三视图解题技巧篇
三视图解题技巧
三视图解题技巧————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：备课资讯16 空间几何体与三视图问题的解题思想作为新课程中的新增内容，几何体与三视图必将成为今后高考考查的热点．本文以高考题为据，重在揭示解决此类问题的基本思想．一、直观构造思想【例1】(2008·山东)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A．9π B．10πC．11π D．12π解析几何体为一个球与一个圆柱的组合体，S＝4π·12＋π·12·2＋2π·1·3＝12π.二、内部构造思想【例2】(2009·海南)一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为 ( )A．48+12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 2解析 该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥，如图，SE =5，SD =4，AC =6，AB =BC=6， ∴S 全=S △ABC +2S △SAB +S △ASC2.2124842621652126621+=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=【例3】 若某多面体的三视图(单位：cm)如下图所示，则此多面体的体积是________ cm 3.解析 通过对三视图的观察，三视图对应几何体为正四棱锥P —ABC D .在正四棱锥P —ABC D 中间构筑底面的垂面△PEF 为投影面，侧视图即为△PEF ， 从而求出该几何体的高度PO = . 3.3343431=⨯⨯=-ABCD P V 故点评例2、例3在几何体内部构造投影面，通过该投影面观察几何体的侧视图，就将问题化繁为简．投影面的构造需要垂直于几何体的下底面和后投影面．三、外部补形思想【例4】 (2008·海南，12)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为 ( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析由题意可构造长方体如图，长方体的对角线A1C为题中要求的几何体的棱长，长方体的三个面分别作为三视图中的三个投影面．设长方体的三棱长分别为x，y，z，将平面D D1C1C作为正视图投影面，则x2+y2+z2=7，x2+z2=6，∴y2=1.侧视图中棱的投影长为a＝z2＋1，俯视图中棱的投影长为b＝x2＋1.∴a＋b＝x2＋1＋z2＋1≤2x2＋1＋1＋z22＝4.∴a＋b的最大值为4(当x＝z时取等号)．【例5】直三棱柱A1B1C1－ABC的三视图如下图所示，D，E分别是棱C C1和棱B1C1的中点，求图中三棱锥E—ABD的侧视图的面积．解析 通过三视图可知直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的前侧面是边长为2的正方形，左侧面与前侧面互相垂直．将直三棱柱补形成正方体的方法，找到正方体右侧面作为几何体侧视图的投影面，可知三棱锥E —ABD 的侧视图为正方体右侧阴影部分．故有：三棱锥E —ABD 的侧视图的面积.21=∆G BB S 点评 例4通过外部补形成长方体得到斜线的三个投影面，例5通过外部补形成正方体得到三棱锥E —ABD 的侧视图的面积，体现了空间几何问题中由局部到整体的全局观察．总之，空间几何体中几何体和三视图问题虚实相间，该问题较能体现学生空间想象能力和学生对空间几何体的认知水平．本文通过直观构造、内部构造、外部补形、由下而上的建造思想为解决此类几何体和三视图问题奠定了坚实的思想基础．返回。
几何第38讲三视图
几何第38讲_三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．二．正方体的展开图上后前右左下展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图高宽长右面左面后面下面前面上面观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高．四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．题模一：展开图与对立面例1.1.1一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________BFA EBCFED例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？A BCDCCEAEFD例1.1.3如图，3个相同的正方体堆成一个“品”字．每个正方体的六个面上都分别标有小、学、希、望、杯、赛这六个汉字，并且每个正方体上的汉字的排列顺序完全相同．问：正方体中，希、望、杯这三个汉字的对面是哪个汉字？写出推理过程．例1.1.4如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？21592019例1.1.5如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？1AB C 2D312例1.1.6下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．BPEAD CB GHQFAEDCB HGF例1.1.7右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________．A．3B．4C．5D．6题模二：三视图求表面积例1.2.1下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）．A．A图B．B图C．C图D．D图例1.2.2右图是由18个棱长为1cm的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米．A．44B．46C．48D．50例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2cm的正方体堆成的，它的表面积是cm．________2例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？例1.2.5图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．例1.2.6已知某个集合体的三视图如下，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是______（立方厘米）．题模三：已知三视图反推个数例1.3.1这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．A．12B．13C．14D．15例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．从正面看从左面看例1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．