概率论习题答案

一．填空题（82142'=⨯'）

1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,2

1)(=B A P ,则=)(B A P Y 31。 2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为7

3482325=⋅C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为K ,2,1,5.05.05.0)(1==⋅==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。

4．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1

,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数

=)(x F ⎪⎩

⎪⎨⎧>-≤1,111

,0x x x 。 5．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他

,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ⎩⎨⎧<<

其它,010,1y 。

6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。

7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,621

24)5(2

π。

8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。

9．设),(Y X 的联合概率分布为

则X 的概率分布为

相关系数=XY ρ3

2-。 10．设随机变量n X X X ,,21Λ独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==n

i i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n

21-。 二．简答题（6'）

叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？

数学期望：i i i p x ∑∞=1绝对收敛，则i

i i p x EX ∑∞

==1。（2分） EX 描述X 取值的平均。（1分）

方差： 2)(EX X E -存在，则2

)(EX X E DX -=（2分）

DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分） 三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125'=⨯'）

1．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -。 不一定正确。（2分）

如X 为连续型随机变量，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -；如X 为离散型随机变量，且

0)(≠=a X P ，则≠≤≤)(b X a P )()(a F b F -（或举反例）

。（3分） 2．若随机变量X 和Y 不相关，则DX Y X D ≥-)(。

正确。（2分）

.)

1)(,(2)(分）（分（分）

11DX DY DX Y X Cov DY DX Y X D ≥+=-+=-

四．计算题（65018810101'='+'+'+'+'）

1．（01334'='+'+'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为3.0。如果A 不出现，则B 也不出现；如果A 出现一次，则B 出现的概率为6.0；如果A 出现不少于两次，

则B 出现的概率为1。试求：

（1）4次独立试验中A 出现 i 次的概率)40(≤≤i ；

（2）B 出现的概率；

（3）在B 出现的情况下，A 出现一次的概率。

记X 为4次独立试验中A 出现的次数，

（1）;4,3,2,1,0,7.03.0)(44===-i C i X P i i i （4分）

（2）∑====4

0)|()()(i i X B P i X P B P （1分）

∑=-⋅+⋅⋅⋅=4

244

31

47.03.06.07.03.0i i i i C C （1分） 59526.0=（1分）

（3）4149.059526

.06.07.03.0)()1|()1()|1(314=⋅⋅⋅=====C B P X B P X P B X P （3分） 2．（0155'='+'）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X （单位：米）的密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,12501)(25002

x x xe

x p x ， 如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。

求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于95.0？

（1）150

025********)50(2---==≤=⎰e dx xe X P p x （5分）

（2）设至少发射n 枚炮弹，则

95.01≥--n e ，（3分） 3≥n （2分）

3．（8136'=⨯'）设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为

⎩⎨⎧<<<<=其他,

0,10,),(2x y x x C y x p ， 试求：（1）常数C ；

（2）边际密度函数)(),(y p x p Y X ，并讨论X 和Y 的独立性；

（3）)2(X Y P < 。

（1）⎰⎰=x x dy dx C 2110（3分）

6=C （3分）

（2）⎩⎨⎧<<-=其它 ,010),(6)(2x x x x p X （2分）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它

,010),(6)(y y y y p Y （2分） 不独立（2分）

（3）⎰⎰=<22

1

0246)2(x x dy dx X Y P 分）

（ 8

1=（2分） 4．（8'）如果你提前s 分钟赴约，花费为cs （单位：元）；如果迟到s 分钟，花费为ks （单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间]30,10[~U X （单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。

设赴约前t 分钟离开，则花费

⎩

⎨⎧>-≤-==t X t X k t X X t c X f C ),(),()(，(3分) ⎰==30

10)()()(dx x p x f X Ef EC

)45050()3010()2

2(201)(201)(23010k c t k c t k c dx t x k dx x t c t t

+++-+=-+-=⎰⎰（3分） EC 最小，k c k c t ++=3010*（2分） 5．（01'）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为1:3。现种植杂交种400株，试求结黄果植株介于83到117之间的概率。

记X 为结黄果植株数，则)4

1

,400(~B X （3分），