人教版八年级数学上册第11章.docx
人教版八年级上册数学第11章《三角形》(全)共9课时
C
有三条线段,三个角 边:线段AB,BC,CA是三角形的边. 顶点:点A,B,C是三角形的顶点, 角:∠A,∠B,∠C叫做三角形的内角,简称三角形的角.
△ABC 记法:三角形ABC用符号表示________.
பைடு நூலகம்
边的表示:三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
c, a , b 示为________.
3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么?
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析
例1:判断下列长度的三条线段能否拼成三角形?为什么? (1)3cm、8cm、4cm; (2)5cm、6cm、11cm; (3)5cm、6cm、10cm.
3.如图,在△ACE中,∠CEA的对边是 AC A
.
B
C
D
E
F
19cm 4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这个三角形的周长为 __________.
解:(1)不能,因为3cm+4cm<8cm; (2)不能,因为5cm+6cm=11cm;
(3)能,因为5cm+6cm>10cm.
归纳
判断三条线段是否可以组成三角形,只需说明两条较短线段之和大于第
三条线段即可.
针对训练 一根木棒长为7,另一根木棒长为2,那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗? 长度为11的木棒呢?若不能拼成,则第三条边应在什么范围呢?
找一找:(1)图中有几个三角形?用符号表示出这些三角形?
5个,它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. (2)以AB为边的三角形有哪些? △ABC、△ABE.
20212022学年人教版八年级数学上册第十一章三角形单元测试卷含答案.docx
第十一章三角形一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知三角形的三边长分别是3, 8, %;若x的值为偶数,则x的值有()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个2.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是()A.角平分线B.中线C.高D. A、B、。
都可以4.一个多边形有14条对角线,那么这个多边形的边数是()A. 5B. 6C. 7D. 85.如图,已知ZA=30° , ZB£F=105° , ZB=20° ,则ZD=()DA. 25°B. 35°C. 45°D. 30°6.如图所示,AD是AABC的高,延长BC至E,使CE=BC, AABC的面积为Si, AACE的面积为S2,那么()A. Si>S2B. Si=S2C. Si<S2D.不能确定7.下列图形中具有稳定性有()9. 下列判断:①三角形的三个内角中最多有一个钝角,②三角形的三个内角中至少有两个 锐角,③有两个内角为50°和20°的三角形一定是钝角三角形,④直角三角形中两锐角 的和为90° ,其中判断正确的有( )10. 如图所不,Z1+Z2+Z3+匕4=()二、填空题(每小题3分,共18分)11. 若一个两边相等的三角形的两边分别是4cm 和9cm,则其周长是 .12. 一个多边形的每一个内角都相等,且比它的一个外角大100° ,则边数〃= 13. 如图△ABC 中,AB=AC, AD=AE, ZBAD=40° ,则ZEDC=.14. 如图所不,/ 1+N2+匕3+匕4+匕5+匕6=(1) (2) A. 2个8.在△ABC 中,若ZA=ZC=AZB,3A. 30°B. 36°C. 72°D. 108°A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个C. 480°D. 540°D. 5个则匕A 的度数为()⑶ (4)B. 3个15. AABC 中,ZA=40° ,高BE 、CF 所在直线交于点。
人教版八年级数学上册第11章《 三角形:11.3.1多边形》
A
B
C
D
2. 下列图形中∠1是外角的是( D )
1
1
1
1
A
B
C
D
3.下列说法正确的是( B )
A.一个多边形外角的个数与边数相同. B. 一个多边形外角的个数是边数的二倍. C.每个角都相等的多边形是正多边形. D.每条边都相等的多边形是正多边形.
第十一章 三角形
1.
从四边形的一个顶点出发,可以引 一 条对角线,它将四边形
分成 两 个三角形
2.
从五边形的一个顶点出发,可以引 两 条对角线,它将五边
形分成 三 个三角形.
3.
从六边形的一个顶点出发,可以引 三 条对角线,它将六边形
分成 四 个三角形.
…
从n边形的一个顶点出发,可以引 n-3条对角线,它将n边形 分成 n-2个三角形.
第十一章 三角形
拓展创新
1.从n边形的一个顶点出发,可以 引 n-3 条对角线.
第十一章 三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形?
六边形
第十一章 三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形?
八边形
第十一章 三角形
三角形
长方形
四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的
八边形 定义吗?
在平面内,由一些不在同一条直线上的线 段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.从n边形的n个顶
点出发共可以引多
少条对角线?
n(n-3)
A2
2
A3
A1
An
A5
A4
A
C
G
B (1)
F
(2)
人教版八年级上册数学第十一章三角形全章课件
B
D
A DC
C
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系?
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是
B
在三角形的内部还是外部?
A
F
OE
C D
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
直角三角形的三条高
(2)它们所在的直线交于一点吗? D
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高不相交于 一点. 钝角三角形的三条高所在直线 交于一点.
O
F
B
C
E
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高.
三角形的三条高的特性:
•锐角三角形 •直角三角形 •钝角三角形
E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,
哪些是错误的. A
①AD是△ABE的角平分线( × )
②BE是△ ABD边AD上的中线( × ) ③BE是△ ABC边AC上的中线( × ) F
12 E G
④CH是△ ACD边AD上的高( √ ) B
H
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段.
