第10章 稳恒磁场

2R
B＝
0
2
I R2 x3
(x ?
0)
R 2＝ S
B＝
0 IS
4x3
n
例题
【例 题】
求如图所示的电流中 P点的磁感应强度。
解 （a）依据长直导线所产
生的磁场的结论，可得正方形电流
的每一条直导线边在 P 点所产生的
磁场的磁感应强度的大小为
B1＝
0I
4a
[sin2－sin1
]
I
I
＝ 0I [sin －sin(－ )]
磁感线
10.2.3 磁通量
磁感线的特性 （1）磁感线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。 （2）任何两条磁感线在空间不相交。 （3）磁感线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。
I
N S
I
I
S
S
N
N
直电流的磁感线
圆电流的磁感线
螺线管电流的磁感线
10.2.3 磁通量 2. 磁通量
穿过磁场中某一曲面的磁感线总数，称为穿过该曲面的磁通量。
微分
dl＝－Rcsc2 d
R2
+
l
2＝
R2
sin 2
＝R2csc2

P
I
I
载流直螺线管
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
1 r
A1
P dB 2
A2

l
dl
直螺线管轴上各点磁感应强度的计算
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
比值。
B＝ Fmax qv
单位：特斯拉 1特斯拉＝104高斯（1T＝104GS）
磁场中磁感应强度的方向与该点运动电荷所受磁场力为零时的速 度方向相同；磁感应强度的量值等于具有单位正电荷以单位速度运动 时所受到的最大磁场力。
10.2.3 磁通量 1. 磁感线
磁感线：为描述空间磁场而引入的曲线。 磁场方向：磁感线的切线方向。 磁场强度：磁感线的密度。
微分
dl＝a sec2 d
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
B＝ 0I
4a
2 1
cos

d
＝
0I
4a
(sin
2－sin
1
)
关于 角的有关规定：当角 的旋转方向与电流流向相同时， 取
正值，反之取负值。
I
2
O
1
I O
2 1
P
1
O
P
P
I
2Байду номын сангаас
无限长直电流导线的磁场
电流 电动势
返回
10.1 电流 电动势
1. 电流密度
大量电荷有规则的定向运动形成电流。
电流密度
j＝ dI n dS
(A/m2)
A
B
电流在大块金属中的分布
10.1 电流 电动势
电流密度矢量 j 的方向沿该点电场 E 的方向，大小等于通过与该点电
场强度方向垂直的单位面积的电流强度。
I
dS E
电源中非静电力所做的功。
ε＝ÑL Ek gdl
10.2 磁场 磁感应强度
返回
10.2.1 基本磁现象
磁石吸铁
指南针
实验表明磁轴与自转轴并不 平行：11.5度的夹角。
磁极在不断漂移：地核比地 壳转动更快，约50万年翻转。
10.2.1 基本磁现象
2001年于中国上海浦东国际机场至地铁龙阳路站兴建磁悬浮 列车系统，并于2002年正式启用。该线全长30公里，列车最高时 速达430公里，由起点至终点站只需8分钟。
方向垂直于纸面向外
例题
垂直纸面向外为正方向时，P 点的总磁感应强度
B＝B2－B1
＝
0 I 4a cos
[1
+
sin
－cos
]
P
a

I
例题
补充例题 长直电流与圆电流的组合——求下各图中 O 点的 B 。
I
R O
B＝ 0I
8R
I
R
O
B＝ 0I
4R
O
I
R
B＝30I 0I
8R 4R
I RO
B＝ 0I 0I
4R 4R
I R O
B＝ 0I 0I
4R 2R
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
3. 载流直螺线管内部的磁场
dB＝ 0
2
R 2 Indl (R2 l3 )3/2
B＝ dB＝ 0 R2Indl
2 (R2 l3 )3/2
l＝Rcot
B＝
0 R2Indl
2 (R2 l 2 )3/2
＝
2 1
－
0
2
nIsin

d
＝ 0
2
nI (cos2－cos1)
（1） 对无限长的螺线管
B＝0nI
（2）对长直螺线管的端点
B＝
1 2
0
nI
B
0nI 2
A1
O
A2
螺线管轴线上的磁场分布
例题
【例 题】
半径为 R的薄圆盘均匀带电，总电量为 q。令此盘绕通过盘心且垂 直于盘面的轴线匀速转动，角速度为 ω 。求轴线上距盘心O 为 x 的点 P
用电器
E
Ek
电源
10.1 电流 电动势
作用在单位正电荷上的非静电力称为非静电场场强，记作 Ek
E k＝
Fk q
电源的电动势：单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，电
源中的非静电力所做的功。

