流体力学第四章量纲分析与相似理论

a a a y = Kx1a1 x2 2 x3 3 ...xn n
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
，
（3）写出量纲式：
(4) 以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲
[M ][L] [T ]
2
−3
= ([M ][L ] [T ] ) ([L ] [T ] ) ([L ]) c
−2 −2 a 3 −1 b
(5) 根据量纲和谐原理求量纲指数 [M]： 1 = a [L]: 2 = − 2 a + 3 b + c [T]: − 3 = − 2 a − b b c a 得 ： = 1 ， = 1 ， =1 (6) 整理得
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
比较同类物理量的大小 2、单位人为规定的度量物理量数值大小的标准,物理量的量的特征。 单位人为规定的度量物理量数值大小的标准,物理量的量的特征。 单位表示 有量纲的物理量其数值大小是不确定的，取决于选用的单位。 有量纲的物理量其数值大小是不确定的，取决于选用的单位。 100厘米 1米＝3尺＝100厘米
α ≠ 0, β ≠ 0,γ ≠ 0
如：
α = β =γ =0
[q] = [L0T 0 M 0 ] = [1]
则： 物理量q为无量纲量， 物理量q为无量纲量，也称为纯数
4.1.2 无量纲量
定义： 定义：物理量的所 有量纲指数为零
相同量纲量的比值或几个有量纲量通过乘除组合而成 无量纲量具有如下特点： 无量纲量具有如下特点： 1、客观性：无量纲，无单位。 、客观性：无量纲，无单位。 真正客观的方程式应是由无量纲项组成的方程式 2、不受运动规模的影响 、 规模大小不同的相似流动， 规模大小不同的相似流动，相应的无量纲数相同 3、可进行超越函数的运算 、 有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、 有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、 三角函数运算是没有意义的。 三角函数运算是没有意义的。
4.2 量纲分析法
量纲分析法是依据物理方程的量纲和谐原 理，充分了解流体运动的物理过程，找出这一 过程中的影响因素，假定一个未知的函数关系， 然后运用物理方程量纲一致性原则确定这个函 数关系。 瑞利法 量纲分析法 Π定理
1.瑞利法
应用步骤归纳
1、列出与物理现象有关的变量
f ( y, x 1 , x 2 , x3 ,..., xn ) = 0
•无量纲数也可以由几个有量纲的物理量组合而成
例如动能修正系数也是无量纲数
α=
∫
A
u 3dA
v3 A
物理量：分基本物理量和诱导物理量
基本物理量独立的判别条件： 基本物理量独立的判别条件： 设A、B、C为三个基本物理量
则 且
dim A = Lα1 M β1T γ 1 dim B = L M T
α2 β2 γ2
v = C RJ
谢才系数就是一个有量纲的系数，根据量纲和谐原理： 谢才系数就是一个有量纲的系数，根据量纲和谐原理：
[ L][T ] [C ] = 1 [ L]2
−1
[ L] = [T ]
1 2
应当注意，有些特定条件下的经验公式其量纲是不和谐的， 应当注意，有些特定条件下的经验公式其量纲是不和谐的，说明人们对客 观事物的认识还不够全面和充分，这时应根据量纲和谐原理，确定公式中 观事物的认识还不够全面和充分，这时应根据量纲和谐原理， 各项所应采用的单位，在应用这类公式时需特别注意采用所规定的单位。 各项所应采用的单位，在应用这类公式时需特别注意采用所规定的单位。
流 体 力 学
施永生 徐向荣 主编 张 英 副主编 夏四清 主 审
科学出版社 北京
第四章 量纲分析与相似理论
理论分析 描述流体运动的各种方程式
解决许多流体力学问题
由于流体运动及边界条件的复杂性， 由于流体运动及边界条件的复杂性，某些问题无法求解 某些极其复杂的流动， 某些极其复杂的流动，难于导出数学表达式
动 力 学 的 量
对于任意物理量q 其纲量可写作： 对于任意物理量q，其纲量可写作： 或
[q] = [LαT β M γ ] [q] = [LαT β F γ ]
α ≠ 0, β = 0,γ = 0
α , β , γ 称为量纲指数
则 q 为几何学的量 则 q 为运动学的量 则 q 为动力学的量
α ≠ 0, β ≠ 0,γ = 0
N = KγQH
[例] 求圆管层流的流量关系式。 例 [解] 圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲 解 分析的方法来讨论。 (1) 找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的 压强差 ∆p 、管段长l 、半径 r 0 、流体的粘度 µ 。根据经 验和已有实验资料的分析，得知流量 Q 与压强差 ∆p 成正 比，与管段长 l 成反比。因此，可将 ∆p 、l 归并为 项 ∆ p l ，得到： f (Q, ∆p l , r0 , µ ) = 0 (2)写出指数乘积关系式：
式中，每一项都是长度量纲［ ］，因而该方程是量纲和谐的。 ］，因而该方程是量纲和谐的 式中，每一项都是长度量纲［L］，因而该方程是量纲和谐的。 各项的单位无论是用米还是厘米 能量方程的形式均不变。 厘米， 各项的单位无论是用米还是厘米，能量方程的形式均不变。
•
任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单 任何表示客观物理规律的数学关系式， 位制变换而改变形式。 位制变换而改变形式。
利用量纲和谐原理，可以从一个侧面检验物理方程的正确性。 例如，不可压缩液体恒定总流的能量方程: 例如，不可压缩液体恒定总流的能量方程
2 p1 α1v12 p2 α 2 v2 z1 + + = z2 + + + hw ρ g 2g ρ g 2g
定性的理论分析和实验方法
量纲分析法是用于寻求一定物理过程中， 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规 律性联系的一种方法。它对于正确地分析、 律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理 过程是十分有益的。 过程是十分有益的。 两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。 两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。 本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论， 本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力 学试验研究有重要的指导意义。 学试验研究有重要的指导意义。
α2 α3 β2 β3 ≠ 0 γ2 γ3
为确保三个基本物理量的独立性， 为确保三个基本物理量的独立性，选择 三个基本物理量时必须保证包含： 三个基本物理量时必须保证包含：
一个几何学的量 一个几何学的量 一个运动学的量 一个运动学的量 一个动力学的量 一个动力学的量
4.1.3 量纲和谐
•
正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式， 量纲指数都分别相同， 各项的量纲必须一致。 量纲指数都分别相同，即：各项的量纲必须一致。
下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。 [例] 求水泵输出功率的表达式。 例 （1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体 积水的重量 γ = ρ g 、流量Q、扬程H，即：
f
(N , γ
,Q , H
)=
c
0
(2)写出指数乘积关系式
N = Kγ aQ b H
，
[ N ] = [γ ] a [ Q ] b [ H ] c
2 p1 α1v12 z2 p2 α 2 v2 hw 1+ + = + + + ρ gz1 2 gz1 z1 ρ gz1 2 gz1 z1
•
这样即可以避免因选用的单位 不同而引起的数值不同，又可使方程的参变量减少。 不同而引起的数值不同，又可使方程的参变量减少。