．(0分)[ID ：11778]对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,76．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃7．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z9．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}10．(0分)[ID ：11793]设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,411．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 12．(0分)[ID ：11771]函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞13．(0分)[ID ：11769]函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：11735]设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>bD ．b>c>a15．(0分)[ID ：11768]已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>二、填空题16．(0分)[ID ：11913]某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 17．(0分)[ID ：11899]已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．18．(0分)[ID ：11898]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.19．(0分)[ID ：11897]己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.20．(0分)[ID ：11892]若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________21．(0分)[ID ：11876]函数y =lg (x +1)+12−x 的定义域为___．22．(0分)[ID ：11846]已知312ab += 3a b a=__________. 23．(0分)[ID ：11844]有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.24．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ． 25．(0分)[ID ：11836]已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题26．(0分)[ID ：11995]已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．27．(0分)[ID ：11985]2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.28．(0分)[ID ：11969]2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？29．(0分)[ID ：11968]已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.30．(0分)[ID ：11944]已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．D 13．C 14．A 15．B二、填空题16．1120【解析】【分析】明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式结合y＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x元之间的解析式y∵y＝17．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内18．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为19．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）结合解析式求出f（）的值又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据20．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填21．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域22．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力23．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系24．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题25．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.10．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．11．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a b b aa b a b >>>；故选D. 12．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.13．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.15．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题16．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝ 解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．17．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内18．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 19．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数， 则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．20．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．21．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：(−1,2)∪(2,+∞)【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则{x +1>012−x≠0，解得x >−1且x ≠2，所以函数的定义域为：(−1,2)∪(2,+∞)， 故答案是：(−1,2)∪(2,+∞). 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.22．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】 由题意可得：1321229333333a b a b aa b a+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.24．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题25．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题 26．（1）(2,3]；（2）2log (1x =． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质．27．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象28．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩(2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.29．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.30．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<． 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