例1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图1图2图3随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A ．A 图B ．B 图C ．C 图D ．D 图随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图形是__________．序号）①②③④随练1.5由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．随练1.6如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．随练1.7如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．图6随练1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A 、B 、C 内的三个数字依次是_____________．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a ）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b ）所示，那么图（b ）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含cm．下底面面积）等于___________2作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．。
高考有方法——三视图解题超级策略
高考有方法——三视图解题超级策略一、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、还原三视图的常用方法1、方体升点法；2、方体去点法（方体切割法）；3、三线交汇得顶点法方法一方体升点法例1：(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD 中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.方法二方体去点法例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直角边长为4，宽为3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练5.如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为4 等腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积.方法三三线交汇得顶点法例3：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．B．6 C．D．4正确答案是B．解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可跟踪训练6.首先在正方体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平行延长，如图．类似地，将俯视图和侧视图也如法炮制．这样就可以找到三个方向的交叉点．由这些交叉点，不难得到直观图．练习1、练习2、练习1答案：练习2答案：跟踪训练7.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是直角边长为4 等腰直角三角形，侧视图是边长为4 的正方形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练8. 如图所示为四棱锥的三视图，主视图是边长为4 的正方形，侧视图是直角边长为4 等腰直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练9.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是长为4，高为5 的长方形，侧视图的长为3 的长方形，俯视图为直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.三视图练习1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.40+2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）DA 、8πB 、252π C 、12π D 、414π4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A侧视图俯视图正视图2A 、2B、4 C 、83D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ）81 （B ）71 （C）61 （D ）516、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）C A. 1727 B. 59C. 1027D. 137、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A(A) (B) (C)(D)8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ）1()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 189、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.11_____________.20或1612、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.8314、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）816、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A. B. C .6 D .417.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+323。
高中数学 立体几何 10.三视图技巧
高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧．2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）：如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）A ．26B ．6C ．24D ．4正确答案是 B ．解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为 ，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可．大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了．注一此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合．注二参考文章：下面给出一道练习．如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为______．答案是．提示如图．。