3.(滨州中考)若某三角形的两边长分别为3和4,则下列
长度的线段能作为其第三边的是(
)
A.1
B.5
C.7
D.9
【解析】选B.设第三边为x,则1<x<7.
4.若△ABC的三边为a,b,c,则化简︱a+b-c︱+︱ba-c︱的结果是( ). A. 2a-2b B.2a+2b+2c C. 2a D. 2a-2c
人教版八年级数学上册第十一章 11.1.3 三角形的稳定性
图1
图2
知识点1 了解三角形的稳定性
我们来探究下面的问题. (1)如图,将三根木条用钉子钉成一个三 角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(2)如图,将四根木条用钉子钉成一个四 边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(3)如图,在四边形木架上再钉一根木条, 将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后再扭动 它,这时木架的形状还会改变吗?
(1)请完成下表: 多边形木架的边数 至少钉木条的根数
4 5 6… 1 2 3…
n n-3
(2)要使12边形木架不变形,至少要钉____9____根木条; (3)有一个多边形木架,至少要钉18根木条,才能使它不
变形,则这个多边形的边数是____2_1___.
11.1 与三角形有关的线段
11.1.3 三角形的稳定性
R·八年级上册
新课导入
• 盖房子时,在窗框未安装好之前, 木工师傅常常先在窗框上斜钉一 根木条(如右图),为什么这样 做呢?
• 学习目标: 1.知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性. 2.体验稳定性与不稳定性在生产、生活中的广 泛应用.
推进新课 工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋 顶钢架(图1),其中的道理是什么?盖房子时, 在窗框安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜 钉一根木条(图2),为什么要这样做呢?
8.根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学 原理.
(1)用两个钉子把木条固定在墙上; 解:两点确定一条直线.
(2)有一个不稳当的凳子,一名同学找来两根木条钉成如图 ①所示的样子; 三角形的稳定性.
(3)如图②,用三个边长相同的四边形做成的挂衣架. 解:四边形的不稳定性.
9.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一 根木条,要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条? 要使六边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n 边形木架不变形,又至少要钉多少根木条?
人教版八年级上册数学第11章 直角三角形的性质与判定1(20页)
∴△EFP为直角三角形.
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
归纳总结
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三 角形的定义,据此可判定直角三角形;“有两个角互余的 三角形是直角三角形”是直角三角形的判定,由三角形内 角和定理可知第三个角是直角,因此它的实质还是直角三 角形的定义.
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.已知∠A=37°,∠B=53°,则△ABC为( C )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
2.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( D )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A=
1 2
1 ∠B= 3
∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=2∠B=3∠C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
探究新知 知识点1:直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形,它们两锐角之和分别为多少? 那对于任意直角三角形,这一结论是否还成立呢?
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
如图, 在直角三角形ABC中,∠C = 90°, 由三角形内角和
定理,得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°,即
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.如图,∠ACB=90°, CD丄AB,垂足为D.∠ACD与∠B有什
么关系?为什么?
C
解: ∠ACD=∠B.理由如下:
因为∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCD=90°.
因为CD⊥AB,
A
所以∠BCD+∠B=90ห้องสมุดไป่ตู้.
部编人教版八年级数学上册第11章 三角形 全章热门考点整合应用【习题课件】
1 2
(∠C
-∠B).
考点三
8.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的四 个外角.若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= __3_0_0_°___.
考点四
9.(中考•资阳)等腰三角形的两边长a,b满足|a-4|+ (b-9)2=0,求这个等腰三角形的周长.
考点四
解:∵|a-4|+(b-9)2=0, ∴|a-4|=0,(b-9)2=0. ∴a=4,b=9. 若腰长为4,则4+4<9,不能构成三角形; 若腰长为9,则9+4>9,能构成三角形. 故这个等腰三角形的周长为9+9+4=22.
【点拨】同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比.
考点二
解:如图,过点 E 作 EF⊥AC 于点 F, 1
过则点SS△△DACEECC作=C212DAGCC⊥··EEAFFB=于DA点CC=G,23.
1 则SS△△AAEBCC=212AAEB··CCGG=AAEB=A4E.
考点二
∴SS△△DAEECC·SS△△AAEBCC=23·A4E,即SS△△DABECC=A6E. 又∵SS△△DABECC=12,∴A6E=12,即 AE=3. ∴BE=AB-AE=1.
考点一
2.下列说法正确的是( C ) A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B.多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角
或外角 C.各个角都相等,各条边都相等的多边形是正多边形 D.连接多边形的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线
考点二
3.如图,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2, AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于 △ABC面积的一半.求BE的长.