高一上册数学知识点归纳
高一上册数学知识点归纳1.高一上册数学知识点归纳篇一集合元素的性质1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。
3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。
如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。
互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
4.无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。
5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。
集合A={x|x2.高一上册数学知识点归纳篇二空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)3.高一上册数学知识点归纳篇三方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
高一数学必修一知识点和检测题(含答案)
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版引言高一上册数学是高中数学学习的基础阶段，涵盖了代数、几何、函数等多个方面的知识点。
本文将对这些知识点进行详细总结，帮助学生更好地掌握和应用这些知识。
第一章：集合与函数1. 集合的概念集合的定义与表示方法：集合是指某些确定的、不同的对象的全体。
常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的基本运算（并集、交集、补集）：并集是指两个集合中所有元素的集合，交集是指两个集合中共有元素的集合，补集是指全集中不属于某集合的元素的集合。
子集与全集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集。
全集是指包含所有讨论对象的集合。
2. 函数的概念函数的定义与表示方法：函数是指两个集合之间的一种对应关系，其中每个元素在第一个集合中都有唯一的元素与之对应。
常用符号f(x)表示函数。
函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）：单调性指函数在某区间内是否保持递增或递减，奇偶性指函数是否关于原点对称或关于y轴对称，周期性指函数是否存在一个周期使得函数值重复出现。
反函数与复合函数：反函数是指将原函数的自变量与因变量互换得到的新函数，复合函数是指两个函数的组合。
第二章：基本初等函数1. 一次函数一次函数的定义与图像：一次函数是指形如y=ax+b的函数，其图像是一条直线。
一次函数的性质与应用：一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b 决定了直线与y轴的交点。
一次函数广泛应用于实际问题的建模与求解。
2. 二次函数二次函数的定义与图像：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其图像是一条抛物线。
二次函数的性质（顶点、对称轴、开口方向）：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，对称轴是通过顶点的垂直线，开口方向由系数a的正负决定。
二次函数的应用：二次函数在物理、经济等领域有广泛应用，如抛物运动、利润最大化等问题。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义与性质：指数函数是指形如y=a^x的函数，其图像呈指数增长或衰减。
高一上学期数学知识点总结(含答案)
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2
b
xx
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如解关于x的不等式：01)1(2<++?xaax。（答：当0a=时，1x>；当0a<时，1x>或1
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高一上学期
一上学期一上学期
一上学期数学知识
数学知识数学知识
数学知识概念方法题型易误点技巧总结
概念方法题型易误点技巧总结概念方法题型易误点技巧总结
概念方法题型易误点技巧总结
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集合与集合与
集合与命题
?中，若90C∠≠o，则,AB∠∠不都是锐角）；（
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8.充要条件
充要条件充要条件
充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成
2,
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. 不等式大小比较的常用方法
不等式大小比较的常用方法不等式大小比较的常用方法
不等式大小比较的常用方法：
高一数学上册知识点归纳总结
高一数学上册知识点归纳总结一、集合与函数在高一数学上册中，集合与函数是一个重要的知识点。
首先，我们需要了解集合的概念。
集合是指具有某种特定性质的事物所构成的整体。
例如，整数集合就包括所有的整数，而大写字母集合则包括所有的大写字母。
在集合的表示中，常用的方法有描述法和列举法。
描述法是指通过一定条件来描述集合中的元素，例如正整数集合可以表示为{ x | x > 0 }；列举法则是逐个列举集合中的元素，例如素数集合可以表示为{2, 3, 5, 7, 11, ...}。
除了集合的表示方法，我们还需要了解集合的运算。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的元素合并在一起，交集是指两个集合中共同的元素，差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素，补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素。
另外，函数也是高一数学上册中的重要内容。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素建立对应关系。
函数有定义域、值域和对应法则等概念，我们可以通过函数图像来表示函数的特点和性质。
二、直线与圆直线与圆也是高一数学上册中需要重点掌握的知识点。
直线是两个不同点之间的最短路径，它可以延伸无限远。
在直线上，我们常常需要了解的概念有斜率、截距和方程等。
斜率是直线的一个重要性质，它表示直线上两个不同点的纵坐标差与横坐标差的比值。
通过斜率，我们可以判断直线的倾斜方向和程度。
截距是指直线与坐标轴的交点，可以分为 x 轴截距和 y 轴截距。
当我们将直线延伸成为一个闭合的曲线时，就得到了圆。
圆是由平面上距离一个点相等的所有点组成的集合。
在圆的研究中，我们需要了解的概念有半径、直径和周长等。
三、不等式与函数图像不等式与函数图像是高一数学上册中需要掌握的重要知识。
不等式是用来描述变量之间大小关系的表达式。
例如，x > 3 表示 x大于 3；x ≤ 5 表示 x 小于等于 5。
在解不等式时，我们常用到的方法有图像法和代入法。
(word完整版)高中一年级数学必修1知识点总结,文档
.WORD 格式 .资料.高中高一数学必修1 各章知识点总结第一章会集与函数看法一、会集相关看法1、会集的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个会集，其中每一个对象叫元素2、会集的中元素的三个特点：1.元素确实定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)关于一个给定的会集，会集中的元素是确定的，任何一个对象也许是也许不是这个给定的会集的元素。
(2)任何一个给定的会集中，任何两个元素都是不同样的对象，同样的对象归入一个会集时，仅算一个元素。
(3)会集中的元素是同样的，没有先后序次，因此判断两个会集可否同样，仅需比较它们的元素可否同样，不需观察排列序次可否同样。
(4 会集元素的三个特点使会集自己拥有了确定性和整体性。