＝
－
Ek
gdl
规定自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向。
由于Ek＝0 ，所以电源电动势又可定义为把单位正电荷绕闭合回路一周时，
引入磁感应强度矢量来描述磁场的强弱和方向。
磁感应强度 B 的方向使得 v B 和 F 同向。 当试验电荷 q的速度方向与磁场垂直时，它所受到的磁场力最大。
Fmax qv
IF B

v
IF B
v
B 的方向
B的大小
10.2.2 磁感应强度
磁感应强度的大小为试验线圈所受到的最大磁力矩与线圈磁矩之
1
→
(－
2
),
2
→
(+
) 2
B＝ 0I
2a
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
2. 圆形电流轴线上的磁场
y dl
IR
r
dB dB
O z
x r
x P dBP
dl
圆电流轴线上磁场的计算示意图
依据右手螺旋法则，可知电流元与激发的磁场垂直，则
dB＝
0
4
Idl
sin(Idl, r) r2
10.2.5 毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律：任一电流元Idl 在给定点 P 所产生的磁感应强度dB 的大小与电流元的大小成正比，与电流元和由电流元到 P 点的矢径 r 间的 夹角的正弦成正比，而与电流元到 P 点的距离 r 的平方成反比。dB 的方向 垂直于dl 和 r 所组成的平面，指向为由 Idl 经小于180°的角转向 r 时右手螺
旋前进的方向。
I dB
P r
dl
毕奥-萨伐尔定律
10.2.5 毕奥-萨伐尔定律
数学表达式
dB＝k Idlsin(Idl,r) r2
矢量式
dB ＝k
Idl r3
r
比例系数
k ＝ 0
4
真空的导磁率 0 ＝410－7 Tgm / A
真空中的毕奥-萨伐尔定律可表达为
dB＝
0
Idlsin(Idl,r 4r 2
dm＝Bcos dS＝BgdS
m＝ S BgdS
n
S
dS

B
磁通量
10.2.4 磁场中的高斯定理
由于磁感线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面的总磁 通量必为零。
Ñ BgdS＝0 磁场的高斯定理 S
这说明： （1）磁感线是无头无尾的闭合曲线； （2）磁场是无源场，磁场无磁单极存在。
＝ 0
4
Idl r2
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
由对称性可知
B＝ dB＝0
B＝ dBP＝ dBsin
＝
0
4
Idl r2
R r
＝ 0
4
IR r3
R
dl
0
＝ 0 2R2I ＝ 0
R2I
4 r3
2 (R2 x2 )3/2
沿 x 轴正向
B＝ 0I (x＝0)
近的磁场近似于均匀磁场。
10.3
安培环路定理
返回
10.3 安培环路定理
在静电场中
ÑL Egdl＝0
那么在稳恒磁场中
ÑL Bgdl＝
10.3.1 安培环路定理
磁感应强度B沿闭合曲线 L的线积分
ÑL Bgdl＝0I
曲线积分的绕行方向相反时
ÑL Bgdl＝－0I
闭合回路不包围载流导线时
ÑL Bgdl＝0
I
dI
电流密度矢量的引出
通过导体中任一面积的电流
I ＝S j cos dS＝S jgdS
n j
dS dS 说明电流密度的矢量性
10.1 电流 电动势 2. 电动势
I AB
电容器的放电
I
能把正电荷从电势较低的点(如 电源负极板)送到电势较高的点(如电源 正极板)的作用力称为非静电力，记
作 Fk 。提供非静电力的装置叫作电源。
磁力的传递者是磁场，磁场与电场一样是客观存在的特殊形态的物质。
运动电荷 （电流或磁铁）
磁场
运动电荷 （电流或磁铁）
（1）磁场对 进入场中的运动电 荷或载流导体有磁 力的作用；
磁场对外 的重要表现
（2）载流导体在 磁场中移动时，磁 场的作用力将对载 流导体做功，表明 磁场具有能量。
10.2.2 磁感应强度
均匀带电圆盘转动时在 P 点处产生的总磁感应强度 B 为
B＝
dB＝
0q
2R2
R 0
r 3dr (r 2 x2 )3/2
＝
0q
2R2