人教版 八年级上
第十一章 三角形
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠E=45°,∠C=30°,AB与DF交于点M.若BC//EF,则∠BMD的大小为()A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°答案:C分析:根据BC//EF,可得∠FDB=∠F=45°,再根据三角形内角和即可得出答案.由图可得∠B=60°,∠F=45°,∵BC//EF,∴∠FDB=∠F=45°,∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°,故选:C.小提示:本题考查了平行线的性质和三角形的内角和,掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键.2、如图,图中直角三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C分析:有一个角是直角的三角形是直角三角形.解:如图,直角三角形有:△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示:本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键,要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍,那么这个多边形有()条对角线.A.20B.27C.35D.44答案:C分析:根据多边形的内角和公式(n-2)•180°与外角和定理列出方程,然后求解,多边形对角线的条数可以表.示成n(n−3)2解:设这个多边形是n边形,根据题意得,(n-2)•180°=4×360°,解得n=10.10×(10-3)÷2=35(条).故选:C.小提示:本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角和的特征,及多边形对角线的条数公式.4、如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=19°,则∠2的度数为()A.41°B.51°C.42°D.49°答案:A分析:先求出正六边形的内角和外角,再根据三角形的外角性质以及平行线的性质,即可求解.解:∵正六边形的每个内角等于120°,每个外角等于60°,∴∠FAD=120°-∠1=101°,∠ADB=60°,∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的,∴∠2=∠ABD=41°,故选A小提示:本题主要考查平行线的性质,三角形外角性质以及正六边形的性质,掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键.5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°,∠F=45°),使点E落在AC边上,且ED//BC,则∠AEF的度数为( )A.145°B.155°C.165°D.170°答案:C分析:根据直角三角形两锐角互余求出∠1,再根据两直线平行,内错角相等求出∠2,然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF,即可求出∠AEF.解:∵∠A=60°,∠F=45°,∴∠1=90°-60°=30°,∠DEF=90°-45°=45°,∵ED∥BC,∴∠2=∠1=30°,∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°,∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示:本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质是基础题,熟记性质是解题的关键.6、如图,在△ABC中,AB=20,AC=18,AD为中线.则△ABD与△ACD的周长之差为()A.1B.2C.3D.4答案:B分析:利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果.∵在△ABC中,AD为中线,∴BD=CD.∵C△ABD=AB+BD+AD,C△ACD=AC+CD+AD,∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2.故选:B.小提示:本题考查三角形的中线的理解与运用能力.三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.明确三角形的中线的定义,运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键.7、如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠4D.∠1=∠5答案:A分析:根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断.解:A、∵∠1与∠2是对顶角,∴∠1=∠2,本选项说法正确;B、∵AD与AB不平行,∴∠2≠∠3,本选项说法错误;C、∵AD与CB不一定平行,∴∠3≠∠4,本选项说法错误;D、∵CD与CB不平行,∴∠1≠∠5,本选项说法错误;故选:A.小提示:本题考查平行线的应用,熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键.8、在△ABC中,若一个内角等于另外两个角的差,则()A.必有一个角等于30°B.必有一个角等于45°C.必有一个角等于60°D.必有一个角等于90°答案:D分析:先设三角形的两个内角分别为x,y,则可得第三个角(180°-x-y),再分三种情况讨论,即可得到答案.设三角形的一个内角为x,另一个角为y,则第三个角为(180°-x-y),则有三种情况:①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述,必有一个角等于90°故选D.小提示:本题考查三角形内角和的性质,解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质,分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是()A.B.C.D.答案:D分析:利用三角形具有稳定性直接得出答案.解:三角形具有稳定性,四边形、五边形、六边形都具有不稳定性,故选D.小提示:本题考查三角形的特性,牢记三角形具有稳定性是解题的关键.10、如图,小亮同学用绘画的方法,设计的一个正三角形的平面镶嵌图,其中主要利用的是正三角形和正六边形.如果整个镶嵌图△ABC的面积为75,则图中阴影部分的面积是()A.25B.26C.30D.39答案:B分析:正ΔABC中有多种图形,将不规则图形拆分后,可归结为四种图形,每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合,最后正ΔABC全部由小正三角形组成,根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案.如图所示,将不规则部分进行拆分,共有四种图形:正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形;其中一个正六边形可以分成6个小正三角形,较大正三角形可以分成4个小正三角形,平行四边形可以分成6个小正三角形,由图可得:正六边形有13个,可分成小正三角形个数为:13×6=78(个);较大正三角形有26个,可分成小正三角形个数为:26×4=104(个);平行四边形有5个,可分成小正三角形个数为:5×6=30(个);小正三角形个数为13个;∴一共有小正三角形个数为:78+104+30+13=225(个),∴图中阴影部分面积为:75×78=26,225故选:B.小提示:题目主要考查创新思维,将其进行分类分解是解题难点.填空题11、如图,在三角形ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足为D,AB=3,AC=4,BC=5,则AD=______.答案:2.4分析:根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD,代入相关数据求解即可.