3、会集的表示：{ }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示会集：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．会集的表示方法：列举法与描述法。
.WORD 格式 .资料.注意啊：常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集 R关于“属于〞的看法会集的元素平时用小写的拉丁字母表示如，：a 是会集A 的元素，就说a 属于会集A 记作 a∈A ，相反，a 不属于会集 A 记作 a?A列举法：把会集中的元素一一列举出来，尔后用一个大括号括上。
描述法：将会集中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示会集的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个会集的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、会集的分类：1．有限集含有有限个元素的会集2．无量集含有无量个元素的会集3．空集不含任何元素的会集例：{x|x2=－5｝二、会集间的根本关系1.包“含〞关系—子集.WORD 格式 .资料.注意：有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A与 B 是同一会集。
高中一年级数学必修一知识点总结
高中一年级数学必修一知识点总结高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
u注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法：{a,b,c (2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{xÎR|x-3>2},{x|x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
AÍA②真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AÍB,BÍC,那么AÍC④如果AÍB同时BÍA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。
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高一年级上册数学知识点归纳总结
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高一数学上册全册知识点
高一数学上册全册知识点一、集合与函数1. 集合的基本概念集合的定义、元素、空集、全集、子集、包含关系、并集、交集、差集等基本概念。
2. 集合的表示与运算列举法、描述法、集合的相等、集合的运算法则，包括交、并、差等运算。
3. 函数的概念与性质函数的定义、自变量、因变量、函数图象、函数的相等、函数的值域、函数的奇偶性等性质。
4. 实数集与实数运算有理数与无理数的概念，实数集合的性质、实数运算法则等内容。
二、数列与数列的极限1. 数列的概念与表示数列的定义、数列的通项公式、数列的前n项和等基本概念。
2. 等差数列等差数列的概念、等差数列的通项公式、求等差数列的和等内容。
3. 等比数列等比数列的概念、等比数列的通项公式、求等比数列的和等内容。
4. 数列极限的概念与性质数列极限的定义、数列上极限和下极限的性质、数列极限的判定方法等内容。
三、函数的基本性质1. 函数的单调性与存在性单调函数的定义、单调递增函数和单调递减函数的判定方法，存在性定理等内容。
2. 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性的判断方法，函数的周期性的概念和刻画方法等内容。
3. 函数的反函数反函数的概念、反函数与原函数的关系、反函数的定义域和值域等内容。
四、三角函数与解三角形1. 三角函数的概念与性质三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等概念和性质。
2. 三角函数的图像与周期正弦函数、余弦函数、正切函数等的图像、周期、定义域等内容。
3. 三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数、正切函数等之间的基本关系式。
4. 解三角形的基本方法利用正弦定理、余弦定理、正切定理等解三角形的基本方法。
五、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与运算平面向量的定义、向量的模、向量的加减、数量积、向量的单位向量等内容。
2. 平面向量的数量积向量的数量积的定义、数量积的性质、数量积的几何意义等内容。
3. 平面几何中的直线与圆直线的一般式与截距式、两直线的关系、圆的方程、切线与法线等内容。
高一上册数学全册知识点
高一上册数学全册知识点一、函数与方程在高一上册数学中，函数与方程是一个重要的知识点。
函数是自变量与因变量之间的关系，可以用来描述各种变化规律。
方程则是关系等式，可以通过求解得到未知数的值。
1. 函数的定义与性质函数的定义：对于集合A和B，如果双射关系f使得对于A中的每个元素x，都存在一个唯一的元素y使得（x，y）∈f，则称f 为A到B的函数。
函数的性质：- 定义域、值域和原像：函数的定义域是指所有可能输入的值的集合，在函数中有相应输出的这些值构成了函数的值域。
原像则是指函数输出对应的输入值。
- 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种，根据函数图像的上升或下降趋势来判断。
- 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的定义式来判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
- 周期性：如果存在常数T使得对于函数f任意x有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
2. 方程的解法方程是数学中的等式，可以通过解方程得到未知数的值。
解方程的方法有很多，包括：- 直接解法：将方程两边进行运算，将未知数的项移至一边，最后得到未知数的值。
- 因式分解法：将方程进行因式分解，然后设置每个因式为零，解得未知数的值。
- 二次方程的解法：对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a求得解。
- 分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、约分等方法将方程化为一般形式，然后进行解法。
二、数列与数学归纳法数列是数学中一组有序的数的集合，数列中的每一项都有特定的位置。
数学归纳法是一种证明方法，用于证明数列或命题在自然数中的全体成立。
1. 等差数列与等差数列求和公式等差数列是每一项与前一项之差相等的数列，可以用通项公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其前n项和Sn=n/2[a1+an]，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
高一数学上册知识点归纳
高一数学上册知识点归纳偶尔会抱怨为什么自己没天赋，又或者因为别人能轻易做到自己做不到的事而不平衡。
但是我们自己一点一点抓住的东西，比什么都来得真实。
用时间换天份，用坚持换机遇，我走得很慢，但我绝不回头。
下面是小编给大家带来的高一数学上册知识点归纳，希望大家能够喜欢!高一数学上册知识点归纳1向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为的向量.单位向量：长度等于个单位的向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。
最新最全高一上学期数学知识点总结(含答案)(精华)
高一上学期数学知识 概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1. 集合元素具有 确定性、 无序性和互异性 . 在求有关集合问题时， 尤其要注意元素的互 异性 ，如（ 1）设 P 、 Q 为两个非空实数集合，定义集合 ，若 P Q { a b | a P, b Q} P S {0, 2, 5}， Q { 1,2,6} ，则 P Q 中元素的有 个。
（答： 8 ）（ 2 ）非空集合 a S ，则 6 a S ”，这样的 S 共有 个（答： 7）{1,2,3,4,5} ，且满足“若 A B A A B 。