三视图全解
《立体图形》三视图知识点及解题思维全解知识点及解题思维：三视图：①理解三视图中包含立体图形的行、列、层②能从俯视图反推立体图形，并画出其他视图一．基础：画三视图（观察能力、空间想像力）主视图（从前往后看）看到的是列（每行个数的最大数）和层（每列上的最大层数），与行无关。
层，每列上的层数列数左视图（从左往右看）看到的是行（每列个数的最大数）和层（每行上的最大层数），与列无关。
从后往前排列层（每行层数的最大值）行（每列个数中最大值）俯视图（从上往下看）看到的是最底层的每行和每列的数字，与层无关。
最底层每行的个数最底层每列的个数二．题型（一）简单题：根据俯视图，画主视图与左视图（抓住三种视图的特点即可） 例：如图，这是一个由小立方块塔成的几何体的俯视图，小正方形中的数字 表示该位置的小立方块的个数。
画出它的主视图与左视图。
解题思路：俯视图能确定立体图的底面的行、列，可知这个几何体有三行三列。
上面的数字表示该列每个上面的层数。
那么从前往后看（主视图），最左边的是三个，中间是2个，最右边是4个，即从左往右看（左视图），最左边的是2个，中间的是3个，右边的是4个层行列24132（二）根据两种视图，判别立体图形的形状及组成数目。
1.中等题（空间想像力+逆向推理能力）：题目告诉俯视图。
解题思路：在俯视图上标上表示每个方块位置上的层数的数字。
例：下面是几何体的主视图和俯视图，请求出这个几何体最多要向个小立方体块？最少要几个小立方体块？俯视图主视图11131131133333最多块数最少块数解题思路：从俯视图开始分析，可以几何体最底层有三行三列；结合主视图看，第一列的层数最多是3层，第二列的层数最多是3层，最三列的层数最多是1层。
所以要想组成的小方块数最多，可以让每列中的任一层数都是最大值；要想组成的小方块数最少，必须让每一列层数中最多出现一个最大值，而其余每列上的层数都为1。
即：2.高难题（空间想像力+逆向推理能力+分类讨论）：题目未告诉俯视图 解题思路：先根据其它两种视图，画出俯视图，再标上表示层数的数字。
2021国考新大纲 三视图、截面图、立体拼合解题技巧 (讲义 笔记)
三视图、截面图、立体拼合解题技巧（讲义）启智职教的店一、三视图1.下面四个选项中，符合左边立体图形的俯视图和左视图的是：2.左边为给定的立体图形，右边哪项是该立体图形的俯视图和主视图？3.左图为给定的多面体，从任一角度观看，下面哪一项不可能是该多面体的视图？4.请从所给的这几个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使之呈现一定的规律：二、截面图1.从一个圆柱体中挖去一个圆柱体和一个圆锥体，得到的立体图形如左图所示。
则右边不可能是它的截面的是（）。
2.左图给定的是在立方体中挖掉两个圆锥体的立体图形，将该立体图形从任一面剖开，右边哪一项不可能是该立体图形的截面？3.左图为给定的立体，从任意角度剖开，右边哪一项不可能是它的截面图？4.左图是给定的立体图形，将其从任一面剖开，右边哪一项不可能是该立体图形的截面？三、立体拼合1.正方形切掉一块后剩余部分如下图左侧所示，右侧哪一项是其切去部分的形状？2.下图所示的多面体为 20 个一样的小正方体组合而成，问①、②和以下哪个多面体可以组合成该多面体？3.下图为同样大小的正方体堆叠而成的多面体正视图和后视图。
该多面体可拆分为①、②、③和④共 4 个多面体的组合，问下列哪一项能填入问号处？三视图、截面图、立体拼合解题技巧（笔记）【注意】1.本节课讲解“空间类”中的三大题型，分别为三视图、截面图和立体拼合。
上述为国考近 5 年“空间类”考点分布及正确率统计，按照趋势，2020 年国考考查立体拼合的概率很大，剩余的 1 道题，截面图题的考频更高。
若为立体拼合和三视图的组合，2 道题可以做到全对。
若为立体拼合和截面图的组合，至少要对 1 道题，因为截面图题有一定难度。
2.对于每年必考的立体拼合而言，正确率很高，而 2019 年只有 40.29%的正确率，该题目本节课会进行讲解，讲解后基本能够全对，没有难度，不考查拼合，而是考查选项的技巧问题。
本节课要将重点放在截面图和立体拼合，三视图相对比较简单，节奏会偏快。
专题三 三视图问题解题策略
A
B
A
B
D A'
D'
D C
B'
A'
C'
D'
C A
B' D C'
A'
B C
B'
D'
C'
【例题4】
如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( B )
A．6 2 B．6
C．4 2 D．4
A
B
A
B
D
C
D
C
A'
M B'
A'
B'
D'
C'
D'
C'
【例题5】 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( C)
A．2 3
B． 3
C．4 3
D．2 3
3
3
A
B
A
B
D
D
C
C
A'
B'
A'
B'
D'
C'
D'
C'
V 1 22 3 4 3
3
3
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某
【例题6】 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为(D )
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )
A．8 3
B．25 2
C． 12
A
求解三视图问题的思路
三视图问题的常见命题形式有：由三视图判断原几何体的形状，求原几何体的体积、表面积、侧面积.此类问题侧重于考查简单空间几何体的性质、体积公式、表面积公式.求解三视图问题的步骤为:（1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体；（2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长；（3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体；（4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解.由三视图画几何体时，要注意侧视图的高、正视图的长、俯视图的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的长与俯视图的长相等，正视图的高的长度与侧视图的高的长度相等，侧视图的宽与俯视图的宽相等.例1.若图1是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积等于_______．图1图2解：观察图1中的三视图，可以判断出该几何体是将正方体截去一“角”剩下的部分，如图2所示.由三视图中的数据可知截去的一“角”为三棱锥D -ABC ，其侧棱长为1，且三条侧棱两两互相垂直，所以ΔABC 是边长为2的等边三角形，则S ΔABC=()22=几何体中有三个面被截去一个边长为1的等腰直角三角形，其面积为S 1=22-12=72，而几何体的另外三个面为完整的正方形，其面积为S 2=22=4，所以几何体的表面积为S =3S 1+3S 2+S ΔABC =45+32.解答本题，要先仔细观察三视图，根据口诀确定几何体的形状以及各边长；然后确定几何体的各个面的特点、形状，利用正方形、三角形的面积公式进行求解.例2.