高等数学第六章参考答案

第六章参考答案

习题6.1

1. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D ---

解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限.

2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D -

解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z .

在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z .

A 在yOz 面上,

B 在xOz 面上,

C 在y 轴上,

D 在z 轴上.

3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于x O y 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为

(,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --.

(3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---.

4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。

过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1.

5. 求点5,4

( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4(

,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即

22(4)35x d =

-+=.

点M 到y 轴的距离就是点5,4(

,3)M -与点0,4)( ,0-之间的距离, 即 2

2

5334y d =+=.

点M 到z 轴的距离就是点5,4(

,3)M -)与点(0,0,3)之间的距离, 即 22

5(4)41z d =+-=

.

6. 求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰

三角形.

解 因为 2

22212

741()()()32114,M M =-+-+-=

2

22223()( 572()12,)36M M =-+-+-=

222213

()(

542()31,)36M M =-+-+-=

所以2313 ,M M M M = 即

123 M M M 为等腰三角形.

7. 设已知两点 (2, 2, 2)A )和 (1, 3, 0)B 计算向量AB −−→

的模、方向余弦和方

向角.

解 (12, 3

2, 02)

(1, 1, 2)

AB =---=--; 2

2

2

11(2)2AB =++=;

21cos -=α, 1cos 2β=, 2

cos 2γ=-;

32πα=, 3πβ=, 34π

γ=.

8. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0=α; (2)

cos 1=β;(3)

cos cos 0==αβ, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解 (1)当cos 0=α时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.

(2)当cos 1=β时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.

(3)当cos cos 0==αβ时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.

9. 一向量的终点在点(2,17)B -, 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为

4,4,7-. 求这向量的起点A 的坐标.

解 设点A 的坐标为(,,)x y z . 由已知得 ⎪⎩⎪

⎨⎧=--=--=-7

7414

2z y x ,

解得2,3,0x y z =-==. 点A 的坐标为(2,3,0)A -.

10. 设358m i j k =++, 247n i j k =--和54p i j k =+-. 求向量

43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解

因

为

434()7541()()3715a m n p i j k i j k i j k i j k =+-=+++---+-=++,

所以43a m n p =+-在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 11. 设a 的方向角,4

3

π

π

αβ=

=

，且3=a ，求a 的坐标表示。

解 设a (,,)x y z a a a =，则

x a =a 32

cos 3cos

4

2

π

α==

，y a =a 3cos 3cos 32πβ==

由2

22cos

cos cos 1αβγ++=，得2221

c o s

1(c o s c o s )4

γαβ=-+=，即1c o s 2

γ=±。所以 z a =a 3

c o s 3c o s 2

γγ==±

故a = 3233(

,,)222或3233

(,,)222

- 习题6.2

1. 已知向量(1,1,2=a (0,1,0)=b

,求(1)a a , a b ,

⨯a a , ⨯a b

a prj a ,

b prj a ,cos(,)a b

解 2

222

1126⋅==

++=a a a ，1011201⋅=⨯+⨯+⨯=a b