2. 遇到 时，你是否注意到“ 的情形？要注意到 极端 ”情况： A 或 B ；同样当 时，你是否忘记 是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集 x | x 2 如 集合 A { x | ax 1 0} ， B 3x 2 0 ，且 A B B ，则实数 a ＝ . 10,1, ）（答： a 2 3.对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 n n 2 ，2 n 1， 2 n 2 {1,2} M {1,2,3,4,5} 集合 依次为 1， 2. 如 满足 M 有 个。
（答： 7）4.集合的运算性质： A ；⑶ A B ⑴ A B u A A B A ； B ； ⑸ e u A ⑵ A B B B 痧u A C U A (C U A) u B ； ⑷ A 痧u B C U B ；⑺ C U ( A B U A B ； ⑹ C U ( A B) { 2} ， B) C U A C U B . 如 设全集 U {1,2,3,4,5} ，若 A B (C U A) (C U B) {1,5} B { 4} ， ，则 A ＝ ， B ＝ . （答： A {2,3} ，B {2,4} ）5. 研究集合问题， 一定要 理解集合的意义――抓住集合的代表元素 。
如： x | y f x —函数的定义域； y | y f x —函数的值域； (x, y) | y f x —函数图象上的点集， y | y x 2 , x M { x | y ) ）；x 2} M M N 如设集合 ，集合 N ＝ ，则 _ _ （答： [4, 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体 计算时不要忘了集合本身 和空集 这两种特殊情况， 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
高中一年级上学期数学知识点总结(含答案)
高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时, 尤其要注意元素的互异性,如〔1〕设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P Q {a b|a P,b Q},假设P {0,2,5} , Q {1,2©,那么P Q中元素的有个.〔答：8〕〔2〕非空集合S {1,2,345},且满足“假设a S,那么6 a S〞,这样的S共有个〔答：7〕2.遇到AI B 时,你是否注意到“极端〞情况：A 或B ;同样当A B 时,你是否忘记A 的情形？要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 . 如集合A {x|ax 1 0} , B x|x23x 2 0,且AUB B ,那么实数a =.“ 1〔答：a 0,1,-〕23.对于含有n个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n, 2n 1, 2n 1, 2n 2.如满足{1,2} M {1,2,3,4,5}集合M 有个.〔答:7〕4.集合的运算性质：⑴AUB A B A；⑵AI B B B A；⑶A B 忸u B；〔4〕 AI 随u A B ；⑸ e u AUB U AB；⑹C U〔AI B〕C U AUC U B；⑺C U〔AU B〕 C U AI C U B.如设全集U {1,2,3,4,5},假设A B {2}, 〔C U A〕 B {4}, 〔C U A〕〔C U B〕 {1,5},那么人=, B=.〔答：A {2,3}, B {2,4}〕5.研究集合问题,一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素.如：x|y f x一函数的定义域；y | y f x —函数的值域；〔x, y〕|y f x —函数图象上的点集,如设集合M {x| y J x 2},集合N= y | y x2,x M ,那么M I N _ 〔答：［4,〕〕;6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题. 如关于x的不等式当3 0的解集为M ,假设3 M且5 M求实数a的取值范围. x a5 〔答：a 1,— U 9,25 〕37.四种命题及其相互关系.假设原命题是“假设p那么q〞,那么逆命题为“假设q那么p" ；否命题为“假设p那么q" ；逆否命题为“假设q那么6〞.提醒：〔1〕互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；〔2〕在写出一个含有“或〞、“且〞命题的否命题时,要注意“非或即且, 非且即或" ；〔3〕要注意区别“否命题〞与“命题的否认〞：否命题要对命题的条件和结论都否认,而命题的否认仅对命题的结论否认；〔4〕对于条件或结论是不等关系或否认式的命题,一般利用等价关系“ ABB A〞判断其真假,这也是反证法的理论依据. 〔5〕哪些命题宜用反证法？如〔1〕“在△ ABC中,假设/ C=9C°,那么/ A、/ B都是锐角〞的否命题为〔答：在ABC中,假设C 90°,那么A, B不都是锐角〕；〔2〕函数f〔x〕 a x左上,a 1,证实方程f〔x〕 0没有负数根.x 18.充要条件.关键是分清条件和结论〔划主谓宾〕,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件,那么条件是结论成立的必要条件.从集合角度解释,假设A B,那么A是B的充分条件；假设B A,那么A是B的必要条件；假设A=B那么A是B的充要条件.如设命题p：|4x 3| 1;命题q：x2〔2a 1〕x a〔a 1〕 0.假设8是4的必1要而不充分的条件,那么实数a的取值范围是〔答：［0 —］〕'21.不等式的性质：〔1〕同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设a b,c d ,那么a c b d 〔假设a b, c d,那么a cb d〕,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;c 1〔3〕a b c,且a b c Q那么一的取值氾围是〔答：2, 一〕a 22.不等式大小比拟的常用方法：〔1〕作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；〔2〕作商〔常用于分数指数哥的代数式〕；〔3〕分析法；〔4〕平方法；〔5〕分子〔或分母〕有理化；〔6〕利用函数的单调性；〔7〕寻找中间量或放缩法；〔8〕图象法.其中比拟法〔作差、作商〕是最根本的方法.1 _ 2如设a 2, p a --------------- , q 2 ,试比拟p, q的大小〔答：p q〕a 23.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b b b 的形式,右a 0,那么x —；右a 0,那么x —；右a 0,那么当b 0时,x R；当b 0 a a1、时,x .如关于x的不等式〔a b〕x 〔2a 3b〕 0的解集为〔,一〕,那么关于x3的不等式〔a 3b〕x 〔b 2a〕 0的解集为〔答：｛x|x 3｝〕4. 一元二次不等式的解集〔联系图象〕.尤其当0和0时的解集你会正确表2布吗？设a 0, x1,x2是万程ax bx c 0的两实根,且x〔x?,那么其解集如下表：2 , 八ax bx c 0 2 , cax bx c 0 2 , 八ax bx c 02 , 八ax bx c 00{x|x x1或x x2}{x|x x1或x x2}{x| x1 x x2}{x | x1 x x2}0r 1 b 1{x|x ——}2a R r 1 b 1{x|x —} 2a〔2〕左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相除,但不能相乘：假设a b 0,c d 0,那么ac bd 〔假设a b〔3〕左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方1 1〔4〕右ab 0 , a b,那么一一；假设ab a b 如〔1〕对于实数a,b,c中,给出以下命题：b 0,那么0, b,b,贝1Jac2bc2；②假设ac2bc2,那么a 0,那么a2 ab0,那么- a b 0,那么1r ；ba⑤假设a题是_____ 〔2〕c a〔答：②③⑥⑦⑧〕1 x y 1 , 1b 0,那么ba」.1⑧右a b,- aa 泰—；⑥b1i一,那么假设a b 0,那么a0,b 0.其中正确的命3,那么3x y的取值范围是〔答：1,7 〕如解关于x 的不等式：ax 2 〔a 1〕x 1 0.〔答：当a 0时,x 1；当a 0时, 一、 1 … 1 … …… …1x 1 或x—；当0 a 1 时,1 x —；当a 1 时,x ；当2 1 时,一x 1〕a aa5.对于方程ax 2 bx c 0有实数解的问题.首先要讨论最高次项系数 a 是否为0, 其次假设a 0,那么一定有b 2 4ac 0.对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形？