某几何体的三视图如图3所示，则其表面积为().A.17π2 B.9πC.19π2D.10π解：由图3中的三视图可知，几何体是个组合体，且其上部分是个球，下部分是一个圆柱．而圆柱底面的半径为1，高为3，半球的半径为1，所以几何体的表面积为π×1+2π×3+4π××14+12π×+12π=9π，故本题选B.解答本题的关键是根据三视图确定几何体的形状，由俯视图和侧视图可以确定原几何体为组合体，且其中一部分为球体；由正视图和侧视图可知，原几何体的下半部分为圆柱；结合三个视图，最终可以确定几何体为下部分是圆柱、上部分是个球的组合体.最后直接根据圆柱、球的表面积公式求解即可.例3.已知图4是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为______.正视图侧视图俯视图图4解：观察图4中的三视图，可知这个组合体是由一个高为8，底面直径为4的圆柱与一个棱长为6，高为4的三棱柱拼接而成的，由正视图可知圆柱底面的半径为4，由侧视图可知图342圆柱的高为8，所以V 圆柱=S ⋅h =π×42×8=128π，由正视图可知棱柱的底面长方形的边长为3、6，由侧视图可知棱柱的高为4，所以V 棱柱=S ⋅h =12×3×4×6=36，所以组合体的体积为V =V 圆柱+V 棱柱=128π+36.对于组合体，首先要根据三视图判断几何体的结构，可将其进行拆分为几个简单的空间几何体，或将其看作由一个简单空间几何体切掉（挖掉）了其中的一部分；然后再寻找相关数据，如边长、半径、棱长、高等，根据简单空间几何体的性质、体积、表面积公式进行求解.例4.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的表面积等于______.解：由图5中的三视图可以判定该几何体为一个正四棱柱，且几何体的侧面均为矩形，上下两个底面均为全等的直角梯形.由俯视图可知梯形的上、下底分别为1,2，高为1，所以梯形的面积S 1=12()1+2×1=32；四个侧面的底边长分别为2,1,1,2，高为2，所以侧面的面积为S 2=2⋅()2+1+1+2=8+22，所以几何体的表面积S =S 1+S 2=2⋅32+8+22=11+22.解答三视图问题，需熟悉简单空间几何体的三视图，如棱柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为多边形；圆柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为圆；圆锥的正视图和侧视图为三角形，俯视图为圆.这样便能快速判定原几何体的形状.总之，在解答三视图问题的过程中，要注意：（1）灵活运用简单空间几何体的性质、体积、表面积公式；（2）仔细观察三视图，判定几何体的形状以及摆放的位置；（3）通过俯视图求底面的边长、直径，通过正视图（或侧视图）确定几何体的高.（作者单位：甘肃省武山县第一高级中学）证明数列不等式问题经常出现在各类试题中.这类问题侧重于考查同学们的观察、分析和推理能力.下面结合实例，谈一谈下列三种证明数列不等式常用的方法.一、比较法运用比较法证明数列不等式，往往要先将不等式两侧的式子作差、作商；然后将所得的差式和商式化简、变形，并将其与0、1相比较，从而比较出不等式左右两侧式子的大小.例1.已知数列{}a n 是正项数列，a 1=1，且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.（1）求{}a n 的通项公式；（2）若数列{}b n 满足b 1=1,b n +1=b n +2a ，证明：b n ⋅b n +2<b 2n +1.解：（1）a n =n ；（过程略）（2）由（1）可知a n =n ，则b n +1-b n =2n ，则b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+⋅⋅⋅+(b 2-b 1)+b 1=2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+2+1，=1-2n 1-2=2n -1，所以b n ⋅b n -2-b 2n +1=(2n -1)(2n +2-1)-(2n +1-1)2=(2n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2⋅2n +1+1)=-2n <0.故b n ⋅b n +2<b 2n +1.解答本题，要先根据等差数列的定义，运用累加法求得{}b n 的通项公式；然后将目标不等式左右两侧的式子作差，并将差式化简、变形，使其便于与0相比较，进而证明不等式成立.运用比较法解题的关键在于化简差式、商式，通常可将其分解因式、配成完全平方式，以使所得的结果能直接与0、1相比较.二、放缩法放缩法是证明数列不等式的重要方法.有时在求得数列的通项公式、前n 项和式后，无法得到想要的结果，这是就需将数列的通项公式、前n 项和式放大或缩小，使其逐步与目标式靠拢，以证明结论.在放缩时，要把握放缩的“度”，不可放得过大，也不能缩得过小.例2.T n 是数列{}a n 的前n 项之积，满足T n=1-a n (n ∈N *).图543。
高中数学三视图技巧
高中数学三视图技巧篇一:三视图还原技巧核心内容:三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。
还原三步骤:(1)先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状;(2)依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升)，由高平齐确定其长短;(3)将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。
方法展示(1)将如图所示的三视图还原成几何体。
还原步骤:1?依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图;?依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置;如图?将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示:经典题型:例题1:若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于( )cm3。
解答:(24)例题2:一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )答案:21+计算过程:步骤如下:第一步:在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图;第二步:依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点G,G',B',D',E',F'地位置如图;2第三步:由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将G'与点E'、F'分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。
