不可压缩粘性流体的层流运动

p y
2v y
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
2vz
fy dydhdαx
x vy＝vz＝0
fx
g
s in
g
h x
,
fy
g
cos
g
h y
运动方程化为
2vx y 2
p gh ,0
x
p gh ,0
y
p z
p gh
z
上面两式说明，p+ρgh只是x的函数，运动方程第一 式化为
8.2 不可压缩粘性流体的层流运动
一、基本方程 对于不可压缩流体 1 连续性方程
V 0
2 运动方程
DV
f
p 2V
Dt
写成分量形式，如果质量力假设为重力，上式改写为
dvx dt
g x
p x
2vx
dvy dt
g y
p y
2vy
dvz dt
g z
p z
2vz
3 边界条件和初始条件
（1）边界条件 固定边界：在固定边界条件需满足粘附条件
vx vy vz 0
运动边界：
V流
V固
自由表面： p p0 (气体压力)＝c
0
(2) 初始条件
对非定常流，在初始时刻t＝0时，各处速度应等于给定 的值，即
vx vx x, y, z,t0 vx0 x, y, z vy vy x, y, z,t0 vy0 x, y, z vz vz x, y, z,t0 vz0 x, y, z
8.2.2 流体动力润滑（近似解）
当某一平板相对另一平板成一小角度放置时，且 b<<l, 两板间的液体流动称为倾斜平板间缝隙流动。 也是滑动轴承的的简化模型。
b1
b
l y
U
vx vy vz 0
x x y z
b2
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
1
p x
2vx
vx
vy x
vy
vy y
ln
b1 b2
2 b1 b1
b2 b2
作用在平板上的切应力
w
dvx dy
y0
U
b
b 2
dp dx
4U b1 x
6U
b1 x2
b1b2 b1 b2
油膜作用在单位宽度滑动轴承上的总阻力
FD
l 0
wdx
2Ul
b1 b2
2
ln
b1 b2
3 b1 b1
b2 b2
8.2.3 圆管内的定常层流运动
2 近似解 粘性流动，在雷诺数很小和很大两种极端情况下，略 去方程中某些次要项，得到近似方程，求其近似解。
（1）小雷诺数情况，流动中惯性项较粘性项小得多， 从而可以忽略惯性项得到线性的运动方程。
（2）大雷诺数情况，粘性影响只限于贴近物体的一 薄层内，这一薄层即为边界层。这是大雷诺数粘性流 动的一个极为重要的特性。边界层之外按势流运动求 解，边界层内部流动按边界层求解。
讨论速度分布、流量及阻力。
d p ：压力梯度；
r 0
dx
a
u
f 0 ：圆管水平放置，截面上压力均布。
二、求解途径
上述N－S方程，压力项和粘性项都是线性的，而惯性 项是非线性的，因而方程组是一个二阶非线性方程组， 目前还没有普遍的求解方法。现有的求解途径可分为 三类：解析解（精确解）、近似解和数值解。
1 解析解
只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性项为0， 可以求得解析解。但是具有精确解的情况不多。
6
b1 x2
qV'
C
b2
l y
当x=0时p=0，x=l 时p=0，得
qV'
Ub1b2 b1 b2
,C
6U
ab1 b2
回代入压强表达式
p
6Uxb b2 b2 b1 b2
得到轴承沿长度方向上压强分布
单位宽度滑动轴承上的油膜所产生的总支撑力
Fp
l 0
pdx
6Ul 2
b1 b2 2
db dx
一维流动雷诺方程，研究流体动力润滑的基本微分方 程。
b1
b
U x 令 b1 b2 代表倾斜角正切
b2
l
l y
b b1 x
代入流量方程
qV'
bU 2
b3
12
dp dx
dp dx
6U
b1 x2
12
b1 x3
qV'
对x积分
p
6U
b1 x
6
b1 x
2
qV'
C
p
b1
b
U
x
p
6U
b1 x
vx
1 2
1
dp gh
dx
y2
C1 y
C2
当上平板以速度U运动时，y=0时vx=0；y=b时vx=U， 代入上式得
C1
U b
b
2
dp gh
dx ,C2
0
代回公式得
vx
U b
y
1 2
1
dp gh b
dx
yy
结论：流动由两部分组成：上平板移动引起的剪切流 动和泊肃叶流动合起来称为库埃特流动。
3 数值解
利用数值方法直接求解，这是一种非常有效途径。
8.2.1、平行板间粘性流体的定常层流流动（解析解）
在少数情况下，粘性流动的基本方程组可以有解析解。 这是由于流动条件简单，可以给出质点的运动轨迹，从 而可以将运动方程简化，并求得方程的解。
对于平行流动，由于质点运动轨迹是平直的直线，因 此可以将方程组简化，求其解析解。以下对此类平行 流动问题进行研究，并给出几种典型流动的解析解。
不可压缩粘性流体在两个无限大的固定倾斜平行 板间作定常层流流动，参考坐标系的x轴沿流动方 向，y轴垂直于平板，z轴垂直于图面，如图所示。
y
vx vy vz 0
x y z
O
b
h fx
gα
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
1
p x
2vx
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
1
2vx y 2
d p gh
dx
vx y
1
d
p
gh
dx
y
C1
vx
1 2
1
dp gh
dx
y2
C1 y
C2
vx
1 2
1
dp gh
dx
y2
C1 y
C2
y=0时vx=0；y=b时vx=0，代入上式得
C1
b
2
d p gh
dx ,C2
0
代回公式得
vx
1 2
1
dp
gh b
dx
yy
结论：平行板间流速为抛物线分布，并沿总势能降的 方向，如果是平板水平，则这种流动是由压强梯度引 起的，称这种流动为泊肃叶流。
y=0时vx=U；y=b时vx=0，代入上式得 U b dp
C1 b 2 dx ,C2 U百度文库
代回公式得
vx
U 1
y b
1
2
dp dx
yy
b
通过单位宽度楔形流道的流量为
qV'
b 0
vxdy
bU 2
b3
12
dp dx
根据连续性方程
d dx
qV'
0
d b3 dx
dp 6U
dx
vz
vy z
fy
1
p y
2v y
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
2vz
vy≈0, vz＝0,不考虑体积力
b1
b
Ux b2
vx x
0,
2vx y 2
p , x
l
0 p ,0 p y z
y
可见 p=p（x），vx=vx（y）
vx
1
2
dp dx
y2
C1 y C2