如：〔1〕 a 2 x 2 2 a 2 x 1 0对一切x R恒成立,那么a 的取值范围是 〔答：〔1,2］〕； 〔2〕关于x 的方程f 〔x 〕 k 有解的条件是什么？〔答：k D ,其中D 为f 〔x 〕的值域〕、f 〔k 〕 0〕.根的分布理论成立n0有实数解的情况,可先利用在开区 如f 〔x 〕 4x 2 2〔p 2〕x 2 p 2 p 1在区间［1,1］上至少存在一个实数c ,使3f 〔c 〕 0,求实数p 的取值范围.〔答：〔3, 〕〕27 .二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax 2 bx c 0的两个根即为二次不等式ax 2 bx c 0〔 0〕的解集的端点值,也是二次函数 y ax 2 bx c 的图象与x 轴的交点的横坐标.如〔1〕不等式Vx ax 3的解集是〔4, b 〕,2―“12 -那么a = 〔答：—〕；〔2〕右关于x 的不等式ax bx c 0的解集为 8 〔,m 〕 〔n,〕,其中m n 0,那么关于x 的不等式cx 2 bx a 0的解集为― 11^一 2〔答：〔,一〕〔一,〕〕；〔3〕不等式 3x 2bx 1 0对 x ［ 1,2］恒成立,那么 m n 实数b 的取值范围是 〔答： 〕.8 .简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是：〔1〕分解成假设干个一次因式 的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；〔 2〕将每一个一次因式的根标在数轴上, 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线； 并注意奇穿过偶弹回；〔3〕根据曲线显现f 〔x 〕 的符号变化规律,写出不等式的解集. 如：〔1〕解不等式〔x 1〕〔x 2〕2 0.〔答：1, U 2 〕〔2〕不等式〔x 2〕Jx 2 2x 3 0的解集是 〔答：3, U 1 〕〔3〕设函数f 〔x 〕、g 〔x 〕的定义域都是 R,且f 〔x 〕 0的解集为{x|1 x 2}, g 〔x 〕 0 的解集为,那么不等式f 〔x 〕gg 〔x 〕 0的解集为 〔答：,1 U 2,〕〔4〕要使满足关于x 的不等式2x 2 9x a 0 〔解集非空〕的每一个 x 的值至少满足不81等式x 2 4x 3 0和x 2 6x 8 0中的一个,那么实数a 的取值范围是.〔答：7,一 〕80,再通分并将6. 一元二次方程根的分布理论.方程 根、在〔m,n 〕上有两根、在〔,k 〕和〔k,f 〔x 〕 ax 2 bx c 0〔a 0〕在〔k,〕上各有一根的充要条件分别是什么？〕上有两x n 和x m 检查端点的情况.9.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为间〔m,n 〕上实根分布的情况,得出结果,再令分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母. ,- ,,,5 x,,_ _如：〔1〕解不等式T ---------1〔答：1,1 U 2,3 〕x 2x 3〔2〕关于x 的不等式ax b 0的解集为〔1,〕,求关于x 的不等式^x —b 0的解集 x 2〔答：,1 U 2,〕10.绝对值不等式的解法：3 1 .〔1〕分段讨论〔最后结果应取各段的并集〕 ：如解不等式| 2 -x| 2 |x — |〔答：R 〕4 2〔2〕利用绝对值的定义；〔3〕数形结合；如解不等式|x| |x 1| 3 〔答： ,1 U 2, 〕 〔4〕两边平方：如假设不等式|3x 2| |2x a|对任意x R 恒成立,那么实数a 的取值范围.11 .含参不等式的解法： 求解的通法是“定义域为前提, 函数增减性为根底,分类讨论 是关键. 〞注意解完之后要写上：“综上,原不等式的解集是…".注意：按参数讨论,最 后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论,最后应求并集 .〔见4中例题〕12 .含绝对值不等式的性质：|a b| |a| |b| ||a| |b|| |a b|;|a b| |a| |b| ||a| |b|| |a b|.13,实数a 满足|x a| 1 ,求证：| f(x)13 .利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到：“一正二定三相等,和定积最大, 积定和最小〞这17字方针. 如：〔1〕以下命题中正确的选项是1 x23 ,A. y x -的最小值是 2B. y । 的取小值是 2x 、x 2 2C y 2 3x 4〔x 0〕的最大值是2 4点D. y 2 3x 4 〔x 0〕的最小值是2 4如 x x 〔2〕假设x 2y 1 ,那么2x 4y 的最小值是 〔答：2衣〕〔3〕正数x, y 满足x 2y 1,那么1 1的最小值为 ____________ 〔答：3 2J2 〕_x_y 14.常用不等式 有：〔1〕 屉一心 a-^ Vab -2—〔当且仅当a b c 时,2211 a b取等号〕,根据目标不等式左右的结构选用； ⑵a 、b 、c R, a 2 b 2 c 2 ab bc ca 〔当且仅当a b c 时,取等号〕；〔3〕假设a b 0,m 0 ,那么b -b-^ 〔糖水的浓 a a m 度问题〕.如果正数a 、b 满足ab a b 3,那么ab 的取值范围是 〔答：9,〕15 .证实不等式的方法：比拟法、分析法、综合法和放缩法〔比拟法的步骤是：作差〔商〕 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.1 1 11 1 11 常用的放缩技巧有：-—1——Y 一1一1n n 1 n 〔n 1〕nn 〔n 1〕 n 1 na 、b 同号或有0 a 、b 异号或有0 如设 f 〔x 〕 x 2xf(a)| 2(|a| 1)__ _111_ __ k 1 . k _ __ k 、,k 1,k 1 . k 2. k, k1 、k如(1) a b c,求证：a 2b b 2c c 2aab 2 bc 2 ca 2 ； (2)a,b,c R,求证：a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 abc(ab c )；1 1x v(3) a, b,x, y R ,且—一,x y,求证： ---------------------- ;a b x a y b(4)假设 n N * ,求证：J(n 1)2 1 (n 1) " 1 n ； (5) | a | |b |,求证：1a | 1b | 1a | 1b | ；|a b| |a b|16 .不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？ (常应用函数方程思想和 “别离变量法〞转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利 用数形结合法)(1)恒成立问题假设不等式f x A 在区间D 上恒成立,那么等价于在区间 D 上f x min A 假设不等式f xB 在区间D 上恒成立,那么等价于在区间 D 上f x Bmax如(1)不等式x 4 x 3 a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围(2)假设不等式2x 1 m(x 2 1)对满足m 2的所有m 都成立,那么x 的取值范围 (3)假设不等式x 2 2mx 2m 1 0^^0 x 1的所有实数x 都成立,求m 的取值范围.(2)能成立问题假设在区间D 上存在实数x 使不等式f x A 成立,那么等价于在区间D 上假设在区间D 上存在实数x 使不等式f x B 成立,那么等价于在区间D 上的不等式x 4 x 3 a 在实数集R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范围一 (3)恰成立问题 假设不等式f x A 在区间D 上恰成立,那么等价于不等式f x A 的解集为D;假设不等式f x B 在区间D 上恰成立,那么等价于不等式f x B 的解集为D . 三、函数 1.函数的定义域 A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有 个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有任意个.如(1)函数f(x),x F, 那么集合{( x, y) | y f (x), x F} I {( x, y) | x 1}中所含元素的个数有 个(答：01或1)；(2)假设函数y -x 2 2x 4的定义域、值域都是闭区间[2,2b],那么b=(答： 22)2 .同一函数的概念.构成函数的三要素是定义域,值域和对应法那么.