解:∵AB⊥AC,AD⊥BC,∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3,AC=4,BC=5,∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀:2.4小提示:此题主要考查了运用等积关系求线段的长,准确识图是解答本题的关键.12、如图,射线AB与射线CD平行,点F为射线AB上的一定点,连接CF,点P是射线CD上的一个动点(不包括端点C),将△PFC沿PF折叠,使点C落在点E处.若∠DCF=62°,当点E到点A的距离最大时,∠CFP=_____.答案:59°##59度分析:利用三角形三边关系可知:当E落在AB上时,AE距离最大,利用AB∥CD且∠DCF=62°,得到∠CFA=62°,再根据折叠性质可知:∠EFP=∠CFP,利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°,进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°.解:利用两边之和大于第三边可知:当E落在AB上时,AE距离最大,如图:∵AB∥CD且∠DCF=62°,∴∠CFA=62°,∵△PCF折叠得到△PEF,∴∠EFP=∠CFP,∵∠EFP+∠CFP=118°,∴∠EFP=∠CFP=59°.所以答案是:59°小提示:本题考查三角形的三边关系,平行线的性质,折叠的性质,补角,角平分线,解题的关键是找出:当E落在AB上时,AE距离最大,再解答即可.13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分,而三条中线交于一点,这一点叫此三角形的_________心.答案:重分析:根据三角形的重心的定义即可求解.三角形的三条中线交于一点,这一点叫此三角形的重心;所以答案是:重.小提示:本题主要考查了三角形的重心,重心是三角形三边中线的交点;三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.14、如图,BD是△ABC的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____.答案:2cm分析:根据三角形的中线的概念得到AD=DC,根据三角形的周长公式计算,得到答案.解:∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC,∴△ABD的周长-△CBD的周长=(AB+AD+BD)-(BC+DC+BD)=AB-BC=5-3=2(cm),∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm,所以答案是:2cm.小提示:本题考查的是三角形的中线的概念,三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.15、如图,孔明在驾校练车,他由点A出发向前行驶200米到B处,向左转45°.继续向前行驶同样的路程到C 处,再向左转45°.按这样的行驶方法,回到点A总共行驶了 __.答案:1600米##1600m分析:根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长,求出多边形的周长即可.解:根据题意得:360°÷45°=8,则他走回点A时共走的路程是8×200=1600(米).故回到A点共走了1600米.所以答案是:1600米.小提示:本意主要考查了多边形的外角和定理,即任意多边形的外角和都是360°.解答题16、如图,已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,AE是BC边上的高,AD是∠BAC的角平分线,求∠DAE的度数.答案:10°分析:先根据三角形内角和定理求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAD,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案.解:∵∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°,∵AD是∠BAC的角平分线,∴∠BAD=1∠BAC=50°,2∵AE是BC边上的高,∴∠AEB=90°,∴∠BAE=90°-∠B=60°,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°.小提示:本题主要考查了三角形内角和定理,角平分线的定义,直角三角形两锐角互余,熟知相关知识是解题的关键.17、如图,AD是△ABE的角平分线,过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C,点F在AB上,连接EF交AD于点G.(1)若2∠1+∠EAB=180°,求证:EF∥BC;(2)若∠C=72°,∠AEB=78°,求∠CBE的度数.答案:(1)见解析;(2)24°分析:(1)先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF,,再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°,进而可得出结论;(2)根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可.(1)证明:∵AD是△ABE的角平分线,∴∠EAB=2∠GAF,∵2∠1+∠EAB=180°,∴2∠1+2∠GAF=180°,∵∠1=∠AGF,∴2∠AGF+2∠GAF=180°,∴∠AGF+∠GAF=90°,∴∠AFG=90°,∵BC⊥AB,∴∠AFG=∠ABC==90°,∴EF∥BC;(2)解:∵∠C=72°,∠ABC==90°,∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°,∴∠EAB=2∠CAB=36°,∵∠AEB=78°,∴∠ABE==180°-(∠AEB+∠EAB)==90°-(78°+36°)==66°,∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°.小提示:此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质,熟记平行线的判定定理是解题的关键.18、在一个各内角都相等的多边形中,每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°.(1)求这个多边形的边数;(2)若将这个多边形剪去一个角,剩下多边形的内角和是多少?答案:(1)9;(2)1080º或1260º或1440º.分析:(1)设多边形的一个外角为x,则与其相邻的内角等于3x+20°,根据内角与其相邻的外角的和;是180°列出方程,求出x的值,再由多边形的外角和为360°,求出此多边形的边数为360°x(2)剪掉一个角以后,多边形的边数可能增加了1条,也可能减少了1条,或者不变,根据多边形的内角和定理即可求出答案.解:(1)设每一个外角为x,则与其相邻的内角等于3x+20°,∴180°−x=3x+20°,∴x=40°,即多边形的每个外角为40°,∵多边形的外角和为360°,∴多边形的外角个数为:360°=9,40°∴这个多边形的边数为9;(2)因为剪掉一个角以后,多边形的边数可能增加了1条,也可能减少了1条,或者不变,①若剪去一角后边数减少1条,即变成8边形,∴内角和为(8−2)×180°=1080°,②若剪去一角后边数不变,即变成9边形,∴内角和为(9−2)×180°=1260°,③若剪去一角后边数增加1,即变成10边形,∴内角和为(10−2)×180°=1440°,∴将这个多边形剪去一个角后,剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°.小提示:本题考查了多边形的内角和定理,外角和定理,多边形内角与外角的关系,熟练掌握相关知识点是解题的关键.。
人教版八年级上册第十一章.doc
蠢鑫©0 .捻输物人教版八年级上册第十一章第一课时11.1全等三角形【教材分析】全等三角形是八年级上册数学教材第十一章第一节的教学内容。
本节课是“全等三角形”的开篇,也是进一步学习其它图形的基础之一。
通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其它图形知识打好基础本节教材在编排上意在通过全等图案引入新课教学,在新课教学中又由直观演示图形的平移、翻折、旋转过渡,学生容易接受。