例题3:如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是( )答案:(6)还原图形方法一:若由主视图引发，具体步骤如下:(1)依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图:(2)依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视图中长度，确定点D的位置如图:(3)将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示:解:置于棱长为4个单位的正方体中研究，该几何体为四面体D—ABC，且AB=BC=4，AC=42,DB=DC=2,可得DA=6.故最长的棱长为6.方法2若由左视图引发，具体步骤如下:(1)依据左视图，在长方体右侧面初绘BCD如图:3(2)依据正视图和俯视图中显示的垂直关系，判断出在节点C、D处不可能有垂直向前拉升的线条，而在B处，必有垂直向左拉升的线条BA，由俯视图和左视图的长度，确定点A的位置，如图:(3)将点A与点B、C、D分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图:方法3:由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可以用一个正方体做载体还原:(1)根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，用红线表示。
高中三视图的解题技巧
People who have never failed may not have succeeded either.（页眉可删）高中三视图的解题技巧空间立体几何的三视图是高中数学新课程的新增内容之一，也是近几年全国各地高考的热点内容，那你知道高中三视图有什么解题技巧吗?下面是整理的高中三视图的解题技巧的相关内容，仅供参考。
高中三视图的解题技巧【1】一、简单几何体的三视图还原规律复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,简单几何的分类:柱体(圆柱和棱柱);椎体(圆锥和棱锥);台体(圆台和棱台);球体.要掌握复杂几何体的三视图还原,先要搞清楚简单几何体的三视图还原规律,一般情况下简单几何体的三视图还原有如下规律：1. 三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体.当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆柱，否则为棱柱.2. 三视图中如果其中两个视图是三角形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为三角形)那么该空间几何体为锥体,当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥.3. 三视图中如果其中两个视图是梯形(不要管内部的细节，只要外轮廓线为矩形就称该视图为梯形)那么该空间几何体为台体.当第三个试图两个同心圆时,该空间几何体为圆台,否则为棱台.二、叠加式组合体的三视图还原方法组合体的组合形式可分为三种:叠加式、切割式、综合式.切割式与综合式在高中阶段见到的不是很多,这里只对高中阶段出现较多的叠加式组合体的三视图还原方法进行论述.既然组合体是由简单几何体组合而成的,那么就可以“化整为零”,把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三视图,再分别根据这些简单几何体的三视图按照上面论述的简单几何体三视图的还原规律把它们还原成简单几何体,再“积零为整"，把这些简单几何体组合在一起就得了组合体的三视图.这样就将复杂的三视图问题转化成最基本的'简单几何体的三视图还原问题来解决了,大大降低了对空间想象能力的要求,这一方法的难点在于如何把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三试图,该方法的具体过程如下：1. 分线框.一般从主视图入手,将主视图划分成一个个线框(一般是封闭的线框，但有时也可不完全封闭),这些线框就是组成组合体的一个个简单几何体的主视图.2. 对投影.在俯视图和左视图上把主视图中每个线框对应的投影找出来,主要是根据“长对正,高平齐,宽相等”和"三视图所反映的组合体各部分的方位”来找.3. 识形体.根据每一部分的三视图,逐个想象出每一部分所对应的几何体4. 合起来,想整体. 每一部分的形状确定后,再根据各部分的相对位置关系组合成整个组合体的形状.相关阅读-高中三视图规则【2】主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等即:主视图和俯视图的长要相等主视图和左视图的高要相等左视图和俯视图的宽要相等。
简单几何体三视图或直观图问题的解答方法
简单几何体三视图或直观图问题的解答方法简单几何体的三视图是指简单几何体的主视图（也称正视图），侧视图（也称左视图）和俯视图。
简单几何体的直观图是指直接观察简单几何体所形成的图形。
纵观近几年的高考，简单几何体三视图或直观图问题主要包括：①已知简单几何体的直观图，确定简单几何体的三视图；②已知简单几何体的三视图，求简单几何体的表面积（或侧面积或体积）；③与简单几何体直观图相关的问题等几种类型。
各种类型的问题在结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答简单几何体三视图或直观图问题时，到底应该如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地作出解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A B C D【解析】【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】Q根据简单几何体的直观图可知，其侧视图应该是一个正方形，∴可以排除D，Q中间的棱在侧视图中是一条对角线，∴又可排除C，Q对角线的方向应该是从左上到右下，∴排除A，从而正确答案为B，∴选B。
2、如图所示是物体的实物图，其俯视图是（）A B C D【解析】【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】Q根据简单几何体的直观图可知，其俯视图应该是一个矩形，中间棱在俯视图中是一个三角形，且一边为矩形左边，∴可以排除B，D，Q三角形的另一个顶点在矩形靠右的位置，∴又可以排除A，从而C正确，∴选C。
3）A B C D【解析】【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【收藏帖】三视图问题满分全攻略！
【收藏帖】三视图问题满分全攻略！我是一名高中数学老师每天都会和家长朋友们，同学们，同行老师们分享一篇高中数学干货，数学提分方法，或者大白话解读高考最新资讯，不整那些虚头巴脑的理论。
文章的内容紧紧围绕着如何提分，和高中生在学习数学上遇到的问题。
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空间立体几何的三视图是高中数学新课程的新增内容之一，也是近几年全国各地高考的热点内容，考纲不仅要求学生掌握『画空间几何体的三视图』还要求掌握它的逆过程，前者比较容易掌握，后者对空间想象力较弱的同学来说往往无从下手，特别是复杂一点的问题更是怎么也想象不出来。
超人老师总结了一个简单可行的方法，虽不能解决所有三视图还原的问题，但对高中阶段的大部分问题都可解决，这里呈现出来，以期抛砖引玉，也请同行斧正。