而值域可由定义域和对应法那么唯一确定,因此 当两个函数的定义域和对应法那么相同时,它们一定为同一函 数.如假设一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,那么称这些函数为“天一函 数〞,那么解析式为 y x 2,值域为｛4, 1｝的“天一函数〞共有 个(答：9)maxA;x min B .如3.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原那么)：(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零, 0次哥的底数不能x 4 x为零.如(1)函数y工------------- 厂的定义域是(答：(0,2) U (2,3) U(3,4) )；(2)假设x 3kx 7 (3)函数y 2kx /—的定义域为R,那么k (答:0,3 ); (3)函数f(x)的定kx 4kx 3 4义域是[a,b], b a 0,那么函数F(x) f(x) f( x)的定义域是 (答：[a, a])；(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围.(3)复合函数的定义域：假设f (x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a g(x) b解出即可；假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于当x [a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域). 如(1)假设函数y f (x)的定1义域为一,2,那么f(2x)的定义域为(答：x|<2 x 4 ) ；(2)假设函数22f(x 1)的定义域为[2,1),那么函数f(x)的定义域为 (答：[1,5] ) .4.求函数值域(最值)的方法：(1)配方法——二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看〞：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系), 如2(1)求函数y x 2x 5,x [ 1,2]的值域(答：[4,8] ) ；(2)当x (0,2]时,函数_ 2 1f(x) ax 4( a 1)x 3在x 2时取得最大值,那么a的取值范围是(答：a —)；2 特别说明：二次函数在区间m,n上最值的求法,一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内.b如果是选择、填空可以很快与答案：先看看——是否在m,n内,如果在的话,算三个数2ab .....................................................................................f(m)、f n、f( ——),三数中谁最大谁就是最大值,谁最小谁就是最小值.如果不在的2a话,只要算两个数f(m)、f n ,大的就最大值,小的就最小值.(2)换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 如(1)y 2x 1 J-的值域为(答:(3,))(令VT7 t, t 0.运用换元法时,要特别要注意新元t的范围)；(3)函数有界性法一一直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,(4)单调性法一一利用一次函数, 反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,,1 (80)如求y x 一(1 x 9)的值域为 (答：(0,1));x 9(5)判别式法一一对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解, 不必拘泥在判别式法上, 也可先通过局部分式后, 再利用均值不等式:①y —b¥型,可直接用不等式性质,如求yk x… bx ’ 入 .,,一〜②y 2----- 型,先化简,再用均值不等式,x mx n2④y x —侬 n 型,可用判别式法或均值不等式法, mx n(,3]U[1,))(6)不等式法一一利用根本不等式 a b 2后(a,b R )求函数的最值,其题型特 征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.提醒：(1)求函数的定义域、值域时,你 按要求写成集合形式 了吗？ ( 2)函数的最值与值域之间有何关系？5.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数, 它是一类较特殊的函数. 在求分段函数的值 f(x 0)时,一定首先要判 断x 0属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不 (1)待定系数法一一所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：22f (x) ax bx c ；顶点式：f(x) a(x m) n ；零点式：f (x) a(x x 1)(x x 2),要会根据条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式).且f (x 2) f( x 2),且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为 2*5,求f(x)的解析1 9式.(答：f (x) — x 2x 1 ) 2(2)代换(配凑)法 一一形如f(g(x))的表达式,求f (x)的表达式.如(1)假设 _ 1 2 1 2f(x -) x 下,那么函数 f(x 1) = (答：x 2x 3) ； (2)假设函数 f(x)是 x x 定义在R 上的奇函数,且当 x (0,)时,f(x) x(1 次),那么当x (,0)时,f(x)= (答：x(1 Vx)).这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性, 即f (x)的定义域应是g(x)的值域.(3)方程的思想一一条彳是含有 f(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组.如(1)3 … 3 一■丁的值域(答：(0,士])2 x2x 如(1)求y ——.的值域(答:1 x 21 x2 1 (,—]);(2)求函数y ----------------------- 的值域(答：[0,—])2 x3 22③y x 2 mx n 型,通常用判别式法；如函数y x mx n值域为1,9 ,求常数m, n 的值(答：m n 5)2mx 8xx 2 1口的定义域为R,2如求y —x 1 ,,, ,的值域(答:x 1同子集上各关系式的取值范围的并集f(x) 1的自变量x 的取值范围是f(x)6.1 (x 0),那么不等式x1 (x 0)求函数解析式的常用方法：(x 1) .(x 1) .如(1)设函数f (x) () ( ),那么使得 4 x 1.(x 1) (答：(,2] U [0,10] ) ;(2)_ _ _ ....... (3)(x 2) f(x 2) 5 的解集是(答：(,-]) 2如f (x)为二次函数,f(X)2f(X)" 2,求f(x)的解析式(答：Q) 3x 3)；⑵f(x)是1 x奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=,,那么f(x)= —(答:-^—- ) ox 1 x 17.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.(2)确定函数奇偶性的常用方法(假设所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性)：①定义法：如判断函数y Lx,Lf的奇偶性 (答：奇函数)..9 x2②利用函数奇偶性定义的等价形式： f (x) f( x) 0或包~#1 ( f(x) 0).如f(x)1 1判断f(x) x(^^ 」)的奇偶性___.(答：偶函数)2x 1 2 —③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性, 那么其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性,那么其单调性恰恰相反^②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数^③假设f(x)为偶函数,那么f( x) f (x) f (|x|).④假设奇函数f(x)定义域中含有0,那么必有f(0) 0.故f(0) 0是f(x)为奇函数的既a-2x a 2不充分也不必要条件. 