小船渡河问题(含知识点、例题和练习)

小船渡河问题

小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。 【例1】一条宽度为L 的河，水流速度为水

v ，已知船在静水中速度为

船

v ，那么：

（1）怎样渡河时间最短 （2）若水船v v >，怎样渡河位移最小

（3）若

水

船v v <，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：船

v L

t =

min 。 此时，实际速度（合速度）2

2

水船合v v v +=

实际位移（合位移）船

水船v v v L L 2

2

sin s +=∂= （2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即

船水

v v arccos =θ。因为θ为锐角，1cos 0<<θ，所以只有在

水船v v >时，船头与河岸上游的夹角船

水v v

arccos =θ，船才有可

能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即L s =min 。实际速度（合速度）θsin 船合v v =，V 船

V 水

V 合

运动时间θ

sin 船合v L v L t ==

（3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢

如右图所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，

在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =

θcos ，船头与河岸的夹角应为水

船v v arccos

=θ，此时渡河的最短位移：

船

水v Lv L

s ==

θcos 渡河时间：θ

sin 船v L

t =

，

船沿河漂下的最短距离为：θ

θsin )cos (min 船船水v L

v v x ⋅

-=

误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。

【练习1】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

d

v k kx v 0

4=

=，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸

2

d

处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v

【练习2】小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min 可到达下游120m 处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经可到达正对岸,试问河宽有多少米

【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

图1

解：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于

01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就

可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θ

θcos cos 01

v v v A ==

。 【练习3】如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m 在同一时刻的速度分别为v 1和v 2,则下面说法正确的是( )

A.物体m 做匀速运动且v 1=v 2

v 1

m

B.物体m 做减速运动且v1

C.物体m 做匀加速运动且v1>v2

D.物体m 做加速运动且v1>v2

【练习4】如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为（用v、θ表示）

【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v

动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：

A、v0>v

B、v0

C、v0=v

D、以上答案都不对。