高一数学幂函数知识点

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高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，也在解决实际问题中发挥着重要作用。

接下来，让我们一起深入了解幂函数的相关知识。

一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

这里需要注意的是，＼（α\）可以是有理数，也可以是无理数。

例如，＼（y ＝ x^2\），＼（y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＼），＼（y ＝ x^｛ 1}＼）等都是幂函数。

二、幂函数的图像幂函数的图像因其指数\（α\）的不同而具有不同的特征。

当\（α ＞ 0\）时：1、＼（α ＞ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越快；在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“一撇”，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

2、＼（0 ＜α ＜ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越慢；在\（（∞，0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“上凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

当\（α ＜ 0\）时：函数\（y ＝x^α\）在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减，且曲线向\（x\）轴、＼（y\）轴无限接近，但永不相交。

在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“下凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）。

特别地，当\（α ＝ 0\）时，函数\（y ＝ x^0 ＝ 1\）（＼（x ≠0\）），是一条平行于\（x\）轴的直线（去掉点\（（0, 1)＼））。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与其指数\（α\）有关。

当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）；当\（α\）为分数时，要考虑分母的奇偶性以及根号下式子的非负性来确定定义域。

2、值域幂函数的值域也与指数\（α\）有关。

高中幂函数知识点总结

引言：高中幂函数是高中数学中的重要部分，它在数学研究和实际问题中有着广泛的应用。

本文将对高中幂函数的知识点进行总结和整理，帮助学生完善对幂函数的理解和掌握。

概述：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是常数。

幂函数的特点是具有单调性和奇偶性，其图象通常为一条曲线。

在研究幂函数时，需要掌握其定义、性质和应用。

正文：一、幂函数的定义1.1 幂函数的基本形式幂函数的基本形式是y=x^n，其中n是常数。

幂函数的定义域为所有实数，且n可以是正整数、负整数、零和有理数。

1.2 幂函数的图象当n为正奇数时，幂函数的图象在第一象限和第三象限上单调递增；当n为正偶数时，幂函数的图象在第一象限上单调递增，且具有对称轴y=0；当n为负数时，幂函数的图象在第一、三象限上单调递减。

1.3 幂函数的特殊情况当n=1时，幂函数变为一次函数；当n=0时，幂函数变为常数函数；当n为正无穷大时，幂函数趋向于正无穷大；当n为负无穷大时，幂函数趋向于零。

二、幂函数的性质2.1 幂函数的单调性幂函数在定义域上的单调性与n的值有关。

当n为正奇数时，幂函数是增函数；当n为正偶数时，在非负区间上是增函数，在负区间上是减函数；当n为负数时，在非负区间上是减函数，在负区间上是增函数。

2.2 幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性与n的奇偶性有关。

当n为奇数时，幂函数是奇函数；当n为偶数时，幂函数是偶函数。

2.3 幂函数的零点当n为正奇数时，幂函数的零点为x=0；当n为正偶数时，幂函数的零点为x=0；当n为负奇数时，幂函数没有零点；当n为负偶数时，幂函数的零点为x=0。

三、幂函数的图象变换3.1 幂函数的平移幂函数的平移是指将幂函数的图象沿横轴或纵轴方向移动。

平移的方向和距离与平移的规律有关，具体可利用平移的公式进行计算。

3.2 幂函数的伸缩幂函数的伸缩是指将幂函数的图象进行纵向或横向的拉伸或压缩。

伸缩的方式和伸缩的规律有关，可利用伸缩的公式进行计算。

3.3 幂函数的翻折幂函数的翻折是指将幂函数的图象进行关于横轴或纵轴的翻折。

高一数学幂函数知识点归纳大全

高一数学幂函数知识点归纳大全在高一数学学科中，幂函数是重要的一个知识点。

幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a和n是实数，且a≠0，n≠0。

一、幂函数的定义及性质幂函数的定义就是函数的定义，即y = ax^n，其中a称为幂函数的底数，n称为指数。

幂函数的性质有以下几点：1. 当n为正整数时，幂函数表示乘方运算，例如y = 2x^3表示x的3次方。

2. 当n为负整数时，幂函数表示倒数，例如y = 2x^-2表示x的倒数的平方。

3. 当n为分数时，幂函数表示根式，例如y = 2x^(1/2)表示x的平方根。

4. 当n为零时，幂函数表示常数函数，即y = a，其中a为常数。

二、幂函数图像特征1. 当a>0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向上，且对称于y轴。

2. 当a>0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向上，且不对称于y 轴。

3. 当a<0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向下，且对称于y轴。

4. 当a<0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向下，且不对称于y 轴。

三、幂函数的变换幂函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到其他函数形式。

1. 平移：平移是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右移动。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标减2，可以得到y = 2(x-2)^3，实现了向右平移2个单位。