如假设f(x) a 2x a 2为奇函数,那么实数a=(答：1).2 1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成“一个奇函数与一个偶函数f(x) f( x),的和(或差)".如设f(x)是定义域为R的任一函数, F(x)2 f(x) J( x).①判断F(x)与G(x)的奇偶性; ②假设将函数f(x) 10x 1,表G(x)示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,那么g(x) =(答：①F (x)为偶函数,G(x)_ ,、1为奇函数；②g(x) = -x)2⑥复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶那么偶,内奇同外〞.⑦既奇又偶函数有无穷多个( f (x) 0,定义域是关于原点对称的任意一个数集) .8.函数的单调性.(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解做题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号) 如函数一3f(x) x ax在区间[1,)上是增函数,那么a的取值范围是 (答：(0,3])；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等, 特别要注意y ax -(a 0xb 0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,j b nj b,),减区间为[J b,0),(0, J b].(例如函数y x 4递增区间,2,2, ；单调递减区间是• a । a x22,0 , 0,2 )如(1)假设函数f (x) x2 2(a 1)x 2在区间,4上是减函数,那么实数a的取值范围是(答：a 3)); (2)函数f(x) ax 1在区间2,x 2上为增函数,那么实数a的取值范围 (答：(1,));2③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,(2)特别提醒：求单调区间时,一是勿忘定义域, 如求函数f (x) J x24x 3的单调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ U〞和“或〞；三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示.(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比拟大小；②解不等式；③求参数范围).如奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,假设f(m 1) f (2m 1) 0,求1 2实数m的取值范围.(答：-m -)2 39.常见的图象变换①函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.如设f(x) 2x,g(x)的图像由f(x)的图像向左平移1个单位得到,那么g(x)为x 1 (答：g(x) 2 )②函数y f x a ((a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向右平移a个单位得到的.如(1)假设f(x 199) 4x2 4x 3,那么函数f(x)的最小值为(答：2)；(2)要得到y 2(3 x)的图像,只需作y 2x关于轴对称的图像,再向平移3个单位而得到(答：y;右)；特别提示：上面两种是左右平移,可以间记为“左加右减〞③函数y f x +a (a 0)的图象是把函数y f x助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数y f x + a (a 0)的图象是把函数y f x助图象沿y轴向下平移a个单b ........................... .......................................................位得到的；如将函数y ---------- a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图x a象如果与原图象关于直线y x对称,那么(A)a 1,b 0 (B)a 1,b R(C)a 1,b 0 (D)a 0,b R (答：C)特别提示：上面两种是上下平移,可以间记为“上加下减〞10.函数的对称性.a b①满足条件f x a f b x的函数的图象关于直线x --------------------------- 对称.如二次2函数f(x) ax2 bx(a 0)满足条件f (5 x) f(x 3)且方程f(x) x有等根,那么12 、f (x) =(答：^x x)；②点(x, y)关于y轴的对称点为(x, y)；函数y f x关于y轴的对称曲线方程为y f x ；③点(x, y)关于x轴的对称点为(x, y)；函数y f x关于x轴的对称曲线方程为y f x ；④点(x,y)关于原点的对称点为(x, y)；函数y f x关于原点的对称曲线方程为y f x ；⑤形如y ax」(c 0,ad bc)的图像是双曲线,其两渐近线分别直线x dcx d c(由分母为零确定)和直线y 旦(由分子、分母中x 的系数确定),对称中央是点(&,且). c c c 如函数图象C 与C:y(x a 1) ax a 2 1关于直线y x 对称,且图象C 关于点 (2, —3)对称,那么a 的值为 (答：2)⑥| f(x)|的图象先保存f(x)原来在x 轴上方的图象,作出x 轴下方的图象关于 x 轴的 对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保存f(x)在y 轴右方的图象, 擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到. 如假设函数f(x) 是定义在R 上的奇函数,那么函数 F(x) f (x) f(x)的图象关于 对称(答：y 轴) 提醒：(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法 转化为求点的对称问题；(2)证实函数图像的对称性,即证实图像上任一点关于对称中央(对称轴)的对称点仍在图像上；(3)证实图像C 1与C 2的对称性,需证两方面：①证实C 1的对称点仍在C 2上；②证实C 2上任意点关于对称中央(对 称轴)的对称点仍在 C 1上.11 .指数式、对数式：m m a n n/am, a " + , a 0 1a n12 .指数的大小比拟：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3) 利用中间量(0或1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比拟.13 .函数的应用.(1)求解数学应用题的一般步骤：①审题一一认真读题,确切理解 题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系； ②建模一一通过抽象概括,将实际 问题转化为相应的数学问题, 别忘了注上符合实际意义的定义域 ；③解模一一求解所得的 数学问题；④回归一一将所解得的数学Z 果,回归到实际问题中去.( 2)常见的函数模型 有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型； ③建立指数函数模型；④建立b 皿 y ax 一型. x14 .抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式, 只给出了其它一些条 件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的 常用方法是：(1)借鉴模型函数进行类比探究 .尤其是选择题中,你可以举一个特殊的函数例子满足这个抽象函数去验证就可以啦.几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型： f (x) kx(k 0) -------------------- f (x y) f (x) f(y);②哥函数型：f (x) x 2 ------------------- f (xy) f(x)f(y), f (-) -^ ；y f (y) ③指数函数型：f (x) a x ----------------- f (x y) f (x) f (y) , f (x (2)利用一些方法(如赋值法(令 x = 0或1,求出f (0)或f (1)、令y等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究 .如(1)假设x R, f(x)满足f(x y) f (x)f(y),那么f(x)的奇偶性是 (答：奇函数)；(2)假设x R, f(x)满足f (xy) f (x) f(y),那么f(x)的奇偶性是 (答：偶函数)； (3)设f(x)的定义域为R ,对任意 x,y R,都有 f(x) f (x) f(y),且 x 1 时,f(x) 0 ,又 f (1) 1,①求证 f(x) y2 为减函数；②解不等式 f(x) f (5 x) 2.(答：0,1 U 4,5 ) . 上任意点关于对称中央 (对称轴)5 f(y) y)。