R2 2x2 R2 x2
－2x


沿 x 轴正方向。
实验室常用亥姆霍兹线圈获得均匀磁场，其结构为两个半径均是 R 的同轴圆线圈，两圆中心相距为 a ，且 a＝R 。可以证明，轴上中点附
I I
N
F
S
F
载流圈受到磁铁的作用而转动
10.2.1 基本磁现象
载流线圈间的相互作用
电流：电荷定向运动 磁体的磁效应与运动电荷有关吗
轨道圆电流
自旋圆电流
分子电流
10.2.1 基本磁现象
磁现象是根源于运动电荷的，磁力是运动电荷之间相互作用的表现。
S


N
电子射线在磁场中改变方向
10.2.2 磁感应强度
)
或
dB ＝
0
4
Idl r3
r
由叠加原理得知，任意形状的载流导线在给定点 P 产生的磁场，
等于各段电流元在该点产生的磁场的矢量和
B＝ dB＝ 0
L
4
Idl r L r3
10.2.5 毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律的微观意义
I ＝qnvS
电流元的带电粒子数
dN ＝nSdl
I
4Rsin 4
4
＝ 0I 4
2R
R Pa
例题
整个正方形电流在 P点产生磁场的磁感应强度
B正＝4g20RI
方向垂直于纸面向外
依据圆形电流在圆心处所产
生的磁场的结论，可得
B圆＝
0I
2R
P 点的总磁感应强度
R
I
I
Pa
B＝B正 +B圆 ＝
0I
2R
+
20I
R
方向垂直于纸面向外
例题
（b）依据长直导线所产生的磁场的结论，可得水平半无限载流长直
10.2.1 基本磁现象
1820年4月，丹麦物理学家奥斯特首先发现了电流的磁效应。
奥斯特
奥斯特实验
10.2.1 基本磁现象
同年法国科学家安培发现，放在磁铁附近的载流导线及载流线 圈，也会受到力的作用而发生运动。
S
I
F N
I
磁铁对载流导线的作用
10.2.1 基本磁现象
同年法国科学家安培发现，放在磁铁附近的载流导线及载流线 圈，也会受到力的作用而发生运动。
q
I
v
dl 研究运动电荷的磁场图
每个运动带电粒子激发的磁场（运动电荷产生的磁场）
B＝ dB dN
＝
0
4
qvsin(v,r ) r2
B＝
0
4
qv r3
r
eB r
B r
q
v
q
v
正、负运动电荷产生的磁场方向
10.2.6 毕奥-萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
取电流元 Idl ，P点对电流元的 位矢为 r ，电流元在 P 点产生的磁
导线和载流斜直导线在 P 点所产生磁场的磁感应强度大小分别为
B1
＝
0I
4a
[sin

2－sin
1
]＝
0I
4a
[sin
0o－sin(－
2
)]
＝
0I
4a
方向垂直于纸面向里
B2＝
0I
4a
[sin
2－sin
1 ]＝
0 I 4a cos
[sin
2
－sin(－
)]
＝ 0I [1+ sin ] 4a cos
（下） (第5版)
主编 赵近芳 王登龙
第三篇
——CONTENTS——
电磁学
第9章
静电场
第10章
稳恒磁场
第11章
变化的电磁场
第10章 稳 恒 磁 场
目录
——CONTENTS——
1 电流 电动势 2 磁场 磁感应强度 3 安培环路定理
4 磁场对载流导线的作用 5 磁场对运动电荷的作用 6 磁介质
10.1
感应强度为
y
I
L dl
dB＝ 0
4
Idlsin
r2
方向垂直纸面向里，且所有电流元
r
lC O
dB
2 1
a
P
x
在 P点产生的磁感应强度的方向相同。 z
B＝ dB＝ 0 Idlsin
L
L 4 r2
sin ＝cos , r＝a sec , l＝a tan
直电流磁场的计算
处的磁感应强度 B 。
解 均匀带电薄圆盘绕轴线转动 产生的磁场可以看成由半径不同的一系 列同心载流圆环产生的磁场。
圆环带电量 dq＝ 2r dr
圆盘的电荷面密度

＝q R2
面电流
dI ＝
2
dq＝
q
R2
r
dr
x
P x

dr r
O R
例题
该圆形电流 dI 在轴线上 P 点处产生的磁感应强度 dB 为 dB＝ 0r2dI ＝ 0q r3dr 2(r 2 x2 )3/2 2R2 (r 2 x2 )3/2