2. 伸缩：伸缩是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右拉长或缩短。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标扩大为原来的2倍，可以得到y = 2(2x)^3，实现了横向的伸缩。

3. 翻转：翻转是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右翻转。

例如，对于函数y = 2x^3，将函数的图像上下翻转，可以得到y = -2x^3，实现了关于x轴的翻转。

四、幂函数的应用1. 金融领域：在复利计算中，幂函数常被用于计算投资收益和贷款利息。

2. 自然科学领域：幂函数经常出现在自然界的现象中，如物体的自由落体运动中，下落距离与时间的关系可以用幂函数表示。

幂函数知识点高一必修一

幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。

在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。

本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。

一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。

当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。

二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。

2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。

4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。

三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。

1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。

2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。

3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。

4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。

5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。

综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。

高一数学人必修件第三章幂函数

分式型幂函数
要点一
函数形式
$y = x^a/b$ 或 $y = a/(x^b)$，其中 $b neq 0$
要点二
图像特点
根据 $a$ 和 $b$ 的取值不同，图像可能呈现出不同的形状和特点
要点三
性质
分式型幂函数的性质比较复杂，与 $a$ 和 $b$ 的取值密切相关。一般来说，当 $b > 0$ 时，函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单调递增或递减；当 $b < 0$ 时，函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单调递减或递增。此外，分式型幂函数可能具有渐近线、拐点等特性。
。
易错点二
混淆幂的运算性质。在运用幂的运算性质时，需特别注意底数和指数的变化规律，避免出现混淆
。
避免逐步推导求解。同时，多做相关练习题，加深对知识点的
理解和记忆。
拓展延伸：多元幂函数初步了解
多元幂函数的定义
形如$z=x^ay^b$（$a,b$为常数）的函数称为二元幂函数。类似地，可以定义三元及更多元的幂函数。
三次幂函数
函数形式
$y = ax^3$，其中 $a neq 0$
图像特点
一个关于原点对称的曲线
性质
比例系数 $a$ 决定了曲线的形状和走向，当 $a > 0$ 时，函数在整个定义域内单调递增；当 $a < 0$ 时，函数在整个定义域内单调递减。此外，三次幂函数具有拐点，即函数图像从凹到凸或从凸到凹的点。
指数型幂函数与对数的关系体现在：当且仅当a>1时，函数y=a^x在定义域内单调增加；当0<a<1时，函数y=a^x在定义域内单调减少。

高一必修一幂函数的知识点

高一必修一幂函数的知识点高一必修一：幂函数的知识点高一数学课程中，幂函数是一个重要的学习内容。

幂函数是一种常见的函数形式，在生活和工作中有广泛的应用。

幂函数的研究是数学中的重要课题，掌握了幂函数的知识，对于理解数学的其他分支，如微积分等，具有重要的意义。

本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用幂函数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数，其中a称为底数，n称为指数。

幂函数的图象一般呈现出曲线的形式，其性质包括：1. 定义域和值域：当指数n为正整数时，定义域为全体实数集，值域为(0, +∞)；当指数n为负整数时，定义域为非零实数集，值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集，并具有一至多个零点；当指数n为零时，定义域为整个实数集，值域为{1}。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数关于原点对称。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数n为负数时，幂函数在定义域的两侧是递减的。

4. 极限性质：当x无限趋近于正无穷时，幂函数的值也趋近于正无穷；当x无限趋近于负无穷时，幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。