简单几何体的三视图还原规律复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,简单几何的分类:柱体(圆柱和棱柱);椎体(圆锥和棱锥);台体(圆台和棱台);球体.要掌握复杂几何体的三视图还原,先要搞清楚简单几何体的三视图还原规律,一般情况下简单几何体的三视图还原有如下规律：1. 三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体.当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆柱，否则为棱柱.2. 三视图中如果其中两个视图是三角形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为三角形)那么该空间几何体为锥体,当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥.3. 三视图中如果其中两个视图是梯形(不要管内部的细节，只要外轮廓线为矩形就称该视图为梯形)那么该空间几何体为台体.当第三个试图两个同心圆时,该空间几何体为圆台,否则为棱台.球体的三视图很简单,这里就不加论述.以上规律简单好记,按照以上规律解决简单的三视图还原都不在话下,下面举例说明.温馨提示：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
高中数学：三视图还原小技巧，尖子生的方法会不会适合你们
⾼中数学：三视图还原⼩技巧，尖⼦⽣的⽅法会不会适合你们⾼中数学三视图问题⼀直都是好多同学不会的~不会就得找⽅法，然后就各种看⽹课，刷题，⾃⼰试图理解，在我看了好多⽹课之后总结了⼀个⽅法，进来看真是让你们赚到了！⾸先我觉得第⼀点就时要掌握简单⼏何体的三视图。
正⽅体、长⽅体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么⼀定要熟悉掌握。
这些就相当于基础知识！第⼆点就是掌握简单组合体的组合形式。
简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。
然后看⼀下这个三视图之间的关系。
⼏何体的长：正视图、俯视图的长；⼏何体的宽：俯视图的⾼、侧视图的长；⼏何体的⾼：正视图、侧视图的⾼。
（可以记住这个⼩⼝诀：主俯定长，俯左定宽，主左定⾼）四、清楚三视图各个线段说表⽰⼏何体位置，如上图所表⽰。
五、由三视图画出直观图的步骤和思考⽅法。
1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原;2、有两个视⾓为三⾓形，为椎体特征。
选择底⾯还原（求体积可不⽤还原）;3、凡是想不出来的，可⽤七字真⾔还原。
（不到万不得已，不⽤此法）【类型⼀】：（三线交汇得顶点，四顶相连⽆悬念）先画出⼀个正⽅体，如图（1）∶第⼀步，根据正视图，在正⽅体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这⾥我们⽤红线表⽰ .如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影⽽成的.连接这五个点的四棱锥，不满⾜俯视图。
最后⼀步，三种颜⾊线的公共点（只有两种颜⾊线的交点不⾏）即为原⼏何体的顶点，连接各顶点即为原⼏何体，如图（5）.⾄此，易知哪条棱是最长棱，求出即可.⼤家是不是体会到了⽤这种⽅法还原三视图的妙处呢 ?这种⽅法的核⼼其实就是七个字∶'三线交汇得顶点' .这样是不是⽐我们以前那种天马⾏空的遐想接地⽓⼀些呢 ?由此，我们在三视图还原上就可以七字真⾔扫天下了.例 2：⾸先在正⽅体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平⾏延长，如图.类似地，将俯视图和左视图也如法炮制.这样就可以找到三个⽅向的交叉点.连接这五个点的四棱锥，不满⾜俯视图。
如何解决三视图问题，争对无空间想象力的人而言？
如何解决三视图问题，争对无空间想象力的人而言？
首先，你需要先掌握正向的技能，就是通过直观图画出三视图，不然你再去学什么技巧都是没有意义的。
毕竟对于空间想象能力本来就不怎么样的学生而言，直接去做还原三视图这种逆向的操作是存在难度的。
其次才去学习三视图还原。
最后才是考试上面的方法和技巧。
一、先掌握简单几何体的三视图
正方体
长方体
正棱柱
正棱锥
圆柱
圆锥
圆台
球
二、简单组合体的三视图
三、根据三视图结合投影知识进行还原
四、对于三视图还原比较实用的方法可以利用长方体或者正方体进行切割得到几何体或者判断顶点位置的方法去还原。
五、注意:有的三视图还原答案不唯一，具体例子可以详见另一条问答内容。
三视图看法与技巧
三视图看法与技巧
三视图，也称为三维视图，是一种独特的视角，可以用来描述物体形状的一种技术。
它可以帮助人们更好地理解物体的内部结构以及它们是如何彼此连接在一起的。
本文将介绍三视图及其应用，提供一些有用的看法和技巧。
三视图是一种利用物体的外部形状和内部结构来描述形状的技术，从而使读者对物体进行更深入的了解。
三视图包括正面视图、侧面视图和俯视图。
它们可以用来描述物体的外形，包括四边形、圆形、弧形等各种形状的物体。
三视图可以用于理解物体的结构和连接，也可以用来判断一个物体体积的大小和密度。
另外，它还可以用来表示一个物体的实际尺寸，特别是在进行汽车或机器设计时，它可以用来确定零件的尺寸，并判断零件是否相互兼容。
此外，由于现代图形设计以及三维建模软件的发展，三视图得到了广泛的应用。
它可以用于绘制工程图纸、创建游戏地图以及进行动画设计等。
此外，三视图还可以用于装饰及室内设计，例如在家具或建筑物的设计过程中，它可以帮助人们更好地了解房间的内部空间。
使用三视图的时候，应当记住几个重要的技巧，以确保图纸的准确性。
首先，在使用三视图时，应当使用统一的线条宽度，以确保图纸的一致性。
其次，应当使用合理的尺寸，以更好地表示物体的外形和内部结构。
最后，应当使用适当的表示方式，以容易理解的方式表达出信息。
总之，三视图是一种非常有用的技术，可以帮助人们更好地理解物体的外形和内部结构。
当使用三视图时，应用一定的技巧和方法，以确保图纸的准确性。
高考三视图技巧
通过三视图求立体图形的表面积和体积一、首先要掌握简单几何体的三视图。
正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。
二、掌握简单组合体的组合形式。
简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。
首先要注意三视图的一些性质1、主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。
还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体。
2、就是半圆锥。
到底如何如确定就是通过俯视图观察。
（1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥。
（2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥。
（3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体。
