线性代数：矩阵的基本运算及性质
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14
1、转置变换 2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换
消法变换
行与列对调 交换i, j两行
ri ci
ri rj
数K乘第 i 行
数K乘第 j 行后 加到第 i 行上 去
k ri ri krj
交换i, j两列
ci c j
数K乘第 i 列 k ci
数K乘第 j 列 后加到第 i 列 上去
(i 1, 2,...m; j 1, 2,...n) 6
●矩阵相乘的运算规律：
（1）ABC ABC
一般地：
1 AB BA
（2） A BC AC BC, 2 AB 0
C A B CA CB,
A 0或 B 0
（3）k AB kA B AkB 3 AB AC
（4）Em Amn Amn En Amn
（5）0A 0, A0 0
或 BA CA BC
7
若 A 是方阵，则乘积 AA......A 有意义，记作 Ak
称为 A 的 k 次幂。
性质 Ak Al Akl
Ak l Akl
●矩阵A的转置
a11
如果
A
am1
AT 或 At , A
a1n
a11
，则
AT
amn
a1n
am1
3
●数乘矩阵
若 A
aij
, k R ，则 kA
m n
kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
●数乘矩阵的运算规律：
1 A A A 2 A A A
3 A B A B
4
k 0...... 0
kEn
0
k ......0
......
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a31 a32 a33
12
●行列式的性质
表明行与列是
1. 行列式转置后，其值不变。
对等的，行具 有的性质，列
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。 也具有
推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。
对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
1
● 矩阵的基本运算及性质
●矩阵的加法
A B aij bij mn
显
然
注意：只有同型矩阵才能相加。
成
立
矩阵加法的运算规律： （1）交换律 A+B = B+A
Amn Omn Amn
amn
8
●矩阵转置的运算规律：
1 AT T A
2 A BT AT BT
3 AT AT
4 ABT BT AT
A diag1,2,,n .
幂等矩阵
9
对称矩阵：如果 AT A ，则称矩阵A为对称矩阵。
A为对称矩阵
aij a ji
反对称矩阵：如果 AT A ，则称矩阵A为反对称矩阵。
ci kc j
等值 变号 翻倍 等值
变号 翻倍
等值
15
1、方阵与行列式
如 A 13 42 数表
则
1 det A
2 2
34
数值
2、方阵的行列式的性质
(1) AT A
(2) A n A
(3) AB A B
16
11 行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
A为反对称矩阵
aij a ji
10
10 方阵的行列式
定义 n阶方阵A (aij )的行列式A（或det A)是 按如下规则确定的一个数：
当n 1时， A a11 a11;
当n 1时， a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1)11 a11M11 (1)12 a12M12 (1)1n a1n M1n
D (i k) ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0 (i k)
a1 j A1s a2 j A2s
anj
Ans
D 0
( j s) ( j s)
18
2、设有行列式 2 1 3 2 3322
推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式
符号的外面。 推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0
13
4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
5wk.baidu.com 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。
a11M11 a12M12 (1)1n a1n M1n .
a11A11 a12 A12 a1n A1n .
11
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2,, n).
A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n).
17
推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。 小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
一、教材内容的归纳总结
1、矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
a22
a a1n 其中：ij 称作矩阵的元素。
a i a2n
ij 的第一个下标
称为行标，
am1 am1 amn
第二个下标 j 称为列标。
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）
2
●矩阵的减法
a11
设
A
am1
a1n
amn
Amn Amn Omn
，则称矩阵
a11 am1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A。
amn
若A、B为同型矩阵，则规定 A B A (B) ，
即 A B aij bij mn
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
5
●矩阵的乘法
a11
设
A
i行
am1
c11
则
AB
C
cm1
a1t
b11
amt
B
mt
bt1
b1n j 列
btn tn
c1n
左矩阵
A的列数
右矩阵 B的行数
cmn
mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... aitbtj
1、转置变换 2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换
消法变换
行与列对调 交换i, j两行
ri ci
ri rj
数K乘第 i 行
数K乘第 j 行后 加到第 i 行上 去
k ri ri krj
交换i, j两列
ci c j
数K乘第 i 列 k ci
数K乘第 j 列 后加到第 i 列 上去
(i 1, 2,...m; j 1, 2,...n) 6
●矩阵相乘的运算规律：
（1）ABC ABC
一般地：
1 AB BA
（2） A BC AC BC, 2 AB 0
C A B CA CB,
A 0或 B 0
（3）k AB kA B AkB 3 AB AC
（4）Em Amn Amn En Amn
（5）0A 0, A0 0
或 BA CA BC
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若 A 是方阵，则乘积 AA......A 有意义，记作 Ak
称为 A 的 k 次幂。
性质 Ak Al Akl
Ak l Akl
●矩阵A的转置
a11
如果
A
am1
AT 或 At , A
a1n
a11
，则
AT
amn
a1n
am1
3
●数乘矩阵
若 A
aij
, k R ，则 kA
m n
kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
●数乘矩阵的运算规律：
1 A A A 2 A A A
3 A B A B
4
k 0...... 0
kEn
0
k ......0
......
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a31 a32 a33
12
●行列式的性质
表明行与列是
1. 行列式转置后，其值不变。
对等的，行具 有的性质，列
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。 也具有
推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。
对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
1
● 矩阵的基本运算及性质
●矩阵的加法
A B aij bij mn
显
然
注意：只有同型矩阵才能相加。
成
立
矩阵加法的运算规律： （1）交换律 A+B = B+A
Amn Omn Amn
amn
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●矩阵转置的运算规律：
1 AT T A
2 A BT AT BT
3 AT AT
4 ABT BT AT
A diag1,2,,n .
幂等矩阵
9
对称矩阵：如果 AT A ，则称矩阵A为对称矩阵。
A为对称矩阵
aij a ji
反对称矩阵：如果 AT A ，则称矩阵A为反对称矩阵。
ci kc j
等值 变号 翻倍 等值
变号 翻倍
等值
15
1、方阵与行列式
如 A 13 42 数表
则
1 det A
2 2
34
数值
2、方阵的行列式的性质
(1) AT A
(2) A n A
(3) AB A B
16
11 行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
A为反对称矩阵
aij a ji
10
10 方阵的行列式
定义 n阶方阵A (aij )的行列式A（或det A)是 按如下规则确定的一个数：
当n 1时， A a11 a11;
当n 1时， a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1)11 a11M11 (1)12 a12M12 (1)1n a1n M1n
D (i k) ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0 (i k)
a1 j A1s a2 j A2s
anj
Ans
D 0
( j s) ( j s)
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2、设有行列式 2 1 3 2 3322
推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式
符号的外面。 推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0
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4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
5wk.baidu.com 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。
a11M11 a12M12 (1)1n a1n M1n .
a11A11 a12 A12 a1n A1n .
11
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2,, n).
A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n).
17
推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。 小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
一、教材内容的归纳总结
1、矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
a22
a a1n 其中：ij 称作矩阵的元素。
a i a2n
ij 的第一个下标
称为行标，
am1 am1 amn
第二个下标 j 称为列标。
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）
2
●矩阵的减法
a11
设
A
am1
a1n
amn
Amn Amn Omn
，则称矩阵
a11 am1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A。
amn
若A、B为同型矩阵，则规定 A B A (B) ，
即 A B aij bij mn
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
5
●矩阵的乘法
a11
设
A
i行
am1
c11
则
AB
C
cm1
a1t
b11
amt
B
mt
bt1
b1n j 列
btn tn
c1n
左矩阵
A的列数
右矩阵 B的行数
cmn
mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... aitbtj