二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。

具体来说，我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。

1. 底数a的变化对图像的影响：当底数a大于1时，幂函数的图像被压缩，曲线变得更陡峭；当底数a小于1时，幂函数的图像被拉伸，曲线变得更平缓。

2. 指数n的变化对图像的影响：当指数n为正数时，幂函数的图像在y轴上方增长，形成上升的曲线；当指数n为负数时，幂函数的图像在y轴下方增长，形成下降的曲线。

3. 圆形与直线的比较：幂函数的图像与圆的曲线相似，但在其特定区间内，幂函数的图像会出现与直线相切的情况，这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。

高一数学幂知识点

高一数学幂知识点幂作为数学中的一个重要概念，在高一数学中占据着重要地位。

掌握好幂的定义、运算规则以及一些常见的性质和应用，对于理解和解决数学问题是至关重要的。

本文将为大家详细介绍高一数学中的幂知识点。

一、幂数的定义在数学中，幂是指将一个数乘以自身多次的运算。

其中，被乘的数称为底数，用字母a表示；乘积中相同的因数的个数称为指数，用字母n表示。

幂的表示方式为aⁿ。

例如，当a=2，n=3时，2ⁿ = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8。

二、幂数的运算规则1. 幂的乘法规则：当两个幂的底数相同时，它们的指数相加。

即，aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。

例如，2² × 2³ = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。

2. 幂的除法规则：当两个幂的底数相同时，将它们的指数相减。

即，aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ。

例如，3⁵ ÷ 3² = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27。

3. 幂的乘方规则：幂的乘方指的是将一个幂再次乘以指数。

即，(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ。

例如，(4²)³ = 4⁶ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096。

三、幂的性质1. 任何数的零次幂等于1：即，a⁰ = 1（其中a不等于0）。

例如，2⁰ = 1。

2. 任何非零数的负整数次幂等于其倒数的正整数次幂：即，a⁻ⁿ = 1 / (aⁿ)（其中a不等于0）。

例如，3⁻² = 1 / (3²) = 1 / 9。

3. 指数为1的幂等于底数本身：即，a¹ = a。

例如，5¹ = 5。

四、幂的应用幂的概念在数学中有着广泛的应用，尤其在代数、几何和物理等领域中经常被使用。

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一　幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．(　×　)2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.(　√　)3．y ＝与y ＝定义域相同．(　×　)4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)一、幂函数的概念例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案　AD解析　B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解　由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1　已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案　A解析　因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案　B解析　根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2　函数f (x )＝的大致图像是( )答案　A解析　因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解　(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟　比较幂值大小的方法跟踪训练3　比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解　(1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例　已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解　因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升]　(1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案　B解析　函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案　A解析　由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案　A解析　可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案　A解析　∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案　C解析　因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案　B解析　幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案　A解析　所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案　A解析　∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案　C解析　选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案　B解析　∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案　[－5,4]解析　由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案　b <a <c解析　由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解　因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解　(1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案　B解析　由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案　B解析　y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案　9解析　由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案　(3,5)解析　∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案　1解析　由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解　(1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。

高一数学指对幂函数知识点

高一数学指对幂函数知识点在高一数学课程中，学生们将会接触到许多数学知识，其中之一就是幂函数。

幂函数是数学中非常重要的一部分，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将从定义、性质及应用三个方面，对幂函数进行详细介绍。