（4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥。
（5）注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的。
2、三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑。
（1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式。
（2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可。
（3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可。
三、三视图之间的关系。
.正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。
⑴正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.⑵一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样,即正、俯视图——长对正;主、侧视图——高平齐;俯、侧视图——宽相等.四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示第一步：把俯视图用斜二侧画法画出来，并画出z轴；第二步：让左视图与xoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿y轴滑动（或让主视图与yoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿x轴滑动），放在合适的位置上。
专题34：几何体三视图的解题策略(解析版)
专题34：几何体三视图的解题策略（解析版）一.空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350） ③画对应图形在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：42S ⋅=原图形直观图S一，切割法例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．20B．24C．18D．16【答案】A【分析】由三视图还原出该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的，然后计算体积即可【详解】解：由几何体的三视图还原出该几何体的直观图，如图所示．该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．由题中数据可得三棱柱的体积为1344=242⨯⨯⨯，截去的三棱锥的体积为4，故该几何体的体积是20．故选：A【点睛】此题考查由三视图求几何体的体积，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.切割法规律总结：1、还原到常见几何体中2、实线当面切，虚线背后切3、切完后对照三视图进行检验二，三点交汇法例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 三点交汇法规律：三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能用不完，个中取舍是关键:三、拔高法例3：3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．424+B ．228+C ．428+D ．12【答案】B【分析】 由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的面积即可【详解】解：由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥E ABCD -，由题可得，2AB BC CD AD CE =====,22DE BE ==，所以该几何体的表面积为112222222282222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：B拔高法规律总结：1.标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图2.由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.四、去点法例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得1334=123V=⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.去点法规律：画立方体删多余点连剩余点六字真言：先去除、再确定走进高考1．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．1727B．59C．1027D．13【答案】A 【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154Vπ=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834Vπππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选A.考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.2．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．B．C．D．【答案】A【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．3．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是A．B．C．D．【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．点睛:本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】 由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．5．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．63B ．6C ．62D ．4【答案】B【详解】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==, 42AC =,25DB DC ==,2(42)46DA =+=，故最长的棱长为6，选B ．6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】 试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．90D．81【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：，故棱柱的表面积为：．故选：B．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.8．