2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(I 卷)

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A

B =

（A ）)2

3,3(--

（B ）)2

3,3(-

（C ）)2

3,1(

（D ）)3,2

3(

【解析】：{}

{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧

⎫

=->=>

⎨⎬⎩

⎭

．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭

．

故选D ．

（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x

（A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）2

【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩

，解得：1

1x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +=

故选B ．

（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a

（A ）100

（B ）99

（C ）98 （D ）97

【解析】：由等差数列性质可知：()

195

959929272

2

a a a S a +⨯=

=

==，故53a =，而108a =，因此公差 105

1105a a d -=

=-

∴100109098a a d =+=．故选C ．

（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）

3

1 （B ）

2

1 （C ）

3

2 （D ）

4

3 【解析】：如图所示，画出时间轴：

8:208:107:507:408:308:007:30

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101

402

P +=

=．故选B ． （5）已知方程132

2

2

2=--+n

m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的

取值范围是 （A ）)3,1(-

（B ）)3,1(-

（C ）)3,0(

（D ）)3,0(

【解析】：22

2213x y m n m n

-=+-表示双曲线，则()()

2230m n m n +->，∴223m n m -<<

由双曲线性质知：()()

222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中

两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是3

28π

，则它的 表面积是 （A ）π17

（B ）π18

（C ）π20 （D ）π28

【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1

8

后的三视图

表面积是7

8

的球面面积和三个扇形面积之和

2271

=42+32=1784

S ⨯⨯⨯⨯πππ，

故选A ． （7）函数x

e x y -=22在]2,2[-的图像大致为

（A

（B

（C ）

（D

【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；

0x >时，()22x

f x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫

⎪⎝⎭

单调递减，排除C ；故选D ．

（8）若1>>b a ，10<

（A ）c

c

b a <

（B ）c

c ba ab < （C ）c b c a a b log log <

（D ）c c b a log log <

【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；

由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；

要比较log b a c 和log a b c ，只需比较

ln ln a c b

和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln c

a a ，只需ln

b b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此

()()11

0ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔

<

，

又由01c <<得ln 0c <， ∴

ln ln log log ln ln a b c c

b c a c a a b b

<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln c

b ，

而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故11

1ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<

，

又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．

（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，

则输出y x ,的值满足

（A ）x y 2=

（B ）x y 3=

（C ）x y 4=

（D ）x y 5=

【解析】：第一次循环：2

2

0,1,136x y x y ==+=<；

第二次循环：22117

,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223

,6,362

x y x y ==+>； 输出3

2

x =

，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知

24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）8

【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：

设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，

∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，

∴2

252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，

∴2

20

8x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．

（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+

=,2

1

n

y x ,,输入开始结束

y x ,输出1

+=n n ?

3622≥+y x 是

否