一、幂函数的定义与基本性质幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数且大于0，x属于实数集。

幂函数的图像通常是一个与x轴的交点为(0, 1)的变化趋势递增或递减的曲线。

当a>1时，幂函数呈指数增长趋势；当0<a<1时，幂函数呈指数衰减趋势。

幂函数有一些基本的性质，首先是定义域。

对于幂函数f(x) = a^x，由于a>0，故定义域为所有实数。

其次是值域。

当a>1时，f(x)的值域为(0, +∞)；当0<a<1时，f(x)的值域为(0, 1)。

幂函数还具有一些特殊的性质，比如当x为0时，幂函数f(x)的值为1。

这可以从定义中直接得出，当x=0时，a^0=1。

此外，幂函数的单调性与横截距也是值得关注的性质。

当a>1时，幂函数呈递增趋势，且在x轴的正半轴上无横截距；当0<a<1时，幂函数呈递减趋势，且在x轴的正半轴上有横截距。

二、幂函数的应用幂函数在实际问题中有着广泛的应用。

首先是在经济学中的应用。

在经济学中，幂函数可以用来描述一些经济指标的增长趋势。

比如，GDP增长速度可以用幂函数来描述，这有助于分析和预测经济发展的趋势。

其次是在生物学中的应用。

在生物学中，幂函数可以用来描述一些生物体的增长规律。

例如，人口增长模型就可以用幂函数来描述，这有助于研究人口增长的变化规律以及制定相应的政策。

此外，幂函数还可以用来表示一些物理学中的规律。

比如，当物体受到空气阻力时，在自由下落过程中速度与时间的关系可以用幂函数来表示。

这可以帮助我们理解物体在真实环境中的运动规律。

三、幂函数的图像与变换在绘制幂函数的图像时，我们可以通过计算多个点的函数值来得到一个大致的曲线。

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中的重要概念之一，在高一数学学习中也占据了重要的地位。

掌握幂函数的知识点对于高中数学学习的深入理解和解题能力的提升都具有重要意义。

本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，并提供相关示例和解题思路，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、幂函数的定义和基本性质1. 定义：幂函数是指形如y = x^a（其中a表示常数）的函数，这里x是自变量，y是因变量。

幂函数中，指数a可以是正数、负数或零。

2. 基本性质：- 当a>0时，函数是增函数；- 当a<0时，函数是减函数；- 当a=0时，函数是常数函数；- 当x>1时，函数值增大较快；当0<x<1时，函数值减小较快；- 函数图像关于y轴对称（当指数为偶数）或者关于原点对称（当指数为奇数）。

二、幂函数的图像和特殊情况1. 幂函数的图像：不同指数a对应的幂函数图像有所不同，可以通过绘制函数图像来直观地理解幂函数的特点。

2. 特殊情况：- 当a>1时，可以看到幂函数的图像在原点处有一个变化方向的拐点；- 当0<a<1时，幂函数的图像在原点处有一个极值点，对称轴为y 轴；- 当a=1时，幂函数为y=x，即一次函数；- 当a=0时，幂函数为y=1，即常数函数；- 当a<0时，幂函数的图像会经过y轴正半轴和负半轴两个点，形状类似于倒置的U型。

三、幂函数的图像变换和平移1. 横向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整指数a的大小来实现横向的压缩和拉伸。

当a>1时，图像会被压缩；当0<a<1时，图像会被拉伸。

2. 纵向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整函数的整体乘积常数k来实现纵向的压缩和拉伸。

当k>1时，图像会被压缩；当0<k<1时，图像会被拉伸。

3. 平移操作：幂函数图像可以通过横向和纵向平移来实现整体位置的调整。

横向平移可以通过修改自变量x的值来实现；纵向平移可以通过修改常数项b来实现。

高一数学幂函数知识点

高一数学幂函数知识点1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数）注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是；（2）.判断是否为幂函数的依据：y x α=①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5,y x y x y x ααα===+等都不是幂函数.2.幂函数的图象按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分3.幂函数y x α=在第一象限图象特征（1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12y x =（3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如12y x -= 4.幂函数的性质（1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增.（3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴. （4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,pp q p q N qα+=∈为互质，时a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p qy x =为偶函数 b. 若q 为偶数，则p 必为奇数，此时pqy x =为非奇非偶函数（5）.幂函数的定义域①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,pp q N q p q qα+=∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,pp q N q p q qα+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠.。

数学高中幂函数知识点总结

数学高中幂函数知识点总结一、幂函数的定义幂函数是形如y = ax^b (a ≠ 0)的函数，其中a、b为常数且b为实数。

当b为自然数时，叫做指数函数；当b为整数时，叫做整数幂函数。

二、幂函数的基本性质1、幂函数的定义域：要求x的b次幂在任何实数范围内都有定义，即x∈R。

2、幂函数的值域：当b为正数时，a为正值时，y的取值范围是(0,+∞)；当b为正数时，a为负值时，y的取值范围是(-∞,0)；当b为负数时，函数图象经过第二象限，y的取值范围是(0,+∞)，a的正负对y的取值范围没有影响。

