基础实验二 定积分数值计算

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分⎰b a

dx x f )(的近似值，可将积分区间n 等分而得矩形公式

n a b n a b i a f dx x f n i b a ---+≈∑⎰=])

1([)(1 或 n a

b n a b i a f dx x f n i b a --+≈∑⎰=][)(1 也可用梯形公式近似计算

n

a b b f a f n a b i a f dx x f n i b

a -++-+≈∑⎰-=]2)()()([)(11 如果要准确些，可用辛普森公式

n a

b b f a f a b i a f n a b i a f dx x f n i n i b a 6)]()()2)21((4)(2[)(111-++--++-+≈∑∑⎰=-= 对于⎰1

0sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序为

a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式） s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式）

s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式） s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公

式）

s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]

+4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式）

r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5[m_]:=d-s5[m];（误差）

t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]},

{m,100,1000,100}]

利用以上程序计算⎰10dx 、⎰10xdx 、⎰102

dx x ，并对几个公式比较。 2.2可积条件

如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在区间[]b a ,上可积。反之不然。

2.3牛顿-莱布尼兹公式

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，而且)(x F 是)(x f 的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式⎰-=b a a F b F dx x f )()()(。

函数

⎩⎨⎧≠==0001)(x x x f 在[]2,1-不连续、不存在原函数，但在[]2,1-上可积；函数⎩⎨⎧>≤-=--00cos sin 22)(11x x x x x x x g 在[]2,1-不连续，但在[]2,1-上可积、存在原函数

⎩⎨⎧>≤=-00sin )(122

x x x x x x G 。

此外函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x D 01)(处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。

求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica 程序

f[x_]:=Sin[x];

Integrate[f(x),x]（求不定积分）

F[x_]:=%（定义原函数）

d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分）

df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量）

r=d-df

三、实验准备

认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示

3.1定积分的定义

先对一个函数，例如x sin 在区间[0,1]，在程序中改变m （例如10=m 、100、10000）并适当扩展有效数字（例如10=k 、20、50），运行程序计算定积分的近似值，分析误差。再考虑其它函数。最后对几个公式比较。

3.2牛顿-莱布尼兹公式

先对一个函数，例如x sin 在区间[0,1], 运行程序计算。再考虑其它函数，例如指数函数、分段连续函数、)(x D 。分析可积条件及牛顿-莱布尼兹公式成立的条件。