高中一年级数学知识点总结
高中一年级数学知识点1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(aas)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(asa)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(sss)95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高一数学上册知识点
高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性 : 如： {a,b,c} 和{a,c,b} 是表示同一个集合3.集合的表示：{ , } 如： { 我校的篮球队员 } ， { 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 }用拉丁字母表示集合：A={ 我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举法：{a,b,c ,, }描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R |x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形 }Venn 图 :4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例： {x|x2= －5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1） A 是 B 的一部分，；（ 2） A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA2．“相等”关系： A=B (5≥ 5，且 5≤ 5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A(A②真子集 :如果 A(B, 且 A( B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB( 或 BA) ③如果 A(B, B(C , 那么A(C④如果 A(B 同时 B(A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n 个元素的集合，含有 2n 个子集， 2n-1 个真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题——一题多解&指数函数 y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、 b 属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、 b 属于 Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于 Q)指数函数对称规律：1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称& 对数函数y=loga^x注意：换底公式（，且；，且；）．幂函数 y=x^a(a 属于 R)1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（ 0， +∞）都有定义并且图象都过点（ 1， 1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
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高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。
（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）2.遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔ u u A B ⊇； ⑷u u A B A B =∅⇔⊆； ⑸u A B U A B =⇔⊆； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =_ _ （答：[4,)+∞）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ∉求实数a 的取值范围。
（答：(]519253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，） 7.四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。
8.充要条件。
关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。
如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。
若p 是q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2） 二、不等式1. 不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤ba ab b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：[]1,7）（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >） 3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b>的形式，若0a >,则b x a >；若0a <,则b x a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：如解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。
（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<） 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。
首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。
对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)6. 一元二次方程根的分布理论。
方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？ 0()0()02f m f n b m an ∆≥>><-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、()0f k <）。
根的分布理论成立（0()02f k b k a∆≥>->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。
（答：3(3,)2-） 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。
如（1）32ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为________（答：),1()1,(+∞---∞nm ）；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。
8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：[){}1,2+∞-） （2）不等式(0x -≥的解集是____（答：[){}3,1+∞-）（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：()[),12,-∞+∞）（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是.（答：817,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭） 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。