3、幂函数的奇偶性：b为偶数时，函数图象关于y轴对称；b为奇数时，函数图象关于原点对称。

4、幂函数的单调性：在定义域内，当b>0时，a>0时y随x增大而增大；当b>0时，a<0时y随x增大而减小。

5、幂函数的图象：a) b>0时，a>1时的函数图象是上凸的抛物线，a<1时的函数图象是下凸的抛物线；b) b<0时，a>0时的函数图象是一条破折线；c) b=1时，函数图像是一条直线。

6、幂函数的增长性：a) 当a>1，b>0时，y随x增大而增大；b) 当0<a<1，b>0时，y随x增大而减小；c) 当a>0，b<0时，y随x增大而减小。

三、幂函数的运算性质1、乘法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的乘积是幂函数y=abx^(m+n)。

2、除法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的商是幂函数y=(a/b)x^(m-n)。

(b≠0)3、幂函数的乘方：(ax^m)^n = a^nx^(m*n)。

四、幂函数的应用1、指数增长和指数衰减：指数增长是指幂函数的指数大于1且底数大于1时，函数值随自变量的增大而呈指数增长；指数衰减是指幂函数的指数大于1且底数小于1时，函数值随自变量的增大而呈指数衰减。

2、复利问题：利息的计算通过年限n^{'}m即可直接得到m*n倍经过以上的总结，我们对高中幂函数的相关知识有了更深入的了解。

3.3 幂函数(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

3.3 幂函数重难点幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数()y f x =的图像过点⎛ ⎝，则(16)f =（）A ．14-B ．14C ．4-D ．4【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数()a f x x =的图象经过点(，则函数()f x 的解析式是（）A ．()43f x x =B ．()13f x x =C．()43f x x-=D．()2 3f x x=重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=【答案】AA．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象过点()2,32，若()()110f a f ++->，则a 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()1,-+∞【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在R 上单调递增，()()110f a f ++->可转化为()()11f a f +>，根据单调性即可求解.【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点()2,32，所以232α=，解得5α=，所以()5f x x =.因为()()()5f x x f x -=-=-，所以()5f x x =为奇函数，且在R 上单调递增，所以()()110f a f ++->可化为()()()111f a f f +>--=，可得11a +>，解得0a >，所以a 的取值范围为()0,∞+.故选:C.（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.【详解】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，1233<，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，1152<；所以22331152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223323111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.【点睛】同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设e e a =，e πb =，πe c =，则,,a b c 大小关系是A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C 【分析】由幂函数的单调性可以判断出,a b 的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出,a c 的大小关系，比较,b c 的大小可以转化为比较eln π与π的大小，设()eln f x x x =-求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出eln π与π的大小关系，最后确定,,a b c 三个数的大小关系.【详解】解:由幂函数和指数函数知识可得e e πe >，πe e e >，即b a >，c a >.下面比较,b c 的大小，即比较eln π与π的大小.设()eln f x x x =-，则e ()xf x x-'=，()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，(e)(π)f f ∴>，即eln e e eln ππ->-，即eln ππ<，e ππe ∴<，即c b >，即c b a >>，故选C.【点睛】本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.重难点题型突破3 幂函数型复合函数(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得m ，从而得到函数()f x 的解析式；（2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果.【详解】（1）∵()223mm f x x --+=，其中22m -<<，m ∈Z当1m =-时()2f x x =，当0m =时()3f x x =，当1m =时()01f x x ==，（0x ≠），∵()f x 在区间()0,∞+上单调递增，∴1m =-，或0m =选①时，可知函数()f x 为偶函数，则()f x 的解析式为()2f x x =，选②时，可知函数()f x 为奇函数，则()f x 的解析式为()3f x x =.（2）若函数()[]233f x x ,x ,=∈-易知()2f x x =在[]3,0-上单调递减，在[]0,3上单调递增当0x =时，()min 0f x =，当3x =±时，()max 9f x =，∴()f x 的值域为[]0,9.若()[]333f x x ,x ,=∈-，易知()3f x x =在[]3,3-上是增函数当3x =-时，()min 27f x =-，当3x =时，()max 27f x =，∴()f x 的值域为[]2727,-.。