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+="16" + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式9．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.10．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B【解析】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．考点：由三视图还原几何体.11．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．2717B ．95C ．2710D ．31【答案】C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 12．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N, ∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.13．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．6+42B ．4+42C ．6+23D ．4+23【答案】C【分析】 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△ 根据勾股定理可得：22AB AD DB ===∴ADB △是边长为22根据三角形面积公式可得：2113sin 60(22)23222ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.14．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.15．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，∴剩余部分体积为15166-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为15． 故选D ．考点：由三视图求体积16．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.17．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。
小学数学四年级讲义：三视图（精编）
⼩学数学四年级讲义：三视图（精编）⼩学数学四年级讲义三视图[解题⽅法和技巧]1．概念：三视图：是观测者从正⾯、从上⾯、从左⾯三个不同⾓度观察同⼀个空间⼏何体⽽画出的图形叫做三视图。
我们把从正⾯看、从上⾯看、从左⾯看分别叫做主视图，俯视图，左视图三个基本视图。
当我们从某⼀⾓度观察⼀个实物时，所看到的图像叫做物体的⼀个视图。
三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图（侧视图）的总称。
主视图：在正⾯内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在⽔平⾯内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧⾯内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
三视图的特点：⼀个视图只能反映物体的⼀个⽅位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
三视图是从三个不同⽅向对同⼀个物体进⾏投射的结果，另外还有如剖⾯图、半剖⾯图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
能够正确反映物体长、宽、⾼尺⼨的正投影⼯程图（主视图，俯视图，左视图三个基本视图）为三视图，这是⼯程界⼀种对物体⼏何形状约定俗成的抽象表达⽅式。
2．物体的六视图。
将⼈的视线规定为平⾏投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓⽤正投影法绘制出来该图形称为视图。
⼀个物体有六个视图：从物体的前⾯向后⾯投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前⾯形状，从物体的上⾯向下⾯投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上⾯形状，从物体的左⾯向右⾯投射所得的视图称左视图（侧视图）——能反映物体的左⾯形状，还有其它三个视图不是很常⽤。
3．绘制简单组合体的三视图的画法规则。
（1）主、俯视图长对正；主视，左视⾼平齐；左视，俯视宽相等，前后对应。
简化⼝诀：主俯长对正、主左⾼平齐、俯左宽相等。
即：主视图和俯视图的长要相等，主视图和左视图的⾼要相等，左视图和俯视图的宽要相等。
（2）在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。
高考热点：三视图原还方法归类与题型总结，最全类型都在此了
高考热点：三视图原还方法归类与题型总结，最全类型都在此了三视图几乎可以说是高考的必考题，一般在选择题中，此类题看上去简单，实际上有些题型很容易失分，很难搞定，今天我们从基础题型出发，重点分析切割类型的三视图还原问题。
1三视图还原基础题同学们要做到对一些常规立体图形非常熟悉，柱、锥、台、球体，它们规律如下：1.三视图中如果有两个识图是矩形，那么该几何体为柱体。
若第三个视图是圆形，则为圆柱，否则就是棱柱；2.三视图中如果有两个视图是三角形，那么该几何体为锥体。
若第三个视图是圆形，则为圆锥，否则为棱锥；3.三视图中如果有两个视图是梯形，那么该几何体为台体，若第三个视图是圆形，则为圆台，否则为棱台，球体的三视图都是圆形，最容易识别；根据此三点可以快速还原几何体。
题型1.直接还原此题明显是直接还原的题型，还原并不难大多数同学是可以搞定的此题还原也并不困难，锥体顶点的位置要结合三个视图进行，P点在底面上的投影在BC中点上。
题型2直接切割型一般是由一个几何体切割一部分而形成的立体图形“实线表示当面切割，虚线表示背后切割”例1直接在三棱柱中进行切割，由于是实线切割，难度不大。
例2此题可以直观得出是一个三棱锥，但是直接去还原时，很多同学还原不出来。
此时可以借助长方体或者正方体进行切割，如下图所示：例3大家可以先思考此题，此题是一个正方切被一个平面截去一部分得到的三视图，答案看结尾处题型3背面切割一般三视图中有虚线部分，也即从某一方向上看不到的切割，此类还原有时有一定的难度此题依旧可以借助长方体来进行切割，但是俯视图中的实线与虚线怎么还原是难点，虚线是背面切割，实线是正面切割。
还原图如下所示。
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高中数学解题技巧篇—三视图专题晋江一中数学教研组（内部资料，妥善保管）
1）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
2）结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.
即正视图、侧视图、俯视图：
3）解题技巧：
4）连线法：。