【教学目标】1、知识与能力理解全等三角形及相关概念,能够在不同位置的两个全等三角形中识别对应边、对应角、对应顶点,并掌握识别规律;探索并掌握全等三角形的性质,能够利用性质解决简单的问题.2、过程与方法通过观察、动手操作感受全等图形的特征。
在探索全等三角形性质的过程中,体会研究问题的方法。
3、情感、态度与价值观培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识.【教学重难点】难点:全等三角形及相关概念;全等三角形的性质应用。
难点:能准确识别不同位置的全等三角形及其中的对应顶点,对应角和对应边。
【教学思路】创设情镜--观察感受--探究合作--应用提高通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动,让学生在动手操作的过程中,感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律,以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。
【教学过程】「条分利用网络游戏,挖掘背景备一、创设情境,导入新课匕二^一源,吸引学生,易于理解概念1、活动]在网上下载《连连看》游戏。
-----------------------------师:你们玩过这游戏吗?你会玩吗?学生会答:游戏《连连看》,只要将相同的两张牌用三根以内的直线连在一起就可以消除。
师:这里强调的是相同牌。
我们只研究它们的形状、大小,你观察下这游戏规则里说的相同符合什么条件?学生独立发表自己的看法。
师:老师手中的两个三角形有什么美妙的关系吗?你们比一比。
A D学生回答:这两个三角形是完全重合的.2、获取概念让学生用自己的语言叙述:全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在•起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念,并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求.将ZABC沿直线BC平移得ZBEF;将ZABC沿BC翻折180。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
三角形几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)一基本概念:三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识:1.三角形中,第三边长的判断:另两边之差<第三边<另两边之和.2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA.4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和. 6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即: (1) AC ·CB=CD ·AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A .8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.10.等边三角形是特殊的等腰三角形.11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明. 12.符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图. ※18.几何重要图形和辅助线: (1)选取和作辅助线的原则:① 构造特殊图形,使可用的定理增加; ② 一举多得;③ 聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角; ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)BC的中线)(3)已知三角形中线(若AD是(5)其它。
人教版八年级上册数学第11章《三角形》11.1-11.2(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)三角形的基本概念及其性质:理解三角形的定义、分类及性质,掌握内角和定理、外角定理等核心知识点。
-例如:讲解内角和定理时,强调三角形的内角和为180°,通过实际测量、图形展示等方式加深学生理解。
-三角形的性质:内角和定理、外角定理、三角形的重心、外心、内心、垂心等。
2.三角形的判定方法;
-判定三角形类型的方法:角度判定、边长判定;
-判定等腰三角形的方法:底角相等、底边相等、高线相等。
3.三角形全等的判定方法;
- SSS(边-边-边)全等定理;
- SAS(边-角-边)全等定理;
- ASA(角-边-角)全等定理;
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过三角形的情况?”(如三角形的稳定性在自行车架中的应用)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索三角形的奥秘。
五、教学反思
在本次教学过程中,我深刻地感受到了三角形知识的教学重点和难点。从学生的反馈来看,他们在理解三角形的性质、判定方法和应用方面还存在一定的困难。下面我就教学过程中的几点体会进行反思。
首先,关于三角形性质的教学,我意识到需要更加直观地呈现给学生。在讲解内角和定理时,虽然通过理论推导和图形展示进行了解释,但仍有部分学生难以理解。今后的教学中,我考虑增加一些动手操作的活动,如让学生自己测量三角形的内角和,以加深他们对这一性质的认识。
人教版八年级数学上册第十一章三角形小结与复习课件
例11 如图,∠A=51°,∠B=20°, ∠C=30°,求∠BDC的度数.
A
51 °
20 ° D B
C
解:连接AD并延长于点E.
A
在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,
在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.
D
20 °
因为∠BDC=∠3+∠4,
B
∠BAC=∠1+∠2,
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x , 则2x + 3x + 4x = 180° ,解得 x=20°, ∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=80°.
例9 如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,∠A= 50°,∠B=70°,求∠EDC,∠BDC的度数.
解:∵∠A=50°,∠B=70°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°. ∵CD是∠ACB的平分线, ∴∠BCD= 1∠ACB=30°.
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是 (n 2)180 , n
正多边形的每个外角的度数是 360 .
n
考点讲练
考点一 三角形的三边关系
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长 度为13cm的木棒呢?
解:取长度为2cm的木棒时,由于2+5=7<8,出 现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能 摆成三角形.取长度为13cm的木棒时,由于 5+8=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所 以它们也不能摆成三角形.
⊥AC, △BDE是等边三角形,求∠C的度数.
解:设∠C=x °,则∠ABC=x°,
人教版八年级数学上册第11章1-2-1-3
从△ ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在直线画垂线,垂足为D,所得线 段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的高
图 形
特别提醒 1. 三角形的高是一
条垂线段,一个 端点是顶点,另 一个端点是垂足. 2. 画三角形高的关 键:找准顶点和 对边;步骤:过 直线外一点作该 直线的垂线段.