高中数学幂函数知识点整理

高中数学幂函数知识点整理高中数学是中学数学阶段的一个重要环节，幂函数是高中数学中一个比较重要的部分。

知识点整理能够帮助我们更好地理解和掌握幂函数的知识，以下是高中数学幂函数知识点整理。

1. 幂函数的定义与性质幂函数是指具有f(x)=kx^n（其中n是一个正整数，k是常数）形式的函数。

其函数图像的形状与n的奇偶性与k的正负有关。

随着x的增大，当n为偶数时，函数图像会向上和向下两侧逼近x轴变得更陡峭；当n为奇数时，函数图像会从负无穷一直上升（或下降）。

2. 幂函数的图像从图像上看，幂函数在x轴左侧斜率比在x轴右侧小，n的值越大，平滑度越高。

而当n=1的时候，幂函数成为了一条直线，称为一次函数。

3. 幂函数的导数在求幂函数的导数时，需要使用到求导公式。

设f(x)=x^n，则有f'(x)=nx^(n-1)。

幂函数的导数就是幂函数下标减一后的系数和x的幂次。

4. 幂函数的反函数幂函数的反函数就是开n次方函数，记作f(x)=x^(1/n)。

开n次方函数是单调递增的函数，在x轴左侧取值为正，右侧为负。

当n为偶数时，x轴右侧没有定义；当n为奇数时，开根号后的函数只有一个实根。

5. 幂函数的应用幂函数在数学中有较多的应用，如在物理学上可以用幂函数描述振动、波及各种力的作用等；在生物学中可以用幂函数描述生长趋势；在经济学上可以用幂函数描述收入分配等等。

6. 幂函数的扩展除了上述介绍的正整数幂函数，还有其他一些幂函数的形式。

如分数幂函数f(x)=x^(m/n)(其中m和n为互质正整数)，虽然与正整数幂函数在形式上不同，但它们的性质是相似的。

总而言之，高中数学幂函数知识点的整理可以帮助我们更好地掌握幂函数的性质和应用，同时也为未来更深入学习相关数学领域奠定了坚实的基础。

高中数学幂函数知识点

⾼中数学幂函数知识点进⼊到⾼⼀阶段,⼤家的学习压⼒都是呈直线上升的,因此平时的积累也显得尤为重要,下⾯⼩编给⼤家分享⼀些⾼中数学幂函数知识，希望能够帮助⼤家，欢迎阅读!⾼中数学幂函数知识11.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个⾃变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个⾃变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这⼀区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定⽅法(A)定义法：a.任取x1，x2∈D，且x1b.作差f(x1)-f(x2);c.变形(通常是因式分解和配⽅);d.定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);e.下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的⼦区间,不能把单调性相同的区间和在⼀起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数⼀般地，对于函数f(x)的定义域内的任意⼀个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数⼀般地，对于函数f(x)的定义域内的任意⼀个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利⽤定义判断函数奇偶性的步骤：a.⾸先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;b.确定f(-x)与f(x)的关系;c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.⾸先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是⾮奇⾮偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利⽤定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的⼀种表⽰⽅法，要求两个变量之间的函数关系时，⼀是要求出它们之间的对应法则，⼆是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要⽅法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10.函数最⼤(⼩)值(定义见课本p36页)a.利⽤⼆次函数的性质(配⽅法)求函数的最⼤(⼩)值b.利⽤图象求函数的最⼤(⼩)值c.利⽤函数单调性的判断函数的最⼤(⼩)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最⼤值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最⼩值f(b);.⾼中数学幂函数知识2⼀、⼀次函数定义与定义式：⾃变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的⼀次函数。

高中幂函数知识点总结

高中幂函数知识点总结在高中数学中，学生们需要掌握幂函数的基本性质、图像特征、变化规律以及应用等知识点。

下面就幂函数的这些知识点进行总结。

一、幂函数的基本性质1.定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集R，当a>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0时，幂函数的值域为(-∞,0)。

当b为实数时，定义域不变，值域也不变。

2.奇函数和偶函数当b为奇数时，幂函数为奇函数，其图像关于原点对称；当b为偶数时，幂函数为偶函数，其图像关于y轴对称。

3.增减性当b>0时，a^b是单调递增函数；当b<0时，a^b是单调递减函数；当a>1时，a^x是单调递增函数；当0<a<1时，a^x是单调递减函数。

4.奇偶性当b为偶数时，幂函数的值域为(0,+∞)，其奇函数；当b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,+∞)，其为奇函数。