知1-讲
性 ∵ AD 是△ ABC 的边BC 上的高(已知),
知1-练
解:A . 图中AD 不是△ ABC 边AC 上的高,不合题意; B. 图中BD 不是△ ABC 边AC 上的高,不合题意; C. 图中AD 是△ ABC 边BC 上的高,不合题意; D. 图中BD 是△ ABC 边AC 上的高,符合题意.
答案:D
知1-练
1-1.用三角板作△ ABC的边BC 上的高,下列三角板的摆放 位置正确的是( A )
所得的垂线段就是这条边上的高. 拓宽视野 三角形的三条高所在直 线交于一点,这一点称为这 个三角形的垂心.
3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
知1-讲
图形
知1-讲
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三条 高的 位置
三条高都在三 角形内部
直角边上的高分别 钝角两边上的高
与另一条直角边重 在三角形的外部,
知3-讲
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
条数
三条
三条
三条
锐角三 在三角 角形 形内
交点 直角三 在直角 位置 角形 顶点处
在三角形内
在三角形内
钝角三 在三角 角形 形外
三角形中三个重要的点: 三条高所在直线的交点叫垂
心,三条中线的交点叫重心, 三条 角平分线的交点叫内心.
人教版八年级上册-11
√
探究4:
如图三角形中,假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形旳边爬到点C,它有几条路线能够选择?各条路线旳长一样吗?
A
B
C
路线1:由点B到点C
路线2:由点B到点A,再由点A到点C。
两条路线长分别是BC,AB+AC.
由“两点之间,线段最短”能够得到AB+AC>BC
同理可得:AC+BC>AB,AB+BC>AC
追问 处理此类问题我们一般用哪两条线段旳和与第三条线段做比较就能够了?为何?
巩固并利用“三角形两边旳和不小于第三边”
用一条长为18cm旳细绳围成一种等腰三角形.(1)假如腰长是底边旳2倍,那么各边旳长是多少?
解:(1)设底边长 x cm,则腰长为2x cm. x+2x+2x=18 解得:x=3.6∴三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm .
D
B
A
C
1.图中有几种三角形?用符号表达这些三角形
2.以BD为边旳三角形有哪些?
3.以点A为顶点旳三角形有哪些?
答:有△ ABD 、△BCD
答:三个 分别是:△ ABD 、△ABC、 △DBC
答:有△ ABD 、△ABC
活学活用:
1、图中共有_____个三角形? 它们分别是___________________________. ___________________________.
三角形旳定义::由 旳 所构成旳图形叫三角形 。
不在同一条直线上
三条线段
首尾顺次相接
想一想:观察三角形形成过程,说一说什么叫三角形?
了解三角形旳有关概念
?
三角形定义旳辨析:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
人教版八年级数学上册第11 章§11. 2三角形全等的条件§11. 2.1三角形全等的条件(一)§11. 2.1三角形全等的条件(二)§11. 2.3三角形全等的条件(三)§11. 2.3三角形全等的条件---直角三角形全等的判定(四)§11. 3角的平分线的性质(一)§11. 3.2角的平分线的性质(二)§ 11.1全等三角形教学目标1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境1、问题:你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?A A1B C B1C1这两个三角形是完全重合的.2.学生自己动手(同桌两名同学配合)取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.3.获取概念让学生用自己的语言叙述:全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起,能够完全重合, ?就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念,并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求.Ⅱ.导入新课利用投影片演示将△ ABC沿直线 BC平移得△ DEF;将△ ABC沿 BC翻折 180°得到△ DBC;将△ABC 旋转 180°得△ AED.AA DBD E CAB C E F D B C甲乙丙议一议:各图中的两个三角形全等吗?不难得出:△ABC≌△ DEF,△ ABC≌△ DBC,△ ABC≌△ AED.(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考:寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢?(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.[ 例 1] 如图,△ OCA≌△ OBD,C 和 B,A 和 D 是对应顶点, ?说出这两个三角形中相等的边和角.C BOA D问题:△ OCA≌△ OBD,说明这两个三角形可以重合, ?思考通过怎样变换可以使两三角形重合?将△ OCA翻折可以使△ OCA与△ OBD重合.因为 C和 B、A 和 D是对应顶点,?所以 C 和 B 重合, A 和 D重合.∠C=∠B;∠ A=∠ D;∠ AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.总结:两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.[ 例 2] 如图,已知△ ABE≌△ ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,?指出其他的对应边和对应角.AB D E C分析:对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ ABE和△ ACD从复杂的图形中分离出来.根据位置元素来找:有相等元素,它们就是对应元素, ?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.解:对应角为∠ BAE和∠ CAD.对应边为 AB与 AC、AE与 AD、BE与 CD.[ 例 3] 已知如图△ ABC≌△ ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)ACEOB D借鉴例 2 的方法,可以发现∠ A=∠A,?在两个三角形中∠ A 的对边分别是 BC和DE,所以 BC和 DE是一组对应边.而 AB与 AE显然不重合,所以 AB?与 AD是一组对应边,剩下的 AC与 AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠ B 与∠ D 是对应角,∠ ACB与∠ AED是对应角.所以说对应边为AB与AD、AC与 AE、BC与 DE.对应角为∠ A 与∠ A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED.做法二:沿 A 与 BC、DE交点 O的连线将△ ABC?翻折 180°后,它正好和△ ADE 重合.这时就可找到对应边为: AB与 AD、 AC与 AE、 BC与 DE.对应角为∠ A 与∠A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED.Ⅲ.课堂练习课本 P90 练习 1.课本 P90 习题 14. 1 复习巩固1.Ⅳ.课时小结通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质, ?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.找对应元素的常用方法有两种:(一)从运动角度看1.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法:沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据位置元素来推理4 / 281.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.Ⅴ.作业课本 P90习题 14.1、复习巩固 2、综合运用 3.课后作业 : <<三级训练>>板书设计§11.1 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例1:(运动角度看问题)例2:(根据位置来推理)例3:(根据位置和运动角度两种办法来推理)四、小结:找对应元素的方法运动法:翻折、旋转、平移.位置法:对应角→对应边,对应边→对应角.§11.2 三角形全等的条件§11.2.1 三角形全等的条件(一)教学目标1.三角形全等的“边边边”的条件.2.了解三角形的稳定性.3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、 ?归纳获得数学结论的过程.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程Ⅰ.创设情境,引入新课出示投影片,回忆前面研究过的全等三角形.已知△ ABC≌△ A′B′C′,找出其中相等的边与角.A A'B C B'C'图中相等的边是: AB=A′ B、 BC=B′ C′、 AC=A′C.相等的角是:∠ A=∠ A′、∠ B=∠B′、∠ C=∠C′.展示课作前准备的三角形纸片,提出问题:你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少呢?现在我们就来探究这个问题.Ⅱ.导入新课出示投影片1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等), ?画出的两个三角形一定全等吗?2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按下列条件做一做.①三角形一内角为30°,一条边为 3cm.②三角形两内角分别为30°和 50°.③三角形两条边分别为4cm、 6cm.学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.结果展示:1.只给定一条边时:只给定一个角时:2.给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.①3030303cm3cm3cm3050②3050③4cm4cm6cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?归纳:有四种可能.即:三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?1.作图方法:先画一线段 AB,使得 AB=6cm,再分别以 A、B 为圆心, 8cm、10cm为半径画弧, ?两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为 AB=6cm,AC=8cm, BC=10cm.2 .以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.?这说明这些三角形都是全等的.3 .特殊的三角形有这样的规律,要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A′B′C′,使AB=A′B′、 AC=A′C′、 BC=B′C′.将△ A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.[ 例] 如图,△ ABC是一个钢架, AB=AC, AD是连结点 A 与 BC中点 D 的支架.求证:△ ABD≌△ ACD.AB D C[ 师生共析 ] 要证△ ABD≌△ ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.证明:因为 D 是 BC的中点所以 BD=DC在△ ABD和△ ACD中AB ACBD CDAD AD (公共边)所以△ ABD≌△ ACD( SSS).生活实践的有关知识:用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的, ?而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性. ?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.Ⅲ.随堂练习如图,已知 AC=FE、BC=DE,点 A、D、B、F 在一条直线上, AD=FB.要用“边边边”证明△ ABC≌△ FDE,除了已知中的 AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?A CDBE F2.课本 P94 练习.Ⅳ.课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件, ?发现了证明三角形全等的一个规律 SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.Ⅴ.作业1 .习题 14.2 复习巩固 1、 2.习题14.2综合运用9.课后作业:《课堂感悟与探究》Ⅵ.活动与探索如图,一个六边形钢架ABCDEF由 6 条钢管连结而成,为使这一钢架稳固,请你用三条钢管连接使它不能活动,你能找出几种方法?A BF CE D本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用.结果:(1)可从这六个顶点中的任意一个作对角线,?把这个六边形划分成四个三角形.如图( 1)为其中的一种.( 2)也可以把这个六边形划分成四个三角形.如图( 2).(2)(1)板书设计§11.2.1 三角形全等的条件(一)一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等( SSS)二、例三、课堂练习四、小结§11.2.1 三角形全等的条件(二)教学目标1.三角形全等的“边角边”的条件.2 .经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程.3.掌握三角形全等的“ SAS”条件,了解三角形的稳定性.4.能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程一、创设情境,复习提问1.怎样的两个三角形是全等三角形?2.全等三角形的性质?3.指出图中各对全等三角形的对应边和对应角,并说明通过怎样的变换能使它们完全重合:图(1)中:△ ABD ≌△ ACE ,AB 与AC 是对应边;图(2)中:△ ABC ≌△ AED ,AD 与 AC是对应边.4.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?二、导入新课1.三角形全等的判定(二)(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:如图 2,AC 、BD相交于 O,AO、BO 、CO、 DO的长度如图所标,△ ABO 和△ CDO是否能完全重合呢?不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:AO =CO,∠AOB =∠ COD,BO=DO.