5.图像特征当a>1时，幂函数的图像开口向上，且与y轴有交点(0,1)；当0<a<1时，幂函数的图像开口向下，且与y轴有交点(0,1)。

二、幂函数的变化规律1.当a>1时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。

2.当b>0时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当b<0时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。

3.在定义域内，当a大于1时，幂函数呈现增长趋势，a小于1时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数的图像是在a的基础上上升或下降，实际上是在描绘x的指数函数。

4.幂函数的图像经常在一轴上浮躺，显示出一种不平滑的弧度，变化没有一元二次函数的平稳。

随着a的变大或者减小，幂函数的图像与x轴的夹角越来越小。

5.当b不为整数，是一个更加复杂的形式；而指数函数是幂函数的一种特殊情况，b为整数时。

三、幂函数的应用1.在现实生活中，幂函数的变化规律被应用在各个方面，比如物理学中的指数增长和衰减模型、生物学中的人口增长模型、经济学中的利润增长模型等。

高一数学知识点幂函数知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中a为常数。

在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。

一、幂函数的定义和性质幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。

以下是幂函数的一些基本性质：1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。

当a为正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。

2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域也是全体实数集。

3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时，幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。

4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则幂函数在定义域上是递减函数。

5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(-1,1)。

二、幂函数的图像与变换1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。

2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。

3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。

若倍数k > 1，函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。

三、幂函数与指数函数的关系指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。

从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。

在本文中，我们将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。

1. 幂函数的定义和表示方式幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。

一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

2. 幂函数的基本性质2.1 幂函数的奇偶性与增减性：当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。

当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂函数是减函数。

2.2 幂函数的单调性：当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递减的。

2.3 幂函数的相关性质：a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)，(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。

3. 幂函数图像和特征幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。

3.1 幂函数的渐近线：当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。

3.2 幂函数的特殊点：当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。

3.3 幂函数的拐点：当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。

4. 幂函数的应用幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：4.1 音乐和声音强度的计算：声音的强度与音源与听者距离的幂函数关系密切，通过对幂函数的建模和计算，可以获得声音强度的变化规律。

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结高一数学知识点-幂函数知识点总结幂函数是高中数学中一种重要的函数类型，它在各种实际问题中的应用十分广泛。

本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，包括幂函数的定义、性质、图像和应用等方面。

一、幂函数的定义幂函数是指形如y = a^x的函数，其中a是一个正实数且a≠1，x是自变量，y是因变量。

其中，a被称为底数，x是指数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：对于底数为正实数且不为1的幂函数，它的定义域是全体实数，值域是(0, +∞)。

当底数为负实数时，定义域为奇数次幂的负实数和偶数次幂的非负实数，值域与正实数的幂函数相同。

2. 单调性：当底数a>1时，幂函数递增；当0<a<1时，幂函数递减。

3. 奇偶性：当底数a>0时，幂函数是奇函数；当底数a<0时，幂函数是偶函数。

4. 零点与解集：当底数a>0时，幂函数在x=0处有零点；当底数a<0时，对于偶数次幂的幂函数在x=0处有零点。

5. 渐近线：当底数a>1时，幂函数的图像有一个水平渐近线y=0；当0<a<1时，幂函数的图像有一个正轴渐近线y=0。

三、幂函数的图像幂函数在平面直角坐标系中的图像特点如下：1. 当底数a>1时，随着x的增大，幂函数的值也逐渐增大，当x趋近于无穷大时，y趋近于无穷大。

2. 当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小，当x趋近于无穷大时，y趋近于0。

3. 当底数a<0时，幂函数的图像会根据指数的奇偶性以及底数的正负性产生不同的变化，需要具体分析。

四、幂函数的应用幂函数在各个领域中都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 成长问题：幂函数可以用来描述人口、资源、财富等随时间呈指数增长或指数衰减的情况。

2. 科学实验：幂函数可以用来描述某些物理量随着条件变化的规律，例如温度随着时间的变化、放射性物质的衰减等。