如果把△ OAB绕着 O点顺时针方向旋转,因为 OA =OC,所以可以使 OA 与OC 重合;又因为∠ AOB =∠ COD, OB=OD ,所以点 B与点 D重合.这样△ ABO 与△ CDO就完全重合.(此外,还可以图 1(1)中的△ ACE 绕着点 A 逆时针方向旋转∠ CAB 的度数,也将与△ ABD 重合.图 1( 2)中的△ ABC 绕着点 A 旋转,使 AB 与 AE重合,再把△ ADE沿着 AE(AB) 翻折 180°.两个三角形也可重合 )由此,我们得到启发:判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.2.上述猜想是否正确呢?不妨按上述条件画图并作如下的实验:(1)读句画图:①画∠ DAE =45°,②在 AD 、 AE 上分别取B、C,使 AB =3.1cm,AC= 2.8cm.③连结 BC,得△ ABC .④按上述画法再画一个△A 'B'C'.(2)把△ A 'B'C'剪下来放到△ ABC 上,观察△ A 'B'C'与△ ABC 是否能够完全重合?3.边角边公理.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边” 或“ SAS”)三、例题与练习1.填空:(1)如图 3,已知 AD ∥ BC,AD = CB,要用边角边公理证明△ABC ≌△ CDA ,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD = CB(已知 ),二是___________;还需要一个条件 _____________(这个条件可以证得吗? ).(2)如图 4,已知 AB =AC ,AD =AE,∠ 1=∠ 2,要用边角边公理证明△ABD ≌ ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:_________________________这(个条件可以证得吗? ).2、例 1已知:AD ∥BC,AD = CB(图3).求证:△ ADC ≌△ CBA .问题:如果把图 3中的△ ADC 沿着 CA 方向平移到△ ADF的位置 (如图 5),那么要证明△ ADF ≌ △CEB,除了 AD ∥ BC、AD =CB的条件外,还需要一个什么条件 (AF= CE或AE = CF)?怎样证明呢?例2 已知: AB = AC、 AD =AE、∠ 1=∠ 2(图4).求证:△ ABD ≌△ ACE .四、小结:1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等 ),并要善于运用学过的定义、公理、定理.五、作业:1.已知:如图, AB =AC ,F、E分别是 AB 、AC 的中点.求证:△ ABE ≌△ACF.2.已知:点 A、 F、 E、C在同一条直线上,AF =CE,BE∥ DF, BE=DF.求证:△ ABE≌△ CDF.课后作业:<<课堂感悟与探究>>§ 11.2.3三角形全等的条件(三)教学目标1.三角形全等的条件:角边角、角角边.2.三角形全等条件小结.3.掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件.4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.教学重点已知两角一边的三角形全等探究.教学难点灵活运用三角形全等条件证明.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境1.复习:( 1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?三个角、三个边、两边一角、两角一边.(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?三种:①定义;② SSS;③ SAS.2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?Ⅱ.导入新课问题 1:三角形中已知两角一边有几种可能?1.两角和它们的夹边.2.两角和其中一角的对边.问题2:三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,?你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼规律:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ ASA”).问题 3:我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,?能不能作一个△ A′B′C′,使∠ A=∠A′、∠ B=∠B′、 AB=A′B′呢?①先用量角器量出∠ A 与∠ B 的度数,再用直尺量出AB的边长.②画线段 A′B′,使 A′B′=AB.③分别以 A′、 B′为顶点, A′B′为一边作∠ DA′B′、∠ EB′A,使∠ D′AB=∠ CAB,∠ EB′A′ =∠ CBA.④射线 A′D 与 B′ E 交于一点,记为 C′即可得到△ A′B′C′.将△ A′ B′ C′与△ ABC重叠,发现两三角形全等.EDC C'A B A'B'两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ ASA”).思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?探究问题 4:如图,在△ ABC和△ DEF中,∠ A=∠D,∠ B=∠E,BC=EF,△ ABC与△ DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?A DB C EF证明:∵∠ A+∠B+∠ C=∠D+∠E+∠ F=180°∠A=∠D,∠ B=∠E∴∠ A+∠B=∠D+∠ E∴∠ C=∠F在△ ABC和△ DEF中B EBC EFC F∴△ ABC≌△ DEF( ASA).两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“ AAS”).[ 例] 如下图, D在 AB上, E 在 AC上, AB=AC,∠ B=∠C.求证: AD=AE.[ 分析 ]AD 和 AE分别在△ ADC和△ AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ ADC ≌△ AEB即可.证明:在△ ADC和△ AEB中A AAC ABC B所以△ ADC≌△ AEB(ASA)所以 AD=AE.Ⅲ.随堂练习(一)课本 P99 练习 1、2.(二)补充练习图中的两个三角形全等吗?请说明理由.DDA 4550CE45502929B AC B(1)(2)答案:图( 1)中由“ ASA”可证得△ ACD≌△ ACB.图( 2)由“AAS”可证得△ACE≌△ BDC.Ⅳ.课时小结至此,我们有五种判定三角形全等的方法:1.全等三角形的定义2.判定定理:边边边( SSS)边角边( SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.Ⅴ.作业1.课本习题 14.2─5、6、14 题.课后作业:<<课堂感悟与探究>>板书设计11. 2. 3 三角形全等的条件(三)两角及其夹边一、两角一边两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1 .两角及其夹边对应相等的两三角形全等(ASA)2.两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等(AAS)§11.2.3 三角形全等的条件 ---直角三角形全等的判定(四)教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题。